高中数学一轮(文科)人教A版配套课件第三章导数及其应用第3讲 导数的应用(二)
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2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版【优质ppt版本】
3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线 经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有 多条.
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
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2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第3课时 利用导数证明不等式课件 理
所以 h(c)在(1，＋∞)上是增加的，
所以 h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即 ln c－2(cc＋－11)>0(c>1)，因此原不等式 x1x2>e2 得证．
12/11/2021
换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数 a，再结合所证问题，巧妙引入变
量 c＝xx12，从而构造相应的函数．其解题要点为：
12/11/2021
由 m′(x)<0 得 x>1 时，m(x)为减函数， 由 m′(x)>0 得 0<x<1 时，m(x)为增函数， 易知 m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当 x＝1 时取到． 从而对一切 x∈(0，＋∞)，xln x≥－1e≥exx－2e，两个等号不能同时取到，即证对一切 x∈(0， ＋∞)都有 ln x>e1x－e2x成立．
12/11/2021
(2)证明：法一：因为 x>0，所以只需证 f(x)≤exx－2e， 当 a＝e 时，由(1)知，f(x)在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的， 所以 f(x)max＝f(1)＝－e. 记 g(x)＝exx－2e(x>0)， 则 g′(x)＝(x－x21)ex，
12/11/2021
解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－lnx2x，由 f′(x)＝0⇒x＝1，列表如下：
x (0，1)
1 (1，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
f(x) 增加 极大值 减少
因此函数 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)，极大值为 f(1)＝1，无极小值．
Hale Waihona Puke 12/11/202112/11/2021
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用(二)课件 理
已知 x＝3 是函数 f(x)＝alnx＋x2－10x 的一 个极值点，则实数 a＝________.
解：f′(x)＝ax＋2x－10，由 f′(3)＝a3＋6－10＝0 得 a ＝12，经检验满足题设条件．故填 12.
函数 f(x)＝x＋2cosxx∈0，π2 的最大值是________．
解：f′(x)＝1－2sinx，令
f′(x)＝0
得
sinx＝12，从而
π x＝ 6 ，
当 x∈0，π6 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x∈π6 ，π2 时，
f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以 f(x)在 x＝π6 处取得极大值，即最大
π
π
值 6 ＋ 3.故填 6 ＋ 3.
类型一 利用导数解决函数的极值问题
(1)已知函数 f(x)＝4x＋ax－lnx－32，其中 a∈R，且曲 线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x.
(Ⅰ)求 a 的值； (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间与极值．
解：(Ⅰ)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x，由 f(x)在点(1，f(1))处的 切线垂直于直线 y＝12x 知 f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54.
①求 f(x)在(a，b)内的极值；
②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最
小的一个是________．
3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：
(1)加速度是速度关于________的导数；
(2)线密度是质量关于________的导数；
(3)功率是功关于________的导数；
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；
2019-2020年新人教A版全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合
∴G′(x)＝（2x－2）（x－（lnxx－）ln－x（）x2－2）（x－1） ＝（x－1（）x（－xl－n x2）ln2x＋2）. ∵x∈1e，e，∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0， ∴x－2ln x＋2>0，∴x∈1e，1时，G′(x)<0，G(x)单调递减； x∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增， ∴G(x)min＝G(1)＝－1. ∴a≥G(x)min＝－1. 故实数 a 的取值范围为[－1，＋∞).
(2)由 f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x20－2x0， 记 F(x)＝x－ln x(x>0)， ∴F′(x)＝x－x 1(x>0)， ∴当 0<x<1 时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当 x>1 时，F′(x)>0，F(x)单调递增. ∴F(x)>F(1)＝1>0，∴a≥xx020－－l2nxx00， 记 G(x)＝xx－2－ln2xx，x∈1e，e，
a 2a >a2＋b2.
规律方法 证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、 单调性证明. (1)证明不等式 f(x)<g(x)，可构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，利用导 数求 F(x)的值域，得到 F(x)<0 即可； (2)对于证明含有两个变量 a，b 的不等式时，一种方法是通过 变形构造成不等式 f(a)>f(b)，然后利用函数 f(x)的单调性证明， 另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令 x＝ba然 后再利用已知关系证明即可.
考点三 函数的零点问题 【例 3】 (2015·北京卷)设函数 f(x)＝x22－kln x，k>0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e]上仅有一个 零点. (1)解 由 f(x)＝x22－kln x(k>0)，得 x＞0 且 f′(x)＝x－kx＝x2－x k. 由 f′(x)＝0，解得 x＝ k(负值舍去). f(x)与 f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算 (2)
x→0
间(a,b)内的导数
称为函数在区
几何
意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图象在该点处切线
的 斜率 .曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
物理
意义
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的
率为-4,则点P的坐标为
答案:
2
,2
2
解析:设
2
, −2
2
2 或 −
2
y=f(x)= ,由
当
当 x0=-
2
2
时,y0=
2
0
=
2
2
f(x)= 可得
设切点 P(x0,y0),由题意可得
2
2
x0= 时,y0=
2
0
.
