半波傅氏算法及其改进算法的实现

第一章半波傅氏算法 (1)

第二章半波傅氏算法的误差分析 (3)

第三章滤除衰减非周期分量的新算法 (4)

第四章仿真计算 (7)

第五章结论 (9)

参考文献 (10)

半周傅氏算法及其改进算法的实现

摘要

提出一种利用半波傅氏算法消除衰减非周期分量对基波分量影响的快速算法，新算法的数据窗是半个周期的采样值加两个采样点，而其滤波效果远远优于半波傅氏算法。该算法理论上可以完全消除任意衰减时间常数τ的非周期分量对基波分量的影响。通过大量的仿真试验表明，新算法滤除衰减非周期分量能力强，计算简单，速度快，具有实际应用价值。

大多数微机保护算法的计算可视为对交流信号中参数的估算过程，对算法性能的评价也取决于其是否能在较短数据窗中，从信号的若干采样值中获得基波分量或某次谐波分量的精确估计值。目前广泛采用全波傅氏算法和最小二乘算法作为电力系统微机保护提取基波分量的算法。但由于半波傅氏算法只用半个周期的采样数据，响应快，但滤波能力相对较弱，故只能用于保护切除出口或近处故障。为使保护快速动作，选择数据窗较短的快速算法就成为关键。从衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响分析入手，提出新的计算方法，可完全滤除衰减非周期分量及奇次谐波分量，以提高其滤波能力。

关键词:微机保护衰减非周期分量半波傅氏算法快速算法

第一章半波傅氏算法

为了分析衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响，设电力系统故障电流有如下形式：

(1-1)

式中 I m (n),φn 分别为n 次谐波的幅值和初相角。因半波傅氏算法不能滤除偶次谐波，所以设式(1)中n 为奇数，则所得的n 次谐波分量的实部模值an 和虚部模值bn 的时域表达式分别为：

(1-2)

(1-3)

式中 T 为基波分量的周期；ω为基波分量的角频率，ω＝2π/T 。

在计算机上实现时，是对离散的采样值进行计算。用离散采样值表示的半波傅氏算法为：

(1-4)

(1-5)

式中 k 表示从故障开始时的采样点序号；N 为每个周期的采样点数。 n 次谐波的幅值I m (n)和初相角φn 为：

(1-6)

(1-7) 假设暂不考虑输入信号(如式(1-1)的形式)中的衰减非周期分量，根据式(1-4)、式(1-5)利用半波傅氏算法得到的理论值为：

(1-8)

(1-9)

第二章半波傅氏算法的误差分析

如果输入信号中包含衰减非周期分量，将使半波傅氏算法的计算结果产生误差，具体分析如下：

(2-1)

(2-2)

令

(2-3)

(2-4)

由式(2-1)、式(2-2)可知，当输入信号中包含有衰减非周期分量时，I0≠0，α≠0,则w a≠0,w b≠0。从而看出，n次谐波的实部和虚部与理论值相比，存在误差w a 和w b。因此，消除w a和w b是将半波傅氏算法应用于快速保护的关键之一。

第三章滤除衰减非周期分量的新算法

为了全部使用故障后的采样值，取k≥N/2，同时，为了使新算法的推导更趋于精确，下面以时域形式介绍新算法的推导过程。

a.取第一个数据窗，使t∈［0，T/2］，利用半波傅氏算法有：

(3-1) 令

(3-2) 则式(3-1)可以简化为：

(3-3)

，取第2个数据窗，使t∈

b.取延时ΔT为一个采样周期时间T

［ΔT,(T/2)+ΔT］,有：

(3-4) 令

(3-5) 在理论上，移动的数据窗大小(即ΔT)可任意确定，但为了提高算法的计算

较合适。一旦确定了每个周期的采样速度以达到快速计算的目的，ΔT选取为T

点数N，ΔT也就随之确定。同时，若谐波次数n和延时ΔT确定,k

a ,k

就成为

两个常数。则式(3-4)可化简为：

(3-6)

c.延时2ΔT,取第3个数据窗，使t∈［2ΔT,(T/2)+2ΔT］，有：

(3-7) 由式(3-3)、式(3-6)、式(3-7)可以看出，3个方程组中只有5个未知数，

而为了校正衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响，只要计算出w

a 和w

的值，

即可对半波傅氏算法由于衰减非周期分量引起的误差进行校正，式中的未知数A，B和e-αΔT只需作为中间变量，没有必要求出。其计算过程如下：利用式(3-3)、式(3-6)、式(3-7)，先消除A，B两个中间变量。令：

