电磁感应压轴题(5法突破)(解析版)

电磁感应是高中物理的重要知识板块，对于简单的电磁感应问题，一般可直接利用法拉第电磁感应定律和楞次定律及其相关知识解答。而对于比较复杂的电磁感应问题，运用以下五种物理思想方法，可快速破解，事半功倍。 一、等效法

在电磁感应中，闭合电路中的一部分导体做切割磁感线运动将产生感应电动势，对于一些弯曲导体在磁场中做切割磁感线运动，我们可以把弯曲导体等效为沿垂直运动方向的直导体。对于正弦式感应电流，可以用有效值计算产生的热量。涉及最大功率的问题，有的需要找出等效电路和等效电源。

[例1] 如图所示，da 、bc 为相距为L 的平行导轨(导轨电阻不计)。a 、b 间连接一个定值电阻，阻值为R 。长直金属杆MN 可以按任意角θ架在平行导轨上，并以速度v 匀速滑动(平移)，v 的方向与

da 平行，杆MN 每单位长度的阻值也为R 。整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，方向垂

直纸面向里。求：

(1)定值电阻上消耗的电功率最大时，θ的值；

(2)杆MN 上消耗的电功率最大时，θ的值。(要求写出推导过程)

[方法导入] 长直金属杆可以按任意角θ架在平行导轨上，利用等效法可将其等效为长为L 的金属杆切割磁感线。计算杆MN 上消耗的最大电功率时，可以把定值电阻等效为电源内阻，把杆MN 接入电路的电阻等效为可变化的外电阻。

[解析] (1)无论θ角多大，感应电动势E ＝BL v 不变

根据P ＝I 2R 可知，总电流越大，定值电阻上消耗的电功率越大。

由闭合电路欧姆定律，MN 接入电路的电阻(相当于电源内阻)越小，电流越大，定值电阻上消耗的电

功率越大。即θ＝π2

时，定值电阻上消耗的电功率最大。 (2)法一：令MN 接入电路的电阻为r ，则有r ＝L sin θ R 由P MN ＝I 2r 和I ＝BL v R ＋r

可得 P MN ＝? ?????BL v LR sin θ＋R 2·LR sin θ 化简得P MN ＝B 2L 3v 2R ???

?L 2sin θ＋sin θ＋2L θ∈????0，π2，由均值不等式可知L 2sin θ

＋sin θ＋2L ≥4L ，当且仅当sin θ＝L ，即θ＝arcsin L 时等号成立，此时0＜L ≤1 m 。

若0

若L ＞1 m ，当θ＝π2

时，MN 上消耗的功率最大。 法二：可将定值电阻视为电源内阻，将MN 接入电路的电阻视为外电阻，这样就变成了E 恒定、内阻不变的等效电路。

若0＜L ≤1 m ，当θ＝arcsin L 时，内外电阻相等，MN 上消耗的功率最大；

若L ＞1 m ，当θ＝π2时，MN 上消耗的功率最大。

二、能量守恒法

在电磁感应现象中，安培力做正功，电能转化为其他形式的能；克服安培力做功，其他形式的能转化为电能。若产生的感应电流是恒定的，则可以利用焦耳定律计算电阻中产生的焦耳热；若产生的感应电流

是变化的，则可以利用能量守恒定律计算电阻中产生的焦耳热。

[例2]如图所示，位于竖直平面内的正方形平面导线框abcd ，边长为L ＝0.10 m ，线框质量为m ＝0.1 kg ，电阻为R ＝0.5 Ω，其下方有一匀强磁场区域，该区域上、下两边界之间的距离为H (H ＞L )，磁场的磁感应强度B ＝5 T ，方向与线框平面垂直。令线框从距离磁场上边界h ＝0.3 m 处自由下落，已知线框的ab 边进入磁场后，cd 边到达上边界之前线框已经达到匀速运动状态，取g ＝10 m/s 2，求：

(1)线框在匀速运动状态时的速度大小；

(2)从线框开始下落到ab 边刚刚到达下边界的过程中，线框中产生的热量。

[方法导入] 从线框开始下落到cd 边刚刚到达上边界的过程中，线框的ab 边切割磁感线产生感应电流，线框中产生焦耳热。由于电流是变化的，不能运用焦耳定律求解焦耳热，但可以利用能量守恒定律求解。

[解析] (1)线框处于匀速运动状态时受力平衡，mg ＝BIL I ＝E R ，E ＝BL v 联立解得v ＝mgR B 2L

2 代入相关数据得v ＝2 m/s 。

(2)线框全部进入磁场后，磁通量不变，不产生感应电流，线框不受安培力作用。因此只需考虑从线框开始下落到cd 边刚刚到达上边界的过程，由能量守恒定律得：线框损失的机械能等于线框中产生的热量，

有Q ＝mg (L ＋h )－12

m v 2 代入相关数据得Q ＝0.2 J 。 [答案] (1)2 m/s (2)0.2 J

三、极限法

极限法一般适用于定性分析类选择题。在电磁感应中，经常出现一些定性分析类问题，可以采用极限法，例如假设速度很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)、假设边长很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)，或假设电阻很大(趋近于无限大)或很小(趋近于零)等，快速分析。

