最新2019学年高三第一学期期中考试数学(文科)试卷

高三数学上学期测试题一、单选题1．设函数y=√x−2018的定义域为M，函数y=e x的值域为P，则M∩P= A．(0,+∞)B．[2018,+∞)C．[0,+∞)D．(2018,+∞)2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是A．y=2x B．y=1xC．y=lgx D．y=cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A．n>6? B．n≥7? C．n>8? D．n>9?4．在△ABC中，a＝3√3，b＝3，A＝π3，则C为A．π6B．π4C．π2D．2π35．函数y=A sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2,x∈R）的部分图像如图所示，则函数表达式为A．y=−4sin(π8x−π4)B．y=−4sin(π8x+π4)C．y=4sin(π8x−π4)D．y=4sin(π8x+π4)6．设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数()2222,2{log,2x x xf xx x-+≤=>，若Rx∃∈，使得()254f x m m≤-成立，则实数m的取值范围为A．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x∈R，定义符合函数sgn(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，则下列等式正确的是A．sinx⋅sgn(x)=sin|x|B．sinx⋅sgn(x)=|sinx|C．|sinx|⋅sgn(x)=sin|x|D．sin|x|⋅sgn(x)=|sinx|二、填空题9．i为虚数单位，计算(−3−i)i=_______________。

10．命题“∃x∈(0,+∞)，使得lgx>0成立”的否定是____________。

11．已知向量a=(1,√3),b=(√3,1)，则a与b夹角的大小为_________.12．设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ， 0)处的切线方程为___________．13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有点A(1 ， a)，且cos2α=23，则|a|=___________．14．对于函数f(x)，若存在一个区间A=[a,b]，使得{y|y=f(x),x∈A}=A，则称A为f(x)的一个稳定区间，相应的函数f(x)叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①f(x)=tanπ4x；②f(x)=1−x2；③f(x)=e x−1；④f(x)=ln(x−1)，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

三、解答题15．已知集合A={x|x−5x+1≤0,x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16．已知ΔABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2(B+C)=√3sin2A.（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7,AC=5,求ΔABC的面积S.17．已知函数f(x)=cosx(cosx+√3sinx)。

（I）求f(x)的最小正周期；]时，求函数f(x)的单调递减区间。

（II）当x∈[0,π218．已知实数a≠0，函数f(x)=ax(x−2)2(x∈R).(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有极大值32，求实数a的值.19．已知数列{a n}是公比为1的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．3（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．20．已知函数f(x)=x2lnx−2x．（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(2)−f(1)；（Ⅲ）比较f(1.01)与−2.01的大小，并加以证明．参考答案1．B【解析】【分析】首先求得集合M和集合P，然后求解其交集即可.【详解】求解函数y=√x−2018的定义域可得M=[2018,+∞)，求解函数y=e x的值域可得P=(0,+∞)，则M∩P=[2018,+∞).本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D【解析】【分析】先判断奇偶性，然后再判断单调性【详解】对于A，y=2x不是偶函数，故排除对于B，y=1x不是偶函数，故排除对于C，y=lgx不是偶函数，故排除对于D，y=cosx是偶函数，且在(0，1)内单调递减，符合题意故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，只需按照题意结合概念即可判断，较为基础。

3．C【解析】试题分析：第一次循环，S=1,n=3，不满足条件，循环。

第二次循环，S=1+3=4,n=5，不满足条件，循环。

第三次循环，S=4+5=9,n=7，不满足条件，循环。

第四次循环，S=9+7= 16,n=9，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是n>8，选C考点：程序框图.4．C【解析】【分析】由正弦定理先求出B的值，然后求出结果【详解】在∆ABC中，∵a=3√3,b=3,A=π3∴sin B=b sin Aa=3×√323√3=12∵b<a，则B=π6∴C=π−A−B=π−π3−π6=π2故选C【点睛】本题运用正弦定理解三角形，熟练运用公式即可求出结果，较为简单。

5．B【解析】由图象可知A=−4，T=2×(6+2)=16，∴ω=2π16=π8.∵π8×6+φ=0，∴φ=−3π4，∴y=4sin(π8x−3π4)=−4sin(π8x+π4).本题选择B选项.点睛：已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6．A【解析】试题分析：若∃λ<0，使m=λn，则两向量m,n反向，夹角是180°，那么m⋅n=|m||n|cos180°=−|m||n|<0；若m⋅n<0，那么两向量的夹角为(90°,180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m=λn，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若p⇒q,q≠>p，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，那么p，q互为充要条件；若p≠>q,q≠>p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:x∈A, q:x∈B,若A⊂≠B，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若A=B，那么p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为¬q是¬p条件的判断.7．B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f=,则要考查的不等式转化为：2154m m≤-，解得：114m≤≤，即实数m的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择B选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．8．A【解析】试题分析：x>0时，sinx⋅sgn(x)=sinx，x<0时，sinx⋅sgn(x)=−sinx=sin(−x)，所以sin|x|，A正确．故选A．考点：新定义．9．1−3i【解析】【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】由复数的运算法则可得：(−3−i)i=−3i−i2=1−3i.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.10．∀ x∈(0,+∞),都有 lgx≤0 成立；【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】特称命题的否定为全称命题，则命题“∃ x∈(0,+∞),使得 lgx>0 成立”的否定是“∀ x∈(0,+∞),都有 lgx≤0 成立”.【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．11．30∘.【解析】试题分析：两向量夹角为cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=2√32×2=√32,又两个向量夹角范围是[0,π],所以夹角为π6.【考点】向量数量积与夹角公式【名师点睛】由向量数量积的定义a⋅b=|a|⋅|b|⋅cosθ（为a，b的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.12．y=x【解析】【分析】首先根据奇函数的定义，得到a−1=0，即a=1，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，从而得到a−1=0，即，所以f(x)=x3+x，所以f(0)=0，所以切点坐标是(0,0)，因为f′(x)=3x2+1，所以f′(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x，故答案是y=x.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.13．√55【解析】【分析】根据已知条件先求出cosα的值，再由二倍角公式代入化简，求得结果【详解】由题意可得：cosα=√1+α2cos2α=2cos2α−1=21+α2−1=1−α21+α2=23解得α2=15则|a|=√55故答案为√55【点睛】本题主要考查了二倍角公式的运用，只要表示出已知角的余弦值，运用公式，即可求出结果，本题较为基础。