2015年上海市普陀区晋原中学高二上学期数学期中考试试卷
2016年上海市普陀区晋元高中高三上学期数学期中考试试卷
2016年上海市普陀区晋元高中高三上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=1,2,k，B=1,2,3,5，若A∪B=1,2,3,5，则k=．2. 方程log3x+log x3=2的解是x=．3. 若tanα=34，则cos2α+2sin2α=．4. 已知y=f x是奇函数，若g x=f x+2且g1=1，则g−1=．5. 函数y=sin x和y=cos x均为减函数的区间是．6. 已知数列a n的前n项和S n=n2+n n∈N∗，则limn→∞na nS n=．7. 若0≤x<π，则满足方程tan4x−π4=1的角的集合是．8. 在无穷等比数列a n中，a1=3，a2=1，则limn→∞a1+a3+a5+⋯+a2n−1=．9. 已知函数y=f x存在反函数y=f−1x，若函数y=f x−1的图象经过点1,2，则函数y=f−1x+1的图象经过点．10. 已知等比数列a n的首项为2，公比为2，则a a n+1a a1⋅a a2⋅a a3⋅⋯⋅a a n=．11. 已知集合A=x x2+p+2x+1=0,p∈R，若A∩R+=∅，则实数p的取值范围是．12. 已知函数f x=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=−π4为f x的零点，x=π4为y=f x图象的对称轴，且f x在π18,5π36单调，则ω的最大值为．13. 定义“规范01数列”a n如下：a n共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2⋯a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．14. 已知函数f x=2−x−1,x≤0f x−1,x>0，若关于x的方程f x=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）15. 已知函数f x=1+cos2x sin2x,x∈R，则f x是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π2的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π2的偶函数16. “非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：（1）M的元素都不是P的元素；（2）M中有不属于P元素；（3）M中有P的元素；（4）M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17. 已知f x是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f x为0,1上的增函数”是“f x为3,4上的减函数”的 A. 既不充分又不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件18. 设a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1<a1<3，a3=4，若b n=2a n，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等比数列；（2）b1<b2；（3）b2>4；（4）b4>32；（5）b2b4=256．其中真命题的个数是 A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（共5小题；共65分）19. 关于x的不等式x2−2a+1x+a2+a−2>0，x2−a2+a x+a3<0的解集分别为M和N．（1）试求M和N；（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b=a=3，求c的值；（2）设t=sin A sin C，求t的最大值．21. 由于浓硫酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=−16x+2−x+8,0≤x≤24−x,2<x≤4．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长?（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中时碱浓度可能取得的最大值．22. 已知递增的等差数列a n的首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列a n的通项公式a n；（2）设c n对任意n∈N∗，都有c12+c22+⋯+c n2=a n+1成立，求c1+c2+⋯+c2015的值；（3）若b n=a n+1a nn∈N∗，求证：数列b n中的任意一项总可以表示成其它两项之积．23. 已知函数f1x=e x−2a+1，f2x=e x−a +1，x∈R，1≤a≤6．（1）若a=2，求使f1x=f2x的x的值；（2）若f1x−f2x=f2x−f1x对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；（3）求函数g x=f1x+f2x2− f1x−f2x2在1,6上的最小值．答案第一部分1. 3或5【解析】由集合中元素的互异性可知k≠1,2，又A∪B=1,2,3,5，所以k=3或5．2. 3【解析】因为log3x+log x3=2，所以log3x+1log3x=2，所以log3x−12=0，解得：x=3．3. 6425【解析】cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαcosα+sinα=1+4tanα1+tan2α=6425.4. 3【解析】考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y=f x为奇函数．已知函数y=f x 为奇函数，由已知得g1=f1+2=1，所以f1=−1，则f−1=−f1=1，所以g−1= f−1+2=1+2=3．5. 2kπ+π2,2kπ+π k∈Z【解析】y=sin x是减函数的区间是2kπ+π2,2kπ+32π k∈Z，y=cos x是减函数的区间是2kπ,2kπ+πk∈Z，所以同时成立的区间为2kπ+π2,2kπ+π k∈Z．6. 2【解析】由S n=n2+n n∈N∗，当n=1时，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n−n−12−n−1=2n，当n=1时，a1=2×1=2，成立，所以a n=2n n∈N∗，所以limn→∞na nS n=limn→∞2n2n n+1=2limn→∞11+1=2，所以limn→∞na nS n=2．7. π8,3π8,5π8,7π8【解析】由题意，4x−π4=kπ+π4，k∈Z，所以x=14kπ+π8，k∈Z，因为0≤x<π，所以x=π8,3π8,5π8,7π8．8. 332【解析】公比q=3，q2=13．所以limn→∞a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a11−q=31−13=332．9. 3,2【解析】因为函数y=f x存在反函数y=f−1x，所以图象关于y=x对称，因为函数y=f x−1的图象经过点1,2，所以函数y=f x的图象经过点1,3，所以函数y=f−1x的图象过点3,1，所以函数y=f−1x+1的图象经过点3,2．10. 4【解析】因为等比数列a n的首项为2，公比为2，所以a n=2×2n−1=2n，所以a an=22n．所以a an+1a1a2a3a n =22n+121⋅22⋅23⋅ ⋯ ⋅2n =22n+12123n=22n+12n+1=1=4.11. −4,+∞【解析】集合A=x x2+p+2x+1=0,p∈R，若判别式Δ=p+22−4<0，即p+22<4，解得−4<p<0，此时A=∅，满足条件．若Δ=p+22−4≥0，即p+22≥4，解得p≤−4或p≥0，此时若A∩R+=∅，则方程的根满足x≤0，设f x=x2+p+2x+1，则−p+22<0,f0≥0,即p>−2,1≥0,综上：p>−4．12. 9【解析】因为函数f x=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=−π4为f x的零点，x=π4为y=f x图象的对称轴，所以ω −π4+φ=nπ，n∈Z，且ω⋅π4+φ=nʹπ+π2，nʹ∈Z，所以相减可得ω⋅π2=nʹ−nπ+π2=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，因为f x在π18,5π36单调，（1）若f x在π18,5π36单调递增，则ω⋅π18+φ≥2kπ−π2，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k∈Z，即−ω⋅π18−φ≤−2kπ+π2, ⋯⋯①且ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2,k∈Z, ⋯⋯②由①②可得336ωπ≤π，所以ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，−114π+φ=kπ，k∈Z，因为φ≤π2，所以φ=−π4．此时f x=sin11x−π4在π18,5π36上不单调，不满足题意．当ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为φ≤π2，所以φ=π4．此时f x=sin9x+π4在π18,5π36上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若f x在π18,5π36单调递减，则ω⋅π18+φ≥2kπ+π2，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k∈Z，即−ω⋅π18−φ≤−2kπ−π2, ⋯⋯③且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2,k∈Z, ⋯⋯④由③④可得336ωπ≤π，所以ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，−114π+φ=kπ，k∈Z，因为φ≤π2，所以φ=−π4．此时f x=sin11x−π4在π18,5π36上不单调，不满足题意．当ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为φ≤π2，所以φ=π4．此时f x=sin9x+π4在π18,5π36上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．13. 14【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．14. 12,1【解析】函数f x=2−x−1,x≤0f x−1,x>0的图象如图所示，当12≤a<1时，函数y=f x的图象与函数y=ax的图象有三个交点，即方程f x=ax有三个不相等的实数根．第二部分15. D【解析】提示：f x=1+cos2x sin2x=2cos2x sin2x=12sin22x=1−cos4x4．16. B 【解析】由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得：“非空集合M的元素至少有一个元素不属于集合P”是真命题．据此可知：（1）不正确；（2）正确；（3）M中不一定有P的元素，例如M=a，则a∉P；（4）正确．综上可知：真命题只有（2）（4）．17. D 【解析】若函数f x在0,1上是增函数，则依据f x是偶函数可知，f x在−1,0上是减函数，结合f x的周期为2可知，f x在3,4上是减函数．反过来，若函数f x为3,4上的减函数，则依据f x的周期为2，可知只f x为−1,0上的减函数．因为“f x是偶函数，所以f x为0,1上的增函数．因此“f x为0,1上的增函数”是“f x为3,4上的减函数”的充要条件．18. C 【解析】因为a1，a2，a3，a4是等差数列，设其公差为d，又1<a1<3，a3=4，所以a3=4=a1+3−1d，即1<4−2d<3，所以12<d<32，因为b n=2a n，所以b n+1b n=2a n+1−a n=2d>1n=1,2,3,4，所以b n为等比数列，故（1）正确；（2）正确；又b2=b32d =242d=24−d>24−3=25>22=4，故（3）正确；b4=b3⋅2d=24⋅2d=24+d>24+12=162，故（4）错误；又b2b4=b32=242=256，故（5）正确．综上所述，真命题的个数是4个．第三部分19. （1）不等式x2−2a+1x+a2+a−2>0，变形得：x−a+1x−a−2>0，解得：x<a−1或x>a+2，即M=−∞,a−1∪a+2,+∞，不等式x2−a2+a x+a3<0，变形得：x−a2x−a<0，当a>1或a<0时，解得：a<x<a2，即N=a,a2；当0<a<1时，解得：a2<x<a，即N=a2,a；当a=0或a=1时，解集为空集，即N=∅．（2）当a<0或a>1时，因为a>a−1，所以a<0或a>1, a2≤a+2,解得a<0或a>1,−1≤a≤2,即取−1≤a<0或1<a≤2；当0<a<1时，因为a<a+2，所以0<a<1, a2≥a−1,解得0<a<1, a∈R,即取0<a<1；因为当a=0或a=1时，N=∅，所以M∩N=∅，即取a=0或a=1；综上：−1≤a≤2．20. （1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=13，a=3，b2=a2+c2−2ac cos B，所以c2−3c−4=0．所以c=4或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以t=sin A sin 2π−A=sin A 3cos A+1sin A=3sin2A+11−cos2A=1+1sin2A−π.因为0<A<2π3，所以−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．21. （1）−16x+2−x+8≥1,0≤x≤2⇒5−172≤x≤5+172,0≤x≤2⇒5−172≤x≤2，4−x≥1,2<x≤4⇒2<x≤3．综上，得5−172≤x≤3．即若只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间为3−5−172=1+172．（2）当0≤x≤2时，y=−16x+2−x+8单调递增，当2<x≤4时，y=4−x单调递减．因为当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，所以2<x≤4时，y=4−x+ −16x−2+2−x−2+8=14−2x+16≤14−22x⋅16 x=14−8 2.故当且仅当2x=16x，即x=2时，y有最大值14−822. （1）因为数列a n是递增的等差数列，设公差为d d>0，由a1，a2，a4成等比数列，可知：a22=a1⋅a4，所以1+d2=1+3d，解得：d=1或d=0（舍），所以a n=1+n−1=n．（2）因为a n+1=n+1，所以c12+c22+⋯+c n2=n+1对任意n∈N∗都成立，当n=1时，c12=2，即c1=4；当n≥2时，c n2n =c12+c222+⋯+c n2n−c12+c222+⋯+c n−12n−1=1，所以c n=2n，所以c n=4,n=1 2n,n≥2．所以c1+c2+⋯+c2015=4+22+23+⋯+22015=4+41−22014=22016.