Q＝a

n ′-k

(3-8)

R＝b

n ′-k

-k

(3-9)

X＝a

n ″-2k

′+a

(3-10)

Y＝b

n ″-2k

′+b

(3-11)

这里的Q，R，X，Y值可根据采样值实时计算出。所以由式(3-8)～式(3-11)得：

w a /w

＝X/Y (3-12)

w b Q-w

R＝k

(w2a+w2b) (3-13)

由式(3-12)和式(3-13)得：

(3-14)

式(3-14)是由于衰减非周期分量对半波傅氏算法产生的影响数据。则由式(2-1)和式(2-2)可得，消除衰减非周期分量对半波傅氏算法影响的校正量a

c和

c应为：

分析新算法的整个计算过程可知，半个周期后第3个采样间隔的计算量较大，但其计算时间仅约80μs，完全能够满足实时控制的要求。

第四章仿真计算

通过设置下列输入信号：

i(t)＝50e -t/τ+50sin(ω1t+φ1)+

15sin(3ω1t)+10sin(5ω1t)

对新算法进行仿真计算，并与半波傅氏算法和全波傅氏算法进行了比较，其结果见表1。这里取τ＝30ms,ω1＝100π,φ1＝30°，其对n 次谐波分量的

计算程序流程图如图1。

图4-1 程序流程图

开始

输入信号数据去第1数据窗，利用半波傅氏公式计算n a 和n b 延时S T ，去第2数据窗，再计算'n a 和'n

b 延时2S T ，去第3数据窗，再计算"n a 和"n b 计算中间变量Q 、R 、X 、

Y 数值计算a w 和b w 输出计算结果

n n nc w a a -= wb b b n nc -= 开始

表4-1 仿真计算结果

从仿真计算的输入信号可以看出，本算例输入信号中含有衰减非周期分量的初值为100%基波幅值，之所以设置这样大的衰减非周期分量初值(在实际中属于比较严重情况)，就是为了人为增大衰减非周期分量对滤波算法的影响，来检验新算法的有效性。从表1可见，通过与全波傅氏算法和半波傅氏算法的比较，本文提出的新算法具有很高的计算精度。算法

幅值相角计算值误差值 /(%) 计算值误差值 /(%) 全波傅氏算法 57.41243 14.82486 28.96597 -3.44676 半波傅氏算法 99.43623 98.87245 27.50386 -8.32044 新算法 49.99940 0.00000 29.99998 0.00004

第五章结论

本文在分析衰减非周期分量对半波傅氏算法产生的影响的基础上，介绍了一种新算法，不仅保留了原来半波傅氏算法的功能，又增添了对衰减非周期分量的过滤作用。新算法所采用的数据窗仅为半个周期的采样值加两个采样点，计算简单，速度快，精度高；同时其滤除衰减非周期分量的能力又不受衰减非周期分量时间常数大小的限制。特别适合于需要快速动作的继电保护

参考文献

[1]．杨奇逊，黄少锋．微型机继电保护基础（第3版）．北京：中国电力出版社，2007．

[2]．许正亚．变压器及中低压网络数字式保护．北京：中国水利水电出版社，2004．

[3]．陈皓．微机保护原理及算法仿真．北京：中国电力出版社，2007．

[4]．杨新民，杨隽琳．电力系统微机保护培训教材（第2版）．北京：中国电力出版社，2008．

[5]．罗士萍．微机保护实现原理及装置．北京：中国电力出版社，2001

[6]．丁书文，张承学，龚庆武，等．半波傅氏算法的改进——一种新的微机保护交流采样快速算法．电力系统自动化，1999，23(5)：18-20．

常用函数傅里叶变换

信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。线性系统（齐次性，叠加定理）时不变系统对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示连续时间信号和系统的频域分析时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。

周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。傅里叶变换：非周期函数正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）

