高升专文科数学-第四章：指数与对数
指数与对数
指数函数与对数函数
考纲指导 1、 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函 数的概念、图象和性质。 2、理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图 象和性质 3、本章在成考中大概分值9-14分 知识梳理 1、 指数 1、基本概念 （1）正整数指数幂： （2）零指数幂： （3）负整数指数幂： …… 2、幂的运算法则 …… 2、 对数 1、 定义…… 2、 对数的基本等式： 3、 对数的运算法则： 4、 换底公式： 5、 常用对数和自然对数 （1） 以10为底的对数…… （2） 3、 指数函数与对数函数 指数函数 函数式 定义域 值域 图像 单调性 奇偶性 例题解析 对数函数
例1 A. 5 B. 2 C. -11 D. 分析：本题主要运用的知识为有理数指数幂运算。 原式= 答案：B 练一练：计算1、 2、 …… 自主练习 1、 选择题 2、 填空题 3、 解答题 真题链接 （08年） （09年） …… （13年） （14年）
新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
【预习自测】
(1)log32×log29＝________． (2)lg 2＋lg 5＋log23×log34＝________． 【答案】(1)2 (2)3
【解析】(1)原式＝llgg
2 lg 3·lg
92＝2．
(2)原式可化为
lg
10＋llgg
3 lg 2·lg
34＝3．
|课堂互动|
题型 1 利用对数的运算性质化简、求值 计算下列各式的值：
(方法二)因为 log189＝a，18b＝5，所以 log185＝b．
于是 log3645＝lolgo1g8(1981×9825)＝2lloogg118891＋8－lolgo1g81589＝a2＋－ba．
(方法三)因为 log189＝a，18b＝5，所以 lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18．
() ()
【解析】(1)根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)loga(xy)＝logax＋logay，只有x＞0，y＞0时才成立； (3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca___(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
|素养达成|1．换底公式可成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆 用．使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进 行对数式的化简(体现了数学运算核心素养)．
2．运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n； ②loga(MN)＝logaM·logaN； ③logaM±logaN＝loga(M±N)．
指数与对数的基本概念
指数与对数的基本概念指数与对数是数学中重要的基本概念，它们在各个领域中被广泛应用。
本文将详细介绍指数与对数的定义、性质以及它们的应用。
一、指数的基本概念指数，也称为幂，是一种表示数的乘方的方法。
指数由底数和指数两个部分组成。
底数是要乘的数，指数是乘法的次数。
下面以一个具体的例子来说明指数的概念：2的3次方，即2³，表示将2连乘3次，结果为8。
指数的规律有乘法规律、幂的幂规律等。
指数的运算包括乘法、除法、指数为零的情况等。
具体而言，指数之间相乘时底数相同，则指数相加；指数之间相除时底数相同，则指数相减；指数为零时，任何数的零次方都等于1等。
二、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
对数函数y=logₐx表示以a为底，x为真数，求得的指数y。
根据对数的定义，对数运算可以将乘法运算转化为加法运算，从而简化计算。
对数的运算包括对数乘法法则、对数除法法则等。
对数乘法法则表明以同一个底数取对数的两个数相乘，等于它们各自以此底数取对数的结果相加。
对数除法法则则表示以同一个底数取对数的两个数相除，等于它们各自以此底数取对数的结果相减。
三、指数与对数的应用1. 科学计数法科学计数法是一种常用的表示大数字或小数字的方法。
它使用指数形式表示一个数，方便进行计算。
例如，地球半径约为6.4×10⁶米，其中6.4为尾数，10⁶为指数。
2. 物理学中的指数和对数在物理学中，指数和对数有着广泛的应用。
例如，指数函数在描述放射性衰变、电流衰减等方面起着重要的作用；对数函数在描述声音的强度、震动的幅度等方面具有重要意义。
3. 经济学中的指数和对数经济学中的价格指数、消费指数等都是常见的指数应用。
对数则广泛用于计算经济增长率、收益率等。
4. 计算机科学中的指数和对数计算机科学中，指数和对数被广泛用于数据压缩、算法复杂度分析等方面。
其中，以2为底的对数是二分查找算法中的重要研究对象。
5. 生物学中的指数和对数生物学中常用指数增长模型来描述生物种群的生长趋势。
指数与对数知识点总结
指数与对数知识点总结指数和对数是数学中重要的概念和工具。
它们广泛应用于科学、工程和金融领域，具有重要的理论和实用价值。
本文将对指数和对数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、指数的基本概念和性质1.1 指数的定义指数是表示一个数乘积的幂运算。
设 a 是一个非零实数，n 是一个正整数，那么 a 的 n 次幂可以表示为 a^n。
其中，a 称为底数，n 称为指数，a^n 读作“a 的 n 次方”。
1.2 指数的性质（1）指数为正数时，指数运算具有如下性质：a^m * a^n = a^(m + n) （指数相加，底数不变）(a^m)^n = a^(m * n) （指数相乘，底数不变）(ab)^n = a^n * b^n （乘法公式，底数相乘，指数不变）(a/b)^n = a^n / b^n （除法公式，底数相除，指数不变）（2）指数为负数时，指数运算的性质如下：a^(-n) = 1 / a^n （负指数时，求倒数）1.3 底数为 e 的指数函数以自然对数的底数 e 为底的指数函数称为自然指数函数，记为 f(x)= e^x。
1.4 对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算。
设 a 是一个正实数，b 是一个正实数且不等于 1，如果 b^x = a，那么称 x 为以 b 为底 a 的对数。
记作 x =log_b(a)，读作“以 b 为底 a 的对数”。
（1）对数的基本性质：log_b(1) = 0 （对数的底数为 1 时，值为 0）log_b(b) = 1 （对数的底数为自身时，值为 1）log_b(a * c) = log_b(a) + log_b(c) （对数相乘，变为求和）log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c) （对数相除，变为求差）log_b(a^n) = n * log_b(a) （对数的幂运算，变为乘法）二、指数与对数的应用2.1 指数函数的应用指数函数常用于描述增长或衰减的趋势，如人口增长、金融利率等。
