2021高考数学一轮复习第一部分第一章集合与常用逻辑用语考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件苏教版

考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1.理解命题的概念2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义一、基础小题1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0答案 D解析对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．下列命题：①“若a≤b，则a<b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相等的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.3．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③答案 A解析本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．4．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是( )A．a－1>b B．a＋1>bC．|a|>|b| D．a3>b3答案 B解析寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，a3>b3也一定成立，但是当a3>b3成立时，a>b也一定成立，故选B.5．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.6．命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2，f(x)＝x2x2＋1，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B.7．已知0<α<π，则“α＝π6”是“sin α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵0<α<π，则“α＝π6”⇒“sin α＝12”，“sin α＝12”⇒“α＝π6或α＝5π6”，∴已知0<α<π，则“α＝π6”是“sin α＝12”的充分不必要条件．故选A. 8．在下列四个命题中，其中的假命题是( ) ①命题“若m ＋n >2t ，则m >t 且n >t ”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“末位数字不为零的数能被3整除”的逆否命题；④命题“若c >1，则方程x 2－2x ＋c ＝0没有实数根”的否命题． A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．③④答案 A解析 因为①中所给命题的逆命题“若m >t 且n >t ，则m ＋n >2t ”成立，所以①为真命题． 因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．因为③中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．因为④中所给命题的否命题“若c ≤1，则方程x 2－2x ＋c ＝0有实数根”成立，所以④为真命题．综上知，应选A.9．“a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝b ＝1时，两直线分别为x －y ＋1＝0与x －y －1＝0，斜率相同，所以平行，充分性成立；当直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行时，b ＝0显然不符合，所以b ≠0，由斜率相等，得a ＝1b，显然不一定是a ＝b ＝1，所以必要性不成立，故选A.10．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)答案 逆否命题解析 由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．11．设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由p 得：12<x ≤1，由q 得：a ≤x ≤a ＋1，因为q 是p 的必要而不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.12．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)答案 充分 充要解析 由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，q ⇒s ⇒t ，故p 是t 的充分条件，r 是t 的充要条件．二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 答案 B解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中的条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中的条件是α∥β的充要条件．故选B.14．(2019·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“x 2－5x <0”可得“0<x <5”；由“|x －1|<1”可得“0<x <2”．由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”，所以“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．故选B.15．(2019·浙江高考)若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ≤4，∴2ab ≤a ＋b ≤4. ∴ab ≤4，此时充分性成立．当a >0，b >0，ab ≤4时，令a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5>4， 这与a ＋b ≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a >0，b >0时，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A. 16．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC→|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →||AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →|·|AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.17．(2019·北京高考)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵f (x )＝cos x ＋b sin x 为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x ＋b sin x ，∴2b sin x ＝0.由x 的任意性，得b ＝0.故f (x )为偶函数⇒b ＝0.必要性成立．反过来，若b ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数．充分性成立．∴“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件．故选C.18．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 |a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a2＋3a ·b －2b 2＝0，又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.19．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －12|<12得－12<x －12<12，解得0<x <1.由x 3<1得x <1.当0<x <1时能得到x <1一定成立；当x <1时，0<x <1不一定成立．所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.20．(2018·北京高考)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2等．三、模拟小题21．(2020·陕西渭南摸底)已知命题p ：若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ，则下列说法正确的是( )A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ” 答案 C解析 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．22．(2019·开封一模)已知直线l ，m 和平面α，m ⊂α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 直线l ，m ，平面α，且m ⊂α，若l ∥m ，当l ⊄α时，l ∥α，当l ⊂α时不能得出l ∥α，故充分性不成立；若l ∥α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故必要性也不成立．由上证知“l ∥m ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.23．(2020·山东烟台摸底)有下列几个命题： ①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 C解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.24．(2019·山西吕梁一模)设p ：关于x 的方程4x－2x－a ＝0有解；q ：函数f (x )＝log 2(x ＋a －2)在区间(0，＋∞)上恒为正值，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题意知p ：方程a ＝4x －2x有解，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，所以a ≥－14，q ：log 2(x ＋a－2)>0在(0，＋∞)上恒成立，则0＋a －2≥1，解得a ≥3，所以p 是q 的必要不充分条件．故选B.25．(2019·郑州模拟)设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．26．(2019·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →>0，即|AB →||BC →|cos θ>0，所以cos θ>0，θ<90°，又因为∠B ＝180°－θ，所以90°<∠B <180°，所以△ABC 是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.解法二：由AB →·BC →>0，得BA →·BC →<0，即cos B <0，所以90°<∠B <180°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.27．(2020·广西南宁摸底)已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 C解析 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.28．(2019·郑州模拟)已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 由命题p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由命题q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<x <1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 因为p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]，又因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即实数m 的取值范围是(－1,4)．2．(2019·贵阳模拟)已知条件p ：|5x －1|>a (a >0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ， 得x <1－a 5或x >1＋a 5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若A 则B . 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题．。