高考数学专题07 数列与不等式相结合问题(第二篇)(解析版)

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第二篇数列与不等式

专题07 数列与不等式相结合问题

【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【思路引导】（1）根据11,1

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?计算可得；

（2）由（1）可得2122n n a -=，21n

n S =-，从而得到不等式解得.

解：（1）由题知，12n n S a +=①，当1n =时，11a =当2n ≥时，1112n n S a --+=②

①减②得，12n n a a -=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -= （2）由（1）知，2122n n a -=，21n

n S =-22020n n a S >+

即210221202n n --+>等价于()22

24038n

->易得()222n n -随n 的增大而增大

而6n =，()2

24038n

-<，7n =，()2224038n n ->故7n ≥，n N ∈

【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当*n N ∈时，n S 是12n +与2m 的等差中项(m 为实数). （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令(

)

21log n n b a n N

=+∈，是否存在正整数k ，使得

1111210

n n n k

b b b n ++???+>+++对任意正整数n 均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由. 【思路引导】

（1）根据等差中项的性质列方程，求得n S 的表达式.利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，结合{}n a 是等比数列，

求得m 的值及数列{}n a 的通项公式.

（2）由（1）求得n b 的表达式，将不等式1111210

n n n k

b b b n ++???+>+++左边看成()f n ，利用差比较法判断出()f n 的单调性，由此求得()f n 的最小值，进而求得k 的最大值.

解：(1)Q n S 是12n +与2m 的等差中项， ∴ 1222n n S m +=+，即 2n

n S m =+，

当1n =时， 112S a m ==+，当2n ≥时， 1

12n n n n a S S --=-=，Q {}n a 是等比数列，∴ 11a =，则 21m +=，∴ 1m =-，且数列{}n a 的通项公式为1

2n n a -=.

(2)存在正整数k ，使不等式恒成立，k 的最大值为4.21log n n b a n =+= ()

*.n N ∈

()111111

12122n n n f n b b b n n n n

++=++++++++L L ， ()()11111

10212212122

f n f n n n n n n +-=

+-=->+++++Q ∴ ()()1.f n f n +>∴数列(){}

f n 单调递增，()()min 112

f n f ∴==

，由不等式恒成立得：

102

k <，∴ 5k <. 故存在正整数k ，使不等式恒成立，k 的最大值为4. 【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】

已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．

()1求数列{}n a 的通项公式；

()2若n T 为数列11n n a a +??

????的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．

【思路引导】（1）由题意可得()()()121

1176735,2410,

a d a d a d a d ??

+=???+=++?解得1a d ，即可求得通项公式；(2)

1111

n n a a n n +=-++,裂项相消求和n T =()112222n n n -=++，因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*

N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()

222n n λ≤+成立.求出

()

22n n +的最大值即可解得λ的取值范围.

解：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ??

+=???+=++?

即12

135,2.a d d a d +=??=?

又因为0d ≠，所以12,

a d =??=?所以1n a n =+.

（2）因为

()()11111

1212

n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412

n T n n =

-+-++-=++L ()112222n n n -=++. 因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得

()

()2022n

n n λ-+≥+成立，即存在

N n ∈，使得()

22n n λ≤

+成立.

又()

111

4416222424n

n n n n n =

?≤????+++++ ? ?

????

（当且仅当2n =时取等号）. 所以116λ≤

，即实数λ的取值范围是1,16?

?-∞ ??

【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】

已知{}n a 是递增的等比数列，若3520a a +=，且12354

a a a ，，成等差数列. （1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）设12n n

b S =

+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

n T ≤<. 【思路引导】（1）利用等差中项可得2135

a a a =+,再利用等比数列的通项公式代入求得q ,可代回3520a a +=中求得1a ,进而由公式求解即可；（2）由（1）可得121n n

b =

-,则11

32n

b ≤<,从而求和即可证明解：（1）设递增数列{}n a 的公比为()1q q >,

由1a ,

254a ,3a 成等差数列,可得2135

a a a =+,即2111522a q a a q =+, 则2

2520q q -+=,解得12

q =（舍）或2q =,

又因为3520a a +=,可得24

112220a a +=,所以11a =,

所以()1212121

n n n

S ?-==--

（2）证明：由（1）可得11021221n n n

b ==>-++,所以数列{}n T 是递增数列,所以1111

213

n T T b ≥===+, 又因为11212

n n n

b =

<+, 2111221111111222212

n n n T ?????-?? ?????????????∴<+++==-< ? ? ???????-

…, 综上所述：

n T ≤< 【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】已知数列{}n a 为等差数列. （1）求证：()2

12n n n a a a ++…；

（2）设21n a n =-，且其前n 项和n S ，1n S ??

