吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)高考总复习阶段测试卷(第35周) Word版含答案
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三一轮复习阶段测试卷(第10周)数学理 Word版含答案
2014-10-15（一） 函数及其表示 1.6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－122.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4.2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)5.3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) （二） 反函数 6.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )（三） 函数的单调性与最值 7.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)8.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)9.21．[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．10.12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 11.15．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)12.21．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．（四） 函数的奇偶性与周期性13.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)2．[解析] 2．A. 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3． [解析]7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．4．[解析]2．C. 由x 2－x >0，得x >1或x <0.5． [解析] 3．C 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. (二) 反函数(高中针对指对函数)6．[解析] 12．D. 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．（三） 函数的单调性与最值 7．[解析]2．A 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.8.[解析] 7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 9.解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x ∴+<|1|x +>，1∴-1x <-或1x <-1x >- 所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；(2).22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(111)0x x +++-+<，1x ∴<-或11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-，所以函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-或1x =-或3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11--11->- 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++->()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-71x =- 注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知 在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，即，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++ ()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-+=--注意到6k <-，故，1211,13x x =->=-<-，故89,x x D ∈ (103110x x -=--=>，故10x D ∈4112420k k x x -----===>故11x D ∈结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像 可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了.总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.附：()g x x 3x5x1-1x2x 6x 4()f x 的大致图像为103x 1x8x9x 2x 41110. [解析] 12．1 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 11.[解析] 15．①③④ 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 12.解：21． (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． (四) 函数的奇偶性与周期性。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学总复习阶段测试卷(第31周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学总复习阶段测试卷（第31周）理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列四个命题中，全称命题是（ ）A ．有些实数是无理数B ．至少有一个整数不能被3整除C ．任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D ．存在一个三角形不是直角三角形2．函数41lg)(+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．{}14<<-x xB ．{}41>-<x x x 或 C ．{}1<x x D ．{}14>-<x x x 或3. 设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如下图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤ C ．{}|12x x <≤D ．{}|2x x <4．已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则()A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x xB ．)1(-x f =)42(12≤≤+-x xC ．)1(-x f =)20(22≤≤-x xD ．)1(-x f =)42(12≤≤-x x5．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则 （ ） A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．若函数)(x f 的唯一一个零点同时在区间（0，16）,（0，8）,（0，4）,（0，2）内，则下列结论中正确的是（ ）A ．)(x f 在区间（0，1）内一定有零点B ．)(x f 在区间[)16,2内没有零点C ．)(x f 在区间（0，1）或（1，2）内一定有零点D ．)(x f 在区间（1，16）内没有零点 7．设nS 为数列{}n a 的前n 项和，249n a n =-，则nS 取最小值时，n 的值为 ( )A ．12B ．13C ．24D ．258．“10≤<a ”是“关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R, 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2009)f 的值为 ( )A ．0B ．2-C ．2D ．200910．设βα、是方程0622=++-k kx x 的实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）A ．494-B ． 8C ．18D ．1411．已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，x t x f ≤+)(恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．312．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为 （ ）A ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-15520552x x x 或 B ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<-155551x x x 或 C ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-550551x x x 或 D ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-0552552x x x 且 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．对于实数a (a ＞0且a ≠1), 函数f (x) = a x －2－3的图象过定点 .14．已知数列{}n a 满足n nn a a a a -+==+122,211(∈n N*)，则数列{}n a 的第4项是 .15．若函数)log 2(log 221x y -=的值域是)0,(-∞，则它的定义域是 .16．关于函数xxxf1lg)(2+=(0≠x，∈x R), 有下列命题：①)(xf的图象关于y轴对称；②)(xf的最小值是2lg；③)(xf在)0,(-∞上是减函数，在),0(∞+上是增函数；④)(xf没有最大值．其中正确命题的序号是.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分) 若函数()2af x xx=-在定义域(]1,0上是减函数，求实数a的取值范围.18．(本题满分12分) 已知函数()2xf x=，1()22xg x=+.（1）求函数()g x的值域；（2）求满足方程()()0f xg x-=的x的值.19．(本题满分12分) 设数列{}na的前n项和为nS，满足22nn nS a=-(∈n N*)，令nnnab2=.（1）求证：数列{}nb为等差数列；（2）求数列{}na的通项公式.20．(本题满分12分) 某渔业个体户今年年初用96万元购进一艘渔船用于捕捞，规定这艘渔船的使用年限至多为15年. 第一年各种费用之和为10万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用之和都比上一年增加3万元. 该船每年捕捞的总收入为45万元.（1）该渔业个体户从今年起，第几年开始盈利（即总收入大于成本及所有费用的和）？（2）在年平均利润达到最大时，该渔业个体户决定淘汰这艘渔船，并将船以10万元卖出，问：此时该渔业个体户获得的利润为多少万元？（注：上述问题中所得的年限均取整数）21．(本题满分12分) 已知函数)(xf的定义域为),0(+∞，对于任意正数a、b，都有pbfafbaf-+=⋅)()()(，其中p是常数，且0>p.1)2(-=pf，当1>x时，总有pxf<)(.（1）求)21()1(ff及（写成关于p的表达式）；（2）判断),0()(+∞在x f 上的单调性，并加以证明；（3）解关于x 的不等式1)45(2+>+-p x x f . 22．(本题满分12分) 已知函数)(1)(a x x a ax x f ≠--+=.（1）证明：对定义域内的所有x ，都有02)()2(=++-x f x a f . （2）当f(x)的定义域为时，求证：f(x)的值域为[]2,3--.（3）设函数g(x) = x2+| (x －a) f(x) | , 若2321≤≤a ，求g(x)的最小值.理科数学参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．)2,2(- 14．6 15．( 0, 2 ) 16．① ② ④三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（法一）任取12,(0,1]x x ∈且12x x <，由题意知12()()f x f x >，所以121222a a x x x x ->-，即12212()0a ax x x x -+->，…………………… 4分所以1212()(2)0a x x x x -+>，只需 1220a x x +<，即122a x x <-.因为12,(0,1]x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，122(2,0)x x -∈-，故2a ≤-.……………………10分（法二）因为函数()2af x x x =-在定义域(]1,0上是减函数，所以'220a y x =+≤在(0,1]上恒成立，所以22a x ≤-.