2
2
2
-
2
f'(x0)=- 2 =-4,解得02
0
=2 2,此时点 P 的坐标为
即切点的横坐标为 ln 2.
3
,解得 ex=2
2
或e
x
1
=-2(舍去),所以
x=ln 2.
解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再
让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式
求出切点的纵坐标.
2
对点训练3(2021浙江杭州学军中学模拟)曲线y= 上一点P处的切线的斜
,我们称它为函数
x
x→0
y=f(x)在
处的导数,记作 f'(x0)或 y'|x=x ,即
间(a,b)内的导数
称为函数在区
几何
意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图象在该点处切线
的 斜率 .曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
物理
意义
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的
率为-4,则点P的坐标为
答案:
2
,2
2
解析:设
2
, −2
2
2 或 −
2
y=f(x)= ,由
当
当 x0=-
2
2
时,y0=
2
0
=
2
2
f(x)= 可得
设切点 P(x0,y0),由题意可得
2
2
x0= 时,y0=
2
0
.
2
2
2
-
2
f'(x0)=- 2 =-4,解得02
0
=2 2,此时点 P 的坐标为
即切点的横坐标为 ln 2.
3
,解得 ex=2
2
或e
x
1
=-2(舍去),所以
x=ln 2.
解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再
让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式
求出切点的纵坐标.
2
对点训练3(2021浙江杭州学军中学模拟)曲线y= 上一点P处的切线的斜
,我们称它为函数
x
x→0
y=f(x)在
处的导数,记作 f'(x0)或 y'|x=x ,即
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第三章 导数及其应用3-2-2
[解析] 则当
若函数
1 f(x)在区间 ，3 上无极值， 2
1 2 x ∈ 2，3 时， f ′ ( x ) ＝ x － ax ＋ 1≥0
恒成立或当 x ∈
1 2 ， 3 时， f ′ ( x ) ＝ x －ax＋1≤0 2
(k≠0)，求函数 f(x)的极值．
[解]
1＋ln x ln x f(x)＝ ， 其定义域为(0， ＋∞)， 则 f′(x)＝－ 2 . kx kx
令 f′(x)＝0，得 x＝1， 当 k>0 时，若 0<x<1，则 f′(x)>0， 若 x>1，则 f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1 即当 x＝1 时，函数 f(x)取得极大值 . k 当 k<0 时，若 0<x<1，则 f′(x)<0； 若 x>1，则 f′(x)>0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 1 即当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值 . k
数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近的其 他点的函数值都大， f′(b) ＝ 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧
f′(x)<0 ，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f′(x)>0 ，右侧________ ________
2 解析： (1)y′＝1－ 2， 令 y′＝0， 得 x＝ 2或 x＝－ 2(舍去)． x 当 x∈(0， 2)时，y′<0； 当 x∈( 2，＋∞)时，y′>0. 所以 x＝ 2是函数的极小值点．极值点是函数取得极时对 应的 x 的值，而不是函数值． 2 (2)由(1)知， 当 x＝ 2时， 函数取得极小值 y＝ 2＋ ＝2 2. 2 (3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即 ymin ＝2 2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念．函数 在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值.
高考数学一轮复习第三章导数3.2导数的应用课件
解析 (1)若a=2,则x3-x-a(x+1)=x3-x-2(x+1)=(x+1)(x2-x-2)=(x+1)2(x-2),
x3 x, x 2, 所以F(x)= (3分) 2( x 1), x 2. 3 3 2 x x 当x≤2时, F '(x)=3x -1=3 , 3 3 3 3 3 3 由F '(x)<0,得- <x< ,所以F(x)在区间 , 上单调递减. (6分) 3 3 3 3
≥0(或f '(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f '(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等 于0.这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排除在区间内个别点处
有f '(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处有f '(x0)=0,只要这样的点不充满所
给区间的任何一个子区间即可.因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函 数)求参数的取值范围时,应令f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立,解出参数的取 值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使 f '(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f '(x)不恒为0,则由 f '(x)≥0(或f '(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围即为所求.