（3）对于给定的n∈N∗，假设存在k，t≠n k,t∈N∗，使得b n=b k⋅b t，因为b n=n+1n，所以只需n+1n =k+1k⋅t+1t，即1+1n =1+1k1+1t，即1n =1k+1t+1k⋅1t，即kt=nt+nk+n，t=n k+1k−n，取k=n+1，则t=n n+2，所以对数列b n中的任意一项b n=n+1n ，都存在b n+1=n+2n+1和b n2+2n=n2+2n+1n+2n使得b n=b n+1⋅b n2+2n．23. （1）若a=2，则f1x=e x−3，f2x=e x−2+1，由f1x=f2x得e x−3=e x−2+1，即x−3=x−2+1，若x≥3，则方程等价为x−3=x−2+1，即−3=−1，不成立，若2<x<3，则方程等价为−x+3=x−2+1，即2x=4，解得x=2，不成立，若x≤2，则方程等价为−x+3=−x+2+1，此时恒成立；综上使f1x=f2x的x的值满足x≤2．（2）由f1x≤f2x恒成立，得x−2a+1 ≤ x−a+1，即x−2a+1− x−a ≤1对x∈R恒成立，因x−2a+1− x−a ≤ a−1，故只需a−1 ≤1，解得0≤a≤2，又1≤a≤6，故a的取值范围为1≤a≤2．（3）g x=f1x,f1x≤f2xf2x,f1x>f2x．①当1≤a≤2时，由（2）知g x=f1x=e x−2a+1，当x=2a−1∈1,3时，g x min=1．②当2<a≤6时，2a−1−a=a−1>0，故2a−1>a．x≤a时，f1x=e−x+2a−1>e−x+a+1=f2x，g x=f2x=e x−a +1；x≥2a−1时，f1x=e x−2a−1<e x−a+1=f2x，g x=f1x=e x−2a+1；a<x<2a−1时，由f1x=e−x+2a−1≤e x−a+1=f2x，得x≥3a−22，其中a<3a−22<2a−1，故当3a−22≤x<2a−1时，g x=f1x=e x−2a+1；当a<x<3a−22时，g x=f2x=e x−a +1．因此，当2<a≤6时，g x=f1x,x≥3a−22f2x,x<3a−22．令f1x=e x−2a+1=e，得x1=2a−2，x2=2a，且3a−22<2a−2，如图，（i）当a≤6≤2a−2，即4≤a≤6时，g x min=f2a=e；（ii）当2a−2<6≤2a−1，即72≤a<4时，g x min=f16=e2a−7；（iii）当2a−1<6，即2<a<72时，g x min=f12a−1=1．综上所述，g x min=1,1≤a<72e2a−7,72≤a<4 e,4≤a≤6．。
2015学年普陀区第一学期九年级数学期中试卷及答案
2015学年第一学期九年级数学学科期中考试卷（时间：100分钟 总分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.已知25=b a ，那么下列等式中，不一定正确的是………………………………………（ ▲ ） （A ）b a 52=； （B ）25b a =； （C ）7=+b a ； （D ）27=+b b a . 2.如果点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AD AG :是（ ▲ ） （A ）3:2； （B ）2:1； （C ）3:1； （D ）4:3.3.已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定BCDE //的是…………………………………………………………………………………………（ ▲ ） （A ）AC CE AB BD ::=； （B ）AD AB BC DE ::=； （C ）AE AD AC AB ::=； （D ）EC AE DB AD ::=.4.如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，如果添加一个条件，不能使ABC ∆∽DCA ∆成立的是………………………………………………………………………………………（ ▲ ） （A ）ADC BAC ∠=∠； （B ）ACD B ∠=∠； （C ）BC AD AC ⋅=2； （D ）BCABAC DC =. 5.如果二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么下列判断正确的是………（ ▲ ） （A ）0>b ，0>c ； （B ）0>b ，0<c ； （C ）0<b ，0>c ； （D ）0<b ，0<c .6.将抛物线22x y -=向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ▲ ） （A ）2)1(22+--=x y ； （B ）2)1(22---=x y ； （C ）2)1(22++-=x y ； （D ）2)1(22-+-=x y .BCDA第4题第5题学 班级 姓 学 _____________________________________________________装____________订___________线________________________________________________二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】7．已知线段cm a 4=，cm b 9=，那么线段a 、b 的比例中项等于 ▲ cm ． 8．如图，在ABC ∆中，BC DE //，8:5:=BC DE ，那么=EC AE : ▲ ． 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（BP AP >），如果2=AP ，那么线段=AB ▲ ．10．如图，321////l l l ，2=AB ，3=BC ，那么DFDE的值是 ▲ ． 11．如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，则=∠+∠21 ▲ 度．12．如图，在ABC ∆中，BC DE //，2:3:=DB AD ，则=∆B D E CA D ES S 梯形: ▲ ．第8、12题 第10题 第11题13．如果抛物线5)3(2-+=x a y 图像开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知二次函数722-+=x x y 的一个函数值是8，那么对应自变量的值是 ▲ ． 15．如果抛物线2)1(212+--+=m x m x y 的对称轴是y 轴，那么m 的值是 ▲ ． 16．若点A （3-，1y ）、B （0，2y ）是二次函数1)1(22--=x y 图像上的两点，那么1y 与2y 的大小关系是 ▲ （填21y y >，21y y =或21y y <）．17．如图，有一座抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式为 ▲ ．18．如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥，5=BC ，3=AD ，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，如果设边EF 的长为x （30<<x ），矩形EFGH 的面积为y ，那么y 关于x 的解析式为 ▲ ．第17题第18题三、解答题：（本大题共7题，满分78分）BAE D C BA21HGF E D C B A DE CF B A l 3l 2l 119．（本题满分10分）已知抛物线经过（1-，0），（3，0），（1,2）三点，求抛物线的解析式.20．（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分） 已知二次函数27212+--=x x y . （1）用配方法把该二次函数的解析式化为k m x a y ++=2)(的形式； （2）指出该二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴.21．（本题满分10分，每小题5分）如图，ABC ∆中，PC 平分ACB ∠，PC PB =， （1）求证：APC ∆∽ACB ∆；（2）若2=AP ，6=PC ，求AC 的长.第21题 22．（本题满分10分）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，2:1:=EC AE ，BE 交AD 于点F ，求FDAF的值.第22题 23．（本题满分12分，每小题6分） 已知：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠90BCD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且BD AC ⊥.（1）求证：AD BC CD ⋅=2；（2）点F 是边BC 上一点，联结AF ，与BD 相交于点G ，如果DBF BAF ∠=∠，求证：BD BGADAG =22. 第23题24.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）CB PAF E D C B AFDCB如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点(2,6)E ，且ABE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2. （1）求直线AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且ABQ ∆与ADF ∆相似，求点Q 的坐标.备用图 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题第一问5分，第（2）小题第二问5分）直角三角形ABC 中，30A ∠=︒，1BC =，将其绕直角顶点C 逆时针旋转一个角α（0120α︒<<︒且90α≠︒），得到'''C B A Rt ∆.（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，求旋转角α的度数； （2）在三角形旋转过程中，边'A C 与AB 所在直线交于点D ，过点D 作//''DE A B 交'CB 边于点E ，联结BE .①当090α︒<<︒时，设AD x =，BE y =，求y 与x 之间的函数解析式及定义域； ②当ABC BDE S S ∆∆=31时，求AD 的长.第25题 备用图 备用图A B'ABA B2015学年第一学期九年级数学期中试卷答案要点与评分标准1． 解答只列出试题的一种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． C ； 2．A ； 3．B; 4．D; 5．B; 6．A ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．6; 8．3:5（或35）； 9．15+； 10．52； 11．︒45； 12．16:9（或169）； 13．3-<a ； 14．3和5-； 15．1； 16．>；17．x x y 582512+-=； 18.x x y 5352+-=.三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19． 解：（1）设二次函数解析式为c bx ax y ++=2(0≠a ),………………………（1分）把（1-，0），（3，0），（1,2）分别代入c bx ax y ++=2， 得 c b a +-=0c b a ++=390 ………………………………………………………………………（2分） c b a ++=2解得 21-=a ………………………………………………………………………………（2分） 1=b …………………………………………………………………………………（2分）23=c …………………………………………………………………………………（2分） 所以二次函数解析式为23212++-=x x y .……………………………………………（1分）20．.解：（1）27)2(212++-=x x y …………………………………………………（2分） 4)1(212++-=x ……………………………………………………（2分）（2）开口向下，…………………………………………………………………………（2分）顶点坐标（1-，4），……………………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x （不写直线得1分）.……………………………………………（2分）21.解：（1）∵PC 平分ACB ∠，∴BCP ACP ∠=∠，………………………………………………………………………（1分） ∵PC PB =，∴BCP B ∠=∠，…………………………………………………………………………（1分） ∴B ACP ∠=∠，…………………………………………………………………………（1分） 在APC ∆与ACB ∆中A A ∠=∠B ACP ∠=∠……………………………………………………………………………（1分）∴APC ∆∽ACB ∆.………………………………………………………………………（1分） (2）∵PC BP =，6=PC ，2=AP ，∴8=AB ，…………………………………………………………………………………（1分） ∵APC ∆∽ACB ∆， ∴ABACAC AP =，……………………………………………………………………………（2分） ∴162=⋅=AB AP AC ，…………………………………………………………………（1分） ∴4=AC 或4-=AC （舍）. …………………………………………………………（1分）22．解：过点D 作AC DG //，交BE 于点G ，………………………………………（2分） ∵D 是BC 中点，∴CD BD =，………………………………………………………………………………（2分） ∵AC DG //， ∴21==C E DG BC BD ，………………………………………………………………………（2分） ∵21=EC AE ， ∴1=DGAE，………………………………………………………………………………（2分） ∵AC DG //， ∴1==DGAEFD AF .…………………………………………………………………………（2分）23．证明：（1）∵BC AD //，︒=∠90BCD ，∴︒=∠=∠90BCD ADC ，………………………………………………………………（1分） ∵BD AC ⊥， ∴︒=∠90BEC ，∴︒=∠+∠90BCE CBE ，………………………………………………………………（1分） ∵︒=∠+∠90BCE ACD ， ∴ACD CBE ∠=∠，………………………………………………………………………（1分） 在ACD ∆与DBC ∆中 D C B A D C ∠=∠ D B C A C D ∠=∠ ∴ACD ∆∽DBC ∆，………………………………………………………………………（1分） ∴BCCDCD AD =，……………………………………………………………………………（1分） ∴AD BC CD ⋅=2.………………………………………………………………………（1分） （2）∵BC AD //， ∴DBF ADB ∠=∠， ∵DBF BAF ∠=∠， ∴ADB BAF ∠=∠， 在BAG ∆与BDA ∆中 D B A ABG ∠=∠ B D A BAG ∠=∠∴BAG ∆∽BDA ∆，………………………………………………………………………（1分）∴DBA ABG S S ADAG ∆∆=22，…………………………………………………………………………（2分） ∵BDBGS S DBA ABG =∆∆，……………………………………………………………………………（2分） ∴BDBGAD AG =22.……………………………………………………………………………（1分）24．