设2()2g x x =-，因为()g x 在(0,1]上的最小值为2-，所以2a ≤-.……………………10分18．解：（1）11()2()222xxg x =+=+，因为0x ≥，所以10()12x<≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3] (5)分（2）由()()0f x g x -=得12202x x --=，当0≤x 时，显然不满足方程，即只有0x >满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±10分 因为20x >，所以21x =+2log (1x =. ……………………12分19．解：（1）因为22n n n S a =-(∈n N*)，则*2,n n N ≥∈时，11122n n n S a ---=-，此时，1n n n a S S -=-=11112222222n n n n n n n a a a a ------+=--，即1122n n n a a --=+. ………………………………………… 4分由1122a a =-得12a =. 由n n n a b 2=得1112a b ==.…………………6分当2≥n 时，1nn b b --=1122n n n n a a ---=21222211==---n n n n n a a ， 所以{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列. ……………………8分 （2）由（1）知，111(1)22n n b n +=+-=，即 2n na =12n +， 所以{}n a 的通项公式为 1(1)2n n a n -=+⋅.……………………12分20．解：（1）设从今年起，第n 年的盈利额为y 万元，则.96273239632)1(10452-+-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+-=n n n n n n y …………………………………3分由0>y 得01927332<+-n n ，∴.3643<<n 又∈n N*，且15≤n ，∴从今年起，第4年开始盈利. ………………………………………………6分（2）年平均利润为.5.1227396232)9623(2732739623=+⨯-≤+-=+--=n n n n n n n y (8)分当且仅当n n 9623=，即8=n 时年平均利润最大，此时，该渔业个体户共盈利1101085.12=+⨯（万元）. (12)分21．解：（1）取a=b=1，则(1)2(1).(1)f f p f p=-=故.……………………2分又pf f f f -+=⨯=)21()2()212()1(，且1)2(-=p f .得：1)1()2()1()21(+=+--=+-=p p p p p f f f .……………………4分（2）设,021x x << 则])()([)()()()(112111212p x f x x f x f x x x f x f x f -+=-⋅=-1()f x -21()x f p x =-由1,01221><<x x x x 可得，所以 p x xf <)(12，所以 0)()(12<-x f x f ，因此，),0()(+∞在x f 上是减函数. ………………………………………… 8分（3）由1)45(2+>+-p x x f 得)21()45(2f x x f >+-，又因为),0()(+∞在x f 上是减函数，所以214502<+-<x x .由0452>+-x x 得 1<x 或4>x ；由21452<+-x x 得21152115+<<-x ， 因此，不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<<<-2115412115x x x 或.……………………12分 22．（1）证明：212122)()2(+--+++--+-=++-x a ax x a a a x a x f x a f02211211=--++--+-=+--++-+-=a x ax a x x a x a a x a x x a ，∴ 结论成立. ……………………………………………………………… 4分（2）证明：x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(.当112,211,211,121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+x a x a a x a a x a 时,2113-≤-+-≤-x a , 即]2,3[)(--的值域为x f .…………………… 8分（3）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=. 当ax a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且；当.45)21(1)(,122-+-=+--=-<a x a x x x g a x 时 因为2321≤≤a ，所以21121≤-≤-a ，则函数)(x g 在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增, 在)1,(--∞a 上单调递减，因此，当1-=a x 时，g （x ）有最小值2)1(-a (12)分。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习阶段测试卷(第13周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习阶段测试卷（第13周）理54.18．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f(x)≤0；(2)若a<sin x x <b 对x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．55.20．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.57.22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f(x)＝ln xx的单调区间；(2)求e3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．58.22．[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－2x x ＋2. (1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a 的取值范围．59.18．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x(b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．60.11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 61.22．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ln(x ＋1)－axx ＋a (a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an ＋1＝ln(an ＋1)，证明：2n ＋2<an ≤3n ＋2.62.11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)63.21．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x ＋bex －1x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.64.21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x ＞0时，g(x)＞0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)． 21．解：(1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)] ＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0. 综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b2－2b)＝ln 2，g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝ex x2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．66.21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．67.20．[2014·天津卷] 设f(x)＝x －aex (a∈R)，x∈R.已知函数y ＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2.(1)求a 的取值范围；(2)证明：x2x1随着a 的减小而增大；(3)证明：x1＋x2随着a 的减小而增大．68．22．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； (2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．69.20．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝ae2x －be －2x －cx(a ，b ，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c. (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f(x)的单调性； (3)若f(x)有极值，求c 的取值范围．71.6．[2014·湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11sin 12xcos 12xdx ＝12⎠⎛－11sinxdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11x ·x2dx ＝x441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.72.9．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)dx ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π673.8.[2014·江西卷] 若f(x)＝x2＋2⎠⎛01f(x)dx ，则⎠⎛01f(x)dx ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．174.6．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x3)dx ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x2－14x420＝4，故选D.75.3．[2014·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋ex)dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －13．C [解析] ⎠⎛01(2x ＋ex)dx ＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e.（十四） 单元综合76.9．[2014·四川卷] 已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题： ①f(－x)＝－f(x)；②f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x2＝2f(x)；③|f (x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②77.10．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex －12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x ＋a)的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e78.14．[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a ，f(a))，(b ，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a ，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a ，b)＝c ＝a ＋b2，即Mf(a ，b)为a ，b 的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的几何平均数； (2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)79.12．[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x ，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<12|x －y|.若对所有x ，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.1880.22．