北京工业大学线性代数考试题
北京工业大学2007-2008学年第二学期期末
线性代数(工) 课程试卷（A ）
考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）
一. 填空题（每小题3分，共30 分）.
1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1
()A E --= 3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*
A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=
4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足12
2
123
12
3αβαββαββ=
⎧⎪
=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于 （写出具体数值）
5. 如果21
11
1
013
9
p p =-，而且0p >，则p = 6.
如果实系数方程组11223
31
00
b x
c y b x c y b x c y +=-⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式
223
3
b c b c =
7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)
T T
t t αβ=+=+--
8. 如果(1,1,1)T α=-是实方阵A 的一个特征向量，则2
23A E -必有一个特征向量等于
9.
如果13
13a ⎛⎫ ⎪
⎪⎪-⎪⎭
是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
的正惯性指数与负惯性指数之和是
二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。将正确答案的字母填入括号内。
1. 如果n 阶实矩阵A 满足3
0A =，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】
（A ）A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +不可逆，但A E -可逆 （C ）A E +、A E -都可逆 （D ）A E +、A E -都不可逆
2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向
量组1234,,,,ααααβ 【 】 (A) 一定线性相关 （B ） 一定线性无关 （C ） 可能线性相关，也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】 （A ） 当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。 （B ） 当线性方程组b AX =有无穷多组解时，行列式0A =。 （C ） 当行列式0A =时，线性方程组b AX =无解。
（D ） 当线性方程组b AX =有唯一解时，行列式0A ≠ 。
4. 矩阵 111111111--⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和
200010002⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
的关系是 【 】 （A ） 相似但不等价 （B ） 相似而且等价 （C ） 不相似但等价 （D ） 既不相似也不等价
5. 实矩阵220
001
00010A a a ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪+⎝⎭
，则 【 】 （A ） A 能够相似对角化 （B ）A 不能相似对角化 （C ） 无确定结论 （D ）前三个选项都不正确
三.（10分）设实矩阵
a b c d b a d c M c d a b d
c b
a ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
，（1）计算T
MM ；（2）计算行列式M 。
四.（10分） 将可逆矩阵121001010-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
分解成初等矩阵乘积的形式。
五.（10分）参数b 取何值时，线性方程组
12341231
2344695233574
x x x x x x x b
x x x x -+-=-⎧⎪
++=⎨⎪-+-+=⎩ 有解？有解时,求出方程组的通解（向量形式）。
六.（10分）设矩阵
111
111
111
A
--
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪
--
⎝⎭
。求可逆矩阵P，使得1
P AP
-为对角矩阵；并
写出相应的对角矩阵。
七 （10分）设向量组
1234(1,1,1,1),(2,0,2,1),(0,1,0,1),(3,3,3,2)T T T T αααα=-=-=--=-- 。
（1）求该向量组的一个极大线性无关组。 （2）把其余向量用该极大线性无关组线性表出。
八 （5分） 设A 是实m n ⨯型矩阵，β是m 维列向量。证明： 方程组 T T
A AX A β=
总是有解的。（提示：秩()()T
r A A r A =）
线性代数考题及答案A
2005级线性代数考试试题 院系_____________________；学号__________________；姓名___________________ 一、单项选择题（每小题2分，共40分）。 1．设矩阵???? ? ?????=??????=??????=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】 A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB 2.设n 阶方阵A 满足A 2 –E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】 A. A=A -1 B.A=-E C. A=E D.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)= 2 1 ,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.1 4.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】 A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a + 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7．设a 为n m ?矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案 好东西 第一部分选择题(共28分） 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。 1.设行列式=m,=n，则行列式等于（） A. m+n B. -（m+n） C. n-m D. m—n 2。设矩阵A=，则A—1等于( ） A. B。 C。 D. 3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A＊中位于(1，2)的元素是( ) A. –6 B. 6 C. 2 D。