10-11-2高数AB期末A卷参考答案
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
安徽大学高数期末考试试卷及答案解析 (1)
安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）12、0；3、；4、1 /20 arcsin d (,y y f x y π∫∫)d x 32；5、53二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6、 A ；7、D ；8、D ；9、A ； 10、A.三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）11.解. 设。
则曲面在点处的法向量为22(,,)F x y z x y z =+−S (1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(,,)(2,2,1)(2,2,1)x y z F F F x y =−=−由题设可知，平面Π通过法线L ，故12a b 0,+−+=(1,,1)(2,2,1)0a −⋅−=即，由此解得123a b a +=⎧⎨+=⎩035,.22a b =−=12.解：令222(,),(,)2y xP x y Q x y x y x y−==++，则d d L I P x Q y =+∫v ，当时，220x y +≠22222()Q x y Px x y y∂−==∂+∂∂2。
取一小圆周22:C x y εε+=，0ε>充分小，使得C ε完全位于L 所围成的区域内，取逆时针方向。
设D ε为由L 与C ε所围成的区域，则由Green 公式得d d (d L C D Q PP x Q y x y x yεε+∂∂+=−=∂∂∫∫∫0， 所以d d d d LC P x Q y P x Q yε+=−+∫∫22(sin )(sin )(cos )(cos )d πεθεθεθεθθε−−=−∫20d 2πθπ==∫13.解：设cos ,sin ,x R u y R u z ==v =，则Σ对应于:02,0D u v h π≤≤≤≤。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
上海交通大学附属中学10-11学年度高二数学上学期期末试卷 新疆班
上海交通大学附属中学2022-2022学年度第一学期内高二数学期末试卷（含答案）一 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1. 的共轭复数是是虚数单位)(2i i -_____ 2--i ___________ ． 2. 已知复数z 满足1(z i iz i +=-是虚数单位，则z =_____________．i - 3. 已知z 是纯虚数，iz -+12是实数，则=z i 2- 4. 已知423)1()43()3(i i i z +++-=，求z = 505. 5的值是 ．－166. 若关于的一实系数元二次方程20x px q ++=有一个根为1i +，则p q +=________07. 设复数1z i =+，则20122012z ⎛⎫+=_____________．28. 若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是_____________．39. 在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足3z i z i +=--，则直线的倾斜角为3arctan 2π-（结果用反三角函数值表示）10. z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||，那么以|1|为直径的圆的面积为______．4π11. 用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 6条12. 已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是BC 、AD 中点，5EF =，8AB =，6CD =，则AB 与CD 所成的角的大小为_________90二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．13. 若复数=abia 、b ∈R,则下列正确的是 （B ）ABCD D B C A O E1111F G O 21（A ） 2z >2z （B ） 2z =2z （C ）2z 2z2z 1322i ω=-+OA 2ωOB AB 1-3i 3i -1111ABCD A BC D -E F G、、BC 、1C C 、11B C 1O 2O 11ADD A 1111A B C D 11A C O D 、、、D E G F 、、、1A E F D 、、、12G E O O 、、、a b 、21z z -ii++-15121z z -ia 24+-4)4(2+-a 1z 134)4(2+-a 138a 1111D C B A ABCD -62AA 1=1AA 1CD //EF 1D F BD a R∈220x ax ++=2z =1z a +=()28022,22a a ∆=-<⇒∈-224x y +=()221x a y ++=[][]3,11,3a ∈--()22,11,22a ⎤⎡∈--⎦⎣12x x =0时，方程的两根同号，∴|1||2|=|12|=||=2，∴=±2；（2-2）当q =0时，方程的一根为0，∴|1||2|=|12|=||=2，∴=±2； （2-2）当q <0时，方程的两根异号，∴|1||2|=|1-2|=2， ∴4=122-412=2-4q ，∴2=44q ∈[0，4，∴∈-2，2。