考点二
导数与极值、最值
1.设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)< f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所 有的点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极 大值与极小值统称为极值. 2.当函数f(x)在x=x0处连续时,判断f(x0)是极大(小)值的方法: (1)如果x<x0时有f '(x)>0,x>x0时有f '(x)<0,则f(x0)是① 极大值 ; (2)如果x<x0时有f '(x)<0,x>x0时有f '(x)>0,则f(x0)是② 极小值 . 3.函数的最大值与最小值 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)
2024届新高考一轮复习人教A版 第3章第3讲 第2课时 导数与不等式恒(能)成立 课件(29张)
在(0,2)和m2 ，＋∞上单调递减． 所以当 x>4＋m4 >m2 时，f(x)＝x2m＋2－12mx－4ln x<f4＋m4 <0， 所以 f(x)≥0 不恒成立， 即 0<m<1 不符合题意． ②当 m＝1 时，f′(x)≤0(仅在 x＝2 时取等号)，f(x)在(0，＋∞)上单 调递减，f(x)≥0 不恒成立，即 m＝1 不符合题意．
要使得函数 g(x)在(0，＋∞)上有两个零点， 则 gm＋2 1＝4－4ln m＋2 1<0，得－1<m<2－e e. 综上，实数 m 的取值范围是－1，2－e e. (2)f′(x)＝(2m＋2)－4x－mx ＝－mx－2xx－2，x>0. ①当 0<m<1 时，函数 f(x)在2，m2 上单调递增，
【卡壳点】不能把a＋a 1看作整体，分离出来 设函数 F(x)＝2xx－ex 1(x>0)，则 F′(x)＝－2x＋x12exx－1. 【易错点】导数运算 当 0<x<1 时，F′(x)>0；当 x>1 时，F′(x)<0， 所以函数 F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 F(x)max ＝F(1)＝1e.
(2)原不等式可化为当 x≥1 时，k≤x＋1x1＋ln x恒成立，令 g(x)＝
x＋11＋ln x
x(x≥1)，
则
1＋ln g′(x)＝
x＋1＋1xx－x＋11＋ln x2
x＝x－xl2n
x .
再令 h(x)＝x－ln x(x≥1)，则 h′(x)＝1－1x≥0，所以 h(x)≥h(1)＝1，
所以 g′(x)>0，
〔变式训练1〕
已知函数
f(x)＝1＋xln
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a 解 (1)因为x＝5时，y＝11， 所以 ＋10＝11，a＝2. 2 2 (2) 由(1) 知，该商品每日的销售量 y＝ ＋10(x－6)2. x－3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)＝(x－3)[ ＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. x－3 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
第6页
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售 a 量 y(单位： 千克 )与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y＝ x－ 3 ＋ 10(x－ 6)2，其中 3＜ x＜ 6， a 为常数，已知销售价格为 5 元/千 克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
第4页
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因 变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最 值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解 实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个 极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售 a 量 y(单位： 千克 )与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y＝ x－ 3 ＋ 10(x－ 6)2，其中 3＜ x＜ 6， a 为常数，已知销售价格为 5 元/千 克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售 a 量 y(单位： 千克 )与销售价格 x(单位： 元 /千克)满足关系式 y＝ x－ 3 ＋ 10(x－ 6)2，其中 3＜ x＜ 6， a 为常数，已知销售价格为 5 元/千 克时，每日可售出该商品 11 千克． (1) 求 a 的值； (2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
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ห้องสมุดไป่ตู้
考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设 该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建 造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面 的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义 域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池 的体积最大．
π π 3 故 V ′( r ) ＝ (300－12r2)， (2)因 V(r)＝ (300r－4r )， 5 5 令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当 r∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大．
第8页
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考点突破 考点二 利用导数解决不等式问题
1－a 2 【例 2】(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝aln x＋ x－ 2 bx(a≠1)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 0. a (1)求 b；(2)若存在 x0≥1，使得 f(x0)＜ ，求 a 的取值范围． a－1 a 解 (1)f′(x)＝ ＋(1－a)x－b．由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. x 1－a 2 (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f(x)＝aln x＋ x －x， 2 a a 1－a x－ f′(x)＝ ＋(1－a)x－1 ＝ (x－1)． x x 1－a a 1 ①若 a≤ ，则 ≤1，故当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 2 1－a f(x)在(1，＋∞)上单调递增． a a 所以，存在 x0≥1，使得 f(x0)＜ 的充要条件为 f(1)＜ ， a－1 a－1 1－a a 即 －1＜ ， 解得－ 2－1＜a＜ 2－1. 2 a－1
接上一页 ，f′(x)＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x ) (3，4) ＋ 单调递增 4 0 极大值42 (4，6) － 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点， 也是最大值点．
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第 3 讲
夯基释疑
导数的应用(二)
考点一 概要 考点突破 考点二 考点三
例1 例2 例3
训练1 训练2 训练3
课堂小结
夯基释疑
判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式 共同确定．( ) (2)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( ) (3)连续函数在闭区间上必有最值．( ) (4)函数 f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．( )
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设 该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建 造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面 的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义 域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池 的体积最大． 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元， 底面的总成本为160πr2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 1 π 2 2 所以 h＝ (300－4r )，从而 V(r)＝πr h＝ (300r－4r3)． 5r 5 因 r>0，又由 h>0 可得 r<5 3，故函数 V(r)的定义域为(0，5 3)．