–2 4。设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A。A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. ｜A｜0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T）等于（) A。1 B。2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-β）=0 s D.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsα =0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 s 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r—1阶子式都不为0 B。所有r—1阶子式全为0 C。至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0 8。设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解,则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解 C。η1—η2是Ax=0的一个解D。2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（) A。秩（A） 线性代数试题集与答案解析 二、判断题(判断正误，共5道小题) 9.设A?,B 是同阶方阵，则AB=BA 。 你选择的答案：未选择[错误] 正确答案：说法错误 解答参考： 10. n维向量组{ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关，则{ α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关。 你选择的答案：未选择[错误] 正确答案：说法错误 解答参考： 11.若方程组Ax=0 有非零解，则方程组Ax=b 一定有无穷多解。 你选择的答案：未选择[错误] 正确答案：说法错误 解答参考： 12.若A?,B 均为n阶方阵，则当| A |>| B | 时，A?,B 一定不相似。 你选择的答案：未选择[错误] 正确答案：说法正确 解答参考：相似矩阵行列式值相同 13.设A是m×n 阶矩阵且线性方程组Ax=b 有惟一解，则m≥n 。 你选择的答案：未选择[错误] 正确答案：说法正确 解答参考： （注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交 客观题答案。) 三、主观题(共12道小题) 14.设A是m×n 矩阵, B是p×m 矩阵，则A T B T 是×阶矩阵。 参考答案：A T B T是n×p 阶矩阵。 15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。 参考答案：m>n时向量组一定线性相关 16. 参考答案： a=6 (R( A )=2?| A |=0) 1 7. _________________。 参考答案：( 1 2 3 4 ) T+k ( 2 0 ?2 ?4 ) T。因为R ( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为 η 2+ η 3 ?2 η 1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一 个特解之和即得。 1 8. 时方程组有唯一解。 参考答案：当a=?2 时方程组无解，当a=1 时方程组有无穷多个解，当a≠1,?2 时方程组有唯一解。 19. 参考答案：24 20. 线性代数试题（完整试题与详细答案） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．行列式 1 1 1 101111011110 ------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 2．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ． 3 4 D ．2 3．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B A D ．11--A B 4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1 *)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d c b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d C ．⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--a c b d D ．⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛d c b a 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ） A ．n r =)(A B ．m r =)(A C ．n r <)(A D ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．． 初等矩阵的为（ ） 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3 232 111 12)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 1111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 《线性代数》章节测试题与答案 线性方程组的基本概念 1.【单选题】 下列方程组哪个是相容的()。 答案：C 2.【单选题】 下列方程组哪个是线性方程组()。 答案：B 3.【判断题】 两个方程组等价,如果它们有相同的解或无解。() 答案：√ 高斯消元法与阶梯型 1.【单选题】 下列方程组哪个是阶梯型的()。 2.【单选题】 答案： 3.【判断题】 齐次线性方程组的常数项为0。() 答案：√ 线性方程组的等价与初等变换.【单选题】答案： 2.【单选题】 答案： 3.【判断题】 初等变换改变方程组的解() 答案：× 矩阵 1.【单选题】 2.【单选题】 下列哪个方程组当a取任何值时都有解()。答案：B 3.【判断题】 答案：√ 齐次线性方程组.【单选题】 下列哪个方程组是齐次线性方程组()。 答案：C 2.【单选题】 答案：A 3.【判断题】 通过初等变换矩阵可以化为阶梯型。() 答案：√ 二阶行列式 1.【单选题】 A、-1 B、1 C、0 D、2 答案：A 2.【单选题】答案：C 3.【判断题】答案：√ 4.【判断题】答案：√ 三阶行列式 1.【单选题】 A、-70 B、-63 C、70 D、82 答案： 2.【单选题】答案：C 3.【判断题】答案：√ 集合的基本概念 1.【单选题】 A、3 B、8 C、4 D、2 答案：B 2.【单选题】 答案：B 3.【判断题】 空集是任何集合的子集。() 答案：√ 集合之间的运算 1.【单选题】 答案：D 2.【单选题】 A、1 B、2 C、3 D、4 答案：A 3.【判断题】 线性代数期末考试试题及答案 线性代数期末考试试题及答案 线性代数是一门重要的数学课程，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。