[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－2x x ＋2. (1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a 的取值范围．81.21．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x ＋bex －1x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.82.21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x ＞0时，g(x)＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．(2)当x>0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax>0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx<0”．令g(x)＝sin x －cx ，则g′(x)＝cos x －c.当c≤0时，g(x)>0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，g′(x)＝cos x －c<0，所以g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立． 当0<c<1时，存在唯一的x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x0)＝cos x0－c ＝0. g(x)与g′(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的情况如下：x (0，x0) x0 ⎝⎛⎭⎪⎫x0，π2 g ′(x) ＋ 0 － g(x)因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c≤2π.综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a<sin x x <b 对任意x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.55.解：方法一：(1)由f(x)＝ex －ax ，得f ′(x)＝ex －a.(2)证明：令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)证明：①若c≥1，则ex ≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex.故当x>0时，x2<cex. 取x0＝0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.②若0<c<1，令k ＝1c >1，要使不等式x2<cex 成立，只要ex>kx2成立．而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x ＋ln k 成立． 令h(x)＝x －2ln x －ln k ，则h′(x)＝1－2x ＝x －2x.所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．又h(x0)＝16k －2ln(16k)－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k)＋5k ， 易知k>ln k ，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0. 即存在x0＝16c，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x0＝4c，由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex ＝e x 2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x>x0时，ex>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1cx2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3<ex.证明如下：56.解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->， 22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->， |1|2x k ∴+<--|1|2x k +-12k ∴---12x k <---或12x k <--或12x k >--所以函数()f x 的定义域D 为(,12)k -∞--(12,k ---12)k ---(12,)k --+∞；(2).232222(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3x x k x x f x x x k x x k +++++=-+++++-23222(21)(22)(2)2(2)3x x k x x x k x x k ++++=-+++++-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)(1)(1)0x k x k x +++<，1x k ∴<--或11x k -<<--，结合定义域知12x k <--或11x -<<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-， 2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-1x =-3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11-<-11->-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++-> ()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D+++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-，且71x =-注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增 在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++ ()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到6k <-，故，1211,13x x =->=--，故89,x x D ∈(103110x x -=-+-+=>，故10x D ∈4112420k k x x -----===>故11x D ∈ 结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了. 总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.57.解：22． (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝ln x x ，所以f ′(x)＝1－ln xx2.当f ′(x)>0，即0<x<e 时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>e 时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e<ln πe ，ln e π<ln 3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝ex ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得 3e<πe<π3，e3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e3之中． 由e<3<π及(1)的结论，得f(π)<f(3)<f(e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e<ln e3，所以3e<e3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e. (3)由(2)知，3e<πe<π3<3π，3e<e3. 又由(2)知，ln ππ<ln ee ，得πe<e π.故只需比较e3与πe 和e π与π3的大小． 由(1)知，当0<x<e 时，f(x)<f(e)＝1e ，即ln x x <1e.在上式中，令x ＝e2π，又e2π<e ，则ln e2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe>ln e3，所以e3<πe. 又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e<e3<πe<e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e3，πe ，e π，π3，3π. 58.解：22． (1)f′(x)＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a<1时，由f′(x)＝0得x1＝21－a a ⎝⎛⎭⎪⎫x2＝－21－a a 舍去. 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1. 又f(x)的极值点只可能是x1＝21－aa和x2＝－21－aa，且由f(x)的定义可知， x>－1a且x≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－aa≠－2， 解得a≠12.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．(i)当－1<x<0时，g(x)＝2ln(－x)＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0，因此，g(x)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(x)<g(－1)＝－4<0. 故当0<a<12时，f(x1)＋f(x2)<0.(ii)当0<x<1时，g(x)＝2ln x ＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0，因此，g(x)在区间(0，1)上单调递减，从而g(x)>g(1)＝0.故当12<a<1时，f(x1)＋f(x2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 59. (1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2）1－2x，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19.60.C [解析] 当－2≤x<0时，不等式转化为a ≤x2－4x －3x3，令f(x)＝x2－4x －3x3(－2≤x<0)，则f′(x)＝－x2＋8x ＋9x4＝－（x －9）（x ＋1）x4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g(x)恒成立．当0<x≤1时，a≥x2－4x －3x3，令个g(x)＝x2－4x －3x3(0<x≤1)，则g′(x)＝－x2＋8x ＋9x4＝－（x －9）（x ＋1）x4，故g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.61. 解：22． (1)易知f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x)＝x[x －（a2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f ′(x)>0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函数； 若x∈(a 2－2a ，0)，则f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a ，0)是减函数； 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x ＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a>2时，若x∈(－1，0)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)是增函数； 若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0， 所以f(x)在(0，a2－2a)是减函数；若x∈(a 2－2a ，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数． 当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x>0)．又由(1)知，当a ＝3时，f(x)在[0，3)是减函数．当x∈(0，3)时，f(x)<f(0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x<3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<an ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<ak ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝ln(ak ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，ak ＋1＝ln(ak ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <ak ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈结论都成立．