解：∵2:3:=∆∆ABC ABE S S ，E （2，6），∴C （0，4），………………………………………………………………………………（1分） ∵D 是OC 中点， ∴D （0，2），………………………………………………………………………………（1分） 求出AD 的解析式：22+=x y ，…………………………………………………………（1分） ∴A （1-，0），……………………………………………………………………………（1分） 求出抛物线解析式：432++-=x x y ……………………………………………………（2分） （2）由题意可得：B （4，0），F （23，0），…………………………………………（1分）当点Q 在x 轴下方的直线AD 上时，ABQ ∆是钝角三角形，不可能与ADF ∆相似，因此点Q 一定在x 轴上方.此时ABQ ∆与ADF ∆有一个公共的A ∠，两个三角形相似存在两种情况：①当ADAFAQ AB =时，由于F 是AB 的中点，所以此时D 是AQ 的中点，即点Q 与点A 关于点D 对称，所以点Q 的坐标为（1，4）. ………………………………………………（1分）②当AF AD AQ AB =时，2555=AQ ，解得255=AQ . 过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H . ∵QH DO //，∴AQADHQ OD AH AO ==， 即255521==HQ AH ， 解得25=AH ，………………………………………………………………………………（1分） 5=HQ ，……………………………………………………………………………………（1分） ∴点Q 坐标为（23，5），…………………………………………………………………（1分） 综上所述，Q 点的坐标为（1，4）或（23，5）…………………………………………（1分）25.解：（1）在ABC Rt ∆中，∵︒=∠30A ，∴︒=∠60ABC .………………………（1分） 旋转过程中，对应边'CB CB =，对应角︒=∠=∠60'ABC B ，旋转角'BCB ∠=α.（1分） 当''B A 边经过点B 时，'BCB ∆是等边三角形，…………………………………………（1分） 此时旋转角︒=60α.………………………………………………………………………（1分） （2）①当︒<<︒900α时，点D 在AB 上.∵''//B A DE ，∴''CB CECA CD =. 在旋转过程中，对应边'CA CA =，'CB CB =，对应角'BCB ACD ∠=∠.∴CB CECA CD =，∴CA D ∆∽CBE ∆，……………………………………………………（1分） ∴ACBCAD BE =.…………………………………………………………………（1分） 在ABC Rt ∆中，︒=∠30A ，1=BC ，所以3=AC ，可得33=AC BC ，…………（1分） 因此33=x y ，所以y 与x 之间的函数解析式为x y 33=，…………………………（1分）定义域为20<<x .………………………………………………………………………（1分） ②23=∆ABC S ， )(I 当︒<<︒900α时，CAD ∆∽CBE ∆，CBE A ∠=∠，所以BDE ∆是直角三角形.因此)2(63)2(2121x x x y BD BE S BDE -=-=⋅=∆.…………………………………（1分） 当ABC BDE S S ∆∆=31时，解方程63)2(63=-x x ，解得1=x .………………………（1分） )(II 当︒<<︒12090α时，同理可证CAD ∆∽CBE ∆，AD BE 33=，所以BDE ∆是直角三角形. 此时)2(63)2(332121-=-⨯=⋅=∆AD AD AD AD BD BE S BDE ，………………（1分） 当ABC BDE S S ∆∆=31时，解方程63)2(63=-AD AD ，解得21+=AD 或21-（舍）…………………………………………………………………………………………（1分） 综上所述，当ABC BDE S S ∆∆=31时，1=AD 或21+=AD .…………………………（1分）。
2015年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
2015年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 在平面直角坐标系中，经过原点和点1,−3的直线的倾斜角α=．2. 设a=1,2，b=1,1，c=a+kb．若b⊥c，则实数k=．3. 直线m+3x+my−2=0与直线mx−6y+5=0互相垂直，则实数m=．4. 三阶行列式42k−354−11−2第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．5. 直线l的一个方向向量d=1,2，则l与直线x−y+2=0的夹角为．（结果用反三角函数值表示）6. 增广矩阵3m−1n10的二元一次方程组的实数解为x=1,y=2,则m+n=．7. 过三点A1,3，B4,2，B1,−7的圆交y轴于M，N两点，则MN=．8. 规定矩阵A3=A⋅A⋅A，若矩阵1x013=1101，则x的值是．9. 手表的表面在一平面上，整点1，2，⋯，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上，从整点i到整点i+1的向量记作t i t i+1，则t1t2⋅t2t3+t2t3⋅t3t4+⋯+t12t1⋅t1t12=．10. 设关于x，y的不等式组2x−y+1>0,x+m<0,y−m>0表示的平面区域内存在点P x0,y0，满足x0−2y0=2，则m的取值范围是．11. 平面向量a，b，e满足e=1，a⋅e=1，b⋅e=2，a−b=2，则a⋅b的最小值为．12. 在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．二、选择题（共4小题；共20分）13. 关于x，y的二元一次方程组mx+y=−1,3mx−my=2m+3的系数行列式D=0是该方程组有解的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既非充分也非必要条件14. 如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f x,y=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是A. 曲线C是方程f x,y=0的曲线B. 方程f x,y=0的每一组解对应的点都在曲线C上C. 不满足方程f x,y=0的点x,y不在曲线C上D. 方程f x,y=0是曲线C的方程15. 若对任意的实数x，都有a cos x−b sin x=1，则 A. 1a2+1b2≥1 B. 1a2+1b2≤1 C. a2+b2≥1 D. a2+b2≤116. △ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于AO⋅BC的值，下列选项正确的是 A. 12B. 10C. 8D. 不是定值三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知点A1,2，B5,−1，且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．18. 已知a=，b=1，a与b的夹角为45∘，求使向量2a−λb与 λa−3b的夹角是锐角的实数λ的取值范围．19. 已知x，y满足条件：7x−5y−23≤0,x+7y−11≤0,4x+y+10≥0,求：（1）4x−3y的最小值；（2）x−y+1x+5的取值范围．20. 在平面直角坐标系中，设点P1x1,y1，P2x2,y2，称d P1,P2=max x1−x2,y1−y2（其中max a,b表示a，b中的较大数）为P1，P2两点的“切比雪夫距离”．（1）若P3,1，Q为直线y=2x−1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C x0,y0，动点P x,y满足d C,P=r r>0，请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．21. 定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P2,0的直线关于圆C0的距离比λ=3的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A0,3，且直线y=x关于圆C的距离比λ=2，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：x+12+y2= 1与C2：x−32+y−32=4的距离比始终相等?若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. 2π3【解析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα=−31=−3，因为α∈0,π，所以α=2π3．2. −323. 0或3【解析】因为直线m+3x+my−2=0与直线mx−6y+5=0互相垂直，所以m m+3−6m=0，解得m=0或m=3．4. 6【解析】因为三阶行列式42k−354−11−2第2行第1列元素的代数余子式为10，所以−2k1−2=10，所以−2×−2−k=10，所以k=6．5. arccos31010【解析】因为直线x−y+2=0的方向向量是1,1，又直线l的一个方向向量d=1,2，所以直线l与x−y+2=02×5=31010，所以直线l与x−y+2=0的夹角大小为arccos31010．6. −4【解析】因为增广矩阵3m−1n10的二元一次方程组的实数解为x=1,y=2,所以3+2m=−1, n+2=0,解得m=−2，n=−2，所以m+n=−4．7. 46【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则1+9+D+3E+F=0, 16+4+4D+2E+F=0, 1+49+D−7E+F=0,所以D=−2，E=4，F=−20，所以x2+y2−2x+4y−20=0，令x=0，可得y2+4y−20=0，所以y=−2±26，所以MN=46．8. 13【解析】1x013=1x011x011x01=12x01⋅1x01=13x01=1101，所以3x=1，x=13．9. 63−9【解析】因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成的等腰三角形底边的平方为1−32，每对向量的夹角为30∘，所以每对向量的数量积为1−32cos30∘=321−32，所以最后结果为12×321−32=63−9．10. −∞,−23【解析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点−m,m在直线x=2y+2的下方，故−m−2m>2，解得，m<−23．11. 5412. 4【解析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，因为AB=BC=2，所以C3,0，设P x,y，因为过动点P作半圆的切线PQ，PC=2PQ，所以x−32+y2=2⋅ x2+y2−1，整理，得x2+y2+6x−11=0，所以点P的轨迹方程是以−3,0为圆心，以r=25为半径的圆，所以当点P在直线x=−3上时，△PAC的面积的最大，所以 S △PAC max =12×4×2 5=4 5．第二部分13. D 【解析】当系数矩阵 D 非奇异时，或者说行列式 D ≠0 时，方程组有唯一的解； 当系数矩阵 D 奇异时，或者说行列式 D =0 时，方程组有无数个解或无解．所以系数行列式 D =0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式 D 可能不为 0，也可能为 0．14. C 【解析】由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程 f x ,y =0 的解为坐标的点是否都在曲线 C 上，故方程 f x ,y =0 的曲线不一定是 C ， 所以曲线 C 是方程 f x ,y =0 的曲线不正确；方程 f x ,y =0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上也不正确； 不能推出曲线 C 是方程 f x ,y =0 的轨迹， 从而得到A ，B ，D 均不正确，不满足方程 f x ,y =0 的点 x ,y 不在曲线 C 上是正确的． 15. C【解析】因为对任意的实数 x ，都有 a cos x −b sin x =1， 所以 1=a cos x −b sin x = a 2+b 2sin φ−x ，其中 tan φ=ba ， 所以 1≤ a 2+b 2，平方可得 a 2+b 2≥1．16. A 【解析】如图，取 AB 中点 D ，AC 中点 E ，连接 OD ，OE ，则：OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， 所以AO⋅BC =AO⋅ AC −AB =AO ⋅AC −AO ⋅AB = AO AC cos ∠OAE− AO ABcos ∠OAD =AE ⋅AC −AD ⋅AB=492−252=12.第三部分17. 因为 AB = 5−12 2=5，12 AB >2， 所以 A 与 B 可能在直线 l 的同侧，也可能直线 l 过线段 AB 中点， ①当直线 l 平行于直线 AB 时：k AB =−1−25−1=−34，可设直线 l 的方程为 y =−34x +b ，依题意得：−34−2+b16+1=2，解得：b=214或b=14，故直线l的方程为：3x+4y−1=0或3+4y−21=0．②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为3,12，可设直线l的方程为y−12=k x−3，依题意得：4k2+4=2，解得：k=724，故直线l的方程为：712x−2y−34=0．18. 2a−λb与 λa−3b夹角为锐角时，2a−λb⋅ λa−3b=2λa2−6+λ2a⋅b+3λb2=4λ−6+λ2+3λ>0.解得1<λ<6；当2a−λb与 λa−3b同向时，设λa−3b=m 2a−λb，且m>0，则：λ=2m,3=λm,解得m=62，λ=6；所以实数λ的取值范围为1,6∪6,6．19. （1）不等式组7x−5y−23≤0,x+7y−11≤0,4x+y+10≥0表示的公共区域如图所示：其中A4,1，B−1,−6，C−3,2，设z=4x−3y，则y=43x−z3，平移直线y=43x−z3，由图象可知当直线y=43x−z3过C点时，直线的截距最大，此时z取得最小值，将−3,2，代入z=4x−3y得最小值，即z的最小值z=4×−3−3×2=−18．（2）x−y+1x+5=x+5−y+4x+5=1−y+4x+5，设k=y+4x+5，则k的几何意义是动点x,y到定点−5,−4的斜率，而k CD=−4−2−5+3=3，k BD=−4+6−5+1=−12，所以−12≤k≤3，所以−2≤1−k≤32，即x−y+1x+5的取值范围是 −2,32．20. （1）设Q x,2x−1，可得d P,Q=max x−3,2−2x，由x−3 ≥ 2−2x，解得−1≤x≤53，此时d P,Q=x−3，当x=53时，取得最小值43；由x−3<2−2x，解得x>53或x<−1，此时d P,Q=2x−2，d P,Q的范围是4,+∞∪43,+∞ =43,+∞ ．综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．（2）由题意可得，d C,P=r=x0−x,x0−x ≥ y0−yy0−y,x0−x<y0−y，当x0−x ≥ y0−y时，x0−x=r，即有x=x0±r，围成的图形为关于点x0,y0对称的三角形区域；当x0−x<y0−y时，y0−y=r，即有y=y0±r，围成的图形为关于点x0,y0对称的三角形区域．综上可得P点所在的曲线所围成图形为边长为2r的正方形区域，其面积为4r2．21. （1）设过P2,0的直线方程为y=k x−2，圆C0：x2+y2=1的圆心为0,0，半径为1，由题意可得1+k2=3，解得k=±3，即有所求直线为y=±3x−2．（2）设圆C的方程为x−a2+y−b2=r2，由题意可得a2+3−b2=r2, ⋯⋯①a=r, ⋯⋯②2=2r, ⋯⋯③解方程可得a=−3，b=3，r=3或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为x+32+y−32=9或x−12+y−32=1．（3）假设存在点P m,n，设过P的两直线为y−n=k x−m和y−n=−1kx−m，又C1：x+12+y2=1的圆心为−1,0，半径为1，C2：x−32+y−32=4的圆心为3,3，半径为2，由题意可得1+k2=3k+3−mk−n21+12，化简可得k2m+n−1+m−2n−3=0或k2m−n+5+3−m−2n=0，即有2m+n=1,m−2n=3或2m−n=−5,m+2n=3,解得m=1,n=−1或m=−75,n=115.则存在这样的点P1,−1和 −75,115，使得过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等．。