福州大学11级高数A上期末试题参考答案
高等数学A 、B(上)期末考试参考答案与评分标准（120109）一、单项选择题(每小题3分，共18分)1:C 2: A 3:D 4:C 5: B 6:B 二、填空(每小题2分，共16分)1：1， 2：1y x =+， 3：2sin()y x c =+， 4：4,5a b ==， 5：2π， 6：220cos()cos()xt dt x x +⎰， 7：13-， 8：2ππ+.三、计算题(每小题7分，共14分)tan tan ln cos ln cos 1.tan cos 2(cos )(cos )cos ().xdxxdx x xy x y x yex e dx c e x e dx c x x c --'+⋅=⎰⎰⋅+⋅+⋅+⎰⎰ 4分5分7分解原方程化为，分===223200000ln(sin /)cos sin cos sin sin ln(sin /)cot 1/1limlimlimlimlimlim1cos /2sin 3312345672..x x x x x x x x x x x x x xx x x x x xxxx x xxxe e e e e e e→→→→→→------=======解原式四、计算题(每小题7分，共14分),4(1+3)1)7ttds e dt S e dt e ====-⎰ 1.解分分2.解 两边对x 求导数：sin()sin()()0,,sin()y yy xy y e xy y xy y e x xy --'''--⋅+==-+5 分(3+2)sin().sin()yy xy dy dx ex xy -=-+7 分五、计算题(每小题8分，共16分)22113568211.2)2(arctan )1).611tt dt dt t t t tπ==⋅=-=-=--++⎰⎰解令式 2.解 特征方程为 212320,1,2r r r r -+===，2 分 对应齐次方程的通解212x x Y c e c e =+，4 分 1λ=是单根，设*()x y x ax b e =+， 1/2,1a b ==， 7 分(1+1+1) 通解 22121()2x x x y c e c e x x e =+++.8 分六、计算题(每小题8分，共16分) 1.解0lim ()lim 1,lim ()lim (1)1,xx x x x f x f x xe --++→→→→===+=(0)1f =，()f x 所以处处连续，(2分)031(1),0()()ln(,0x xx e x c x f x dx f t dt c x c x ⎧++-+≥⎪=+=⎨+-<⎪⎩⎰⎰ (3+2分) 2. 解 2200313()(1cos )(1cos )(2sin sin 2)|242a S y x dx a t a t dt a t t t a ππππ==-⋅-=-+=⎰⎰，3 分 /2233363632300005315(1cos )8sin 16sin 16.264222a x t V y dx a t dt a dt a xdx a a πππππππππππ==-===⋅⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰(8分)七、证1 22000111()(),(0,1],()(()())[()()]a a a F a f x dx a F a af a f x dx f a f x dx a a a'=∈=-=-⎰⎰⎰令则(3)分由于()f x 在[0,1]上连续且单调减少，则()()0,(0,1),f a f x x -<∈()0,(0,1)F a a '∴<∈ (4)分即()F a 在(0,1]内单调减少，所以()(1),(0,1)F a F a >∈，即命题成立. (6)分 证2 只要证明110()(()()),(1-)()(),a a a aaf x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx >+>⎰⎰⎰⎰⎰即证(2)分由积分中值定理：111220()(),(0,),()(1)(),(,1)a af x dx af a f x dx a f a ξξξξ=∈=-∈⎰⎰，(4)分由于()f x 在[0,1]上连续且单调减少，则1120(1-)()(1)()(1)()()a aa f x dx a af a af a f x dx ξξ=->-=⎰⎰,即命题成立. (6)分。
高数AB练习册答案详解习题0110高数A补充
高数A 补充题二1.证明:()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证.0ε∀>,()()sin sin 2f x f x x x x x x x ''''-=-+-≤-,故取2εδ=, 当x x δ'-<时,()()f x f x ε'-<,证毕.2.证明:()f x =[)1,+∞上一致连续.证.0ε∀>2x x '-=≤,故取2δε=,当x x δ'-<时, ()()f x f x ε'-<,证毕.3.设()f x 与()g x 在区间I 上一致连续,证明:()()f x g x +也在I 上 一致连续.证.0ε∀>,10δ∃>,当1x x δ'-<时,()()2f x f x ε'-<,又20δ∃>, 当2x x δ'-<时,()()2g x g x ε'-<,取{}12min ,0δδδ=>,当x x δ'-<时,()()()()()()()()f x g x f x g x f x f x g x g x ε''''+--≤-+-<,证毕.4.