62.若a>0，则f(x)极大值＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 63.21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aexln x ＋a x ex －b x2ex －1＋bx ex －1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x ＋2x ex －1，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e.设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x ，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x)<0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g′(x)>0.故g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h(x)＝xe －x －2e ，则h′(x)＝e －x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.因为gmin(x)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 64．．解：21 (1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)] ＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0. 综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b2－2b)＝ln 2，g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．解：(1)函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x2ex －2xex x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x ＝xex －2ex x3－k （x －2）x2＝（x －2）（ex －kx ）x3.由k≤0可得ex －kx>0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y ＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y ＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当k>0时，设函数g(x)＝ex －kx ，x∈(0，＋∞)． 因为g′(x)＝ex －k ＝ex －eln k ， 当0<k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex －k>0，y ＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增． 所以函数y ＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)． 函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k<2，解得e<k<e22.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e22.66.解：21．由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝x 1＋x ，g2(x)＝g(g1(x))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x，g3(x)＝x 1＋3x ，…，可得gn(x)＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g1(x)＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，gk ＋1(x)＝g(gk(x))＝gk （x ）1＋gk （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax 1＋x (x≥0)，则φ′(x)＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x ，x>0.令x ＝1n ，n∈N＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n>1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1dx ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1dx ＝n －ln(n ＋1)，结论得证． 67.解：20． (1)由f(x)＝x －aex ，可得f′(x)＝1－aex. 下面分两种情况讨论：(i )a≤0时，f′(x)>0在R 上恒成立，可得f(x)在R 上单调递增，不合题意． (ii)a>0时，由f′(x)＝0，得x ＝－ln a. 当x x (－∞，－ln a) －ln a (－ln a ，＋∞) f′(x)＋－f(x) －ln a －1这时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－ln a)；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－ln a)>0；②存在s1∈(－∞，－ln a)，满足f(s1)<0；③存在s2∈(－ln a ，＋∞)，满足f(s2)<0.由f(－ln a)>0，即－ln a －1>0，解得0<a<e －1.而此时，取s1＝0，满足s1∈(－∞，－lna)，且f(s1)＝－a<0；取s2＝2a ＋ln 2a ，满足s2∈(－ln a ，＋∞)，且f(s2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f(x)＝x －aex ＝0，有a ＝x ex .设g(x)＝x ex ，由g′(x)＝1－xex ，知g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g(x)≤0; 当x∈(0，＋∞)时，g(x)>0.由已知，x1，x2满足a ＝g(x1)，a ＝g(x2)．由a∈(0，e －1)及g(x)的单调性，可得x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)．对于任意的a1，a2∈(0，e －1)，设a1>a2，g(ξ1)＝g (ξ2)＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)＝g(η2)＝a2，其中0<η1<1<η2.因为g(x)在(0，1)上单调递增，所以由a1>a2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x2x1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x1＝aex1，x2＝aex2，可得ln x1＝ln a ＋x1，ln x2＝ln a ＋x2.故x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln x2x1.则h′(x)＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2.令u(x)＝－2ln x ＋x －1x ，得u′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2.当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)>u(1)＝0，由此可得h′(x)>0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x1＋x2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x1＋x2随着a 的减小而增大． 68. [2014·浙江卷] 22． 已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．解：22． (1)因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3＋3x －3a ，x≥a，x3－3x ＋3a ，x<a ，所以f′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x2＋3，x≥a，3x2－3，x<a.由于－1≤x≤1， (i)当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x －3a ，此时f(x)在(－1，1)上是增函数，因此，M(a)＝f(1)＝4－3a ，m(a)＝f(－1)＝－4－3a ，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.(ii)当－1<a<1时，若x∈(a，1)，则f(x)＝x3＋3x －3a.在(a ，1)上是增函数；若x∈(－1，a)，则f(x)＝x3－3x ＋3a 在(－1，a)上是减函数．所以，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}，m(a)＝f(a)＝a3.由于f(1)－f(－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a≤13时，M(a)－m(a)＝－a3－3a ＋4；当13<a<1时，M(a)－m(a)＝－a3＋3a ＋2.(iii)当a≥1时，有x≤a，故f(x)＝x3－3x ＋3a ，此时f(x)在(－1，1)上是减函数，因此，M(a)＝f(－1)＝2＋3a ，m(a)＝f(1)＝－2＋3a ，故M(a)－m(a)＝(2＋3a)－(－2＋3a)＝4.综上，M(a)－m(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a≤－1，－a3－3a ＋4，－1<a ≤13，－a3＋3a ＋2，13<a<1，4，a≥1.(2)令h(x)＝f(x)＋b ，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3＋3x －3a ＋b ，x≥a，x3－3x ＋3a ＋b ，x<a ，h ′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x2＋3，x>a ，3x2－3，x<a. 因为[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，即－2≤h(x)≤2对x∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a≤－1时，h(x)在(－1，1)上是增函数，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－3a ＋b ，最小值是h(－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b≥－2且4－3a ＋b≤2，矛盾．(ii)当－1<a≤13时，h(x)在[－1，1]上的最小值是h(a)＝a3＋b ，最大值是h(1)＝4－3a ＋b ，所以a3＋b≥－2且4－3a ＋b≤2，从而－2－a3＋3a≤3a ＋b≤6a －2且0≤a≤13. 令t(a)＝－2－a3＋3a ，则t′(a)＝3－3a2>0，t(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，因此－2≤3a＋b≤0.(iii)当13<a<1时，h(x)在[－1，1]上的最小值是h(a)＝a3＋b ，最大值是h(－1)＝3a ＋b ＋2，所以a3＋b≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； (iv)当a≥1时，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h(1)＝－2＋3a＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a＋b≤0.69.解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x ＋2be －2x －c ，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a －b)(e2x －e －2x)＝0.因为上式总成立，所以a ＝b.又f′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f(x)＝e2x －e －2x －3x ，那么f ′(x)＝2e2x ＋2e －2x －3≥22e2x ·2e －2x －3＝1>0，故f(x)在R 上为增函数．当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0.从而f(x)在x ＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．