晋元高中2013学年第一学期高二月考数学试卷
晋元中学2013学年第一学期高二月考数学试卷（全卷满分为100分） 2012/10/11一、填空题（每小题3分，共36分）1、 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =-，则56是该数列的第______________项.2、 计算：221lim 2x n n n→∞-=+____________. 3、 已知等差数列{}n a 中，4177,33a a ==,则30a =_______________.4、 若向量(2,)a m =r 与(,8)b m =r的方向相反，则m 的值是_________________.5、 如果28a b i j +=-r r r r ，8+16a b i j -=-r r r r，则a b ⋅r r =_______________.6、 已知(1,2)(56)A B 、，,若点P 在直线AB 上且满足3AP PB =-u u u r u u u r,则点P 的坐标为__________. 7、 已知点(61)(2,3)(3,2)A B C ，、、则向量AB u u u r 在向量BC uuu r 上的投影为_____________.8、 已知129,,,1a a --四个实数成等差数列，1239,,,,1b b b --五个实数成等比数列，则221()b a a -=_______.9、 若无穷等比数列{}n a ，且121lim(...)4n x a a a →∞+++=，则首项1a 的取值范围是____________. 10、 数列{}{}n n a b 、满足1n n a b =，232n a n n =++，则{}n b 的前20项之和为______________. 11、 已知数列{}{}n n a b 、都是公差为1 的等差数列，则首项分别为11b a 、，且11+b 5a =，*11b N a ∈、.设*()n n b c a n N =∈，则数列{}n c 的前100项和为________________. 12、 如图，在ABC V 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为________________二、选择题（每小题3分，共12分）13、下列命题中，假命题为 （ ）A. 若||0a =r ，则0a =r rB. 若a r 与b r 同向，则||||||a b a b +=+r r r rC. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD. 若0a b +=r r r ，则a r 与b r平行14、若命题()P n 对3n =成立，且由()P k 成立可以推证(2)P k +也成立，则一定有（ ）A. ()P n 对所有正整数都成立B. ()P n 对所有正偶数都成立C. ()P n 对所有正奇数都成立D. ()P n 对所有大于等于3的正奇数都成立15、设向量a r 、b r 满足：|a |3=r ，|b |4=r，0a b ⋅=r r .若以a r 、b r 、-a b r r 的模为边长构成三角形，则该三角形的三边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个16、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12...nn S S S T n+++=，则称n T 为数列12,,...,n a a a 的“理想数”，已知数列12500,,...,a a a 的“理想数”为2004，那么数列125002,,,...,a a a 的“理想数”为（ ） A ．2002个 B ．2004个 C ．2006个 D ．2008个三、解答题（第17题8分，第18、19题每题10分，第20、21题每题12分，共52分）17、已知a r 、c r 是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a =r ，||c =r//a c r r ，求向量c r .18、若0a >，求极限：12lim 1nnx a a →∞-+.19、某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未知除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为1500(1)2n+万元（n 为正整数）（1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A ，n B 的表达式；（2）上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？20、已知(1,2)AB =u u u r ，(2,)AC k =u u u r.（1）若A 、B 、C 三点能构成三角形，求实数k 的取值范围； （2）若ABC V 为直角三角形，求k 的值.21、已知点集{}L=,x y y m n =⋅u r r （）|，其中(2,1)m x b =-u r ，(1,1)n b =+r，点列(,)n n n P a b 在L 中，1P 为L与y 轴的交点，等差数列{}n a 的公差为1，*n N ∈.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若()()b ()n n a n f n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，令n S (1)(2)(3)()f f f f n =+++⋅⋅⋅+，试用解析式写出n S 关于n 的函数.（3）若()()b ()n na n f n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，给定常数(*,2)m m N m ∈≥，是否存在*k N ∈，使得()2()f k m f m +=，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.。
上海市普陀区晋元高中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，若A∪B={1，2，3，5}，则k=．2．方程log3x+log x3=2的解是x=．3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=．4．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=．5．函数y=sinx和y=cosx均为减函数的区间是．6．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（n∈n*），则=．7．若0≤x＜π，则满足方程tan（4x﹣）=1的角的集合是．8．在无穷等比数列{a n}中，a1=，a2=1，则（a1+a3+a5+…+a2n）=．﹣19．已知函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），若函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点．10．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为2，则=．11．已知集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，若A∩R+=∅，则实数p的取值范围是．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．13．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．14．已知函数f（x）=，若关于x方程f（x）=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数16．“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：（1）M的元素都不是P的元素；（2）M中有不属于P元素；（3）M中有P的元素；（4）M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”（）A．既不充分也不必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．充要条件18．设a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，若，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等比数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2b4=256．其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0、x2﹣（a2+a）x+a3＜0的解集分别为M和N（1）试求M和N（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（Ⅰ）若b=，a=3，求c的值；（Ⅱ）设t=sinAsinC，求t的最大值．21．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．22．已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设{c n}对任意n∈NΦ，都有++…+=a n成立，求c1+c2+…+c2015的值；+1（3）若b n=（n∈NΦ），求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．23．已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R，1≤a≤6．（1）若a=2，求使f1（x）=f2（x）的x的值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；（3）求函数g（x）=﹣在[1，6]上的最小值．2016-2017学年上海市普陀区晋元高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，若A∪B={1，2，3，5}，则k=3或5．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，k}，B={1，2，3，5}，A∪B={1，2，3，5}，∴k=3或k=5．故答案为：3或5．2．方程log3x+log x3=2的解是x=3．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】解关于对数的方程，求出x的值即可．【解答】解：∵log3x+log x3=2，∴log3x+=2，∴（log3x﹣1）2=0，解得：x=3，故答案为：3．3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=，则cos2α+2sin2α====，故答案为：．4．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f （﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为：35．函数y=sinx和y=cosx均为减函数的区间是[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】分别求出函数y=sinx和y=cosx为减函数的区间，取公共部分可得．【解答】解：y=sinx是减函数的区间是[2kπ+，2kπ+π]；使y=cosx是减函数的区间是[2kπ，2kπ+π]，∴同时成立的区间为[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）．故答案为[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）．6．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n（n∈n*），则=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．=n2+n﹣（n﹣1）2+（n 【分析】由题意可知：n=1，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1﹣1）=2n，则a n=2n（n∈n*），==2=2．【解答】解：由S n=n2+n（n∈n*），当n=1，a1=S1=1+1=2，=n2+n﹣（n﹣1）2+（n﹣1）=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=2×1=2，成立，∵a n=2n（n∈n*），∴==2=2，∴=2，故答案为：2．7．若0≤x＜π，则满足方程tan（4x﹣）=1的角的集合是{，，， } ．【考点】三角方程．【分析】由题意，4x﹣=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．【解答】解：由题意，4x﹣=kπ+，k∈Z∴x=kπ+，∵0≤x＜π，∴x=，，，，故答案为{，，， }．8．在无穷等比数列{a n}中，a1=，a2=1，则（a1+a3+a5+…+a2n）=．﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：公比q=，q2=．）===．∴则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1故答案为：．9．已知函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），若函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点（3，2）．【考点】反函数．【分析】利用数y=f（x）存在反函数y=f′（x），图象关于y=x对称，判断函数y=f（x）的图象经过点（1，3），再得出函数y=f﹣1（x）过点（3，1），利用平移即可得出答案．