半周积分法傅氏变换算法

半周积分法傅氏变换算法；几种常用的数字滤波器：差分(减法)滤波器、加法滤波器、积分滤波器。监控系统功能：一、实时数据采集和处理。采集变电站电力运行实时数据和设备运行状态，包括各种状态量、模拟量、脉冲量（电能量）、数字量和保护信号，并将这些采集到的数据去伪存真后存于数据库供计算机处理之用。二、运行监视与报警功能。三、操作控制功能。四、数据处理与记录功能。五、事故顺序记录及事故追忆功能。六、故障录波与测距功能。七、人机联系功能（CRT显示器、鼠标、键盘）。八、制表打印功能。九、运行的技术管理功能。十、谐波的分析及监控功能一、监控系统的结构监控系统是由监控机、网络管理单元、测控单元、远动接口、打印机等部分组成。根据完成的功能不同，变电站监控系统可分为信息收集和执行子系统、信息传输子系统、信息处理子系统和人机联系子系统。微机保护装置的特点 1.智能化微机保护装置除了硬件外，还必须具有相应的软件，因此微机保护可以实现智能化。 2. 高可靠性微机保护可对其硬件和软件连续自检，有极强的综合分析和判断能力。 3. 易于获得附加功能微机保护装置除了提供常规保护功能外，还可以提供一些附加功能。例如，保护动作时间和各部分的动作顺序记录，故障前后电压和电流的波形记录等。这将有助于运行部门对事故的分析和处理。 4. 调试维护方便在微机保护应用之前，整流型或晶体管型继电保护装置的调试工作量很大，原因是这类保护装置都是布线逻辑的，保护的功能完全依赖硬件来实现。微机保护则不同，除了硬件外，各种复杂的功能均由相应的软件(程序)来实现。 5.完善的网络通信功能 6.可以采用一些新原理，改善保护的性能。如：采用模糊识别原理或波形对称原理识别励磁涌流。采用自适应原理改善保护的性能等。微机保护硬件部分包括： 1.数据采集系统，如：模拟量输入变换与低通滤波回路，采样保持与多路转换，模数转换系统，开关量输入通道等。

离散傅里叶变换及其快速算法

第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 ! 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2

(i) )(~ f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f == =00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 100===，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) ， (2) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 /2-=???? ??==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (3) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ，这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=??? ???? ?? ??? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (4) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们互为共轭。 (5) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。 (6) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(10 -=??? ? ??=∑-=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) ） (iii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j mN mn j mn mN ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈??? ? ??=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质：

(完整版)从头到尾彻底理解傅里叶变换算法

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为：即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对：一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a 次，其中a 不一定要为整数；而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。

微机保护中基于DFT傅氏算法的频率特性研究_李吉德

０前言计算机继电保护是用数学运算方法实现故障量的测量、分析和判断的。而当电力系统发生故障时，出现的最多的就是周期分量，按照傅立叶级数的定义，任何周期信号都可以描述成一种傅立叶级数形式，而利用傅氏算法［4］，能够准确的得到周期信号傅立叶级数的所有系数。然而，为了保证保护的速动性，计算的时间就成为了我们首要考虑的问题。基于DFT的FFT算法，由于其具有的原位性，计算量小且易于流水操作等特点，所以非常适合用数字信号处理器进行处理。利用FFT来实现傅氏算法，可以大大减少计算量，进而加快计算速度，对加快保护动作速度，增强其速动性有明显的效果。然而，要满足傅立叶算法的条件是比较困难的，因为电力系统发生故障的时候，信号并非只有故障的周期分量，与此同时，还有衰减的直流分量［7］、幅值不断变化的各次斜波和系统的频率偏移［3］等。如果不对这几种情况加以考虑，那么所得到的误差在保护装置中的影响是巨大的，特别是对于幅值比较型和相位比较型的保护，其动作判据就是傅立叶系数之间的关系，误差的增大会造成保护判据的失灵，达不到保护的可靠性要求。因此，本文就电力系统故障中可能出现的几种情况，给出了基于DFT的傅氏算法应用所需要的必要条件，而后简要介绍了几种消除误差的方法。１周期信号的傅氏算法及其频率特性按照文献［5］中的要求，将信号模型设定为余弦函数模型，即信号为如下形式：（1）参数如下： ω０－系统中的基频角频率； m－１－系统中的最高斜波次数； I k－各次斜波的幅值； φk－各次斜波的相位； A k－各次斜波余弦函数的幅值； B k－各次斜波正弦函数的幅值。按照文献［5］，得到各次斜波的幅值和相位表达微机保护中基于DFT傅氏算法的频率特性研究Research on the Frequency Character of Fourier Algorithm based on DFT in Microprocessor-based Protection 李吉德赵作斌廖哓波长岛县供电公司山东长岛265800 【摘要】为了保证微机保护的速动性，大部分微机保护的信号采集装置利用DFT来实现傅氏算法的系数求解。本文由连续信号的频域出发，推导出了基于DFT的傅氏算法离散信号频率特性。通过对该频率特性的研究，既给出了基于DFT的傅氏算法在微机保护中的理论依据，又得到了基于傅立叶算法应用的必要条件。并在最后简要的介绍了某种剔除信号中衰减直流分量的算法。【关键词】微机保护DFT傅氏算法频率特性【中图分类号】TM７７１【文献标识码】A ·电力工程·

