电梯调度问题的建模模型(带excel附录)(A)1

郑州大学数学建模论文

题目：电梯调度问题

2011 年8月11日

摘要

本文首先建立一个电梯调度模型评价指标体系，从乘客满意度和公司满意度两个角度考虑评价指标的选取。选取了表征乘客满意度的指标—乘客平均候梯时间与乘客平均乘梯时间；表征公司满意度的指

标—电梯能耗的大小并以电梯的总停靠次数衡量。利用这三个指标来综合评价电梯调度方案的优劣。并采用模糊评价和层次分析[1]的思想，建立了全面合理的电梯调度方案的评价体系。

其次，考究问题是一个排队系统动态优化问题，通过为电梯合理分配楼层，来最大限度地缩短时间、减少电梯能耗。根据题目提供的数据，掌握各个乘客的时间信息记忆楼层信息，利用matlab随机数生成函数模拟出每次运行过程乘客的停靠信息，综合考虑乘客、公司满意度指标设计了如下调度方案：将电梯分为三组，每组两台电梯，分别负责低层、中高层和高层区域。通过计算机仿真模拟得出：方案第一组电梯负责2至9层，第二组负责10至15层，第三组负责16至22层时较优。在第二问中，利用已经建立的评价指标体系，通过将影响总体满意度的各个因素进行融合，得到了电梯调度模型的综合评价体系。利用该方法分别计算模型未改进时、设计方案后的综合满意度，即可衡量出方案的改进程度。结果显示，第一组电梯负责2至9层，第二组负责10至15层，第三组负责16至22层时，乘客候梯时间、乘客乘梯时间和电梯停靠次数均被不同程度地优化，可以将此方案建议给大楼管理者采纳。

最后本文就所建立的模型在实际运用中的作用进行了分析，并提出了改进方向。结合实际，加入重要因素的考虑，比如考虑其他交通流，考虑个别人群满意度。

关键字：调度优化随机函数层次分析法模糊评价

一、问题重述

电梯是高层建筑的主要垂直交通工具，在现代社会中扮演着极其重要的角色。如今在一幢写字楼中，由于每天早晚上下班的时间固定，所以人们乘坐电梯的时间也相对集中，在某些时间段人流相对密集。结果有几部电梯在高峰时段每一层都停下来各上一两位乘客，这样导致乘客的平均等待时间较长，且电梯能耗较大。因此，改善电梯在高峰模式下的调度模式，研究改善当前电梯运行情况的方案，就愈发显示出其重要的现实意义。

商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车厂，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重之和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯时间明显增加。请针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。

1）写出若干合理的模型评价指标。

2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。

表1：该写字楼各层办公人数（见附表1）请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。

3）将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。

二、问题分析

本题建立了一个电梯调度模型，研究在高峰模式下改善电梯调度模式、优化电梯运行情况方案的问题。考虑到优化前的方案在高峰时段每一层都停下来各上一两位乘客，造成了时间的浪费，延长了乘客的等待时间，因此在设计较为优化的调度方案时，应尽量避免每一层都停下来。基于上述原则，结合题目要求与约束条件，考虑到现实生活中的要求，建立了本文调度方案。将这些方案与原有方案进行比较，度量缩短的等待时间，进而判断方案的可取程度。

在第一问中，分析沿行以往电梯运行模式所暴露的弊端：上下班时期电梯拥挤不堪，乘客等候时间漫长，电梯能耗颇大，找到问题的症结。为改良此种现象，需要设计某种电梯调度方案，同时设定合理的评价指标体系比较方案的优劣。

在第二问中，将影响电梯调度模型的各个因素利用层次分析法进行融合，得到总体的满意度评价体系。利用该体系衡量问题一中的方案，即可比较出各方案的改善程度。该部分主要运用MATLAB 进行层次分析以及matlab随机数生成函数。

第三问，为了解决现实的电梯调度问题，针对所作假设加以是实际化，即将乘客同时到达电梯门口改为乘客以泊松分布到达的情况，进而加以运算比较。

三、模型假设

1. 各个乘客均在上班时间之前到达各自楼层，均在下班时间之后开始离开各自的楼层，没有迟到和早退的现象发生；

2. 电梯总能够按照接受的指令正常工作，不会产生物理故障；

3. 乘客进入电梯后，电梯门随即关闭，不考虑人为因素等待的情况；

4. 电梯调动过程中，只考虑直达的交通流，其他形式的交通流不予考虑；

5.进出写字楼工作人员均为正常成人，拥有正常成人体重；

6.六部电梯分组完毕后，于组间独立运行无不干扰；

7.认为2层以上工作人员均以电梯为工具到达所在楼层而非其他途径（如走楼梯）；

8.电梯只以人员为乘坐对象，非运送其他实物为目的；

9.电梯在各层的相应停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯；10．将要到达的乘客虚拟为都已经到达的乘客，上、下班高峰期的电梯优化调度就相当于在所有乘客已经到达情况下地优化调度问题；