【解答】解：∵函数y=f（x）存在反函数y=f′（x），∴图象关于y=x对称，∵函数y=f（x）﹣1的图象经过点（1，2），∴函数y=f（x）的图象经过点（1，3），∴函数y=f﹣1（x）过点（3，1）∴函数y=f﹣1（x）+1的图象经过点（3，2）故答案为：（3，2）10．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为2，则=4．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式a n=2×2n﹣1=2n，故=2×=．代入要求的式子利用有理指数幂的运算法则化简求得结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为2，公比为2，∴a n=2×2n﹣1=2n．∴=2×=．∴=====4，故答案为4．11．已知集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，若A∩R+=∅，则实数p的取值范围是（﹣4，+∞）．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合A∩R+=∅，对集合A进行讨论即可．【解答】解：集合A={x|x2+（p+2）x+1=0，p∈R}，若判别式△=（p+2）2﹣4＜0，即（p+2）2＜4，解得﹣4＜p＜0，此时A=∅，满足条件．若△=（p+2）2﹣4≥0，即（p+2）2≥4，解得p≤﹣4或p≥0，此时若A∩R+=∅，则方程的根满足x≤0，设f（x）=x2+（p+2）x+1，若，即，综上：p＞﹣4，故答案为：（﹣4，+∞）．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9．【考点】正弦函数的图象．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．13．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为1414．已知函数f（x）=，若关于x方程f（x）=ax有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】我们在同一坐标系中画出函数f（x）=的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=f（x）=，的图象如图所示，当≤a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=ax的图象有三个交点，即方程f（x）=ax有三个不相等的实数根．故答案为：[，1）．二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．16．“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：（1）M的元素都不是P的元素；（2）M中有不属于P元素；（3）M中有P的元素；（4）M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】四种命题；命题的真假判断与应用．【分析】由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得：“非空集合M的元素至少有一个元素不属于集合P”是真命题．据此即可判断出（1）（2）（3）（4）命题的真假．【解答】解：由于“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得：“非空集合M的元素至少有一个元素不属于集合P”是真命题．据此可知：（1）不正确；（2）正确；（3）M中不一定有P的元素，例如M={a}，则a∉P；（4）正确．综上可知：真命题只有（2）（4）．故选：B．17．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”（）A．既不充分也不必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选D．18．设a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，若，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等比数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2b4=256．其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由于a1，a2，a3，a4是等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4，可得其公差＜d＜，而b n=为等比数列，利用等比数列的性质对（1）、（2）、（3）、（4）、（5）逐个判断即可．【解答】解：∵a1，a2，a3，a4是等差数列，设其公差为d，又1＜a1＜3，a3=4，∴a3=4=a1+（3﹣1）d，即1＜4﹣2d＜3，∴＜d＜．∵b n=，∴==2d＞1（n=1，2，3，4），∴{b n}为等比数列，故（1）正确；（2）正确；又b2===24﹣d＞=＞22=4，故（3）正确；b4=b3•2d=24•2d=24+d＞=16，故（4）错误；又b2b4==（24）2=256，故（5）正确．综上所述，真命题的个数是4个．故选C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0、x2﹣（a2+a）x+a3＜0的解集分别为M和N（1）试求M和N（2）若M∩N=∅，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【分析】（1）解不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0，得集合M；解不等式x2﹣（a2+a）x+a3＜0，得集合N；（2）讨论a的取值，得出M∩N=∅时a的取值范围．【解答】解：（1）不等式x2﹣（2a+1）x+（a2+a﹣2）＞0，变形得：（x﹣a+1）（x﹣a﹣2）＞0，解得：x＜a﹣1或x＞a+2，即M=（﹣∞，a﹣1）∪（a+2，+∞），不等式x2﹣（a2+a）x+a3＜0，变形得：（x﹣a2）（x﹣a）＜0，当a＞1或a＜0时，解集为：a＜x＜a2，即N=（a，a2）；当0＜a＜1时，解集为：a2＜x＜a，即N=（a2，a）；当a=0或a=1时，解集为空集，即N=∅；（2）当a＜0或＞1时，∵a＞a﹣1，∴，解得，即取﹣1≤a＜0或1＜a≤2；当0＜a＜1时，∵a＜a+2，∴，解得，即取0＜a＜1；∴当a=0或a=1时，∵B=∅，∴A∩B=∅，即取a=0或a=1；综上：﹣1≤a≤2．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（Ⅰ）若b=，a=3，求c的值；（Ⅱ）设t=sinAsinC，求t的最大值．【考点】余弦定理；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由A，B，C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得c的值．（Ⅱ）因为，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以．因为，a=3，b2=a2+c2﹣2accosB，所以c2﹣3c﹣4=0，解得c=4，或c=﹣1（舍去）．（Ⅱ）因为，所以，===．因为，所以，．所以当，即时，t有最大值．21．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用分段函数解析式，分别列出不等式，解之，即可求得x的范围，从而可得能够维持有效抑制作用的时间；（2）确定函数在[0，2]上单调递增，当2＜x≤4时，y=4﹣x单调递减，进而可得函数，利用基本不等式，即可求得最值【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤2时，，∴x2﹣5x+2≤0，∴，∵0≤x≤2，∴当2＜x≤4时，4﹣x≥1，∴x≤3，∵2＜x≤4，∴2＜x≤3综上，得，即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为；（2）当0≤x≤2时，，y′=＞0，∴函数在[0，2]上单调递增，当2＜x≤4时，y=4﹣x单调递减，所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即2＜x≤4时，y=4﹣x+[﹣]=14﹣（2x+），故当且仅当，即x=2时，y有最大值14﹣8．22．已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；成立，求c1+c2+…+c2015的值；（2）设{c n}对任意n∈NΦ，都有++…+=a n+1（3）若b n=（n∈NΦ），求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过a1、a2、a4成等比数列，解方程（1+d）2=1+3d，计算即得结论；=n+1可知c1=4，当n≥2时利用=（++…+）﹣（++…+）（2）通过a n+1计算可知c n=2n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论；（3）假设存在k、t≠n（k、t∈N*）使得b n=b k•b t，即只需=•，化简可知t=，取值即可．【解答】（1）解：∵数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），由a1、a2、a4成等比数列，可知：，∴（1+d）2=1+3d，解得：d=1或d=0（舍），∴a n=1+（n﹣1）=n；=n+1，（2）解：∵a n+1∴++…+=n+1对任意n∈N*都成立，当n=1时，=2，即c1=4；当n≥2时，=（++…+）﹣（++…+）=1，∴c n=2n，∴c n=．∴c1+c2+…+c2015=4+22+23+…+22015=4+=22016；（3）证明：对于给定的n∈N*，假设存在k、t≠n（k、t∈N*），使得b n=b k•b t，∵b n=，∴只需=•，即1+=（1+）（1+），即=++•，即kt=nt+nk+n，t=，取k=n+1，则t=n（n+2），=和=使得∴对数列{b n}中的任意一项b n=，都存在b n+1b n=b n•．+123．已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R，1≤a≤6．（1）若a=2，求使f1（x）=f2（x）的x的值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；（3）求函数g（x）=﹣在[1，6]上的最小值．【考点】指数函数综合题；指数型复合函数的性质及应用．【分析】（1）若a=2，解方程f1（x）=f2（x）即可求x的值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，转化为f1（x）≤f2（x）恒成立，即可求a的取值范围；（3）求出g（x）的表达式，讨论a的取值范围即可求出函数的最值．【解答】解：（1）若a=2，则f1（x）=e|x﹣3|，f2（x）=e|x﹣2|+1，由f1（x）=f2（x）得e|x﹣3|=e|x﹣2|+1，即|x﹣3|=|x﹣2|+1，若x≥3，则方程等价为x﹣3=x﹣2+1，即﹣3=﹣1，不成立，若2＜x＜3，则方程等价为﹣x+3=x﹣2+1，即2x=4，解得x=2，不成立，若x≤2，则方程等价为﹣x+3=﹣x+2+1，此时恒成立；综上使f1（x）=f2（x）的x的值满足x≤2．（2）即f1（x）≤f2（x）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对x∈R恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，又1≤a≤6，故a的取值范围为1≤a≤2．（3）①当1≤a≤2时，由（2）知，当x=2a﹣1∈[1，3]时，g（x）min=1．②当2＜a≤6时，（2a﹣1）﹣a=a﹣1＞0，故2a﹣1＞a．x≤a时，，；x≥2a﹣1时，，；a＜x＜2a﹣1时，由，得，其中，故当时，；当时，．因此，当2＜a≤6时，令，得x1=2a﹣2，x2=2a，且，如图，（ⅰ）当a≤6≤2a﹣2，即4≤a≤6时，g（x）min=f2（a）=e；（ⅱ）当2a﹣2＜6≤2a﹣1，即时，；（ⅲ）当2a﹣1＜6，即时，g（x）min=f1（2a﹣1）=1．综上所述，．2016年12月16日。
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．直线l 过点()1,2P 且倾斜角为2π，则直线l 的方程为_________． 【答案】x =1【详解】∵直线l 过点()1,2P 且倾斜角为2π， ∴直线l 的方程为x =1 故答案为：x =12．若109n n C C =，则20n C 的值为__________.【答案】20【分析】通过已知得出n 的值，即可利用公式计算得出答案.【详解】109n n C C =，()()!!10!10!9!9!n n n n ∴=--，即109n =-，19n ∴=，19202020120201n C C C ∴====， 故答案为：20.3．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________.【解析】利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则22r rl ππππ⎧=⎨=⎩解得12r l =⎧⎨=⎩所以h .圆锥的体积V ＝13Sh .【点睛】考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.4．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，176，178，若样本数据的85百分位数是173，则x 的值为______．【答案】175【分析】根据百分位数的意义求解.【详解】第85百分位数是173，因为200.8517⨯=，所以1711732x+=，175x = 故答案为：1755．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1d =-，平面α的一个法向量为()5,,3n x =，若//l α，则实数x =__________.【答案】1-【分析】通过已知得出d n ⊥，即可利用垂直向量的数量积为零列式求解. 【详解】//l α，d n ∴⊥，5230d n x ∴⋅=+-=， 解得=1x -， 故答案为：1-.6．如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为___________.【答案】61【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.【详解】如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线226561+=7．设有4位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是__________.（结果用最简分数表示） 【答案】332【分析】先根据分步乘法原理得4位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检测点都有志愿者的情况，再根据古典概型公式求解即可.