高中数学选修1-1优质课件13：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)

人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx

B1（0,-b）、B2（0，b）（2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点，两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几何性质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义

人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2椭圆的简单几何性质新.pptx

a
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a

1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125

y2 45
1
或
y2 125

x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距离245，根据题意，点M的轨迹是集合

(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.1.2.1

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由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)

a＝4 2，解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b，由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形等知识．

(新课标)高中数学《2.1.2椭圆的简单几何性质》课件-新人教A版选修1-1

由于题目中没有告诉我们焦点的位置，所求标准方程有两种情况：①焦点在 x 轴上；②焦点在 y 轴上．
第26页，共29页。
[正解] (1)焦点在 x 轴上时，设方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则有aa＋－cc＝＝140，，解得 a＝7，c＝3. 所以 b2＝a2－c2＝72－32＝40. 所以椭圆的标准方程为4x92 ＋4y02 ＝1.
A1(0，－a)、A2(0，a) B1(－b，0)、B2(b，0)
第4页，共29页。
轴长
短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c
对称性对称轴 x轴和y轴，对称中心 (0，0)
离心率
e＝ ac(0＜e＜1)
第5页，共29页。
第14页，共29页。
解 (1)设椭圆的方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋bx22＝1(a>b>0)．由已知得，2a＝10，a＝5.e＝ac＝圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1 或x92＋2y52 ＝1.
第15页，共29页。
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6，2c＝2 5，
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离
心率
e＝ac＝
5 3.
第13页，共29页。
题型二由椭圆的几何性质求标准方程【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是45； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. [思路探索] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数 a，b，c.

高中数学选修1-1优质课件4：2.1.2 椭圆的简单几何性质

椭圆有四个顶点： A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, －b)、B2(0, b)．
椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
讲授新课
3．顶点线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝ a
讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质以焦点在x轴上的椭圆为例
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
讲授新课
1．范围
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
x2 a2
1,
y2 b2
1,
即x2≤a2，y2≤b2，
∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和 y＝±b围成的矩形里．
第二章圆锥曲线与方程
2.1.2 椭圆的简单几何性质
复习引入 1. 椭圆的定义是什么？
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
2. 椭圆的标准方程是什么？
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
讲授新课
2．对称性
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

新课标高中数学人教版选修1-1精品课件-2.1.2椭圆的简单几何性质课件

|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2
或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
椭圆的简单几何性质例 1 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴长 b＝2；
又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－ 3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).
2．1.2 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质． 2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程． 3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
1.椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的几何性质与研究方法
几何性质
从图形上看
从方程上研究
范围位于矩形框内
x∈[_－__a_，__a_]_， y∈[_－__b_，__b_]_
答案：C
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为
A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.
若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
3
2
1
1
A. 2
B. 2
C.3
D.2
解析：如图，由于 BF⊥x 轴，故 xB＝－c，yB＝ba2，设 P(0，t)， ∵A→P＝2P→B， ∴(－a，t)＝2(－c，ba2－t)． ∴a＝2c.∴ac＝12.