刚体的运动方程

d 'A = + ω× A dt
dAy dA d ' A dAx ≡ i+ j + z k) ( dt dt dt dt
d'A ⎛d' ⎞ 在运动坐标系中求导 ⎟ ：A在运动坐标系中的改变⎜ ： dt ⎝ dt ⎠
dL d ' L 令A=L ，得： = + ω× L dt dt
又 所以
dL =M dt
a
× Fa 外 = M ——对固定点o的总力矩
⇒
dL =M dt
——对固定点的角动量定理
以质心为坐标原点：(仍在惯性系中)
&& r ma (R 0 + &&a ) = Fa 内 + Fa 外
&& r ma ra × ( R 0 + &&a ) = ra × Fa 内 + ra × Fa 外 && ma ra × R 0 + ma ra × &&a = ra × Fa内 + ra × Fa 外 r
坐标系转动而引起的，故
dA = ω× A dt
一般情况：A相对于运动坐标系改变，说明如下。
K 设： 1、K 分别为静止坐标系和运动坐标系，如图。
现在 K1、K系中分别求矢量 A(t) 随时间的变化率。
i, j, k：K 系中的单位常矢量 i, j, k 对 K1系不是常矢量，即 i = i (t ), j = j(t ), k = k (t )
刚体：特殊的质点组。 考察刚体整体运动：
&& MR 0 = ∑ Fa 外 =
a
R 0 ：质心在静止系中的矢径。 对第a个质点： 其中：
&& ma R a = Fa内 + Fa 外
R a = R 0 + ra
ra ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。
因为：
d & & & && && (R a × R a ) = R a × R a + R a × R a = R a × R a dt
六、欧勒动力学方程 刚体的运动方程为：
t t 而 L = I ⋅ ω 中 I 不是常数，这样要得到M与ω 的
关系很困难。 办法：建立运动坐标系——坐标轴沿三个惯量主 轴方向 此时： L = I 1ω 1e1 + I 2ω 2 e 2 + I 3ω 3 e 3
dL =M dt
(对静止坐标系)
dA 设：矢量A， ：相对静止坐标系的改变量 dt dA 若：A相对于运动坐标系不变，则 仅仅是由于运动 dt
(ω × L)1 = ω2 L3 − ω3 L2 = ω2 I 3ω3 − ω3 I 2ω2 = ( I1 − I 2 )ω2ω3
(ω × L) 2 = ω3 L1 − ω1 L3 = ω3 I1ω1 − ω1 I 3ω3 = ( I1 − I 3 )ω3ω1 (ω × L)3 = ω1 L2 − ω2 L1 = ω1 I 2ω2 − ω2 I1ω1 = ( I 2 − I1 )ω1ω2
&& ma R a = Fa内 + Fa 外
所以：
&& ma R a × R a = R a × Fai + R a × Fae d & ma ( R a × R a ) = R a × Fa内 + R a × Fa 外 dt
N N d 作和： ∑ (R × m R ) = ∑ R × F + ∑ R × F & a a a a a a外 a内 dt a =1 a =1 a =1
三、刚体的动平衡 (见p88，略。)
四、刚体的自由运动
自由运动：不受外力、不受约束。 即：
F=0 M (o) = 0
&& 有： R 0 = 0
(质心：匀速运动)； (绕质心的转动，且角动量守恒)
& L( o ) = 0
I 设：e1 , e 2 , e 3 为三个惯量主轴方向， 1 , I 2 , I 3 为沿这
对上式作和：
&& + ∑ d (r × m r ) = ∑ r × F + ∑ r × F ∑ mara × R 0 a dt a a &a a a a内 a a a 外 a
d && & (∑ ma ra ) × R 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a a
π
⇒
⇒
ω进动 = L I1 = 常量 (注意： 角动量守恒)
且 ω 不变 ( L = Iω ——匀速旋转)
⇒ L与 ox3 轴的夹角不变