70.图14[解析]14.2e2因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝ex 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1e ln xdx ＝2(xln x －x)|e1＝2[(eln e －e)－(ln 1－1)]＝2， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2. 71. [解析]6．C 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11sin 12xcos 12xdx ＝12⎠⎛－11sinxdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11x ·x2dx ＝x441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.72. A [解析] 因为∫2π30f(x)dx ＝0，即∫2π30f(x)dx ＝－cos(x －φ)2π30＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴． 73.B [解析] ⎠⎛01f(x)dx ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x2＋2⎠⎛01f （x ）dx dx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x3＋⎝⎛⎭⎫2⎠⎛01f （x ）dx x 10＝13＋2⎠⎛01f(x)dx ，得⎠⎛01f(x)dx ＝－13. 74. [2014·山东卷] 6．直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x3)dx ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫2x2－14x420＝4，故选D. 75. C [解析] ⎠⎛01(2x ＋ex)dx ＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e. （十四） 单元综合76. [解析] 9．A f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x 1－x＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f(x)，故①正确；当x∈(－1，1)时，2x 1＋x2∈(－1，1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1＋x2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x2＝ln 1＋2x1＋x21－2x 1＋x2＝ln 1＋x2＋2x 1＋x2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，故②正确；由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当x∈[0，1)时，f(x)与2x 的大小关系即可．记g(x)＝f(x)－2x ，0≤x＜1，即g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x ，0≤x<1，g ′(x)＝11＋x ＋11－x －2＝2x21－x2，0≤x＜1. 当0≤x＜1时，g′(x)≥0，即g(x)在[0，1)上为增函数，且g(0)＝0，所以g(x)≥0，即f(x)－2x≥0，x∈[0，1)，于是|f(x)|≥2|x|正确．综上可知，①②③都为真命题，故选A.77. B [解析] 依题意，设存在P(－m ，n)在f(x)的图像上，则Q(m ，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e －m －12＝m2＋ln(m ＋a)，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m(m ＞0)，可得a∈(－∞，e)．78. [解析] 14．(1)x (2)x(或填(1)k1x ；(2)k2x ，其中k1，k2为正常数)设A(a ，f(a))，B(b ，－f(b))，C(c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b ，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b. 因为a>0，b>0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f(x)＝x(x>0)； (2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a>0，b>0，所以化简得 f （a ）a ＝80.解：22． (1)f′(x)＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*) 当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a<1时，由f′(x)＝0得x1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＝－21－a a 舍去. 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增． (2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1.又f(x)的极值点只可能是x1＝21－a a 和x2＝－21－a a ，且由f(x)的定义可知， x>－1a且x≠－2， 所以－21－a a >－1a ，－21－a a≠－2， 解得a≠12.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点． 而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－2x1x1＋2＋ln(1＋ax2)－2x2x2＋2＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－4x1x2＋4（x1＋x2）x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2. 令2a －1＝x.由0<a<1且a≠12知， 当0<a<12时，－1<x<0； 当12<a<1时，0<x ＜1. 记g(x)＝ln x2＋2x－2. (i)当－1<x<0时，g(x)＝2ln(－x)＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0， 因此，g(x)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(x)<g(－1)＝－4<0.故当0<a<12时，f(x1)＋f(x2)<0. (ii)当0<x<1时，g(x)＝2ln x ＋2x－2， 所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0， 因此，g(x)在区间(0，1)上单调递减，从而g(x)>g(1)＝0.故当12<a<1时，f(x1)＋f(x2)>0. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 81.21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aexln x ＋a x ex －b x2ex －1＋b xex －1. 由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x ＋2x ex －1，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e. 设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x ，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x)<0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g′(x)>0. 故g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h(x)＝xe －x －2e，则h′(x)＝e －x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e. 因为gmin(x)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 82. ．解：(1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ，g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)]＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b 的最大值为2.。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学总复习阶段测试卷
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1文本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤2．命题“若1,x >则0x >”的否命题是 （ ）A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x <3．在复平面内复数-31+z i =的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（ ） A 、yB 、y ＝｜x －2｜C 、y ＝2x －1D 、y ＝2log (2)x5．与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=6．已知向量a b r r 、是夹角为60°的两个单位向量，向量λa b r r ＋（λ∈R ）与向量2-a b r r垂直，则实数λ的值为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、07按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88、已知函数sin()y x ωϕ=+的最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）A ．sin(4)6y x π=+ B ．sin(2)3y x π=+ C ．sin(4-)3y x π= D ．15sin()412y x π=+ 9．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==，2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A ．1256π3 B ．8π C ．254π D ．2516π10、已知函数()1,()ln f x g x a x =+=，若在14x =处函数f （x ）与g （x ）的图象的切线平行，则实数a的值为( )A、14B、12C、1D、411若点P在抛物线24y x=上，则点P到点(2,3)A的距离与点P到抛物线焦点的距离之差（）A．有最小值，但无最大值B有最大值但无最小值C．既无最小值，又无最大值D．既有最小值，又有最大值12．已知函数132,0()log,0xa xf x x x⎧⨯≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程f（f（x））＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A、（－∞，0）B、（－∞，0）∪（0,1）C、（0,1）D、（0,1）∪（1，＋∞）第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)高考总复习阶段测试卷(第34周) Word版含答案
数学理试题第Ⅰ卷5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有1｝的集合M 共有 （ ）C ．8个D ．15个2 ）②()f x x =与()g x =④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