11.电梯在上行中不考虑下行情况，下行过程中不考虑上行情况；

12.电梯每次上行均在启动层满载，下行不接客；下行不接客；

四、符号说明

x

:电梯第i次上升到第j层下梯的人数；

ij

t(r):电梯从启动到第r层停止所用的时间(单位为秒)；

b

:各组电梯所负责楼层的最高楼层；

h

b l:各组电梯所负责楼层的最底层；

:每位乘客平均的等待时间(单位为秒)；

T

1

T2:每位乘客平均的乘梯时间(单位为秒)；

Q：电梯总的停靠次数;

f(r)=0或1：0代表电梯于第r层不停靠；1代表电梯于第r层停靠；k:电梯运行的次数；

Y1:乘客对平均候梯时间的满意度；

Y2:乘客对平均乘梯时间的满意度；

Y3:对电梯停靠总次数的满意度；

Y

：未优化时的综合满意度；

Y：优化方案下的综合满意度；

五、电梯群控模型评价指标体系的建立

在电梯的群控模型中，不同的电梯调度方案会产生不同的调度结果。为比较各种调度方法的优劣，有必要建立电梯群控模型的评价指标体系，来比较不同调度方案的不同。影响电梯调度方案好坏的因素有很多，但为简化模型，并结合题目中的具体要求，将“乘客满意度”和表征公司满意度的“电梯的能耗”作为影响电梯调度方案好坏的主要因素。

5.1 乘客满意度评价指标

结合题目的说明以及实际生活中人们对于乘梯的要求，从乘客的角度上讲，为了使乘客的满意度尽可能地大，即乘客尽可能快地到

达目的地，设计电梯调度方案时应该考虑以下影响乘客满意度的主要因素：

◆乘客的平均等待时间要短；T 1

◆乘客的平均乘梯时间要短；T 2

上述各个指标的计算方法如下：

1） 乘客的平均乘梯时间T 2的计算

由0或1变量可以确定电梯的停靠位置及相应的次数，max {}r *f(r)表示一次运行过程电梯完成负责楼层时所停靠的最高楼层；

10*)(∑i

h i l b b r f 表示一次运行过程电梯总的停靠时间；所以可推出 t(r)=∑i h b i l b 3*1)-(R + 10*)(∑i h i

l b b r f ，其中R= max {}r *f(r)。采用电脑随机

模拟乘客停靠位置，同时考虑各层人员数量的硬性限制利用matlab 软件编程求的每次运营的t(r),再利用∑t(r)/∑ij x 计算出

平均乘梯时间T 2。

2）乘客的平均候梯时间T 1的计算：

设候梯大厅的人员变化情况为P k =P 0-40*k ,一次运行结束等候的总

时间为P k *[])1(3)(-+R r t 。将上一步运算结果t(r)带入

P k *[])1(3)(-+R r t ，累加计算总的等候时间为∑K 11P

K W ,其中W k p =

P k *[])1(3)(-+R r t ，故此T 1=∑K

11P K W /∑k P

5.2 电梯能源消耗评价指标

现实生活中，衡量一个电梯的能耗要综合考虑多种因素，如电梯的

加速与减速过程、电梯运行的路程、电梯能量转化效率等等。如将这些因素全部考虑，往往会使所建立的模型过于复杂，不能得到影响能耗的主要矛盾。基于上述考虑，并且由于题目中没有给出关于能耗的具体要求，故把电梯整个运行过程（包含上升和下降）中的停靠次数作为衡量电梯能耗大小的指标。为使电梯能耗尽可能地低，应尽量使电梯上升与下降过程中的总的停靠次数尽可能地短;电梯

停靠总次数的计算方法如下：

Q=∑3

1∑i l

i l

b

b

r

f)

(

5.3 运用层次分析法计算各个指标的权重

利用归一化原则与模糊分析的方法,将以上各个指标分别量化到以0～1为范围的满意度函数。

◆乘客平均候梯时间T1

由于乘客满意度Y1与T1负相关，我们建立Z 型隶属度函数[2]来反映二者之间的关系：

满意度Y1与T1的函数图像如下:

由图可知，根据电梯的实际运行情况，我们规定：当T1=178.5时，满意度为0,；当T1=76.57时，满意度为1。

◆乘客的平均乘梯时间T2

由于乘客满意度Y2与T2负相关，我们建立Z 型隶属度函数来反映二者之间的关系。

满意度Y2与T2的函数图像如下:

由图可知，根据电梯的实际运行情况，我们规定：当T2=3.51时，满意度为0；当T2=0.94时，满意度为1。

◆电梯停靠总次数Q

根据实际生活情况可知，电梯的停靠次数越大，则电梯群控系统的运载效率越低，耗能会相应增加Q。因此，可以认为对电梯停靠总次数的满意度Y3与Q负相关。由此，利用Z 型隶属度函数来反映二者之间的关系。