MATLAB实验傅里叶分析

实验七傅里叶变换一、实验目的傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB 提供了专门的函数fft 、ifft 、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift 用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft 、ifft 以及fftshift 函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。二、实验预备知识 1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介设x (t )是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为 2()() (1)j ft X f x t e dt π∞--∞=? 显然X ( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X ( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为： 2()() (2)j ft x t X f e df π∞-∞ =?

因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x (t )进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列: δ (t －nT ), n = 0, 1, 2, …, N －1；可以实现上述目的，如图所示。其中N 为采样点数，T 为采样周期；f s = 1/T 是采样频率。注意采样时，采样频率f s 必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。接下来对离散后的时域波形()()()(x t x t t n T x n T δ= -=的傅里叶变换()X f 进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的δ脉冲序列： x (t δ x (t )δ t t t

(完整版)傅里叶变换分析

第一章信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如：单边指数信号（在t =0点时，不连续），单边正弦信号（在t =0时的一阶导函数不连续）。较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=?

12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时，输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ；或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ，当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =；当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+；当0t <时，若()0h t =，则此系统为因果系统；若|()|h t dt ∞ -∞<∞?，则此系统为稳定系统。第二章连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型

按频率抽取基2-快速傅里叶逆变换算法_MATLAB代码

function x=MyIFFT_FB(y) %MyIFFT_TB:My Inverse Fast Fourier Transform Time Based %按频率抽取基2-傅里叶逆变换算法 %input: % y -- 傅里叶正变换结果,1*N的向量 %output: % x -- 逆变换结果，1*N的向量 %参考文献： % https://www.360docs.net/doc/e616893236.html,/view/fea1e985b9d528ea81c779ee.html N=length(y); x=conj(y); %求共轭 x=MyFFT_FB(x);%求FFT x=conj(x);%求共轭 x=x./N;%除以N end %% 内嵌函数====================================================== function y=MyFFT_FB(x,n) %MYFFT_TB:My Fast Fourier Transform Frequency Based %按频率抽取基2-fft算法 %input: % x -- 输入的一维样本 % n -- 变换长度，缺省时n=length(x) 当n小于x数据长度时，x数据被截断到第n个数据% 当n大于时，x数据在尾部补0直到x 含n个数据 %output: % y -- 1*n的向量，快速傅里叶变换结果 %variable define: % N -- 一维数据x的长度 % xtem -- 临时储存x数据用 % m,M -- 对N进行分解N=2^m*M,M为不能被2整除的整数 % two_m -- 2^m % adr -- 变址，1*N的向量 % l -- 当前蝶形运算的级数 % W -- 长为N/2的向量，记录W(0,N),W(1,N),...W(N/2-1,N) % d -- 蝶形运算两点间距离 % t -- 第l级蝶形运算含有的奇偶数组的个数 % mul -- 标量，乘数 % ind1,ind2 -- 标量，下标 % tem -- 标量，用于临时储存 %参考文献： % https://www.360docs.net/doc/e616893236.html,/view/fea1e985b9d528ea81c779ee.html %% 输入参数个数检查

常用傅立叶变换表

时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这

9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式

18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.