【详解】由题知，4位志愿者到核酸点位的可能性共有4444256n =⨯⨯⨯=种，其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有44A 24m ==种，所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是24325632m P n ===. 故答案为：332. 8．平面直角坐标系内，点()()1,26,14A B ､到直线l 的距离分别为4和9，则满足条件的直线l 有__________条. 【答案】3【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，即是直线l 的条数．【详解】由已知可把直线l 看成是以(1,2)A 为圆心，4为半径的圆的切线， 同时是以(6,14)B 为圆心，9为半径的圆的切线，由于两圆圆心距13=49AB +，所以两圆相外切， 根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线l 有3条． 故答案为：3．9．我们知道：111C C C m m mn n n ---=+，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是C mn ；②对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有11C m n --种选法，若A不选，有1C mn -种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：01122C C C C C C C C m m m k m kk n k nk n k n ---++++=__________(1,)k m n m n ≤<≤∈N ､.【答案】C mn k +【分析】根据题意，分某k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素中选取个数为0,1,2,3,,k 讨论求解即可得答案.【详解】根据题意，从n k +个不同元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是C mn k +，若对其中的某k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素分别选或不选，则k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素一个都没有选，有0C C mk n 种选法；有一个元素被选取，有11C C m k n -种选法；有两个元素被选取，有22C C m k n-种选法；有三个元素被选取，有33C C m k n -种选法；有k 个元素被选取，有C C km kk n-种选法；所以01122C =C C C C C C C C m m m m k m k n k k n k n k n k n ---+++++，(1,)k m n m n ≤<≤∈N ､，故答案为：C mn k +.10．已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为__________. 【答案】15【分析】由12122x x y y +=-可知o 120AMB =∠，则1MP =，可得P 点轨迹为圆.又0034105x y +-=，求出圆上一点到直线34100x y +-=距离的最大值即可.【详解】注意到()()1122,,MA x y MB x y ==，， 则1212cos 2x x y y MA MB MA MB AMB +=⋅=⋅⋅∠=-，又2MA MB ==，则o 120AMB =∠，又由垂径定理可知，o 60AMP ∠=，则o2cos601MP ==.故P 点轨迹是以M 为圆心，半径为1的圆.注意到0034105x y +-=，表示P 到直线34100x y +-=距离的5倍，又圆上一点到34100x y +-=13+=，则003410x y +-的最大值为15. 故答案为：1511．在直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为______. 【答案】167π 【解析】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC 的中心，易知球心O 为12O O 中点，2234a b R +，276416412777S a ππ⎡⎤⎛⎫=-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC 的中心，易知球心O 为12O O 中点，在2Rt AOO △中：23AO =，22b OO =，故2234a bR =+故()2222222764164444343412777a a b a S R a πππππ⎛⎫⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==+=+=-+≥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 故该球的表面积的最小值为167π. 当67a =，87b =时等号成立. 故答案为：167π.【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM △面积的最小值为___________.5【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM △的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP . 又1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB . 要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内， 又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N . 因为CB ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，所以CB BM ⊥， 所以1=2BCMSCB BM ⨯⨯ 当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM △的面积最小. 又111,2BB BN ==，故152B N =. 由1Rt B BN 的面积可得1152==552BM ⨯，所以155=1=2510BCMS⨯⨯. 故答案为：510【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.二、单选题13．“2m =是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】D【解析】根据两条直线平行的条件以及充要条件的定义可得答案.【详解】因为直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行等价于2220m ⨯-=且2(1)0m ⨯--≠，即2m =，所以“2m =是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的充要条件. 故选：D【点睛】结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．14．设A ，B 是两个事件，以下说法正确的是（ ） A ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 对立 B ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 互斥 C ．若()()()P A B P A P B =+，则事件A 与事件B 互斥 D ．若()()()P A B P A P B ⋂=，则事件A 与事件B 相互独立 【答案】D【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可 【详解】对于A ，B ：例如抛掷一枚均匀的骰子，记事件A 为“出现偶数点”，事件B 为“出现1点或2点或3点”， 则()()0.5,0.5P A P B ==，()()1P A P B +=， 但事件A ，B 既不互斥也不对立，故A ，B 错误；对于C ：在不同的试验下，即使()()()P A B P A P B =+，也不能说明事件A 与事件B 一定互斥， 故C 错误；对于D ：根据相互独立事件的定义可知：若()()()P A B P A P B ⋂=，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确； 故选：D15．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知1414,2a a =-=，则数列{}n S （ ） A ．无最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项 D ．有最大项，有最小项【答案】D【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质即可．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11412(1)811113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对应函数为减函数，即24683S S S >>>>-，当n 为奇数时，81132n n S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对应函数为增函数，即13583S S S <<<<-，所以{}n S 有最大项为2S ，最小项为1S ． 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得n S 后按奇偶数分类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比83-大，所有奇数项比83-小，即可确定最值．16．在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．三角形111ABC 边界的一部分 B ．一个点 C ．线段的一部分D ．圆的一部分【答案】C【分析】过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，证明平面//BDE 平面11AAC C ，得M DE ∈，即得结论．【详解】如图，过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，1//BD AA ，BD ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AACC ，所以//BD 平面11AAC C ， 同理//DE 平面11AAC C ，又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以平面//BDE 平面11AAC C ，所以M DE ∈，（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ），故选：C ．三、解答题17．（1）若直线1l 过点()1,2P -，且与直线3450x y -+=垂直，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点()1,2Q -，且与圆221x y +=相切，求直线2l 的方程. 【答案】（1）4320x y +-=；（2）1x =或3450x y ++=.【分析】（1）根据垂直列出直线1l 的方程，代入()1,2P -，求出直线1l 的方程；（2）考虑直线2l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）设直线1:430l x y C ++=，将()1,2P -代入得：460C -++=，解得：2C =-， 故直线1l 的方程为4320x y +-=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，1x =，此时与圆221x y +=相切，满足要求， 当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:21l y k x +=-2211k k+=+，解得：34k =-，故直线()23:214l y x +=--，整理得：3450x y ++=， 故直线2l 的方程为1x =或3450x y ++=.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=︒，E 为BC 的中点.(1)求证：ED ⊥平面PAD ；(2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)2217【分析】（1）根据题意得到DE AD ⊥，PD DE ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明.（2）利用空间向量法求解即可.【详解】（1）连接BD ，如图所示：因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，又因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥.因为//AD BC ，所以DE AD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PD DE ⊥.因为PD AD D ⋂=，所以ED ⊥平面PAD .（2）以D 为原点，,,DA DE DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()002P ,,，()2,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()2,0,2PA =-，()3,0AB =-，()3,3,0CA =-设平面PAB 的法向量(),,n x y z =， 则22030n PA x z n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得(31,3n =,， 则3332217313CA nd n ⋅-===++. 19．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅=，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅=，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则()()22201122AC =-+--=所以圆C 的方程为()()22218x y -++=， 当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k=-， 所以222222111||||16161424228BM BN k k k k k k ⋅=+⋅+=++≥⋅+=， （当且仅当221k k =，即1k =±时取等号） 则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=20．正ABC 的边长为4,CD 是AB 边上的高，E F ､分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(1)求证：直线AB 平面DEF ；(2)求二面角E DF C --的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？