2024_2025学年新教材高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数4
4．3 对数函数4.3.1 对数的概念教材要点要点一对数的概念1．定义：假如a b＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b＝log a N.2．相关概念底数与真数其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．状元随笔log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不行分开书写．要点二对数与指数间的关系当a＞0，且a≠1时，a b＝N⇔b＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．状元随笔要点三对数的性质要点四对数的基本恒等式a log a N＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；b＝log a a b(b∈R，a>0且a≠1)．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．( )(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.( )(3)因为3x＝81，所以log813＝x.( )(4)log32＝log23.( )2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )A．log2M＝a B．log a M＝2C．log a2＝M D．log2a＝M，则x的值为( )3．若log8x＝－23B．4A．14C．2D．124．3log32＋log21＝________．对数的概念例1 (1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( ) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，+∞)C．(4，＋∞) D．(3，4)(2)将下列指数式、对数式互化．125＝6.①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log√5方法归纳指数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 (1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是( ) A ．30＝1与log 31＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C.8−13＝12与log 812＝－13 D ．log 77＝1与71＝7(2)对数式log (x －1)(x ＋2)中x 的取值范围是________．对数的计算例2 求下列各式中x 的值： (1)4x＝5·3x；(2)log 7(x ＋2)＝2；(3)log x27＝3.2方法归纳(1)log a N＝x与a x＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．跟踪训练2 求下列各式中x的值：；(2)log216＝x；(3)log x27＝3.(1)log2x＝12对数的性质及对数恒等式的应用例3 (1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；(2)计算：51+log53＋102＋lg2＋e ln3.方法归纳1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log\”后再求解．2．利用对数恒等式求解的方法首先利用指数运算性质变形，变形为a log a b的形式，再利用对数恒等式计算求值．跟踪训练3 (1)2－1＋log2√2＝( )A．√22B．√2C．12+√2D．2√2(2)计算：log3[log3(log28)]＝________．易错辨析忽视对数的底数致误例4 使对数log a(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )A．(12，1)∪(1，+∞) B.(0，12)C．(0，1)∪(1，+∞) D.(−∞，−12)解析：使对数log a(－2a＋1)有意义的a需满意{a＞0，a≠1，−2a+1＞0，解得0＜a＜12.答案：B易错警示课堂非常钟1．若a＞0，且a≠1，c＞0，则将a b＝c化为对数式为( ) A．log a b＝c B．log a c＝b C．log b c＝a D．log c a＝b2．若log2(log x9)＝1，则x＝( )A．3B．±3C．9D．23．在log3(m－1)中，实数m的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)4．式子2log25＋log321的值为________．5．求下列各式中x的值：(1)若log31+2x＝1，求x的值；3(2)若log2024(x2－1)＝0，求x的值．4．3 对数函数4．3.1 对数的概念新知初探·课前预习要点一1．b a(正)数N2．a N要点三零和负数0 0 1 1[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由对数的定义可知log a M ＝2. 答案：B3．解析：由对数与指数的互化可得：x ＝8−23＝23×(−23)＝14.答案：A4．解析：原式＝2＋0＝2. 答案：2题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由对数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0且x －3≠1.解得x >3且x ≠4. 故选B.(2)①由54＝625得log 5625＝4. ②由log 216＝4得24＝16. ③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2. ④由log √5125＝6得(5)6＝125.跟踪训练1 解析：(1)对于A ，30＝1可化为0＝log 31，所以A 中互化正确；对于B ，log 39＝2可化为32＝9，所以B 中互化不正确；对于C ，8－13＝12可化为log 812＝－13，所以C中互化正确；对于D ，log 77＝1可化为71＝7，所以D 中互化正确．故选ACD.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2.答案：(1)ACD (2)(1，2)∪(2，＋∞) 例2 解析：(1)∵4x＝5·3x，∴4x3x ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＝5，∴x ＝log 435.