期末考试是对学生对于线性代数知识的综合考察，下面将给出一些线性代数期末考试试题及答案，供大家参考。 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行列式值为0，则A的秩为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C 2. 设A是一个3×3矩阵，若A的特征值为1，2，3，则A的特征向量个数为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：D 3. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的零空间的维数为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B 4. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的列向量组是否线性无关？ A. 是 B. 否 答案：A 5. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的列向量组是否线性相关？ A. 是 B. 否 答案：A 6. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C 7. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，2，则A的特征向量个数为： A. 0 B. 1 C. 2 答案：C 8. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，1，则A的特征向量个数为： A. 0 B. 1 C. 2 答案：B 9. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为1，则A的零空间的维数为： A. 0 B. 1 C. 2 答案：B 10. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为： A. 0 B. 1 C. 2 答案：C 二、填空题（每题3分，共30分） 1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的秩为____。 答案：3 2. 设A是一个3×3矩阵，若A的列向量组线性无关，则A的秩为____。 答案：3 3. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的秩为____。 线性代数考试题库及答案(一) 1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练 第一章行列式的格式正确版本： 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) . 2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1 的逆序数是(B) n-k。 3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。项。 4.1/1 = (D) 2. 5.1/(-1) = (B) -1. 6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0. 7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 = 2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32. 8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (- k^2)a。 9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的 余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3. 10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2. 11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1. 12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。(B) -2. 二、填空题 1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。 2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。 改写后的文章： 线性代数考试题库及答案 第一部分专项同步练 第一章行列式 一、单项选择题 《线性代数》练习测试题库 一.选择题 1、=-0 0000 000 00 1 21 n n a a a a （ B ） A. n n a a a 21)1(- B. n n a a a 211)1(+- C. n a a a 21 2、n 阶行列式 0000 00 00 00 a a a a = （ B ） A.n a B. (1)2 (1) n n n a -- C. (1)n n a - 3、 n 21 ＝ （ B ） A. (1)!n n - B. (1)2 (1) !n n n -- C. 1(1)!n n +- 4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ） . A. ()m l ml A A = B. m l m l A A A +⋅= C. m m m B A AB =) ( 5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵 6、下面不一定为方阵的是 （C ） A.对称矩阵. B.可逆矩阵. C. 线性方程组的系数矩阵. 7、 ⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ （其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ） A. 1100A B --⎡⎤ ⎢ ⎥⎣⎦ B. 00B A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1 100B A --⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ） A.()()r A r A b A ==的列数 B.()()r A r A b = . C.()()r A r A b A ==的行数 10、线性方程组 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=++=++=++23213213211 a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ） A. 2,1-≠a B. 21-==a a 或. C. 1≠a 11、 的是 则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ） A. 0， ，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ） A. A T 也为正交矩阵. B. A -1也为正交矩阵. C. 