数学九年级下册第28章检测题

数学九年级下册第二十八章检测题(RJ )(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( A )A ．5 3 mB ．10 mC ．15 mD ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( A )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( B )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝kx的图象恰好经过斜边A ′B的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( C )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ 12．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为__20°__．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 17 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 2.9 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 45.12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据)．①cos(－60°)＝－12；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cosy －cos x ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 2 60°；解：原式＝(32)2＋1－32×32－(3)2＝34＋1－34－3 ＝－2.(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 2 60°.解：原式＝12－(22)2＋34×(33)2＋(32)2＝12－12＋34×13＋34 ＝1.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC＝6，求AB 的长．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴∠DBC ＝45°，∴DC ＝BC ＝6.又∵sin A ＝25，∴BC AB ＝25，∴AB ＝15.15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：∵AD ⊥BC ，∴△ADC 为直角三角形，故sin C ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，∵AC ＝BD ，∴DC ＝BC －BD ＝12－13k ； 由勾股定理得(13k)2＝(12k)2＋(12－13k)2，整理得6k 2－13k ＋6＝0，解得k ＝23或32；∴AD ＝8或AD ＝18(不合题意，舍去)． 故AD ＝8.16．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D. 在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，则AD ＝3BD. 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD.∵AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)， ∴BD ＝2，2<2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1＝∠BCD. (1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4，sin M ＝23，求⊙O 的直径．(1)证明：∵∠1＝∠BCD ＝∠M ，∴CB ∥MD. (2)解：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，又∵CD ⊥AB ，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠A ＝∠M.∴sin A ＝sin M ．在Rt △ACB 中，sin A ＝BCAB.∵sin M ＝23，∴BC AB ＝23.又∵BC ＝4，∴AB ＝6.即⊙O 的直径为6.19．如图，两座建筑物的水平距离BC 为60 m ，从C 点测得A 点的仰角α为53°，从A点测得D 点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan37°≈34，sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE ＝BC ＝60 m ．在Rt △ABC 中，tan α＝ABBC，∴AB BC ＝43， 即AB 60＝43，解得AB ＝80 m . 在Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝tan β＝AEDE，∴AE DE ＝34，即AE 60＝34，解得AE ＝45 m . ∵BE ＝AB －AE ，∴BE ＝80 －45 ＝35 m . ∵BE ＝CD ，∴CD ＝35 m .答：建筑物AB 的高度为80 m ，建筑物CD 的高度为35 m .20．如图，Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C(1，3)在反比例函数y ＝k x 的图象上，且sin ∠BAC ＝35. (1)求k 的值和边AC 的长；(2)求点B 的坐标．解：(1)k ＝3；作CD ⊥AB 于点D ，∴CD ＝3，在Rt △ACD 中，sin ∠BAC ＝CDAC，∴AC ＝CDsin ∠BAC＝5；(2)在Rt △ACD 中，AC ＝5，CD ＝3，∴AD ＝4，cos ∠BAC ＝AD AC ＝45.在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AC AB ，∴AB ＝AC cos ∠BAC ＝254，∵OA ＝AD －OD ＝4－1＝3，∴OB ＝AB －OA ＝254－3＝134，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫134，0.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°， CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55；(2)∵sin B ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶ 5.又∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2.设CE ＝x(x>0)，则AE ＝5x ，则在Rt △ACE 中，有x 2＋22＝(5x)2， ∴x ＝1，即CE ＝1.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.22．如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到来自故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距100(3＋1)海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．(1) 分别求出船A 与船C 、船A 与观测点D 间的距离AC 和AD (如果运算结果有根号，请保留根号)；(2) 已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有无触礁的危险？(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73)解： (1)过点C 作CE ⊥AB ，由题意得∠ABC ＝45°，∠BAC ＝60°. 设AE ＝x 海里，在Rt △AEC 中， CE ＝AE·tan 60°＝3x.在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝3x ， ∴AE ＋BE ＝x ＋3x ＝100(3＋1)， 解得x ＝100.∴AC ＝2x ＝200海里，在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°. 过点D 作DF ⊥AC 于点F ，设AF ＝y ，则DF ＝CF ＝3y ， ∴AC ＝y ＋3y ＝200，解得y ＝100(3－1)， ∴AD ＝2y ＝200(3－1)海里．(2)由(1)可知，DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈127，∵127>100， 所以巡逻船A 沿直线AC 航行，在去营救的途中没有触暗礁危险．六、(本大题共12分) 23．阅读学习：刘老师提出这样—个问题：已知α为锐角，且tan α＝13，求sin 2α的值．小娟是这样解决的：如图①，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝α，所以∠ACB ＝90°，tan α＝BC AC ＝13.易得∠BOC ＝2α.设BC ＝x ，则AC ＝3x.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10 x. 作CD ⊥AB 于D ，求出CD ＝ 31010x (用含x 的式子表示)，可求得sin 2α＝CD OC ＝ 35．问题解决：已知，如图②，M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P ＝β，tan β＝12，求sin 2β的值．解：如图②，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ， 连接MQ ，MO ，作MH ⊥NO 于H.在⊙O 中，∵NQ 是直径，∴∠NMQ ＝90°.∵∠Q ＝∠P ＝β，OM ＝ON ，∴∠MON ＝2∠Q ＝2β.∵tan β＝12，∴设MN ＝k ，则MQ ＝2k.∴NQ ＝MN 2＋MQ 2＝5k ，∴OM ＝12NQ ＝52k.∵S△NMQ＝12MN·MQ＝12NQ·MH，∴k·2k＝5k·MH，∴MH＝25 5k.在Rt△MHO中，sin 2β＝MHOM＝255k5k2＝45.。