????

的前n 项和为n T ，求证：2n T <. 【思路引导】

(1)利用等差数列的性质122n n n a a a ++=+,再根据基本不等式即可证明. (2)由等差数列的求和公式求解n S ,再由裂项相消的缩放法求证即可. 证明：（1）因为数列{}n a 为等差数列,所以122n n n a a a ++=+ ∴()()()()2

12222424n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+=++… 即()212n n n a a a ++…,故结论成立.

或：设数列{}n a 的公差为d ,则()()()()2

221111n n n n n n a a a d a d a d a +++++=-+=-…

即()2

12n n n a a a ++…,故结论成立.

（2）∵2

12(211)2n n n n S a a a n -+=+++=

=L ∴211n S n = 2n ≥时：211

(1)n n n <-1n =时：1

1112T S ==< 2n ≥时：

211111

(1)1n S n n n n n =<=--- 1211111111112231n n T S S S n n =

++?+<+-+-++--L ，∴122n T n

<-<. 【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2

434a a =，数列{}n b 的前n 项和

(1)

n n n S b +=

，*n N ∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设,,n n n b n c a n ??=???为奇数

为偶数

，求数列{}n c 的前n 项和n P .

（3）设25

2123n n n n n b d a b b +++=

，*n N ∈，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13

n T <.

【思路引导】

(1)根据题意列出方程组，求出1a 、q ，从而得到{}n a 的通项公式，当2n ≥时，

111

22n n n n n nb n b S S b --+=-=

-，化简可得{}n b n

是首项为1的常数列，即可求得{}n b 的通项公式；(2)分类讨论，当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++?++++?+，分别利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和即可，当n 为奇数时，由1n n n P P b -=+可求得结果；(3)裂项法可得

125111(21)(23)2(21)2(23)2n n n n n d n n n n -+=

?=-++++，从而求得1113(23)23

n T n =-<+. 解：（1）因为0n a >，所以0q >，

4562

31224210414a a a q q a a a q ?=+?+-=????==???，解得11212q a ?

=????=??

所以12n n a ??= ???，当2n ≥时，111

22n n n n n nb n b S S b --+=-=

-，即11

n n b b n n -=-， ∴{}n b n 是首项为1的常数列，1n b

=，∴n b n =；

（2）,1,2n

n n n C n ??=???

? ???

?为奇数

为偶数当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++?++++?+

24111

[13(1)][()()()]222n n =+++-++++L L

2111441112(11)12433214

n n

n n ???? ?- ? ???????=+-+=+-? ?

??- 当n 为奇数时，1

21(1)111(1)11143324332n n n n n

n n P P b n ----+??

=+=+-+=+-? ? ?

（3）125111

(21)(23)2(21)2(23)2n n n n

n d n n n n -+=

?=-++++

211111113525272(21)2(23)2n n n T n n -=-+-++-???++L

1113(23)23

n n =-<+ 【典例7】【河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期12月月考】已知数列{}n a 满足125

a =

，且*

113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n n n b c a =

，12n n S c c c =+++L ，求证：

01n

S <<. 【思路引导】

（1）变形已知等式得数列2n a ??

????

为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求

得通项公式；

（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．解：（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴

*122

3,n n

n N a a +-=∈ ∴2n a ??

???

为等差数列，首项为125a =，公差为3 ∴

53(1)32n n n a =+-=+，2,N*32

n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2

314b b q == 整理得2

3440q q --=，解得2q =，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈

（2）12(32)2n n

n n

b c n a -=

=+? 21582112(32)2n n S n -=+?+?+++?L ①

2125282(31)2(32)2n n n S n n -=?+?++-?++?L ②

①-②得215323232(32)2n n n S n --=+?+?++?-+?L 53(22)(32)2n n

n =+--+?,

∴(31)21n

n S n =-?+∵*N n ∈，∴1n S >，∴1

01n

S <

<，得证.