总有 1A =- 13、二次型()2 33221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021 B 、⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡---000 003200201001 1 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ） A. q p r -=； B. q p r +=； C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ） A. 21321),,(x x x x x f = B.2 3 22213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f += 二、判断题 1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ） 2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。 （ ⨯ ） 3、A 是3×2矩阵，B 是2×3矩阵，则A 与B ，B 与A 都可以相乘。 （ ∨ ） 4、A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，则AB 是s m ⨯矩阵。 (∨ ） 5、设A 、B 是同阶方阵，则555()AB A B = （ ⨯ ） 6、设A 、B 是同阶方阵，则由AB O =，可得到 .A O B O ==或 （ ⨯ ） 7、设A 、B 是同阶可逆方阵，则⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡---00 00111 B A B A （ ⨯ ） 线性代数考试练习题带答案 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1A -= 8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。 北京工业大学2007-2008学年第二学期期末 线性代数(工) 课程试卷（A ） 考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写） 一. 填空题（每小题3分，共30 分）. 1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1 ()A E --= 3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，* A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -= 4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足12 2 123 12 3αβαββαββ= ⎧⎪ =-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于 （写出具体数值） 5. 如果21 11 1 013 9 p p =-，而且0p >，则p = 6. 如果实系数方程组11223 31 00 b x c y b x c y b x c y +=-⎧⎪ +=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式 223 3 b c b c = 7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2) T T t t αβ=+=+-- 8. 如果(1,1,1)T α=-是实方阵A 的一个特征向量，则2 23A E -必有一个特征向量等于 9. 如果13 13a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎪⎭ 是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ - ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 的正惯性指数与负惯性指数之和是 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。将正确答案的字母填入括号内。 1. 如果n 阶实矩阵A 满足3 0A =，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】 （A ）A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +不可逆，但A E -可逆 （C ）A E +、A E -都可逆 （D ）A E +、A E -都不可逆 2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向 量组1234,,,,ααααβ 【 】 (A) 一定线性相关 （B ） 一定线性无关 （C ） 可能线性相关，也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】 （A ） 当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。 （B ） 当线性方程组b AX =有无穷多组解时，行列式0A =。 （C ） 当行列式0A =时，线性方程组b AX =无解。 （D ） 当线性方程组b AX =有唯一解时，行列式0A ≠ 。 4. 矩阵 111111111--⎛⎫ ⎪ -- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和 200010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 的关系是 【 】 （A ） 相似但不等价 （B ） 相似而且等价 （C ） 不相似但等价 （D ） 既不相似也不等价 5. 实矩阵220 001 00010A a a ⎛⎫ ⎪ =+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ，则 【 】 （A ） A 能够相似对角化 （B ）A 不能相似对角化 （C ） 无确定结论 （D ）前三个选项都不正确 [高等教育]北工大线性代数课习题答案王中良教辅 [高等教育]北工大线性代数课习题答案王中良教辅 北工大线性代数习题解答王中良版 线性代数习题解答 习题一 1 计算下列行列式。 (1) 4 273-=12+14=26 (2) 213132321= (3) 00)1(0000003z y z x y x z y z x y x z y z x y x ----=---=---0=∴D (4) 31221331222113 12110 0a a a a a a a a a -= 2．解三元线性方程组： =-+-=-+-=+-0 13222321321321x x x x x x x x x 解： 50 1 1 1122 21 ,101 1 312 121,51 10311122,51432611 1 1312 121321-=---=-=----=-=----=-=+-++--=----=D D D D 11=∴x , 22 =x , 13=x . 3. 求下列排列的逆序数，并指出奇偶性。(1) 354612 解：τ=4+4+1=9 奇排列 （2）7563421 解：τ+6+5+3+3+1+1=19 奇排列(3) 345…n21 τ=n-1+n-2=2n-3 奇排列（4）(n-1)(n-2)…21n τ=(n-2)+(n-3)+…+1=)( 当n=4m 时，排列为奇排列；当n=4m+1时，排列为偶排列；当n=4m+2时，排列为偶排列；当n=4m+3时，排列为奇排列。