(2)∵log 7(x ＋2)＝2， ∴x ＋2＝72＝49，∴x ＝47.(3)∵log x 27＝32，∴x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.跟踪训练2 解析：(1)∵log 2x ＝12，∴x ＝212，∴x ＝ 2.(2)∵log 216＝x ，∴2x ＝16，∴2x ＝24，∴x ＝4. (3)∵log x 27＝3，∴x 3＝27，即x 3＝33，∴x ＝3. 例3 解析：(1)∵log 2[log 4(log 3x )]＝0＝log 21， ∴log 4(log 3x )＝1.又log 4(log 3x )＝log 44＝1， ∴log 3x ＝4， ∴x ＝34＝81.(2)原式＝5·5log 53＋102·10lg 2＋eln 3＝5×3＋102×2＋3 ＝218.答案：(1)81 (2)见解析跟踪训练3 解析：(1)2−1+log 2√2＝2－1·2log 2√2＝12×2＝22.(2)log 3[log 3(log 28)]＝log 3[log 3(log 223)]＝log 3(log 33)＝log 31＝0. 答案：(1)A (2)0[课堂非常钟]1．解析：由对数的定义干脆可得log a c ＝b . 答案：B2．解析：∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9，又∵x >0，∴x ＝3. 答案：A3．解析：由m －1>0得m >1. 答案：D4．解析：由对数性质知，2log 25＝5，log 321＝0，故原式＝5.答案：55．解析：(1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2 021(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.。
全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳
(名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数必考知识点归纳单选题1、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.2、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1 C ．±1D ．0 答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C.3、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x∈[3,4]时，f(x)=9x+x，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max=f(4)=94+4=254．当x∈[4,8]时，g(x)=log2x+a单调递增，则g(x)max=g(8)=log28+a=3+a，所以254≥3+a，可得a≤134．故选：A4、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ5、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a3 (a >0，b >0)的结果是（ ）A ．b aB ．ab C ．a 2b D ．b 2a 答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13=a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab −1=ab故选：B6、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5)答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案 因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5， 故选：B7、化简(1og 62)2+log 62⋅log 63+2log 63−6log 62的值为（ ） A ．−log 62B ．−log 63C ．log 63D ．-1 答案：A分析：运用对数的运算性质即可求解.(log 62)2+log 62⋅log 63+2log 63−6log 62=log 62(log 62+log 63)+2log 63−2=log 62+2log 63−2=2(log 62+log 63)−log 62−2=2−log 62−2=−log 62故选：A.8、log 318−log 32=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：利用对数的运算性质计算即可得答案. log 318−log 32=log 3182=log 39=2.故选：B.9、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．10、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e)D ．(0,√e )答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解. f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f(x)=x2+e x−12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x2+e−x−12=x2+ln(x+a)，整理的：e−x−12=ln(x+a)，y=e−x−12和y=ln(x+a)的图像存在交点，如图：临界值在x=0处取到（虚取），此时a=√e，故当a<√e时y=e−x−12和y=ln(x+a)的图像存在交点，故选：B.11、满足函数f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（）A．−4<m<−2B．−3<m<0C．−4<m<0D．−3<m<−1答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．解：若f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m<0且m+3>0，即m<0且m>−3，则−3<m<0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m<−1，故选：D．12、设f(x)=log 2(1x+a+1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2) 答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域． 因为f(x)=log 2(1x+a+1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a>0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12，所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称， 所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞). 