1.【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）记数列1

{

}n S 的前n 项和为n T ，若99100

n T >，求n 的最小值. 【思路引导】

(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和

n S ；

(2)利用裂项求和得到1

T n =-

+，解不等式即可得到最小值. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有

13428,4.a a a a +=??-=?解得12,2.

a d =??

=?所以2

2,n n a n S n n ==+. （2）因为

21111

n S n n n n ==-++，所以12111111111(1)()()122311

n n T S S S n n n =

+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >

，即199

11100

n ->+，

所以99n >.所以n 的最小值为100

2.【天津市红桥区2019届高三二模数学】

已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项．

I.求数列{}n a 的通项公式；

II.设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111

=++++L L n n

T S S S S ，证明：12n T ≤<．【思路引导】

I.根据等差中项性质得到()21321a a a +=+，再根据等比数列通项公式构造方程求得q ，从而可求得通项公式；

II.根据n a 求得n b ，利用等差数列求和公式得到n S ；再根据裂项相消法求得n T ，根据2

011

n <≤+证得结论. 解：I.由题意得：()21321a a a +=+ 设数列{}n a 公比为q ，则()2

2221a a a q q

+，即22520q q -+= 解得：1

q =（舍去）或2q =则21

2a a q ==()1*12n n n a a q n N -∴==∈ II.由I.得：2log 2n

n b n ==，可知{}n b 为首项为1，公差为1的等差数列

则()()1122

n n n b b n n S ++==()1211211n S n n n n ??∴==?- ?++?? 1111111122121222334111n T n n n n ???

?∴=?-+-+-+???+-=?-=- ? ?

+++????

2011n <

≤+Q ，2

1221

n ∴≤-<+，即12n T ≤< 3.【2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(

21n n S a n N +=∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11111n n n c a a +=

++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123

n T n >-.

【思路引导】

（1）利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求得数列{}n a 的通项公式.

（2）先将n c 缩小即111233n n n c +??>--

???

，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立. 解：（1）∵()

21n n S a n N

+=∈，令1n =，得11

a =

. 又()11212n n S a n --+=≥，两式相减，得113n n a a -=.∴13n

n a ??= ???

. （2）∵

11111133n n

n c +=

??+- ? ???

1113311231313131

n n n n n n +++=+=-++-+- 11

123131n n +??=-- ?+-??

又∵

11313n n <+，1111313n n ++>-，∴11

1233n n n c +??>-- ???

∴223111111

12333333n n n T n +????????>--

+-+???+- ? ? ????

??????? 111122333n n n +=+

->-.∴123

T n >-. 4.【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷】

已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:11

b =

,24164

b b ?=

. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++???+<. 【思路引导】

（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则111

35,a d a a d +=??++=?即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}

n b 为等比数列,2

243164b b b ?==

3118

b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12n

n b ??= ???,所以()2

11111123122222n n

n T n n -????????

=?+?+?+???+-?+? ? ? ?

???????

,根据数

列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案.

解：（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=??

++=?∴11,

a d =??=?

∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >,

∴2243

164b b b ?==,23118b b q ==,∴12q =,1

111222n n

n b -????=?= ? ???

. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++???+,

∴()231

11111123122222n n

n T n n -????????

=?+?+?+???+-?+? ? ? ?

???????

——①

可得:()2

1111112122222n

n n T n n +????????=?+?+???+-?+? ? ? ? ?????????

——②

∴由①-②得:23111112211111111222222212

n n n n T n n ++????

- ? ?

????????????=+++???+-?=-? ? ? ? ? ???????????

∴1

112222n n

n T n -????

=--?< ? ???

.故11222n n a b a b a b ++???+<.

5.【湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2019-2020学年高三联考数学】

已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21

n n S a S =-．

（1）求证：数列1n S ??

???

是等差数列；（2）证明：222

1274

n S S S +++<

L ．【思路引导】

（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣12

n S S =-?S n ﹣S n ﹣1＝S n ?S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得

111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1

S }是等差数列；（2）利用2

22111111

211n S n n n n ??

<=- ?--+??

进行放缩并裂项求和即可证明

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

广东省高考数学复习专题汇编不等式(试题)

不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：

数列与不等式知识点及练习唐

数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：① )(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322 -+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，