天津市学高一数学讲义17-必修4期末复习2
高一数学必修四总知识点
高一数学必修四总知识点高一数学必修四是中学数学教学中的重要部分，主要涵盖了一元二次函数、三角函数、向量以及概率统计等内容。
本篇文章将对这些知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和方法。
一、一元二次函数一元二次函数是高中数学中的基本概念之一。
它的一般式表示为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$都是实数且$a ≠ 0$。
1. 函数图像与性质：一元二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。
通过对函数的形状、首项系数$a$的正负以及顶点坐标等进行分析，可以判断抛物线的开口方向、最值以及对称轴等性质。
2. 解的求法：一元二次函数的解即为使得函数等于零的$x$的值。
可以使用配方法、因式分解、求根公式等方法来求解一元二次方程。
需要注意的是，方程的解可能有一个、两个或无解，这取决于方程的判别式$b^2-4ac$的值。
3. 一元二次函数与其他函数的关系：一元二次函数与线性函数、指数函数等有着密切的联系。
可以通过对函数的图像、性质和解的求法等方面进行比较和分析，加深对一元二次函数的理解。
二、三角函数三角函数是研究角与边之间关系的重要工具，具有广泛的应用。
高一数学必修四主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数等。
1. 弧度与角度：弧度制和角度制是表示角度的两种常见方式。
在求解三角函数的过程中，需要根据题目要求来选择合适的单位，并灵活运用它们。
2. 单位圆与三角函数：单位圆是三角函数的重要工具，它可以用来解释和证明各个三角函数的性质。
通过坐标系和单位圆的关系，可以推导出三角函数的周期性、图像和函数值等特点。
3. 三角函数的图像和性质：正弦函数的图像为一条连续的波浪线，余弦函数的图像为一条连续的山形线，正切函数的图像则存在间断点。
研究三角函数的图像和周期性、奇偶性、单调性等性质，有助于理解和应用三角函数。
三、向量向量是描述物理和几何问题的重要工具，它具有大小和方向。
高一数学必修四主要介绍了向量的表示、相等判定、数量积和向量积等。
高一数学期末复习必修4知识点总结2021.6
高一数学期末复习必修4知识点总结201*6高一数学期末复习必修4知识点总结正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为，周长为C，面积为S，11则r，C2r，Srr2．229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,，它与原点的距离是rr220，则in，co，tan0．rr10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正第二象限角的集合为36090360180,第三象限角的集合为360180360270,第四象限角的集合为360270360360,终边在轴上的角的集合为180,终边在轴上的角的集合为18090,终边在坐标轴上的角的集合为90,3、与角终边相同的角的集合为360,第一象限角的集合为36036090,切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：in，co，tan．12、同角三角函数的基本关系：1in2co21a1；当ma1；当222时，min1．既无最大值也无最小值个单位长时，min1．周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数22度，得到函数in的图象；再将函数in的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数in的图象．函数in0,0的性质：1①振幅：；②周期：；③频率：f；④相位：；⑤初相：．22函数in，当1时，取得最小值为min；当2时，取得最大值为ma，则11mamin，mamin，2112222在2,222单调在2,2上是增函数；15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质上是增函数；在32,222在在,22incotan性2,2上是减函数．称中上是增函数．图象上是减函数．对2对称中心,0对对称轴心对称中心称性,02,02对称轴无对称轴16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cococoinin；⑵cococoinin；⑶inincocoin；⑷inincocoin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．17、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴in22inco．⑵co2co2in22co2112in2（co2co212in21co22）．⑶tan22tan1tan2．18、inco22in，其中tan．结论：ainbcoa2b2aina2b2ba2b2coa2b2coinincoa2b2in其中coφ＝aina2b2,ba2b2或ta3、应用1求3in＋４co的周期及最值解：3in＋４co53in455co5incocoin5in其中coφ35,in45∴3in＋4co的周期T2最大值为5，最小值为－５3，扩展阅读：高一数学必修1、4各章知识点总结高201*级第一学期数学期末复习知识清单高一数学必修1各章知识点总结一、集合有关概念1集合的含义2集合的中元素的三个特性：1元素的确定性如：世界上最高的山2元素的互异性如：由HAm-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值二、函数的有关概念22221．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：=f，∈A．其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{f|∈A}叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域。