第5篇傅里叶递推算法

第5篇傅里叶递推算法一个以T 为周期的函数()t f T ，若在[]0，T -上满足狄氏条件（电网中的电压、电流满足），那么，在[]0，T -上就可以展成傅氏级数。在计算电网中的电压、电流的基波时，存在两种算法：一种随截取不同时刻的窗（积分区间），得到不同的初相角；另一种维持初相角不变。例如，[]11---k k t T t ，的基波值 ()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2111?----= ，()tdt t f T b k k t T t T k ωsin 21 11 ?----=。计算[]k k t T t ，-的基波值第一种算法 ()tdt T t f T a S t T t T k k k ωcos 211+= ?---，()tdt T t f T b S t T t T k k k ωsin 21 1+=?---。 ()()dt t t f T a S t T t T k k k ?ω-=?-cos 2，()()dt t t f T b S t T t T k k k ?ω-=?-sin 2。 ()1 第二种算法 ()()dt T t T t f T a S S t T t T k k k ++= ?---ωcos 211，()()dt T t T t f T b S S t T t T k k k ++=?---ωsin 21 1 。 ()tdt t f T a k k t T t T k ωcos 2?-=，()tdt t f T b k k t T t T k ωsin 2?-=。 ()2 k k k b j a c 2 1 21+= 比较()1式与()2式，初相角差()1--==k k S S t t T ωω?。这是由于被分解函数()t f T 与相关函数t ωcos ，t ωsin 的时间差引起的。被分解函数()t f T 后移S T ，而相关函数t ωcos ， t ωsin 未移。若相关函数同步后移S T ，就消除了初相角差S ?。电网的应用中并不关心相量的绝对初相角，只关心它们之间的相对相角（相位差）。因此，同时刻的相量运算，只要截取相同的窗，采用相同的算法，得到的相位差是正确的。但是，不同时刻的相量运算，也必须坚持正确的相角关系。第一种算法的窗只能相差T n ?，而第二种算法无此要求。例如计算突变量，第一种算法故障前窗超前故障后窗T n ?且随故障后窗同步推移。第二种算法固定故障前窗且靠近故障时刻，故障后窗随时间推移。直观上 ()2式比()1式简单、规整，例如采用第二种算法计算 ()()[]tdt T t f t f T a a k k t t T T k k ωcos 211?---= --，()()[]tdt T t f t f T b b k k t t T T k k ωsin 21 1?---=-- ()3

半波傅氏算法的改进

半波傅氏算法的改进 ——一种新的微机保护交流采样快速算法丁书文张承学龚庆武肖迎元摘要提出一种利用半波傅氏算法消除衰减非周期分量对基波分量影响的快速算法，新算法的数据窗是半个周期的采样值加两个采样点，而其滤波效果远远优于半波傅氏算法。该算法理论上可以完全消除任意衰减时间常数τ的非周期分量对基波分量的影响。通过大量的仿真试验表明，新算法滤除衰减非周期分量能力强，计算简单，速度快，具有实际应用价值。关键词微机保护衰减非周期分量半波傅氏算法快速算法分类号TM 77 O 174.2 0 引言大多数微机保护算法的计算可视为对交流信号中参数的估算过程，对算法性能的评价也取决于其是否能在较短数据窗中，从信号的若干采样值中获得基波分量或某次谐波分量的精确估计值。目前广泛采用全波傅氏算法和最小二乘算法作为电力系统微机保护提取基波分量的算法。全波傅氏算法能滤除所有整次谐波分量，且稳定性好，但其数据窗需要1个周期，若再计及微机保护判断和保护出口的延时，一般快速微机保护的动作时间为1～1.5个周期，所以响应速度较慢；最小二乘算法需已知故障信号的模型和干扰信号的分布特性［1，2］。为了克服数据窗暂态带来的附加延时，已有半波傅氏算法［3］和卡尔曼滤波算法［4］，但由于半波傅氏算法只用半个周期的采样数据，响应快，但滤波能力相对较弱，故只能用于保护切除出口或近处故障；卡尔曼滤波算法在数据窗暂态条件下能给出基波分量的最优估计，但计算过于复杂，限制了实际应用。为使保护快速动作，选择数据窗较短的快速算法就成为关键。本文从衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响分析入手，提出新的计算方法，可完全滤除衰减非周期分量及奇次谐波分量，以提高其滤波能力。 1 半波傅氏算法为了分析衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响，设电力系统故障电流有如下形式： (1) 式中I m (n),φ n 分别为n次谐波的幅值和初相角。

第七章傅里叶变换.