对电梯停靠总次数的满意度Y3与Q之间的函数图像：

由图可知，根据电梯的运行情况，我们规定：Q=2407时，满意度为0；Q=115时，满意度为1。

5.4 综合评价指标体系的建立

对上述每个分立指标进行归一化处理后，我们考虑构造一个综合指标来反映该体系总体的优劣程度，构造的模型如下：Y=321Y Y Y γβα++（1=++γβα）

◆构造两两比较矩阵

要比较的因素为乘客的平均候梯时间T 1，乘客的平均乘梯时间T 2，电梯的总停靠次数Q 。根据以上三个因素对电梯运行安排合理性的影响，确定其重要程度，每次选取两个因素进行比较，则判别矩

阵a ij =1

7/13/17

153

5/11 ;按列归一后得矩阵b ij =11/147/519/111/747/3519/1511/347/719/3

按行求和得v ij =25.017.258.0.一致性检验通过得权重系数矩阵w i =084

.0723.0193

.0,

即084.0;723.0;193.0===γβα也即

Y=3

21084.0723.0193.0Y Y Y ++（1=++γβα）

六、模型的求解

6.1 乘客满意度评价指标的求解 ◆乘客的平均等待时间：1 T 组别 时间 T 1（s ）

第一工作区（1,2电梯负责2—9层） 96.8031

第二工作区（3，4电梯负责10—15层） 128.7071

第三工作区（5,6电梯负责16—22层）

171.1268 故1 T =（96.8031+128.7071+171.1268）/3=132.212(s)

◆乘客的平均乘梯时间： 2T 组别 时间 T 2（s ）

第一工作区（1,2电梯负责2—9层） 1.8008

第二工作区（3，4电梯负责10—15层） 2.0969

第三工作区（5,6电梯负责16—22层）

2.6177 故2T =（1.8008+2.0969+2.6177）/3=2.1718(s)

6.2电梯能源消耗评价指标的求解

◆电梯停靠总次数Q

Q=∑3

1∑i l

i l

b

b

r

f)

(

=195+157+155

=507

6.3 Y1、Y2、Y3满意度求解

根据Y1与T

1

、Y2与T2、Y3与Q的z型隶属度函数图象分别得出本方案下的满意度分别为：0.4125、0.3247、0.9414。进而得出综合满意度Y=0.193*0.4124+0.723*0.3247+0.084*0.9414=0.3964，同理，根据

未优化时的数据可得其综合满意度Y

=0.1011。

七、模型的评价

大体来看，本文提出的调度方案能够解决该商业中心早晚高峰期电梯拥挤，乘客等待时间漫长的问题。采用本方案，对比未优化时的各项指标，具体如表：

在保证乘客满意度的前提下，尽量使电梯的能耗最小化，实现个人及企业效益的最优。在方法上，本模型并未局限于排队系统优化模型中的M/M/6,而是将要到达的乘客虚拟为都已经到达的乘客，上、下班高峰期的电梯优化调度就相当于在所有乘客已经到达情况下地优化调度问题，大大的简化了模型。采用matlab 随机数生成函数模拟出乘客停靠信息，合理简便的计算出乘客的平均等待时间、平均候梯时间，便于模型结果的相互比较。但是模型的建立在假设方面存在着某些局限性，如，在楼层较低时，会有大多乘客采用步行的方式。另外，在模拟乘客停靠信息时，由于时间的局促、数据源的不足，模拟次数的限制可能使模型结果与实际有一定出入，需加以改进。再者该模型主要针对上班高峰期的情况进行量化分析，假定了下班高峰期的情况符号

评价指标 未优化市时的综合满意度 未优化满意度 未优化时的时间 优化方案下的综合满意度 优化后满意度 优化后时间 T 1 平均每人

等待时间

0.1011 0.1229 153.4（秒） 0.3964 0.4125s （秒） 132.2 T 2 平均每人

乘梯时间

0.01886 2.80（秒） 0.3247（秒） 2.17 Q 电梯停靠

总次数 0.7592 914（次）

0.9414（次） 507

与上班高峰期情况相近，进行了简化处理。

八、模型的改进

通过对实际情况的审视，可以对模型进行相应的约束改进。在假设中，我们不考虑乘客的步行需求，但在电梯数量容量有限的条件下，为了节约宝贵时间，选择步行方式有其合理性。因此，可以在本模型的基础之上，通过相应的问卷调查确定楼层上班人员有步行意愿的比例，缩小不同组别电梯服务人员的数量；此外，将乘客同时到达电梯门口的假设改为乘客以泊松分布到达的情况，确定乘客的到达时间，相应计算出乘客的平均等候时间，平均乘梯时间，将模型进一步合理化。

九、参考文献

[1]《网络层次分析法与决策科学》，孙宏才，田平，王廉芬编著，国防工业出版社出版，2011

[2] https://www.360docs.net/doc/f13710367.html,/view/e9e7af07e87101f69e3195a7.html

附录一：原始数据表1

附录二：未优化时的计算机模拟数据

附录三：优化方案下的模拟数据及计算结果数据（第一、二、三分区数据统计）

附录四：满意度分析数据表

附录五：matlab源程序代码