若存在，请指出P 点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明过程见详解 (2)217(3)存在，靠近B 的三等分点【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定；(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论；(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P 的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点P 的位置，进而求解.【详解】（1）如图，在ABC 中，由E F ､分别是AC BC ､中点，得EF AB ∥，又AB ⊄平面,DEF EF ⊂平面,DEF AB ∴平面DEF .（2）由题知，AD CD ⊥，平面ADC ⊥平面BDC ，且交线为DC ，AD ∴⊥平面BDC ，因为,BD DC ⊂平面BDC ，所以,AD BD AD DC ⊥⊥，又已知BD CD ⊥，,,AD BD CD ∴两两垂直，以点D 为坐标原点，直线DB DC DA ､､为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,2,2,0,0,0,23,0,3,1,3,0A B C E F ，平面CDF 的法向量为()0,0,2DA =，设平面EDF 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0DF n DE n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z ⎧=⎪+=，取()3,3,3n =-， 21cos<,7DA nDA n DA n >==，∴二面角E DF C --（3）设(),,0P x y ，因为AP DE ⊥，则320,AP DE y y =-=∴=又()()2,,0,,,0BP x yPC x y =-=-，()(),2,BP PC x yxy y ∴-=-+=∥ 把y =41,33x BP BC =∴=， ∴在线段BC 上存在点43P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即靠近B 的三等分点，使AP DE ⊥.21．设各项均为整数的无穷数列{}n a 满足11a =，且对所有*n ∈N ，1n n a a n +-=均成立.（1）求123a a a ++的所有可能值；（2）若数列{}n a 使得无穷数列13521n a a a a -、、、、、是公差为1的等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：存在满足条件的数列{}n a ，使得在该数列中有无穷多项为2021.【答案】（1）1-，3，7；（2）1,22,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数；（3）证明见解析． 【分析】（1）用列举法写出23,a a 的值，计算出123a a a ++可得； （2）题意可得出奇数项数列的通项公式，然后由相邻两项差的绝对值求得偶数项．（3）利用（2）中数列构造一个循环数列，，则可证明．【详解】数列各项均为整数，（1）11a =，211a a -=，则20a =或2，322a a -=，20a =时，32a =-或2，22a =时，30a =或4，所以1231,3,3,7a a a ++=-，即可能值为1-，3，7；（2）由已知21n a n -=，则22121n n a a n --=-，2122n n a a n +-=，即2221,(1)2n n a n n a n n -=--+=，所以21n a n =-， 所以1,22,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数； （3）由（2）可知存在一个数列{}n a 奇数项为从1开始的连续自然数，易知40412021a =， 然后从第4041项开始，构造奇数项为公差为－1的等差数列，（如404240414041a a =+，4043404240422020a a =-=），这样由（2）知，当21n k =+，Z k ∈，2020k ≥时，80832n n a -=， 2,n k k Z =∈时，2021k ≥时，111n n n n a a n a a n -+⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得80822n n a +=， 则当奇数取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中存在无穷多项为2021．即证．【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求解，解题关键是通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2021的数出现的问题．第（3）小题难度较大．。
上海市上海中学2015-2016学年高三(上)期中考试数学试卷
2015学年上海市上海中学高三年级期中考试试卷2015/11/6一、填空题（本大题满分56分，总共14题，每小题4分）1、已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()10f x =，则x =__________.2、已知函数()131xf x a =++为奇函数，则方程()14f x =的解是_________. 3、已知钝角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点3,5A A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin2α=_________.4、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 满足()()2f x f x +=，当01x <<时，()21f x x =-，则()312f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_________.5、已知3cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2x =___________. 6、若函数()0y ax a =<与()0b y b x=-<在()0,+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在()0,+∞上是单调递__________函数.7、在ABC V 中，若tan tan 122A B +=，则tan 2C的最小值为_________. 8、设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){},N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(),a b 有___________对.9、若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_________. 10、当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足方程()()322log tan log sin x x =的所有解是__________. 11、设()()()()012015,1n n f x x f x f x n N *-=-=-∈，则函数()2015y f x =的零点个数为___________.12、对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域D 上任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:L y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”，给出定义域为{}0D x x =>的四组函数如下：（1）()()tan ,sin f x x g x x ==；（2）()()22,xf xg x x==；（3）()()221,55x x f x g x x x x -+==-+-.（4）()()24,1x x xf x e eg x x -=+=+，其中曲线()f x 和()g x 存在“隔离直线”的所有序号是___________.13、关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 取值组成的集合是__________. 14、已知正实数,x y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围是__________. 二、选择题（本大题满分20分，总共4题，每小题5分）15、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）.A (),a b 和(),b c 内 .B (),a -∞和(),a b 内 .C (),b c 和(),c +∞内 .D (),a -∞和(),c +∞内16、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）.A ()cos2sin f x x = .B ()2221f x x x -=- .C ()211f x x +=+ .D ()2cos2f x x x =+17、已知[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，又当x R ∈时，()()2f x f x +=，则方程()()log 01a f x x a ora =>≠恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）.A ()1,3,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .B ()1,5,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U.C ()11,3,542⎛⎫ ⎪⎝⎭U .D []11,3,542⎡⎤⎢⎥⎣⎦U . 18、()f x 是定义在区间[],c c -上的奇函数，其图像如图所示:令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是（ ）.A若0a<，则函数()g x的图像关于原点对称.B若 1.20a b=--<<，则方程()0g x=有大于2的实根.C若0,2a b≠=，则方程()0g x=有两个实根.D若1,2a b≥<，则方程()0g x=有三个实根三、解答题.（总共74分）19、已知150,tan,sin()22213ααβαβ<<<=+=π，求cosα以及sinβ的值。
【小初高学习】高二数学上学期期中试卷(含解析)2
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2015年上海市普陀区晋原中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知a n为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．2. 已知数列a n的前n项和S n=5−4×2−n，则其通项公式为．3. 已知a n=n−52n∈N∗，设a m为数列a n的最大项，则m=．4. 在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线上．5. 在等差数列a n中，若a n+a n+2=4n+6n∈N∗，则该数列的通项公式a n=．6. 若limn→∞r2r+1n存在，则实数r的取值范围是．7. 已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．8. 已知数列a n的通项公式为a n=log3nn+1n∈N∗，设其前n项和为S n，则使S n<−4成立的最小自然数n等于．9. 等比数列a n的公比0<q<1，a172=a24，则使a1+a2+⋯+a n>1a1+1a2+⋯+1a n成立的正整数n的最大值为．10. 数列a n的通项公式a n=1,n=11n n+1,n≥2n∈N∗，前n项和为S n，则limn→∞S n=．11. 在等差数列a n中，a11a10<−1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n=．12. 设数列a n的首项a1=32，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3n∈N∗，则满足1817<S2nS n<87的所有n的和为．13. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1，2，3，5，8，13，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列a n为“斐波那契数列”．那么a12+a22+a32+a42+⋯+a1002a100是斐波那契数列中的第项．14. 已知奇函数f x是定义在R上的增函数，数列x n是一个公差为2的等差数列，满足f x8+f x9+f x10+f x11=0，则x2015的值为．二、选择题（共4小题；共20分）15. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 A. 0<θ<π2B. 0<θ≤π2C. 0≤θ≤π3D. 0<θ≤π316. 已知数列a n的各项均为正数，满足：对于所有n∈N∗，有4S n=a n+12，其中S n表示数列a n的前n项和．则limn→∞na n= A. 0B. 1C. 12D. 217. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为 A. 300B. 350C. 400D. 45018. 数列a n满足a1=1，1a n2+4=1a n+1，记数列a n2前n项的和为S n，若S2n+1−S n≤t30对任意的n∈N∗恒成立，则正整数t的最小值为 A. 10B. 9C. 8D. 7三、解答题（共5小题；共65分）19. 四面体A−BCD的棱长均为a，E，F分别为棱AD，BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．20. 2014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部．据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%．已知2014年销售利润平均每部为300元．（1）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少?（2）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利?（即销售利润超过总投资，参考数据：0.96≈0.53，0.97≈0.47，0.98≈0.43）．21. 数列a n的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+n．（1）写出a2，a3，a4的值，并求a n的通项公式；（2）正项等差数列b n的前n项和为T n，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+12b3成等比数列．