C. ③④ D. ①④ 3 ） ()0aa f x dx -=⎰0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰()0baf x dx >⎰()0baf x dx >⎰，则()f x 在[]a b ，上恒正4是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都 时，D ．－4512cm 2，则扇形的中心角的弧度数是（ ） 4 C. 4 D. 2或46 ）B.最小正周期为2π的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数7(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）12 C ．2- D ．28c ,，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 是（ ）C ．等腰直角三角形D ．无法确定932)422x ax bx =--+在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于．6D ．910．函数f 2||πϕ<）的图象如图所示，)(x f y =的图象上所有点（ ）A. 向右平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度11()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1．(,1)(2,)-∞⋃+∞ D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．已知y 0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若3a =()3log 3f ππ⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , ,a b c 大A ．b c > C ．b c a >> D ．a c b >>第Ⅱ卷13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 5分． 13x1=及x 轴所围图形的面积为 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷(第26周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷（第26周）理本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合为A．B．C．D．2．“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱D．越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A．B．C．D．5．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。
若，且a4与a7的等差中项为，A．35 B．33 C．31 D．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A．B．D．C．7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．B．C．D．8．已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长等于A．4 B．3C．2 D．与点M位置有关的值9．当a > 0时，函数的图象大致是10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为A．B．C．D．11．已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为C．D．A．B．12．在底面半径为3，高为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A．4个B．5个C．6个D．7个第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.9.4)
2015届高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.9.4）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1．（2011北京）1.已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是A. (,1]-∞-B. [1,)+∞C. [1,1]-D. (,1]-∞-[1,)+∞2．（2011全国2）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是(A)a >b +1 (B)a >b -1 (C)2a >2b (D)3a >3b3．函数y =的定义域是( )（A ）(3,2)(2,3)- （B ）[3,2)(2,3]- （C ）[3,3]-（D ）(3,3)-4．已知偶函数[)()0,f x +∞在区间单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 ( )A ．12(,)33B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12(,)23 D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 5．设222,2(),((5))log (1),2x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．26．如右图是李大爷晨练时所走的离家距离（y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示李大爷家的位置，则李大爷散步行走的路线可能是（ ）8． (四川省2011届普通高考考生知识能力水平摸底测试一理科)设函数3()12f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增第6题图B ．函数()f x 的极小值是-12C ．函数()f x 的图象与直线10y =只有一个公共点D ．函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16y =9．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( )A ．(1，+∞)B ． (0，3)C ．（1，3）D ． [32，3）．10．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0，则)2011(f 的值为( )A ．22011B ．26031C ．26033 D ．3017二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11. (温州市2011第一次适应性测试理科)若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习阶段测试卷(第12周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习阶段测试卷（第12周）理（八）幂函数与函数的图像33.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D 图1234.10．[2014·湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x －a2|＋|x －2a2|－3a2)．若∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3335.8．[2014·山东卷] 已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)36.7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )（九） 函数与方程37.10．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex －12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x ＋a)的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e38.14．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．39.6．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c>9（十） 函数模型及其应用40.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1 41.10．[2014·陕西卷] 如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图12 A ．y ＝1125x3－35x B ．y ＝2125x3－45x C ．y ＝3125x3－x D ．y ＝－3125x3＋15x （十一） 导数及其运算42.18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．43.21．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N*. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ；(2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1p.44.20．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.45.10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．46.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．47.18．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R )． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．48.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝xex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．149.8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．350.21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．51.19．[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n∈N *)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 的前n 项和Tn.（十二） 导数的应用52.21．[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．53.18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．答案提示：(八) 幂函数与函数的图像33. B [解析] 由函数y ＝logax 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log3(－x)，则其函数图像不正确．因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.35.8．B [解析] 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.36. [2014·浙江卷] 7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.(九) 函数与方程 37.10．B [解析] 依题意，设存在P(－m ，n)在f(x)的图像上，则Q(m ，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e －m －12＝m2＋ln(m ＋a)，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m(m ＞0)，可得a∈(－∞，e)．38．[解析] 14．(0，1)∪(9，＋∞) 在同一坐标系内分别作出y ＝f(x)与y ＝a|x －1|的图像如图所示．当y ＝a|x －1|与y ＝f(x)的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x2－3x ，a>0，整理得x2＋(3－39． [2014·浙江卷] .6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c>96．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f(x)＝x3＋6x2＋11x ＋c ，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（十）函数模型及其应用 40.[解析] 8．D 设年平均增长率为x ，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1.41. [2014·陕西卷] 9. 如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图12 A ．y ＝1125x3－35x B ．y ＝2125x3－45x C ．y ＝3125x3－x D ．y ＝－3125x3＋15x 10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax3＋bx2＋cx ＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y′＝3ax2＋c ，得当x ＝－5时，y′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x3－35x.(十一) 导数及其运算42. [2014·安徽卷] 18． 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x)＝1＋a －2x －3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a 3，x1<x2，所以f′(x)＝－3(x －x1)(x －x2)． 