高一年级数学必修四复习知识点
高一年级数学必修四复习知识点1.高一年级数学必修四复习知识点篇一函数与导数导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
2.高一年级数学必修四复习知识点篇二函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f (x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;b.确定f(-x)与f(x)的关系;c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.3.高一年级数学必修四复习知识点篇三1.多面体的结构特征(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
(完整word版)高一数学必修4知识点复习及重点题型.docx
必修 3 重要知识点梳理第一部分 知 回 ： 一、算法与程序框 ：1. 程序框 相关符号及 名称和功能 .2. 基本 构： 序 构、 条件 构 和循 构 .3. 基本算法 句： 入 句、 出 句、 句、条件 句、循 句.4. 算法案例：求最大公 数 ---- 相除法 与更相减 ；秦九韶算法； 位制 .二、 ： （一）随机抽[ 来源 : 学 #科 #网 ]抽 方法：随机抽 ( 抽 法和 随机数法 )系 抽分 抽 .（二）用 本估 体：1. 用 本的 率分布估 体分布 率分布表， 率分布直方 ，茎叶 ， 率分布折 ， 体密度曲.2. 用 本的数字特征估 体的数字特征通 原始数据求众数、中位数、平均数和方差/ 准差 .通 率分布直方 估 数据的众数、中位数、平均数和方差/ 准差 .（三） 量 的相关关系1. 相关关系 -- 正相关和 相关2. 两个 量的 性相关回 直 ， 最小二乘法求回 直 方程 三、概率：（一）随机事件的概率事件、 数和 率以及概率的正确理解 . 事件的关系：包含、相等、互斥和 立 .事件的运算：并 ( 和) 事件和交 () 事件 .概率的基本性.（二） 古典概型和几何概型 ：相 概率模型的特征及运算公式.第二部分 巩固：算法和程序框图部分：1.如果 行下面的程序框 ，那么 出的S 等于 ()A ． 2 450B ． 2 500C ． 2 550D ． 2 652 2.若下面的程序框 出的 S 是 126， ① () A ． n ≤ 5? B ． n ≤ 6? C ． n ≤ 7?D ． n ≤ 8?3. 下列程序， 其 出的 果() 633112715A.64B.32C.128D.16S ＝ 0n ＝ 2 i ＝ 1 DOS ＝S ＋ 1/n n ＝ n*2 i ＝ i ＋ 1LOOP UNTIL i> ＝ 7 PRINT S END第 1第 2第 34.如 是求x 1， x 2 ，⋯， x 10 的乘 S 的程序框 ， 中空白框中 填入的内容()A ． S ＝ S*( n ＋1)B ． S ＝ S*x n ＋ 1C ． S ＝ S* nD ． S ＝ S*x n5．某程序框 如 所示，若 出的S ＝ 57， 判断框内()A ． k>4?B ． k>5?C ． k>6?D ． k>7?6. 如 所示的程序框，运行相 的程序 ，若 出的 果是 16，那么在程序框中的判断框内 填写的条件是 ________．第 5第 4第 5第 67 已知三个数 12(16)， 25(7)， 33(4)，将它 按由小到大的 序排列________．8把 10 231(5)化 四 制数 ________．统计部分：1.某 位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人， 了 他 的身体状况的某 指 ，需从他中 抽取一个容量 36 的 本 ， 老年人 、中年人 、青年人分 抽取的人数是()A ． 7,11,19B ． 6,12,18C ． 6,13,17D ． 7,12,1712.已知一 数据 x 1， x 2， x 3， x 4， x 5 的平均数是 2，方差是 3，那么另一 数3x 1 －2,3x 2－ 2,3x 3－ 2,3x 4－2,3x 5－ 2 的平均数 ，方差分 是 ( )12A ． 2， 3B ．2,1C ． 4，3D ． 4,3 3.如果在一次实验中 ，测得 (x ， y)的四组数值分别是 A(1,3)，B(2,3.8) ，C(3,5.2) ，D(4,6) ，则 y 与 x 之间 的回归直线方程是 ( )^^^^A. y ＝ x ＋1.9B. y ＝ 1.04x ＋ 1.9C.y ＝ 0.95x ＋ 1.04D.y ＝ 1.05x －0.9 4.某商店统计了最近 6个月某商品的进价x 与售价 y(单位：元 )的对应数据如下表： x 3 5 2 8 9 12y46391214假设得到的关于 x 和 y 之间的回归直线方程是 ^^ ^y ＝ b x ＋a ，那么该直线必过的定点是 ________．5.某单位为了了解用电量y 度与气温 x ℃之间的关系 ，随机统计了某4 天的用电量与当天气温 .气温 (℃ ) 14 12 8 6用电量 (度)22263438^^^^由表中数据得回归方程 y ＝b x ＋ a 中b ＝－ 2，据此预测当气温为 5℃时 ，用电量的度数约为 ______．6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 .x 3 4 5 6y 2.53 4 4.5(1) 请画出上表数据的散点图；^^^(2) 请根据上表提供的数据 ，用最小二乘法求出y 关于 x 的回归直线方程 y ＝ bx ＋ a ；(3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤．试根据 (2)求出回归直线方程 ，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值： 3× 2.5＋ 4× 3＋ 5×4＋ 6× 4.5＝ 66.5)7.农科院的专家为了了解新培育的甲 、乙两种麦苗的长势情况 ，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6 株麦苗测量麦苗的株高 ，数据如下： ( 单位： cm)(1) 在下面给出的方框内绘出所抽取的甲 、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2) 分别计算所抽取的甲 、乙两种麦苗株高的平均数与方差 ，并由此判断甲 、乙两种麦苗的长势情况．甲： 9,10,11,12,10,20乙： 8,14,13,10,12,21.8.今年西南一地区遭遇严重干旱 ，某乡计划向上级申请支援 ，为上报需水量 ，乡长事先抽样调查了 100户村民的月均用水量 ，得到这 100 户村民月均用水量的频率分布表如下表： (月均用水量的单位：吨 )用水量分组 频数 频率[0.5,2.5)12 [2.5,4.5)[4.5,6.5) 40[6.5,8.5)0.18[8.5,10.5]6合计1001(1) 请完成该频率分布表 ，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图； (2) 估计样本的中位数是多少？(3) 已知上级将按每户月均用水量向该乡调水 ，若该乡共有 1 200 户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？9.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛 ，由成绩得到如下的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数．(2)这 50 名学生的平均成绩．3.若 A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B 表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 A 、B 各表示什么 ?4.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标 ,甲的命中率为 0.65,乙的命中率为 0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于 0.65+0.60=1.25, 为什么 ?(2) 一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75, 为什么 ?(3) 两人各掷一枚硬币, “同时出现正面”的概率可以算得为12 .由于“不出现正面”是上述事件的对立事132件 ,所以它的概率等于12,这样做对吗 ?说明道理 .245.在一只袋子中装有7 个红玻璃球 ,3 个绿玻璃球 .从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3) 取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.6.盒中有 6 只灯泡 ,其中 2 只次品 ,4 只正品 ,有放回地从中任取两次,每次取一只 ,试求下列事件的概率：(1)取到的 2 只都是次品； (2)取到的 2 只中正品、次品各一只；(3) 取到的 2 只中至少有一只正品.概率部分：随机事件的概率：1.一口袋内装有大小一样的 4 只白球与 4 只黑球 ,从中一次任意摸出 2 只球 .记摸出 2 只白球为事件 A, 摸出 1 只白球和 1 只黑球为事件 B.问事件 A 和 B 是否为互斥事件？是否为对立事件？2.在一个盒子内放有10 个大小相同的小球,其中有 7 个红球、 2 个绿球、 1 个黄球 ,从中任取一个球,求：（1）得到红球的概率；（ 2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（ 4）得到黄球的概率 .（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件 A 、B 之间有什么关系 ,可以同时发生吗？（6）（ 3）中的事件 D“得到红球或者绿球”与事件 A 、 B 有何联系？7.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是3和1.试求该市74足球队夺得全省足球赛冠军的概率.古典概型：8.在大小相同的 5 个球中 ,2 个是红球 ,3 个是白球 ,若从中任取 2 个 ,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是 _____________.9.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为8 的概率 .10.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd, 若第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的 ,求第二子代为高茎的概率（只要有基因 D 则其就是高茎 ,只有两个基因全是 d 时 ,才显现矮茎） .11.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，(1) 从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n＜ m＋ 2 的概率．几何概型：12.有一段长为 10 米的木棍 ,现要将其截成两段 ,要求每一段都不小于 3 米 ,则符合要求的截法的概率是多大？13.郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以3看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整4个地落到方几上就可以进行下一轮比赛 .郭靖一扔 ,铜板落到小方几上 ,且没有掉下 ,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？14 甲、乙两人相约在上午 9：00 至 10：00 之间在某地见面 ,可是两人都只能在那里停留 5 分钟 .问两人能够见面的概率有多大？15.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水 ,含有病毒的概率是多大？现在我们将这个问题拓展一下：16.在 5 升水中有两个病毒,现从中随机地取出 1 升水 ,含有病毒的概率是多大？17.在圆心角为90°的扇形中 ,以圆心为起点作射线OC,求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30°的概率 .18.设关于x的一元二次方程x22ax b20 .(1)若a是从 0， 1， 2， 3 四个数中任取的一个数，b是从 0， 1，2 三个数中任取的一个数，求使上述方程组有实数根都概率 .(2)若a是从[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.19. 某工厂生产A、B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品 .现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x 、 y 看不清，统计员只记得x y ，且 A 、 B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等 .求表格中 x 与 y 的值从被检测的 5 件B种元件中任取2 件，求 2 件都为正品的概率.。
高一年级数学必修四知识点复习
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高一数学必修四总结知识点
高一数学必修四总结知识点高一是学习数学的关键年级，学生开始接触更复杂的数学知识，必修四是高中数学的一门重要课程。
在这门课程中，学生将学习各种各样的数学概念、定理和解题方法。
本文将总结高一数学必修四中一些重要的知识点，以帮助学生复习和理解这门课程。
一、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义和性质：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 是实数，a ≠ 0。
二次函数的图像是抛物线，开口方向由 a 的正负决定。
2. 二次函数的图像和性质：a 的值决定了抛物线的开口方向和是否对称于 y 轴。
抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
3. 一元二次方程的解法：一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，a ≠ 0。
解一元二次方程有三种方法：因式分解、配方法和求根公式。
4. 因式分解法：对一元二次方程进行因式分解，使方程两边同时为零，得到方程的解。
5. 配方法：通过将一元二次方程写成平方的形式，使方程两边同时为零，解方程得到解。
6. 求根公式：根据二次方程的常用公式，利用求根公式计算方程的解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
二、三角函数1. 弧度与角度：弧度是角度的一种度量方式，表示扫过的弧长与半径的比值。
1 弧度等于约 57.3°。
2. 三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切是常见的三角函数。
它们的定义和性质可用单位圆的坐标来解释和证明。
3. 周期性：三角函数都具有周期性，即 f(x + T) = f(x)，其中 T 为函数的周期。
4. 三角函数的图像和性质：正弦函数、余弦函数和正切函数都有特定的图像和性质。
正弦函数和余弦函数的值域是 [-1, 1]，而正切函数的值域是全体实数。
5. 三角函数的图像变换：通过改变振幅、周期、相位等参数，可以对三角函数进行图像变换。
天津高一数学知识点
天津高一数学知识点在天津高一的数学学习中，我们将接触到许多重要的数学知识点。
这些知识点是我们建立数学基础，为后续学习打下坚实基础的重要内容。
下面，我将带你了解一些天津高一数学中的重要知识点。
一、集合与函数在数学中，集合与函数是基础概念。
集合是指对象的总体，而函数则是集合与集合之间的一种映射关系。
我们需要学习集合的表示方法和性质，以及函数的定义、性质和常用函数的图像与性质。
二、数列与数列极限数学中的数列是指按照一定规律排列的一组数的序列。
在高一数学中，我们需要学习数列的概念、常用数列的特征以及数列的极限。
数列的极限是指数列中的数随着项数的增加逐渐趋近于某个值，我们需要学会计算数列的极限。
三、函数与方程函数与方程是高一数学中的重要内容。
我们需要学习函数的定义、函数的性质以及常用函数的图像与性质。
同时，我们还需要掌握方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程等等。
这些内容是我们后续学习更复杂数学知识的基础。
四、平面向量平面向量是天津高一数学中的重点内容。
我们需要学习平面向量的定义、向量的运算，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。
平面向量在几何和物理问题中有着广泛的应用，是我们进一步学习数学的基础。
五、三角函数三角函数是数学中的重要知识点。
我们需要学习三角函数的定义、性质以及三角函数的图像与性质。
在学习三角函数时，我们还需要掌握三角函数的诱导公式、和差化积公式等，以及三角函数在几何和物理中的应用。