故选：A . 填空题13、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R ；②值域为(−∞,1)；③对任意x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，均有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0.答案：f(x)=1−12x （答案不唯一） 分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R ；12x >0，f(x)=1−12x <1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，均有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0.所以答案是：f(x)=1−12x （答案不唯一）.14、2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式C =Wlog 2(1+SN )是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比SN 从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：log 23≈1.58，log 25≈2.32） 答案：2.5分析：设提升前最大信息传递速率为C 1，提升后最大信息传递速率为C 2，根据题意求出C2C 1，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可设提升前最大信息传递速率为C 1，提升后最大信息传递速率为C 2，则由题意可知，C 1=Wlog 2(1+11)=Wlog 212，C 2=Wlog 2(1+499)=Wlog 2500， 所以C2C 1=Wlog 2500Wlog 212=log 2(22×53)log 2(22×3)=log 222+log 253log 222+log 23=2+3log 252+log 23≈2+3×2.322+1.58=8.963.58≈2.5，所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍． 所以答案是：2.515、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______． 答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2 ，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5.16、已知函数f (x )=ln(√1+x 2−x)−1，若f (2x −1)+f (4−x 2)+2>0，则实数x 的取值范围为______.答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.17、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f (x )的大致图象，如图所示．由图可知，f (1)=4，f (17)=log 2(17−1)=4，因为f (x )在(−∞,a ]上的最大值为4，所以a 的取值范围为[1,17]． 所以答案是：[1,17] 解答题18、设x ，y ，z 均为正数，且3x =4y =6z . （1）试求x ，y ，z 之间的关系.（2）求使2x =py 成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的整数）. （3）比较3x ，4y ，6z 的大小. 答案：（1）1z−1x =12y；（2）3；（3）3x <4y <6z .分析：设3x =4y =6z =t ，将指数式换成对数式可得x =1log t3，y =1log t4，z =1log t6.（1）通过对数运算可得x ，y ，z 之间的关系； （2）由题意得p =2x y=log 316，证明p −2>3−p ，即可得答案；（3）利用作差法结合对数运算，即可得答案； 设3x =4y =6z =t ，由x ，y ，z 均为正数知t >1. 故取以t 为底的对数，可得xlog t 3=ylog t 4=zlog t 6=1. ∴x =1log t3，y =1log t4，z =1log t6.（1）1z −1x =log t 6−log t 3=log t 2=12log t 4=12y ，∴x ，y ，z 之间的关系为1z−1x=12y.（2）p =2x y=2log t3⋅log t 4=2⋅log 34=log 316.由9<16<27，得log 39<log 316<log 327，从而2<p <3. 而p −2=log 316−log 39=log 3169，3−p =log 327−log 316=log 32716. 由169÷2716=256243>1知169>2716， ∴p −2=log 3169>log 32716=3−p .从而所求正整数为3.（3）∵3x −4y =3log 3t −4log 4t =3lgt lg3−4lgt lg4=(3lg4−4lg3lg3⋅lg4)lgt =lgtlg3⋅lg4(lg43−lg34).而lgt >0，lg3>0，lg4>0，lg43<lg34，∴3x <4y . 又∵4y −6z =2(2log 4t −3log 6t )=2(2lgt lg4−3lgt lg6)=2lgt(2lg6−3lg4)lg4⋅lg6=2lgt (lg62−lg43)lg4⋅lg6，而lgt >0，lg4>0，lg6>0，lg62<lg43，∴4y <6z . 故有3x <4y <6z .小提示：本题考查指数式与对数式的互化、对数运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19、某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0<x ≤200，x ∈N ）（单位：台），若年产量不超过70台，则每台设备的成本为y 1=12x +40（单位：万元）；若年产量超过70台不超过200台，则每台设备的成本为y 2=101+6400x 2−2080x（单位：万元），每台设备售价为100万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完. (1)写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； (2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？