[例3] [多选]如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场有理想边界，用力将矩形线圈从有边界的磁场中匀速拉出，在其他条件不变的情况下，下列说法正确的是( )

A ．速度越大，拉力做功越多

B ．线圈边长L 1越大，拉力做功越多

C ．线圈边长L 2越大，拉力做功越多

D ．线圈电阻越大，拉力做功越多

[方法导入] 此题属于定性分析类选择题，可采用极限法分析。将速度、线圈边长、线圈电阻的值推向极限，进行分析。

[解析] 假设线圈的速度非常小，趋近于零，根据E ＝BL v ，线圈中产生的感应电动势趋近于零，安培力趋近于零，拉力做功趋近于零，由此可知，速度越大，拉力做功越多，选项A 正确。假设线圈边长L 1非常小，趋近于零，根据E ＝BL v ，线圈中产生的感应电动势趋近于零，拉力做功趋近于零，由此可知，线圈边长L 1越大，拉力做功越多，选项B 正确。假设线圈边长L 2非常小，趋近于零，根据功的定义式，W ＝FL 2，拉力做功趋近于零，由此可知，线圈边长L 2越大，拉力做功越多，选项C 正确。假设线圈电阻非常大，趋近于无限大，则线圈中产生的感应电流趋近于零，线圈所受安培力趋近于零，匀速拉线圈的拉力趋近于零，由此可知，线圈电阻越大，拉力做功越少，选项D 错误。

[答案] ABC 四、隔离法和整体法

隔离法是隔离某一研究对象，分析其受力，利用相关知识列方程解题的方法。在电磁感应问题中，对于相互联系、相互制约的物体，若需要研究它们各自的受力情况或运动情况，可以采用隔离法进行研究。,整体法以系统为研究对象，是从整体和全过程把握物理现象的本质和规律的方法。例如在电磁感应问题中，

若存在相互制约或相互联系的导体棒，在不需要知道它们各自的状态时，可以运用整体法进行研究。

[例4] 如图所示，平行光滑轨道由两段1/4圆弧轨道和一段足够长的水平轨道组成，轨道相距L ，水平轨道处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。左侧1/4圆弧轨道半径为R ，最高处有一质量为M 、电阻为R 0的金属棒；右侧1/4圆弧轨道半径为r ，最高处有一质量为m 、电阻为r 0的金属棒；已知R ＞r ，轨道电阻不计。现释放左、右两金属棒，使两金属棒同时进入水平轨道的匀强磁场中。最后两金属棒以相同大小的速度v 匀速运动。求：

(1)金属棒刚进入匀强磁场时，金属棒中的电流大小；

(2)从金属棒被释放到以相同大小的速度v 运动的过程中产生的热量。

[方法导入] 求刚进入匀强磁场时金属棒中的电流大小，可分别分析两侧金属棒的速度和产生的感应电动势，再运用闭合电路欧姆定律及其相关知识得出电流大小。

两个金属棒既有沿圆弧轨道下滑的过程，又有切割磁感线产生感应电流的过程，两个金属棒切割磁感线运动产生的感应电流不是恒定值，不能分别计算产生的热量，只能采用整体法考虑，运用能量守恒定律解答。

[解析] (1)对左侧金属棒，由机械能守恒定律得MgR ＝12

M v 12 解得左侧金属棒进入匀强磁场时的速度大小v 1＝2gR

产生的感应电动势E 1＝BL v 1＝BL 2gR 对右侧金属棒，由机械能守恒定律得mgr ＝12

m v 22 右侧金属棒进入匀强磁场时的速度大小v 2＝2gr 产生的感应电动势E 2＝BL v 2＝BL 2gr

金属棒中的电流大小 I ＝E 1＋E 2R 0＋r 0＝BL R 0＋r 0

(2gR ＋2gr )。 (2)金属棒进入匀强磁场后做减速直线运动，金属棒中电流逐渐减小，不能运用焦耳定律计算产生的热量。考虑整个过程，对两侧金属棒整体，由能量守恒定律得，从金属棒被释放到最后以相同大小的速度v 运动

的过程中产生的热量Q ＝MgR ＋mgr －12

(m ＋M )v 2。 [答案] (1)BL R 0＋r 0

(2gR ＋2gr ) (2)MgR ＋mgr －12(m ＋M )v 2 五、微元法

在电磁感应问题中，导体棒由于受到与速度相关的安培力或电路中含有电容器等，导体棒的加速度可能是变化的，一般需要采用微元法进行分析。

[例5]如图1所示，两根间距为L 、竖直固定的光滑金属长直导轨，上端接有一阻值为R 的电阻，整个装置处于磁感应强度大小为B 、方向与导轨平面垂直的匀强磁场中。一根质量为m 的金属棒由静止开始沿导轨竖直