规则进动：对称陀螺自由转动，有 绕 x3 转动 + x3 轴绕空间固定轴(L轴)进动， 且 x3 与L之间的夹角 θ 保持不变。
五、欧勒运动学方程
对称陀螺的基本运动： (1)刚体绕对称轴的自转； (2)自转轴绕空间固定轴的进动； (3)自转轴和固定轴间夹角的章动。 用欧勒角描述这三种运动： 设：o——固定点；oz：固定轴
a
则
dL( o ) = M (o) dt
——对质心的角动量定理
描述刚体的运动方程组
&& MR 0 = F
dL =M 或 dt
（平动）
dL( o ) = M (o) dt （转动）
二、刚体的静平衡 平衡时：
&& R 0 = 0,
dL =0 dt
⇒
F = 0, M = 0
——平衡方程
例题：见p88 [例1]
dω d ' ω d 'ω = + ω×ω = [ ] dt dt dt
⇒
dv 0 & = w + a + 2ω × v + ω × r + ω × (ω × r ) dt
惯性系中：
§1.5.2 刚体的运动方程
刚体：6个自由度 ⇒ 自由度数目减少 (由于约束) 例子：绕固定点的转动——3个自由度； 定轴转动——1个自由度。
在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力 但：由拉格朗日方程中不容易得到约束反力 (以前仅讨论理想约束) 办法：回到牛顿表述
一、动量定理 定点转动角动量定理
N
= 0 + ∑ R a × Fa 外 = ∑ R a × Fa 外
a =1 a =1
N
N
⇒ 其中：
N d N & ∑ (R a × ma R a ) = ∑ R a × Fa 外 dt a =1 a =1
∑ (R
a =1
N
N
a
& × m a R a ) = L ——对固定点o的总角动量
∑R
a=1
oN ⊥ α 平面 从 oZ 上一点作oM '的垂线a，显然 a在 α 上，则
oN ⊥ a oM ' ⊥ a
因此 a ⊥ oN , oM '组成的平面，即 ox1 , ox2 平面。 由此 oZ 在 x1 x2 平面的投足落在 oM '上，得到
& 又 oM ' 与 x2 的夹角为ψ ，这样ϕ 在 x1 , x2 的分量为
v 1 ：质点在 K1 系中的速度；
v：质点在K系中的速度； V：K1 系对 K 0 系的速度。 则：
v 0 = v1 + V
dr d ' r v1 = = +ω× r = v +ω× r dt dt
⇒
v0 = V + v +ω× r
上式右边各项再对时间求导，有
& dV = w V= dt ( K1、K 系坐标原点对K 0系的加速度)
d 'L + ω× L = M dt
对运动坐标系：
L = I 1ω 1e1 + I 2ω 2 e 2 + I 3ω 3 e 3
⇒ ⇒
而
d'L & & & = I 1ω 1e1 + I 2ω 2 e 2 + I 3ω 3 e 3 dt
L1 = I 1ω 1
L 2 = I 2ω 2
L3 = I 3ω 3
(欧勒运动学方程)
若：已知 ω 1 , ω 2 , ω 3
& & & 则：计算 ϕ , ψ , θ
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2 上任意 选取，则：取 ox1 沿oN方向 ⇒
& ψ =0
& 于是有： ω 1 = θ
& & & ω 2 = φ sin θ ω 3 = φ sin θ + ψ
又
rc
∑m r = ∑m
a a a
a a
=0
⇒ 则
∑m r
a
a a
=0
d & 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
⇒
d & ∑ (ra × mara ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
令
& L( o ) = ∑ ra × ma ra
a
M ( o ) = ∑ ra × Fae
ω = ω自转 + ω 进动
L在 ox1 x3 平面内，L与 x3 的夹角： θ ⇒ L与 ox3 的夹角：π 2 − θ L在 ox1 轴的投影： L1 = I 1ω1
ω 由图：ω， 进动 在 ox1 上的分量相等
则：
ω进动 cos( − θ ) = ω1