答案：(1)y ={−12x 2+60x,0<x ≤70,x ∈N2080−(x +6400x),70<x ≤200,x ∈N(2)当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元分析：（1）分0<x ≤70，x ∈N 和70<x ≤200，x ∈N 两种情况分别求出函数解析式； （2）根据二次函数与基本不等式求出各段函数的最大值，再比较即可得解. （1）解：当0<x ≤70，x ∈N 时，y =100x −(12x +40)x =−12x 2+60x ，当70<x ≤200，x ∈N 时，y =100x −(101+6400x 2−2080x)x =2080−(x +6400x)，所以y ={−12x 2+60x,0<x ≤70,x ∈N2080−(x +6400x),70<x ≤200,x ∈N. （2）解：当0<x ≤70，x ∈N 时，y =−12x 2+60x =−12(x −60)2+1800，所以当x =60时，y 取得最大值，最大值为1800.当70<x ≤200，x ∈N 时，y =2080−(x +6400x)≤2080−2√x ⋅6400x=1920，当且仅当x =6400x，即x =80时，y 取得最大值1920，因为1920>1800，所以当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元. 20、(1)(log 37+log 73)2−log 949log 73−(log 73)2；(2)log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23−1+ln √e ． 答案：(1)2；(2)4.分析：(1)将(log 37+log 73)2展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.解:(1)原式=(log 37)2+(log 73)2+2log 37×log 73−log 37log 73−(log 73)2=(log 37)2+2−(log 37)2=2．(2)原式=log 31232+12lg52+lg2−log 2232×log 323+2log 232+ln e 12 =4log 33+lg5+lg2−log 23×3log 32+32+12=4+lg(5×2)−3+2=4+1−1=4．。
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.4、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100% 答案：B分析：根据题意，计算出log 24000log 21000的值即可；当SN=1000时，C =Wlog 21000，当SN=4000时，C =Wlog 24000，因为log 24000log 21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6、指数函数 y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.7、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．a cb +>由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne =ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为(20,0),C 点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，c a >a c b +>一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 故选：ACD12、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2，故选项D错误；故选：AC.13、已知函数f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0.关于x的方程f(x)−t=0的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当t≤0时，方程有两个实数解B．当t>4时，方程无实数解C．当0<t<4时，方程有三个实数解D．当t=4时，方程有两个实数解答案：CD分析：方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，数形结合可得结果.方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，由图可知：当t<0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解；当t=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故A错误；当t>4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有1个交点，即方程f(x)−t=0有1个实数解，故B错误；当0<t<4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故C正确；当t=4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解，故D正确.故选：CD.填空题14、已知函数f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为_____．答案：18##0.125分析：根据对数型函数的过定点(2,1)，代入方程中可得2m+n=1，根据基本不等式即可求解.f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)过定点(2,1)，所以P(2,1),所以2m+n=1故2m⋅n≤(2m+n2)2⇒m⋅n≤18，当且仅当m=14,n=12时等号成立.所以答案是：1815、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解 函数y =log 12(3x −1)的定义域为(13,+∞)又y =log 12(3x −1)是由y =log 12u 与u =3x −1复合而成，因为外层函数y =log 12u 单调递减，所以求函数y =log 12(3x −1)的单调递减区间即是求内层函数u =3x −1的增区间，而内层函数u =3x −1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y =log 12(3x −1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点， 由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本ℎ(x )万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x )=180x +100；当产量大于50万盒时ℎ(x )=x 2+60x +3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 答案：(1)y ={20x −300,0≤x ≤50−x 2+140x −3700,x >50,x ∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x ≤50和x >50两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y =200x −200−180x −100=20x −300， 当产量大于50万盒时，y =200x −200−x 2−60x −3500=−x 2+140x −3700， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
