高等数学课件 同济大学版D8_5平面方程
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同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程
高等数学的学习建议
重视基础知识： 掌握基本概念、 定理和公式， 为后续学习打 下坚实基础。
多做练习：通 过大量练习， 加深对知识点 的理解和记忆纳总结： 及时归纳所学 内容，找出重 点和难点，有 针对性地进行
复习。
培养数学思维： 高等数学不仅 仅是计算和公 式，更重要的 是培养数学思 维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点 确定一个平面
两条相交直线确 定一个平面
一条直线与这条 直线外一点确定 一个平面
两平面相交，交 线是两平面的公 共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置 关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何 图形和空间位置 关系来求解平面 方程的方法
适用范围：适用 于平面图形比较 简单的情况
步骤：先确定平 面上的两个不共 线的点，然后通 过这两个点确定 平面的法向量， 最后写出平面方 程
注意事项：需要 熟练掌握空间几 何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立 参数的消元过程 参数的求解方法 参数法求解平面方程的步骤
平面方程的 基本形式
多个平面的 交面求解
两个平面的 交线求解
实际应用中 的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法 平面方程的应用举例 平面方程的分类与性质 平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容： 回顾平面及其方 程的相关概念和 知识点，加深对 平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已 知平面上的一 个点和该平面 的法向量，确 定一个平面的
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0
为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向
最新同济版高等数学优质课课件平面及其方程
x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 2
1
z
o x
y
由所求平面与已知平面平行得
a b c , （向量平行的充要条件） 6 1 6
1
1
1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6
由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n{4,1,2},
4 A B 2C 0
2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
求此平面方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c
例 1 求过三点 A( 2,1,4) 、B( 1,3,2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得 14 x 9 y z 15 0.
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
高等数学同济大学课件上第75平面方程
章节副标题
点法式求解
点法式：将平面方程转化为点法式，即 Ax+By+Cz+D=0
单击添加正文，文字是您思想的提炼
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D 的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值
题型四：求平面与平面的交点 解析：利用平面方程和向量法，通 过联立方程组求解。 解析：利用平面方程和向量法，通过联立方程组求解。
THEME TEMPLATE
感谢观看
建立坐标系：根据题意，选择合适的坐标系，如直角坐标 系、极坐标系等。
设未知数：根据题意，设出未知数，如x、y、z等。
列方程：根据题意，列出与平面方程相关的方程，如直线 方程、平面方程等。
解方程：根据列出的方程，求解未知数，得到答案。
检验答案：将求得的答案代入原方程，检验答案是否正确。
平面方程的解题技巧
• 求解步骤： a. 确定系数A、B、C、D的值 b. 代入公式求解
• a. 确定系数A、B、C、D的值 • b. 代入公式求解
• 特殊情况： a. 当A=0时，平面方程为By+Cz+D=0 b. 当B=0时，平面方程为Ax+Cz+D=0 c. 当C=0时， 平面方程为Ax+By+D=0 d. 当D=0时，平面方程为Ax+By+Cz=0
平面方程：描述平面上点的坐标 关系的方程
性质：平面方程的系数决定了平 面的位置和方向
添加标题
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几何意义：平面方程表示平面上 任意一点的坐标满足的方程
特点：平面方程的系数决定了平 面的性质，如对称性、旋转性等
点法式求解
点法式：将平面方程转化为点法式，即 Ax+By+Cz+D=0
单击添加正文，文字是您思想的提炼
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D 的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值
题型四：求平面与平面的交点 解析：利用平面方程和向量法，通 过联立方程组求解。 解析：利用平面方程和向量法，通过联立方程组求解。
THEME TEMPLATE
感谢观看
建立坐标系：根据题意，选择合适的坐标系，如直角坐标 系、极坐标系等。
设未知数：根据题意，设出未知数，如x、y、z等。
列方程：根据题意，列出与平面方程相关的方程，如直线 方程、平面方程等。
解方程：根据列出的方程，求解未知数，得到答案。
检验答案：将求得的答案代入原方程，检验答案是否正确。
平面方程的解题技巧
• 求解步骤： a. 确定系数A、B、C、D的值 b. 代入公式求解
• a. 确定系数A、B、C、D的值 • b. 代入公式求解
• 特殊情况： a. 当A=0时，平面方程为By+Cz+D=0 b. 当B=0时，平面方程为Ax+Cz+D=0 c. 当C=0时， 平面方程为Ax+By+D=0 d. 当D=0时，平面方程为Ax+By+Cz=0
平面方程：描述平面上点的坐标 关系的方程
性质：平面方程的系数决定了平 面的位置和方向
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几何意义：平面方程表示平面上 任意一点的坐标满足的方程
特点：平面方程的系数决定了平 面的性质，如对称性、旋转性等
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
同济版高数PPT课件
上的一个积分和． 分割是将[0,1]n 等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n ）
第19页/共178页
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0 所以ln f ( x)在[0,1]上有意义且可积 ,
n
lim ln
n i1
f
i n
1 n
1
0 ln
f ( x)dx
故
limn
1
1、
1 x2dx
;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有 p 9.8h(千米 米2 ) ，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P （见教材图 5-3）.
第25页/共178页
练习题答案
n
一、1、lim 0
i 1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线y f ( x) ,x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和；
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a . 3
三、1 (b2 a 2 ). 2
练习题
一、填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
即 b f ( x)dx _________________ . a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
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平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
机动
则所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0
化简得
2x 3y z 6 0
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1
cos
2 A1
A1 A2 B1B2 C1C2
2 B1 2 C1
A2 B2 C2
2 2
机动
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
特别有下列结论：
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1 P P0 n 1 PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
(P40 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
2
即
n1 n2 cos n1 n2
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
M 0M n
n
M0
故
M 0 M n 0
o x
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
2 1
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n1
例4. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
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作业(3)
P42 习8－5 1. 3 6
第六节 目录
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备用题
求过点 (1,1,1)且垂直于二平面 和
的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1),
取所求平面的法向量
n2 (3 , 2 , 12)
n n1 n2 (10 , 15 , 5 )
Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
第五节 平面及其方程(
第8章
本章考试重点
)
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
机动
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
z
M
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0 bcx acy abz abc 即
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
d A x0 B y0 C z0 D A2 B 2 C 2
n P0
d
(点到平面的距离公式)
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
A1 A2 B1B2 C1C2 0
B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
机动
则所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0
化简得
2x 3y z 6 0
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1
cos
2 A1
A1 A2 B1B2 C1C2
2 B1 2 C1
A2 B2 C2
2 2
机动
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
特别有下列结论：
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1 P P0 n 1 PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
(P40 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
2
即
n1 n2 cos n1 n2
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
M 0M n
n
M0
故
M 0 M n 0
o x
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
2 1
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n1
例4. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
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作业(3)
P42 习8－5 1. 3 6
第六节 目录
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备用题
求过点 (1,1,1)且垂直于二平面 和
的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1),
取所求平面的法向量
n2 (3 , 2 , 12)
n n1 n2 (10 , 15 , 5 )
Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
第五节 平面及其方程(
第8章
本章考试重点
)
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
z
M
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0 bcx acy abz abc 即
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
d A x0 B y0 C z0 D A2 B 2 C 2
n P0
d
(点到平面的距离公式)
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.