4．求i 、j 使 （1）2i68j431为奇排列解：i=5, j=7. (2) 162i54j8 为偶排列解：i=7 , j=3. 5．在5阶行列式中，下列各项的前面应带什麽符号？ (1) a a a a 312413 55 42a 解：因为τ（34125）=2+2=4，所以此项前面的符号为“+”。 (2) 53 一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效） 1. 100121201224680011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2. 记 121113231 5 4 9 17827 ----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若 23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a = 3. 在行列式22 3121 x x x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是 4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若 记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1P AP -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （写出具体的矩阵）. 5. 若32⨯型、23⨯型实矩阵,A B 满足112211817AB ⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，则,A B 的秩之和 ()()R A R B += 6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非 零解，则行列式*12A A E -++= 7. 若12,, ,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的解空间中 的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是 8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组 12{,}ββ满足1122123 12325αββαββαββ =-⎧⎪ =+⎨⎪=-⎩ ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是 9. 方程1 23 4 26801 1 1x x x +-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解， T A Q Q =，则A 的特征值 0（填“,,><=”之一）. 二（10分）. 计算行列式01523 1 3110 1 8 3810113132510 D ----=------（要求出具体数值）. 三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ -=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 四（10分）.a 取何值时，线性方程组123412341 23422320574x x x x x x x x x x x x a -++=⎧⎪ +-+=⎨⎪-+-=⎩ 有解？ 有解时，写出其通解. 五（12分）. 已知288828882A ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ . 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP - 是对角矩阵；并求出这一对角矩阵. 线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分,共25分） 1。 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________. 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵. 4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、选择题 （每小题5分，共25分） 6．已知二次型3231212 322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定？（ ） A.054<<- t B 。5 4 54<<-t C.540< C. 14322+=+=-z y x D 。2 4322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=1513A ，其特征值为( ） A 。4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分,共50分） 11。设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=B ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=200012003120 4312 C 且矩阵X 满足关系式 E X B C T =-)(， 求X 。 12.问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211 ,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 。 13. λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧-=++-=++-=++2 23 321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时 求其通解。 14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 15。证明：若A 是n 阶方阵，且，I AA =T ， 1-=A 证明 0=+I A .其中I 为单位矩阵 线性代数期末考试题答案 一、填空题 1。 5. 优选 word 文档下载可编写 工程数学线性代数试题及答案 卷面总分： 100 分答题时间： 60 分钟试卷题量： 30 题一、单项选择题（共15题，共30分） 题目 1： 某人打靶 3 发，事件 Ai 表示“击中i 发”， i=0,1,2, 题目 3：那么事件 A=A1 ∪A2 ∪ A3 表示 A.所有击中 B.起码有一发击中 C.必定击中 D.击中 3 发 正确答案： B 题目 2： 关于随意两个随机变量X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y) ，则有 A.X 和 Y独立 B.X 和 Y 不独立 C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.D(XY)=D(X)D(Y) 正确答案： C 题目 3： 以下各函数中能够作为某个随机变量的概率密度函数的是 A. B. C. D. 正确答案： D 题目 4： 设随机变量 X～ N(u,4 2),Y～N(u,5 2),P1=P{X ≤u-4},P2=P{Y ≥u+5}, 则有 A. 关于随意的u,P1=P2 B.