六、空间几何与立体几何空间几何与立体几何是天津高一数学中的难点内容。
我们需要学习空间中的点、直线、平面的性质，以及立体图形的性质。
在学习空间几何与立体几何时，我们需要深入理解几何图形的特性和性质，为后续学习提供基础。
七、概率与统计概率与统计是数学中的重要应用知识。
我们需要学习概率的基本概念、概率计算的方法，以及统计学中的样本调查和数据的收集、整理与分析方法。
概率与统计的应用广泛，对我们了解和解决实际问题有重要意义。
天津市高一数学知识点
天津市高一数学知识点数学一直被认为是一门重要的学科，其在人们的生活中起着举足轻重的作用。
在天津市的高一阶段，数学知识点的学习成为了学生们必不可少的一部分。
下面我将简要介绍一些天津市高一数学的知识点。
第一章：函数函数是高一数学中的重要内容。
它是描述两个变量之间关系的一种方式。
学生需要掌握函数的概念和性质，以及常见的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数等。
他们还需要学会函数的表示方法和函数的运算。
第二章：数列和数列极限数列是高中数学中一个基本的概念，它是由一系列有序的数字组成。
在学习数列时，学生需要了解数列的基本性质和表示方法，例如递推公式和通项公式。
此外，他们还需要学会求解数列的极限，这是数学分析中的一个重要内容。
第三章：数与式在这一章中，学生将学习数与式的关系。
他们需要了解数与式的基本性质和运算规则，掌握将数转化为式子和将式子转化为数的方法。
此外，他们还需学会进行数与式的运算，如加法、减法、乘法和除法。
第四章：方程和不等式方程和不等式是解决实际问题的重要工具。
在高一阶段，学生将学会解一元线性方程、一元二次方程、一元一次不等式和一元二次不等式等。
他们还将学习方程和不等式的基本性质和解题技巧，并能灵活运用于实际问题的解决中。
第五章：三角函数三角函数是应用广泛的一类函数。
学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，以及它们的基本性质和图像。
他们还需要学会应用三角函数求解实际问题，如测量高度、距离和角度等。
第六章：统计与概率统计与概率是数学中的一个重要分支，在高一数学课程中也占有重要地位。
学生将学习搜集、整理、分析和解释数据，并通过统计方法得出合理的结论。
此外，他们还将学习概率的基本概念和运算法则，并能应用于实际问题的解决中。
第七章：数学证明数学证明是数学思维的重要组成部分。
在高一阶段，学生将学习数学证明的基本方法和技巧，学会运用数学推理和逻辑推理解答问题。
数学证明不仅能培养学生的逻辑思维能力，还能提高他们的问题解决能力。
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必修四 期末复习（二）
一、 三角函数 课型B
例1．与图中曲线对应的函数(定义域为[]2π,2π-)是 ( B )
A ．sin y x =
B ．sin y x =
C ．sin y x =-
D ．sin y x =- 例2．设θ是第二象限角，则点P （sin(cos θ)，cos(cos θ)）在 ( B )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 例3．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不．可能．．
是.w..c.o.m ( D )
例4．若124sin ,sin(),,135ααβαβ=
+=为锐角，求cos 2β 124sin sin()135ααβ=>=+ 且0,2παβ<<,2
ππαβ∴>+> 否则,若2π
αβ+< 而 0ααβπ<<+<
则sin sin()ααβ<+与条件不符
3cos() 5
αβ∴+==- 33cos cos[()]cos()cos sin()sin 65βαβααβααβα=+-=+++= 024β
π
<<
∴ cos 2β
==例5．设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π
=x 。
⑴求ϕ； ⑵求函数)(x f y =的单调增区间；
解：⑴)(8x f y x ==
是函数π 的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ .,24Z k k ∈+=+∴π
πππ
.43,0πϕϕπ-
=<<- ⑵由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-
=x y 因此 由题意得
.,2
243222Z k k x k ∈+≤-≤-ππππ
π 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 二、三角函数 课型C
例6. 若1sin()63πα-=，则2cos(2)3
πα+等于 ( A ) A.79- B.13- C.13
D.79
例7．将函数sin y x x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值为 ( C ) A.
76π B.2π C.6π D.3
π
例8．若函数()(1)cos ,02f x x x x π
=≤<，则()f x 的最大值为
( B )
A.1
B.2 1 D. -2
例9°°+tan11°·tan19°
0000000000
tan11tan1919)(1tan11tan19)tan11tan19+=+-+
0000
tan11tan19)tan11tan191
3
-+=，
例10
（Ⅰ）求函数)
(x
f的单调递减区间；
（Ⅱ）已知函数)
(x
f 在区间上的最小值是2
-，最大值是b
a,的值．
解
（II
例11．已知向量(cos(
a x
=-，(cos(
b x
=+
a b k a b
⋅-+, x
（1，求b
a⋅及+
a b；
（2）若1
k=，当x为何值时，()
f x有最小值，最小值是多少？
（3）若()
f x的最大值为3，求k的值.。