当x<x1或x>x2时，f′(x)<0； 当x1<x<x2时，f′(x)>0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a<4时，x2<1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， 所以f(x)在x ＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a ，所以当0<a<1时，f(x)在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f(x)在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x ＝0处取得最小值．43. [2014·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ；(2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x)2＝1＋2x ＋x2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式(1＋x)k>1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x)k ＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k ＋1)x ＋kx2>1＋(k ＋1)x. 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c 1p .①当n ＝1时，由题设知a1>c 1p成立．由ak>c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c apk －1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋1ak p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap k －1p>1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap k －1＝c ap k . 因此ap k ＋1>c ，即ak ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式an>c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>c 1p 均成立．再由an ＋1an ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap n －1可得an ＋1an <1，即an ＋1<an.综上所述，an>an ＋1>c 1p，n∈N *.方法二：设f(x)＝p －1p x ＋c p x1－p ，x≥c 1p ，则xp ≥c ，所以f′(x)＝p －1p ＋c p (1－p)x －p ＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c xp >0.由此可得，f(x)在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x>c 1p 时，f(x)>f(c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a1>c 1p>0，即ap 1>c 可知a2＝p －1p a1＋c p a1－p 1＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ap 1－1<a1，并且a2＝f(a1)>c 1p ，从而可得a1>a2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式an>an ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k(k≥1，k∈N *)时，不等式ak>ak ＋1>c 1p成立，则当n ＝k ＋1时，f(ak)>f(ak ＋1)>f(c 1p)，即有ak ＋1>ak ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式an>an ＋1>c 1p均成立．44. [2014·福建卷] 20．已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex. 20．解：方法一：(1)由f(x)＝ex －ax ，得f ′(x)＝ex －a. 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f(x)＝ex －2x ，f ′(x)＝ex －2. 令f ′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1>0， 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)证明：①若c≥1，则ex ≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex. 故当x>0时，x2<cex.取x0＝0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.②若0<c<1，令k ＝1c >1，要使不等式x2<cex 成立，只要ex>kx2成立．而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x ＋ln k 成立． 令h(x)＝x －2ln x －ln k ，则h′(x)＝1－2x ＝x －2x .所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x0＝4c ，由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex ＝e x 2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22， 当x>x0时，ex>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1c x2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.方法三：(1)同方法一．(2)同方法一． (3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3<ex. 证明如下： 令h(x)＝13x3－ex ，则h′(x)＝x2－ex. 由(2)知，当x>0时，x2<ex ，从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝－1<0，即13x3<ex. 取x0＝3c ，当x>x0时，有1c x2<13x3<ex. 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.45. [2014·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.46. [2014·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x0，y0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．47. [2014·江西卷] 18．已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x (b∈R )．(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2）1－2x，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4. (2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 48. [2014·全国卷] 7．曲线y ＝xex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y′＝(xex －1)′＝ex －1＋xex －1，所以y ＝xex －1在点(1，1)处的导数是y′|x ＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y ＝xex －1在点(1，1)处的切线斜率是2.49. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 50. [2014·陕西卷] 21． 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g(x)＝x 1＋x(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝x 1＋x ，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，那么，当n ＝k ＋1时，gk ＋1(x)＝g(gk(x))＝gk （x ）1＋gk （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax 1＋x恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－ax 1＋x(x≥0)， 则φ′(x)＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax 1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋n n ＋1， 比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则1n ＋1<ln n ＋1n. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)． 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x，x>0. 令x ＝1n ，n∈N＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n>1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． 方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，51.[2014·四川卷] .19．设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n∈N *)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 的前n 项和Tn.19．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d ＝a8－a7＝2，所以Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在点(a2，b2)处的切线方程为y －2a2＝(2a2ln 2)(x －a2)，其在x 轴上的截距为a2－1ln 2. 由题意有a2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a2＝2. 所以d ＝a2－a1＝1.从而an ＝n ，bn ＝2n ，所以数列{an bn }的通项公式为an bn ＝n 2n， 所以Tn ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n， 2Tn ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1， 因此，2Tn －Tn ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，Tn ＝2n ＋1－n －22n. （十二） 导数的应用52. [2014·四川卷] 21． 已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b∈R，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．21．解：(1)由f(x)＝ex －ax2－bx －1，得g(x)＝f′(x)＝ex －2ax －b.所以g′(x)＝ex －2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a ，e －2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增， 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ；于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b. 综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b ； 当12<a<e 2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ； 当a≥e 2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b. (2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点； 当a≥e 2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a<e 2. 此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e －2a －b>0.由f(1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0，解得e －2<a<1.当e －2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln (2a))≥0，则g (x)≥0(x∈[0，1])，从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0.故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．53. [2014·安徽卷] 18．设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a ＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x)＝1＋a －2x －3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a 3， x2＝－1＋4＋3a 3，x1<x2， 所以f′(x)＝－3(x －x1)(x －x2)．当x<x1或x>x2时，f ′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．。