关于随意的u , P1 < P2 C.只对个其他u ，才有P1=P2 D.关于随意的u , P1 > P2 正确答案： A 题目 5： 设 X 为随机变量，其方差存在， c 为随意非零常数，则以下等式中正确的选项是 A.D(X+c)=D(X) B.D(X+c)=D(X)+c C. D(X-c)=D(X)-c D.D(cX)=cD(X) 正确答案： A 题目 6： 设 c 为从原点沿y2=x 至 1+i 的弧段，则 A. B. C. D. 正确答案： D 题目 7： 设 c 为不经过点 1 与 1 的正向简单闭曲线，则A. B. C.0 D.(A)(B)(C)都有可能 正确答案： D 题目 8： 设:c1 ：|z|为负向， c2:|z|3 正向，则 2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷A 适用专业： 考试日期： 考试时间：120分钟； 考试方式：闭卷； 总分100分 一.填空题( ). 1. 设 , 则 , . 2. 设的列向量组为, 且 , , 则= . 3. 设向量组 线性无关, 且 则向量组 的秩为 . 4. 设, 则 . 5. 3阶方阵的特征值为1, 2, 3, 则 . 6. 二次型 的矩阵为 = . 7. 实对称阵的特征值为2,4, 对应的特征向量分别为 , 则 . 8. 设, 且, 则 , . 二.选择题( ). 1. 设为阶方阵, 则下列结论不成立的是( ) A. 若, 则或 . B. 若 均可逆, 则可逆. C. 若 均为对称阵, 则 为对称阵 D. 若 均为正交阵, 则 为正交阵 2. 行列式 ( ). A. B. C. D. 3. 设矩阵与相似, 则 =( ). A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 4.设 为 的基础解系, 为 的两个不同解, 为任意常数, 则线性方程组 的通解为( ). A. B. C. D. 6. 向量组 线性相关, 则( ) A. B. C. D. 5. 设3阶方阵, 其中为3维列向量, , 则A 的特征值为( ) A. B. C. D. 7. 矩阵为为正定阵, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 若, , 则 ( ) A. 1 B. 2 C . 3 D. 0 9. 设为 的矩阵, , 则非齐次线性方程组 解的情况为( ) A. 一定有唯一解 B. 一定无解 C. 一定有无穷多解 D. 可能有解 10. 设为正交阵, 且 , 则 ( ) A. B. C. A D. –A 三. 计算与证明题 1.(8分) 计算4阶行列式的值 -----------------------------------------------------装-------------------------------------------订-----------------------------------------线----------------------------------------- 院系 专业班级 姓名 学号 线性代数期末考试题库 一、填空题 （1）设A =⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-73 45 32725432 1111,则=+++44434241A A A A 6+2-22+14=0 （2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332 31 2322 21131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=101010001P ， 则P AP=⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ +++++++133312 3213 3311312322232113 121311a a a a a a a a a a a a a a a a （3）设A=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= 1 3)因为rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n ，而本题中rank(AB)=0,rank(A)-2,所以rank （B ）=1 （4）设44⨯矩阵A=[]432,,,γγγα，B=[]432,,,γγγβ其中432,,,,γγγβα均为四维列向量，且已知行列式,1,4==B A 则=+B A ( 40 ) （5）设C B A ,,皆为n 阶矩阵，已知0)det(≠-A I 。若AB I B +=，CA A C +=，则 =-C B E （5）解析： 因为AB I B +=，则B(I-A)=I ，所以(I-A)=B -1。 又CA A C +=，则C(I-A)=A ，所以有CB -1=A, C=AB, B-C=B-AB=B(I-A)=I; （6）设A 为三阶非零矩阵，⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=a B 11213112，且O AB T =)(，则=a 0 （6）解析：(AB)T =O ，即为AB=O,说明A 有非零解B ，说明rank(A)=rank(A|B)<3; 当a 不等于0时，rank(B)=3,此时rank(A|B)=3,所以只有a=0，rank(A|B)<3。 （7）设三阶方阵A =[21,,γγα] ，B=[β21,,γγ]其中21,,,γγβα均为三维列向量，且已知det A =3， det B=4,则det(5A -2B )= 63 (8)已知齐次线性方程组 一、填空题（每小题4分，共24分） 1．设四阶方阵234234(,,,), (,,,)A r r r B r r r αβ==，其中234,,,,r r r αβ均为四维列向量，且 ||4, ||1A B ==-，则|2|A B += 2．n 阶方阵A 满足2330A A E -+=，则1(4)A E -+= 3．向量组 1(1,3,5,1)T α=-，2(2,1,3,4)T α=--，3(5,1,1,7)T α=-和4(7,7,9,1)T α=的一个极大 无关组是 。 4．已知四元线性方程组Ax b =的三个解为123,,ξξξ，且1(1,2,3,4)T ξ=，23(3,5,7,9)T ξξ+=， ()3R A =，则方程组的通解是 。 5．设x z A y x z y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则A = 。 6．设二次型2222f x xy yz z =+-+，则其对应的矩阵A 的正特征值有 个。 二、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若行列式 100 12010001 x x x x x x =，则x =( )。 A ．1； B ．–1; C ．1±; D ．2± 2．设矩阵1112 12122212 n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,0, ,1,2,,i j a b i j n ≠≠=，则()R A 为（ ） A. 1； B ．2； C ．n ； D ．无法确定。 3．向量组1234,,,αααα线性无关，则线性无关的是（ ）。 A ．12233441, , , αααααααα++++； 《 线性代数 》期末考试卷及答案3套线性代数考试练习题带答案(2)
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