第七章傅里叶变换 1．求下列函数的傅氏变换： (1)1,10, ()1, 01,0,; t f t t --<? 解: (1)[()]()j t F f t f t e dt ω+∞--∞ =? 1 101 10 1 1 22sin cos | 2(1cos ).j t j t j t j t e dt e dt e dt e dt j i tdt t j ωωωωωωω ωω -----=-+=-+=-= =- -????? (2) ()()j t F f t e dt ωω+∞--∞ =? 0(1)(1)0 11|.11t j t j t j t e e dt e dt e j j ωωωωω ---∞ -∞ --∞====--?? 6．求下列函数的傅氏变换 (1) 1,0,sgn 1,0;t t t -? (2) ()sin(5).3f t t π =+ 解: (1)已知 1 [()](),[1]2(),F u t F j πδωπδωω = +=由sgn 2()1t u t =-有 12[sgn ]2( ())2().F t j j πδωπδωωω =+-= (2) 由于 1()sin(5)sin 5cos5,322f t t t t π=+=+ 故 [()][(5)(5)](5)(5)].2j F f t πδωδωδωδω= +--++- 7．已知00()[()()]F ωπδωωδωω=++-为函数()f t 的傅氏变换，求().f t

FFT离散傅氏变换的快速算法

FFT(离散傅氏变换的快速算法) FFT(离散傅氏变换的快速算法) 目录 1算法简介 2DFT算法 3源码表示 4MATLAB中FFT的使用方法 1算法简介编辑 FFT(Fast Fourier Transformation),即为快速傅氏变换,是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的 FFT算法图(Bufferfly算法) 发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。设x(n)为N项的复数序列,由DFT变换,任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法,而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法,一次复数加法等于两次实数加法,即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”(四次实数乘法和四次实数加法),那么求出N项复数序列的X (m),即N点DFT 变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候,需要N2=1048576次运算,在FFT中,利用WN的周期性和对称性,把一个N项序列(设N=2k,k为正整数),分为两个N/2项的子序列,每个N/2点DFT变换需要(N/2)2次运算,再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后,总的运算次数就变成N+2*(N/2)^2=N+(N^2)/2。继续上面的例子, N=1024时,总的运算次数就变成了525312次,节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二” 的思想不断进行下去,直到分成两两一组的DFT运算单元,那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算,N在1024点时,运算量仅有10240次,是先前的直接算法的1%,点数越多,运算量的节约就越大,这就是FFT的优越性。 2DFT算法编辑 For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, with elements

快速傅里叶变换FFT.

————第四章———— 快速傅里叶变换FFT 所谓的快速算法，就是根据原始变换定义算法的运算规律及其中的某些算子的特殊性质，找出减少乘法和加法运算次数的有效途径，实现原始变换的各种高效算法。一种好的快速算法可使变换速度提高几个数量级。由于快速算法很多，而且还在不断研究和发展。较成熟的算法都有现成的程序。所以，通过教材中介绍的四种快速算法，主要学习研究快速算法的基本思想和减少运算量的途径，熟悉各种快速算法的特点、运算效率和适用情况。为今后研究新的快速算法和合理选用快速算法打好基础。 4.1 学习要点 4.1.1 直接计算N 点DFT 的运算量对于 ()(),1 0∑-==N n kn N W n x k X 1,,1,0-=N k 复数乘法次数： 2 N M c = 复数加法次数： ()1-=N N A c 当1>>N 时，复数乘法和加法次数都接近为2 N 次，随着N 增大非线性增大。 4.1.2 减少运算量的基本途径 DFT 定义式中只有两种运算：()n x 与kn N W 的乘法相加。所以，kn N W 的特性对乘法运算量必有影响。（1）根据的对称性、周期性和特殊值减少乘法运算次数。 ①对称性：k N N k N W W -=+ 2 ，()k k N N W 12-=，()k N k N N W W =* - ②周期性：k N lN k N W W =+。 ③kn N W 的特殊值(无关紧要旋转因子)： 1;;124 -===±N N N N N W j W W 。对这些因子不能进行乘法运算。（2）将较大数N 点DFT 分解为若干个小数点DFT 的组合，减少运算量。这正是FFT 能大量节省运算量的关键。 4.1.3 四种快速算法的基本思想及特点根据上述减少运算量的途径，巧妙地在时域或频域进行不同的抽取分解与组合，得到不