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理科数学考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k p p C k p k n kk n n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}b a A ,=,则满足{}c b a B A ,,= 的集合B 的个数是 ( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知复数i z +=1，则222-z z等于（ ） A ．i B ．i - C ．1+i D ．1-i3．已知函数x e y =的图像与函数)(x f y =的图像关于x y =对称，则（ ） A ．)()2(2R x e x f x ∈= B ．)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x fC ．)(2)2(R x e x f x∈= D ．)0(ln 2ln )2(>+=x x x f4．已知双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率是（ ）A ．53 B ．3 C ．54 D ．25．若⎩⎨⎧≥≤xy y 1，则y x 2+的最大值是（ ）A ． 0B ． 3C ．1D ．不存在6．将函数x x y cos sin ⋅=的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位后，得到的图像关于直线6π=x 对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．125π B ．611π C ．1211πD ．以上都不对 7．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，若421,,a a a 成等比数列，则105S S 等于（ ） A ．21 B ．41 C ．113D ．无法确定 8．已知函数)(x f 在区间[)+∞-,1上连续，且当0≠x 时，11)(-+=x x x f ,则)0(f 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．设γβα、、为两两不重合的平面，n m l 、、为两两不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．γαγββα//，则，若⊥⊥B ．βαββαα//,//,//,,则若n m n m ⊂⊂C ．m l m l //,,,//则若βαβα⊂⊂D ．n m l ===αγγββα ,,若，则n m l 、、 交与一点或相互平行10．从6名男生与5名女生中，各选3名，使男女相间排成一排，不同的排法种数是（ ）A ．35362A AB ．663536AC C C ．3536A AD ．343536A C A11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在区间[])2(,1>a a 上单调递增且()0f x >.则下列不等式中不．一定成立的是（ ） A ．()f a >()0fB ．12a f +⎛⎫⎪⎝⎭>fC ．131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭>()f a -D ．131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭>()2f -12．设F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点，A B C ，，为该椭圆上三点，若0=++，则FA FB FC ++=（ ）A ．a b 23B ．2223b a b -C ．()a b a 2223-D ．2223b a a -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在()()611-+x x 的展开式中，4x 的系数为_____________(用数字作答)．14．过原点作曲线x e y =的切线，则该切线的斜率为________(e 为自然对数的底数) ． 15．若向量b ，b a b a a 则满足且向量1,),3,1(=-=的取值范围是 ． 16．球O 是棱长为1的正方体ABCD D C B A -1111 的外接球，N M ,分别是B B 1，11C B 的中点，下列三个命题：①球O 的表面积为 3π； ②,A B 两点间的球面距离为1arccos3； ③直线MN 被球面截得的弦长为26．其中是真命题的序号为_____(把所有正确命题的序号都填上) ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在三角形ABC 中，102)4sin(,1=-=πA BC ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）求三角形ABC 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）一大学生参加某公司的招聘考试，需依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项测试，如果前四项测试中有两项不合格或第五项不合格，则该考生被淘汰，考试即结束。
考生未被淘汰时，必须继续参加后面的测试，已知每项测试相互独立，该生参加A 、B 、C 、D 四项测试每项不合格的概率均为31，参加第五项测试不合格的概率为41. （Ⅰ）求该生被录取的概率；（Ⅱ）求该生参加考试的项数ξ的概率分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD S -的底面ABCD 是正方形，侧面SAB 是等腰三角形且垂直于底面，5==SB SA ，2=AB ，E 、F 分别是AB 、SDA BB 1CD 1A 1C 1 DMN O ADBCSFE的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面SBC ；（Ⅱ）求二面角A CE F --的大小． 20．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，11=a ，)(31*+∈=N n S a n n .（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求使不等式3111113221≤+++++++n n a a a a a a 成立的所有n 的值.21. （本小题满分12分）已知在直角坐标平面上两个定点)1,1(),1,1(---B A 和一个动点),,(y x P 且点P 满足下列两个条件：①B P A 、、顺时针排列,且APB ∠是定值；②动点P 的轨迹C 经过点).2,0(Q（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线)0(22>=p px y 与曲线C 有两个不同的交点，且过抛物线焦点F 的直线与该抛物线有两个不同交点,N M 、1=+能否成立？并说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =⋅，ln ()xg x x=. （Ⅰ）求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）对于0x >的任意实数，不等式)(1)(x f ax x g ≤-≤恒成立，求实数a 的取值；（Ⅲ）数列{ln }()n n N *∈的前n 项和为n S ，求证：2(1)(1)(1).23n n n n n S n --+≤≤理科数学答案一、选择题CBDAB ACCDA DA二、填空题 13、-5；14、e ；15、[]31，；16、①③； 三、解答题17. 解：(Ⅰ) 由1024sincos 4cossin )4sin(=-=-πππA A A ， 有51cos sin =-A A ，∴2512sin 1)cos (sin 2=-=-A A A ，∴25242sin =A ，且角A 为锐角，又2549252412sin 1)cos (sin 2=+=+=+A A A ，取57cos sin =+A A ，（舍去57-） 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.57cos sin ,51cos sin A A A A 得54sin =A(Ⅱ)设ABC ∆的角C B A ,,所对的三边长分别为c b a ,,，则 bc bc A bc S 525421sin 21=⨯==， 由余弦定理有532cos 222222⨯-+=-+=bc c b A bc c b a ，∴bc bc bc 545621=-≥，即45≤bc ，∴21455252=⨯≤=bc S ，即ABC ∆面积的最大值为21.18. 解：（I ）431432214.43339P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）（理）该食品检验的次数ξ可以是2，3，4，5.()()1211112142;3;33933327P P C ξξ==⨯===⋅⋅⋅=()()2131214144164;51.333279272727P C P ξξ⎛⎫==⋅⋅⋅===---= ⎪144161142345.92772727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.解法一：（Ⅰ）取SC 中点G ，连结FG 、BG ，则CD FG 21//． 又CD BE 21//， ∴BE FG //，四边形BEFG 是平行四边形． ∴BG EF //，又⊄EF 平面SBC ，⊂BG 平面SBC ， ∴//EF 平面SBC ．（Ⅱ）连SE ，∵SB SA =，∴AB SE ⊥，又面⊥SAB 面ABCD ，∴⊥SE 面ABCD ．连结DE ，取DE 中点H ，连结FH ，则SE FH //．∴FH ⊥平面ABCD ．作CE HK ⊥于K ，连结FK ，则FKH ∠为二面角A CE F --的平面角．∵5==SB SA ，2=AB ，∴2=SE ，1=FH在正方形ABCD 中，作CE DL ⊥于L ，则545222sin sin =⨯=⨯=∠=∠=CE BC BEC CD LCD CD DL ．∴5221==DL HK ． ∴25tan ==∠HK FH FKH . 故二面角A CE F --的大小为25arctan ． 解法二：（Ⅰ）以E 为原点,在平面ABCD 内过E 垂直于AB 的直线为x 轴,EA 、ES 分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知，)0,0,0(E ，)0,1,2(D ，)2,0,0(S ，)1,21,1(F ，)0,1,0(-B ，)0,1,2(-C ，易求平面SBC 的一个法向量为)1,2,0(-=，)1,21,1(=．∴0=⋅，⊥，又SBC EF 平面⊄，∴SBC EF 平面//． （Ⅱ）设),,(c b a =为面CEF 的法向量，则⊥，⊥． ∵)0,1,2(-=EC ，)1,21,1(=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=-02102c b a b a ，取1=a ，则)2,2,1(-=． ADBCSFE GHKL又)1,0,0(=为面ACE 的法向量，所以32132,cos -=⨯-=>=<． 因为二面角A CE F --为锐角，所以其大小为 32arccos ． 20解: 解: (Ⅰ) 由n n S a 31=+ (1) 得123++=n n S a (2)(2)-(1)得 1123+++=-n n n a a a , 整理得412=++n n a a ()*∈N n ∴数列 ,,,,,432n a a a a 是以4为公比的等比数列.其中,333112===a S a ,所以，⎩⎨⎧⨯=-2431n n a ),2()1(N n n n ∈≥= （Ⅱ）当1=n 时，3141121<=+a a当2≥n 时，13221111+++++++n n a a a a a a 12243431434314331311--⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+++=n n 31)411(4544141141115141)4141411(15141514315143151431513141112222≤-+=--⨯+=+++++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+=----n n n n 整理得1641≤-n ，解得 3≤n所以，3,2,1=n 。