专题06 函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通

专题6 函数的奇偶性、周期性与对称性基础知识要夯实1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的周期性（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（4）函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).③若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).（5）对称性的三个常用结论①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.基本技能要落实1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sin xB.y＝x2cos xC.y＝|ln x|D.y＝2－x【答案】B【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(2020·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝x3B.y＝x 14 C.y＝|x| D.y＝|tan x|【答案】C【解析】对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；对于B，y＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.4.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.【答案】12【解析】∵x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.5.(2019·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x ＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.【答案】log2(3－x)【解析】当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x).核心素养要做实考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(2)f(x)＝22,0,,0 x x xx x x⎧+<⎪⎨-+>⎪⎩【解析】(1)由223030xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩得x2＝3，解得x＝，即函数f(x)的定义域为{，从而f(x)0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【思维升华】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.【迁移应用】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12xD.y＝x2＋sin x【答案】D【解析】对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin 2xπ，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.【思维升华】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程. 【迁移应用】(1)(2020·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f 92⎛⎫-⎪⎝⎭＝( ) A.－34B.－14C.14D.34(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 【答案】(1)A (2)6【解析】 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数，∴f 92⎛⎫-⎪⎝⎭＝－f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－f 12⎛⎫⎪⎝⎭， 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，故f 92⎛⎫-⎪⎝⎭＝－f 92⎛⎫⎪⎝⎭＝－12 f 112⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－34.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.考点三 函数性质的综合运用 多维探究角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2020·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A.[－3，3] B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]【答案】B【解析】 因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数.故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.【思维升华】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性. 2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈502⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2B.－18C.18D.－2(2)(2020·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝3π，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( ) A.3π B.23π C.π D.43π 【答案】(1)D (2)B【解析】 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)，∵f (x )是奇函数，且当x ∈502⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f (x )＝x 3－3x ，∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2，故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2). ∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝23π. 答案 (1)D (2)B【思维升华】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【迁移应用】(1)(2020·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f 1ln t ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 【答案】(1)2 (2)1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)＝f1lnt⎛⎫ ⎪⎝⎭，由f(ln t)＋f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.达标检测要扎实1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y＝|log3x|B.y＝x3C.y＝e|x|D.y＝cos |x|【答案】C【解析】对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧<≥+0),(0),1(log 3x x g x x ， 则g (－8)＝( ) A.－2 B.－3C.2D.3【答案】A【解析】法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数， 则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ). 因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0， 故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A.－2 B.2C.－98D.98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数， f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4.(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <b <a C.b <a <cD.b <c <a【答案】C【解析】法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.5.(2020·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是()A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x －1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.6.(2020·石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为()A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<－1或x>1}【答案】A【解析】由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).∴x－1>1或0>x－1>－1，解之得x>2或0<x<1.5．[多选题]对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是()A．若函数f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数C．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数D．若x0是二次函数y＝f(x)的零点，且m＜x0＜n，则f(m)f(n)＜0【答案】AB【解析】对于选项A，若函数f(x)是偶函数，有f(－x)＝f(x)，当x＝2时，有f(－2)＝f(2)，正确；对于选项B，假设函数f(x)是偶函数，必有f(－x)＝f(x)对所有实数均成立，而f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数，正确；对于选项C，当f(－2)＝f(2)＝0时，函数f(x)可能为奇函数，错误；对于选项D，对于二次函数f(x)＝x2，其零点x0＝0，若m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＞0，错误．6．[多选题]函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋3)是奇函数【答案】CD【解析】∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴函数f(x)关于点(1,0)及点(－1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－2－x)＝0，故有f(2－x)＝f(－2－x)，函数f(x)是周期T＝2－(－2)＝4的周期函数，选项C正确；∵f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)是奇函数，选项D正确．故选C、D.a+)为偶函数，则a＝________.6.若函数f(x)＝x ln(x＋2x【答案】1a+)为奇函数，【解析】f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋2x所以ln(x ＋2x a +)＋ln(－x ＋2x a +)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f )25(-＋f (2)＝________.【答案】－2【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f )25(-＝f )21(-＝－f )21(＝－2， ∴f )25(-＋f (2)＝－2. 8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－211x +，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 【答案】)1,31( 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－211x+，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－211x +，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得31＜x ＜1. 13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.【答案】①②【解析】在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧≤-->-1212a a ，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].14.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×)1221(⨯⨯＝4.。