傅里叶算法的采样电流计算

傅里叶算法的采样电流计算 ******* 广西大学******* 摘要：微机继电保护是用数学运算的方法实现故障的测量、分析和判断的。通过全波傅立叶算法可用于求出各次谐波分量的幅值和相角，并具有一定的滤波作用。本文探讨了傅氏算法在电力系统中的应用。介绍了全波傅立叶算法的基本原理。通过仿真验证了该算法的实用性。关键词：微机继电保护；电力系统；算法引言在微机保护装置中，首先要对反映被保护设备的电气量模拟量进行采集，然后对这些采集的数据进行数字滤波，再对这些经过数字滤波的数字信号进行数学运算、逻辑运算，并进行分析判断，最终输出跳闸命令、信号命令或计算结果，以实现各种继电保护功能。这种对数据进行处理、分析、判断以实现保护功能的方法称为算法。目前广泛采用全波傅氏算法和最小二乘法作为电力系统微机保护提取基波分量的算法。傅立叶算法可用于求出各谐波分量的幅值和相角，所以它在微机保护中作为计算信号幅值的算法被广泛采用。实际上，傅立叶算法也是一种滤波方法。分析可知，全周傅氏算法可有效滤除恒定直流分量和各正次谐波分量。傅里叶算法原理一个周期函数满足狄里赫利条件，就可以将这个周期函数分解为一个级数，最为常用的级数是傅里叶级数，傅氏算法的基本思路来自傅里叶级数，

即一个周期性函数可以分解为直流分量、基波分量及各次谐波的无穷级数，如 ∑∞ =+=011)()]sin()cos([n n n t t nw a t nw b i （1.1）式中1w 表示基波角频率；n a 和n b 分别是各次谐波的正弦和余弦的幅值，其中比较特殊的有：0b 表示直流分量，11,b a 表示基波分量正、余弦项的幅值。根据傅氏级数的原理，可以求出n a 、n b 分别为 ?=T t n dt t nw i T a 0 1)()sin(2 （1.2） ?=T t n dt t nw i T b 0 1)()cos(2 （1.3）于是n 次谐波电流分量可表示为 )sin()cos()(11t nw a t nw b t i n n n += （1.4）据此可求出n 次谐波电流分量的有效值和相角为 ???????=+=n n n n n n a b a b a I arctan 222 （1.5）其中n a 、n b 可用梯形积分法近似求出为

傅里叶变换的应用

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量 3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

串行FFT递归算法(蝶式递归计算原理)求傅里叶变换

串行FFT递归算法（蝶式递归计算原理）求傅里叶变换摘要 FFT，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog(2)(N)次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。关键字：FFT 蝶式计算傅里叶变换

目录一．题目及要求 (1) 1.1题目 (1) 二．设计算法、算法原理 (1) 2.1算法原理与设计 (1) 2.2设计步骤 (2) 三．算法描述、设计流程 (4) 3.1算法描述 (4) 3.2流程图 (6) 四．源程序代码及运行结果 (8) 4.1源程序代码 (8) 4.2运行结果 (13) 五．算法分析、优缺点 (15) 5.1算法分析 (15) 5.2优缺点 (16) 六．总结 (17) 七．参考文献 (18)

傅氏算法的探究

傅氏算法在数字保护中得到了广泛的应用，但关于傅氏算法中余弦正弦系数a，b是否是信号相量的实部和虚部，作者一直感到困惑。通过分析近年发表相关傅氏算法的文献，提出几个问题的质疑，结合实际的工程实例和信号的物理意义，认为信号的虚部是-b即相量用表示，才能正确计算出阻抗、负序分量等。关键词：傅氏算法；相量表示；分量 Discussion on the Fourier algorithm application Yuan yubo, Lu yuping , Tang guoqing (Electrical Engineering Department of Southeast University Nanjing 210096) Abstract:Fourier Algorithm has been deeply applied in digital protection, however it was puzzled about whether coefficients a or b are real or image part of the phasor. After analyzing the document published in recent years, some problems query was put forward. It was concluded that the phasor could represented by form of a-jb and the correctly impedance or negative phase-sequence could be figure out by this form.. Key words: Fourier Algorithm, Digital Protection

详解FFT(快速傅里叶变换FFT.

kn N W N N 第四章快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。 DFT 的定义式为 N ?1 X (k ) = ∑ x (n )W N R N (k ) n =0 在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2 次复数乘法和 N ( N ? 1) 次复数加法。即计算量是与 N 2 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合，从而减少运算量。 W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT 运算：（1）周期性： ( k + N ) n N = W kn = W ( n + N ) k （2）对称性：W ( k + N / 2 ) = ?W k N N 利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当 N ＝4 时，X(2)的值