向下运动，当金属棒下落高度h 时，速度达到最大。在运动过程中金属棒与导轨接触良好，重力加速度大小为g ，导轨与金属棒的电阻可忽略不计。

(1)求通过电阻R 的最大电流。

(2)求从金属棒开始运动到速度最大的过程中，金属棒克服安培力所做的功。

(3)若用电容为C 的电容器代替电阻R ，如图2所示。仍将金属棒由静止开始释

放，求经历时间t 金属棒的瞬间速度v 的大小。(电容器两极板间的电压始终未超过

击穿电压)

[方法导入] 利用牛顿第二定律及其相关知识可得出金属棒中电流为i 时的加速度。由于电路中含有电容器，电容器充电过程，电流变化，因此需要运用微元法，列出相关表达式解答。

[解析] (1)通过电阻R 的电流最大时，金属棒的速度最大(此后金属棒做匀速运动)，

由平衡条件得F 安＝mg 而F 安＝BI m L ，解得I m ＝mg BL

。 (2)金属棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝BL v m

根据闭合电路欧姆定律，金属棒中的感应电流I m ＝E R

联立解得金属棒的最大速度v m ＝mgR B 2L

2 对金属棒下落过程，由动能定理有 mgh －W A ＝12m v m 2 解得W A ＝mgh －m 3g 2R 22B 4L

4。 (3)金属棒在重力作用下向下加速运动，切割磁感线产生感应电动势，由于存在电容器，形成充电电流，金属棒要受到安培力的作用，因此金属棒在重力mg 和安培力的合力作用下做加速运动

设某一瞬时金属棒的加速度为a ，由牛顿第二定律得 mg －F ＝ma ，安培力F ＝BiL

式中i 为某一瞬时金属棒中的感应电流，即电容器的充电电流i ＝ΔQ Δt

，ΔQ 是短时间Δt 内电容器的充电电荷量由Q ＝CU 得ΔQ ＝C ΔU ，式中ΔU 是极短时间内电压的增量

电压U 的增量等于产生的感应电动势E 的增量，即ΔU ＝ΔE ＝BL Δv

说明电压的增量取决于速度的增量Δv 根据加速度的定义式a ＝Δv Δt 联立上述各式解得a ＝mg m ＋CB 2L 2

式中m 、g 、C 、B 、L 都是恒量，说明金属棒向下加速运动的加速度恒定不变，即金属棒做匀加速直

线运动，经历时间t 金属棒的瞬时速度v ＝at ＝mgt m ＋CB 2L 2

。 [答案] (1)mg BL (2)mgh －m 3g 2R 22B 4L 4 (3)mgt m ＋CB 2L 2

[提能增分]

1．如图所示，P 、Q 为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距L 1＝0.5 m ，处在竖直向下、磁感应强度大小B 1＝0.5 T 的匀强磁场中。导体杆ef 垂直于P 、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为m ＝0.1 kg 的正方形金属框abcd 置于竖直平面内，其边长为L 2＝0.1 m ，每边电阻均为r ＝0.1 Ω。线框的两顶点a 、b 通过细导线与导轨相连。磁感应强度大小B 2＝1 T 的匀强磁场垂直金属框abcd 向里，金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对a 、b 点的作用力，g 取10 m/s 2，求：

(1)通过ab 边的电流I ab ；

(2)导体杆ef 的运动速度v 。

解析：(1)设通过正方形金属框的总电流为I ，ab 边的电流为I ab ，

dc 边的电流为I dc ，有I ab ＝34I ，I dc ＝14

I 金属框受重力和安培力，处于静止状态，有mg ＝B 2I ab L 2＋B 2I dc L 2

联立解得I ＝10 A ，I ab ＝7.5 A 。

(2)设导体杆切割磁感线产生的电动势为E ，则E ＝B 1L 1v

设ad 、dc 、cb 三边电阻串联后与ab 边电阻并联的总电阻为R ，则R ＝r ×3r r ＋3r ＝34r 根据闭合电路欧姆定律，有I ＝E R ， 解得v ＝3mgr 4B 1B 2L 1L 2＝3×0.1×10×0.14×0.5×1×0.5×0.1

m /s ＝3 m/s 。 答案：(1)7.5 A (2)3 m/s

2．如图所示，间距l ＝0.3 m 的平行金属导轨a 1b 1c 1和a 2b 2c 2分别固定在两个竖直面内。在水平面a 1b 1b 2a 2区域内和倾角θ＝37°的斜面c 1b 1b 2c 2区域内分别有磁感应强度B 1＝0.4 T 、方向竖直向上和B 2＝1 T 、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R ＝0.3 Ω、质量m 1＝0.1 kg 、长为l 的相同导体杆K 、S 、Q 分别放置在导轨上，S 杆的两端固定在b 1、b 2点，K 、Q 杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K 杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m 2＝0.05 kg 的小环。已知小环以a ＝6 m /s 2的加速度沿绳下滑，K 杆保持静止，Q 杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F 作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，

cos 37°＝0.8。求：

(1)小环所受摩擦力的大小；