指数与对数知识点总结
指数与对数知识点总结在数学的广阔天地中，指数与对数是两个非常重要的概念，它们不仅在基础数学中频繁出现，也在高等数学、物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。
接下来，就让我们一起深入探讨指数与对数的相关知识点。
一、指数指数的形式为＼（a^n\），其中＼（a\）被称为底数，＼（n\）被称为指数。
（一）指数运算的基本法则1、＼（a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如：＼（2^3 ＼times 2^4 ＝ 2^｛3 ＋ 4} ＝ 2^7\）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
比如：＼（＼frac{3^5}｛3^2} ＝ 3^｛5 2} ＝ 3^3\）3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
像＼（（2^2)＾3 ＝ 2^｛2×3} ＝ 2^6\）4、＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）：积的乘方等于乘方的积。
例如＼（（2×3)＾4 ＝ 2^4×3^4\）（二）指数函数形如＼（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\））的函数叫做指数函数。
当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数单调递减；当＼（a ＞ 1\）时，函数单调递增。
指数函数的图像特点：1、恒过点＼（（0, 1)＼），即当＼（x ＝ 0\）时，＼（y ＝1\）。
2、当＼（a ＞ 1\）时，函数在＼（R\）上单调递增，且＼（x\）趋于负无穷时，函数值趋近于＼（0\）；＼（x\）趋于正无穷时，函数值趋于正无穷。
3、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在＼（R\）上单调递减，且＼（x\）趋于正无穷时，函数值趋近于＼（0\）；＼（x\）趋于负无穷时，函数值趋于正无穷。
二、对数如果＼（a^b ＝ N\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），那么＼（b\）叫做以＼（a\）为底＼（N\）的对数，记作＼（b ＝＼log_a N\）。
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一、指数与指数的运算
4. 分数指数幂：
（1）正分数指数
a n
1 n
a (a >0,m、������∈������*，m/������为既约分数)
（2）负分数指数
a
m n
1 a
m n
( a >0,m、������∈������*，m/������为既约分数)
一、指数与指数的运算
5. 指数幂运算法则：
32 （2） 2 log 3 2 log 3 log 3 8 32 log3 5 9
log3 5 2log 2 (5log 2 2log 3) 3log 2 9 3 原式 3 3 3 3
2 9 5 43
历年真题
（2014）1.若0<lg������<lg������<2，则（） A. 0<������<������<1 C. 0<������<������<100 B.0<������<������<1 D.0<������<������<100
第四章：指数与对数
• 考点：分数指数幂、有理数指数幂
的运算性质、对数、对数的运算性
质等
• 分值：分
第四章：指数与对数
• 1.指数与指数的运算
• 2.对数与对数的运算
一、指数与指数的运算
一、指数与指数的运算
3. 根式性质：
（1） (n a )n a
（2）
n
a , { a |a |,
n
������∈奇数 ������为偶数
（2）40.8，80.45，(1/2)-1.5
40.8=21.6，80.45=21.35，(1/2)-1.5=21.5.因为
21.6>21.5>21.35，所以40.8>(1/2)-1.5>80.45
二、对数与对数运算
1.对数定义：若������������=������(������>0，且������≠1)，
历年真题
（2013）2.设������>1，则（） A.log������2 <0 C.2������<1 B.log2������>0 D.(1/������)2>1
历年真题
历年真题
历年真题
二、对数与对数运算
3.对数的运算性质：
换底公式：
log c N log a N (a, c (0,1) (1, ), N >0) log c a
二、对数与对数运算
例1 计算：
（1） 2(lg 2)2 lg 2 lg 5 (lg 2)2 lg 2 1
原式 lg 2(lg 2 lg5) 1 lg 2 lg 2 1 lg 2 1
（5）自然对数：以e为底的对数loge������ 叫做自然对数，简记l������������.
二、对数与对数运算
3.对数的运算性质：
若������>0,且������≠1,M>0,������>0,则
（1） loga (MN ) loga M loga N M log a M log a N （2） log a N （3） loga M n n loga M n n （4） log am M log a M m
二、对数与对数运算
2.对数的性质：
（1）负数与零没有对数，即真数������必
须大于零；
（2） loga a 1 ， loga 1 0 ； （3）loga b logb a 1
二、对数与对数运算
2.对数的性质：
（4）常用对数：以10为底的对数log10
������叫做常用对数，简记lg������;
（1） a a a
m n
m
m n
a （2） n a m n a （3） (a m )n amn
（4）(ab)n a n bn一、指数与指数的ຫໍສະໝຸດ 算例1 比较下列两组数的大小
（1）0.50.5与0.60.6
因为0.50.5<0.60.5且0.60.5<0.60.4，所 以0.50.5<0.60.6
则������叫做以������为底������的对数，记做log������������=
������,������叫做底，������叫做真数。
log a N • 对数恒等式： a
N (������>0,且������≠1,������>0)
log a N • 对数换底公式：log a N log a b