（i）求数列b n的通项公式；（ii）设B n=1b12+1b22+⋯+1b n2，试确定B n与34的大小关系，并给出证明．22. 设函数f n=n,n为奇数f n2,n为偶数，a n=f1+f2+f3+⋯+f2n．（1）求a1，a2，a3的值；（2）设b n=a n+1−a n，写出b n与b n+1的递推关系，并求b n的通项公式．（3）设数列c n的通项公式为c n=log23a n−2−10，n∈N∗，数列c n的前n项和为S n，问1000是否为数列c n⋅S n中的项?若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由．23. 已知数列a n的各项均为正数，a1=1，a2=m，且对任意n∈N∗，都有a n+12=a n a n+2+ c．数列a n前n项的和为S n．（1）若数列a n是等比数列，求c的值和limn→∞a nS n；（2）若数列a n是等差数列，求m与c的关系式；（3）若c=1，当n≥2，n∈N∗时，求证：a n+1+a n−1a n是一个常数．答案第一部分1. 8【解析】a n为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，所以a3+a4=8．2. a n=3,n=1 22−n,n≥2【解析】a1=S1=5−4×2−1=3，a n=S n−S n−1=5−4×2−n−5−4×2−n+1=4=22−n.当n=1时，42=2≠a1，所以a n=3,n=1 22−n,n≥2．3. 8【解析】因为a n=n−52n∈N∗，所以a n=n−52=1+2−n−52，根据函数的单调性可判断：数列a n在1,7，8,+∞上单调递减，因为在1,7上a n<1，在8,+∞上a n>1，所以a8为最大项．4. BD【解析】因为点E，H分别在AB，AD上，而AB，AD是平面ABD内的直线，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH⊂平面ABD，因为点F，G分别在BC，CD上，而BC，CD是平面BCD内的直线，所以F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直线FG⊂平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以点M∈直线BD．5. 2n+1【解析】设首项为a1，公差为d．则a n+a n+2=2a1+2nd=4n+6．可知a1=3，d=2．所以a n=2n+1．6. −∞,−1∪ −13,+∞【解析】因为limn→∞r2r+1n存在，所以0≤r2r+1≤1，且r2r+1≠−1，所以 3r 2+4r +1≥0 且 2r +1≠0，且 r ≠−13，所以 r ≤−1 或 r >−13． 7. 23 8. 81【解析】a n =log 3nn +1=log 3n −log 3 n +1 ，即有前 n 项和为 S n =log 31−log 32+log 32−log 33+⋯+log 3n −log 3 n +1 =−log 3 n +1 ， 由 S n <−4，得 log 3 n +1 >4， 解得 n +1>81，即有 n >80， 则 n 的最小值为 81． 9. 18【解析】设首项为 a 1，公比为 q ，依题意有 a 1q 16 2=a 1q 23， 所以 a 1q 9=1．则 a 1>0，且 a 1=q −9， 因为 a n 为等比数列，所以 1a n是以 1a 1为首项，1q为公比的等比数列．则不等式等价为a 11−q n 1−q>1a 1 1− 1qn 1−1q，因为 0<q <1，把 a 1=q −9，即 a 12=q −18 代入整理，得 q −18 1−q n >q 1−n 1−q n ，所以 q −18>q 1−n ，所以 −18<1−n ，即 n <19， 因为 n ∈N ∗，所以 n 的最大值为 18． 10. 32【解析】S n=1+12×3+13×4+⋯+1n n +1 =1+12−13+13−14+⋯+1n−1n +1=32−1n +1.则 lim n→∞S n =lim n→∞32−1n +1 =32． 11. 1 或 19【解析】因为等差数列 a n 中，它的前 n 项和 S n 有最大值，a 11a 10<−1，所以 a 1>0，公差 d <0， 又a 11a 10<−1，所以a 11+a 10a 10<0，所以是 a 11<0，a 10>0，a 10+a 11<0． 所以 S n =an 2+bn 的对称轴为 n =−b2a =10， 又 S 19=a 1+a 19 ×192=19a 10>0，而 S 20=a 10+a 11 ×202<0，1 与 19 距离对称轴 n =10 的距离相等， 所以 S 1=S 19．所以使 S n 取得最小正数的 n =1或19． 12. 7【解析】由 2a n +1+S n =3 得 2a n +S n =3 n ≥2 ， 两式相减，得 2a n +1−2a n +a n =0， 化简得 2a n +1=a n n ≥2 ，即a n +1a n=12 n ≥2 ，由已知求出 a 2=34，易得 a2a 1=12，所以数列 a n 的首项 a 1=32，公比为 q =12的等比数列，所以 S n =3 1− 1 n 1−1=3 1− 12n，S 2n =3 1− 12 2n代入 1817<S 2n S n<87，可得 117< 12 n<17，解得 n =3 或 4，所以所有 n 的和为 7． 13. 101【解析】令 a 0=0，根据斐波那契数列的性质可得：a 12+a 22+a 32+a 42+⋯+a 1002a 100=a 02+a 12+a 22+⋯+a 1002a 100=a 101，因此a 12+a 22+a 32+a 42+⋯+a 1002a 100是斐波那契数列中的第 101 项．14. 4011【解析】设 x 8=a ，则 x 9=a +2，x 10=a +4，x 11=a +6，所以 f a +f a +2 +f a +4 +f a +6 =0，且 f a <f a +2 <f a +4 <f a +6 ， 所以 f a <0 且 f a +6 >0．结合奇函数关于原点的对称性可知，f a +f a +6 =0，f a +2 +f a +4 =0． 所以 f a +3 =0=f 0 ，即 a +3=0． 所以 x 8=−3．设数列 x n 的通项 x n =x 1+2 n −1 ． 所以 x 8=x 1+14=−3，解得 x 1=−17． 所以通项 x n =2n −19．所以 x 2015=2×2015−19=4011． 第二部分 15. D【解析】因为 A 1B ∥D 1C ，所以 CP 与 A 1B 所成角可化为 CP 与 D 1C 所成角． 由 △AD 1C 是正三角形可知当 P 与 A 重合时所成角为 π3，因为 P 不能与 D 1 重合（因为此时 D 1C 与 A 1B 平行而不是异面直线）， 所以 θ∈ 0,π3 ．16. C 【解析】因为 4S 1=4a 1= a 1+1 2，所以 a 1=1． 当 n ≥2 时，4a n =4S n −4S n−1= a n +1 2− a n−1+1 2，所以 2 a n +a n−1 =a n 2−a n−12，又 a n 各项均为正数，所以 a n −a n−1=2． 数列 a n 是等差数列，所以 a n =2n −1． 所以 limn→∞n a n=limn→∞n 2n−1=lim n→∞12−1n=12．17. A 【解析】依题意得 a n +1=45a n +310b n ,a n +b n =500,消去 b n 得：a n +1=12a n +150．由 a 1=300，得 a 2=300，从而得 a 10=300． 18. A 【解析】因为 a n2+4=1an +1，所以 1a n +12=1a n2+4，所以1a n +12−1a n2=4（n ∈N ∗），所以 1a n2 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，所以 1a n2=1+4 n −1 =4n −3，所以 a n 2=14n−3，因为S 2n +1−S n − S 2n +3−S n +1= a n +12+a n +22+⋯+a 2n +12 − a n +22+a n +32+⋯+a 2n +32=a n +12−a 2n +22−a 2n +32=14n +1−18n +5−18n +9= 1−1 + 1−1>0.所以数列 S 2n +1−S n （n ∈N ∗）是递减数列，数列 S 2n +1−S n （n ∈N ∗）的最大项为 S 3−S 1=a 22+a 32=15+19=1445，所以 1445≤t30， 所以 t ≥283，又因为 t 是正整数， 所以 t 的最小值为 10． 第三部分19. 由题意可得四面体 A −BCD 为正四面体，如图，连接 BE ，取 BE 的中点 K ，连接 FK ，AK ，则FK∥CE，故∠AFK即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF==CE，KF=12CE=32，KE=12BE=32，所以AK=2+KE2=12+322=72．△AKF中，由余弦定理可得cos∠AFK=AF2+FK2−AK22AF⋅FK =3+34−742×3×3=23．20. （1）因为摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．所以a n=100n，因为手机销售利润按照每年比上一年减10%的规律，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．所以b n=300×0.9n−1．第n年的销售利润记为c n，则c n=a n×b n=30000n×0.9n−1．答：第n年的销售利润为30000n×0.9n−1万元．（2）到2020年年底，设销售利润总和为S万元，则S=300001+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96, ⋯⋯①0.9S=300001×0.9+2×0.92+3×0.93+4×0.94+5×0.95+6×0.96+7×0.97, ⋯⋯②①−②得S=30000100−170×0.97≈603000万元=60.3亿元，而总投资为28+30=58亿元，因为60.3>58，所以可以盈利．答：到2020年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利．21. （1）因为a1=2，a n+1=S n+n，可得a2=a1+1=3，同理可得a3=7，a4=15，当n≥2时，a n=S n−1+n−1，所以a n+1−a n=a n+1，变形为a n+1+1=2a n+1，所以当n≥2时，数列a n+1是等比数列，首项为4，公比为2．所以a n+1=4⋅2n−2，化为a n=2n−1．所以a n=2,n=1 2n−1,n≥2．（2）（i）设正项等差数列b n的公差为d>0．因为T3=9，所以3 b 1+b 32=3b 2=9，解得 b 2=3．因为 a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+12b 3 成等比数列， 所以 a 2+b 2 2= a 1+b 1 a 3+12b 3 ，所以 3+3 2= 2+3−d 7+12× 3+d ， 化为 d 2+12d −13=0， 解得 d =1 或 d =−13（舍去）．所以 b n =b 2+ n −2 =3+n −2=n +1． （ii ）1b n2=1 n +1 <1n +2n =12 1n −1n +2 ．所以B n=1b 12+1b 22+⋯+1b n 2<1 1−1 + 1−1 + 1−1 +⋯+ 1−1 + 1−1 =12 1+12−1n +1−1n +2 <3, 所以 B n <34．22. （1） 由函数 f n = n ,n 为奇数f n 2 ,n 为偶数，a n =f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2n ，得 a 1=f 1 +f 2 =1+f 1 =2， a 2=f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =1+1+3+f 2=5+1=6,a 3=f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 +f 6 +f 7 +f 8=1+1+3+1+5+3+7+1=22.（2） 由 a n =f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2n ，可得 a n +1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2n +f 2n +1 +⋯+f 2n +1 ， 则有b n=a n +1−a n=f 2n +1 +⋯+f 2n +1= 2n +1 + 2n−1+1 + 2n +3 + 2n−2+1 + 2n +5 + 2n−1+3 +⋯+1=1+3+5+⋯+ 2n +1 +⋯+ 2n +1−1=11+2n +1−1 ⋅2n =4n .即有 b n +1=4b n ，且 b n =4n ．（3） 由a n=a 1+ a 2−a 1 + a 3−a 2 +⋯+ a n −a n−1 =2+4+16+⋯+4n−1=2+4 1−4n−11−4=4n+23,即有 c n =log 2 3a n −2 −10=2n −10，S n =12n c 1+c n =12n 2n −18 =n n −9 ，即有 c n ⋅S n =2n n −5 n −9 ，当 n ≤13 时，c n ⋅S n ≤c 13⋅S 13=832<1000， 当 n >13 时，c n ⋅S n ≥c 14⋅S 14=1260>1000， 故 1000 不是 c n ⋅S n 中的项．23. （1） 由题意得：q =a2a 1=m ，所以 a n =m n−1，所以 m 2n =m n−1m n +1+c ，所以 c =0， 因为数列 a n 的各项均为正数，所以 m >0， 当 m =1 时，S n =n ，a n =1，lim n→∞a nS n=0；当 m >0 且 m ≠1 时，S n =1−m n 1−m，所以a n S n= 1−mm n −11−m n， 当 0<m <1 时 lim n→∞a nS n=0； 当 m >1 时 an S n=1−m 1mn −1−m ，所以 lim n→∞a nS n=m−1m，所以 limn→∞a nS n=0,0<m ≤1m−1m,m >1．（2） 由题意得：d =a 2−a 1=m −1，所以 a n =1+ n −1 m −1 ，a n +1=1+n m −1 ，a n +2=1+ n +1 m −1 ，因为 a n +12=a n a n +2+c ，所以 1+n m −1 2= 1+ n −1 m −1 1+ n +1 m −1 +c ， 所以 c = m −1 2．（3） 计算得 a 3=m 2−1，猜想 a n −1+a n +1a n=m ．欲证明a n −1+a n +1a n=m 恒成立，只需要证明a n −1+a n +1a n=a n +a n +2a n +1恒成立，即要证明 a n +1 a n−1+a n +1 =a n a n +a n +2 恒成立，即要证明 a n +1a n−1+a n +12=a n 2+a n a n +2 恒成立， ∗∗∗ 因为 a n +12=a n a n +2+1，所以 a n +1a n−1=a n 2−1，a n a n +2=a n +12−1， ∗∗∗ 左边=a n 2−1+a n +12， ∗∗∗ 右边=a n 2+a n +12−1，所以∗∗∗成立．第11页（共11页）。