设()f x 在[),a +∞上连续,()lim x f x →+∞存在,证明:()f x 在[),a +∞上 一致连续.证.0ε∀>,0X ∃>,当,x x X '>时,()()f x f x ε'-<;又()f x 在,1a X a ⎡++⎤⎣⎦上一致连续,故10δ∃>,当1x x δ'-<时,()()f x f x ε'-<,故取{}1min 1,δδ=,当x x δ'-<时,必有 ,,1x x a X a '∈⎡++⎤⎣⎦,或者,x x X '>,故必有()()f x f x ε'-<,证毕.5.用定义证明:()1f x x=在()0,1上连续,但非一致连续. 证.0ε∀>,()00,1x ∈,当002x x x -≤时,02xx ≥,此时()()0f x f x -= 002002x x x x xx x -≤-,要使()()0f x f x ε-<,只要0202x x x ε-<,即 2002x x x ε-<,故取200min ,022x x εδ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,当0x x δ-<时,均有()()0f x f x ε-<,因此()f x 在0x 处连续;另一方面,取1n x n =,11n y n =+,则0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=, 故()f x 在()0,1上不一致连续,证毕. 6.证明:()1cos x f x e x=在()0,1上非一致连续. 证.取12n x n π=,122n y n ππ=+,则0n n x y -→,而()()121n n n f x f y e π-=>,故()f x 在()0,1上不一致连续,证毕.7.证明:()2sin f x x =在(),-∞+∞上非一致连续.证.取n x =n y =0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=, 证毕.8.讨论()2f x x =在(1)(),l l -,(2)(),-∞+∞上的一致连续性. 解.(1)一致连续,因为()f x 在[],l l -上一致连续;(2)不一致连续,取n x =,n y =,则0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=.。
10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案
河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。
7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。
二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。
解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。
北京市东城区10-11学年高2数学下学期期末考试 文 新人教A版
北京市东城区 (南片 )2021 -2021学年下学期高二年级|期末统一测试数学试卷 (文科 )本试卷分第|一卷 (选择题 )和第二卷 (非选择题 )两局部 ,共100分 .考试时间120分钟 .第|一卷 (选择题 ,共36分 )一、选择题 (本大题共9小题 ,每题4分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 . )1. 复数i z 211+= ,i z -=12 ,那么21z z z +=在复平面上对应的点位于A. 第|一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 全集R U = ,集合{}32≤≤-=x x A ,{}41>-<=x x x B 或 ,那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x3. 读下面的程序框图 ,输出结果是 A. 1 B. 3C. 4D. 54. 假设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛xx,那么A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题 "假设整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根 ,那么c b a ,,中至|少有一个是偶数〞时 ,以下假设中正确的选项是A. 假设c b a ,,不都是偶数B. 假设c b a ,,都不是偶数C. 假设c b a ,,至|多有一个是偶数D. 假设c b a ,,至|多有两个是偶数 6. 以下函数中在区间()+∞,0上单调递增的是 A. x y sin = B. 2x y -= C. x e y -= D. 3x y = 7. 假设0x 是方程5lg =+x x 的解 ,那么0x 属于区间A. ()2,1B. ()3,2C. ()4,3D. ()5,48. 以下四图 ,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象 ,其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ,那么函数x y tan =的周期为π .类比可推出：R x ∈且()()()x f x f x f -+=+11π ,那么函数()x f y =的周期是 A. π B. π2 C. π4 D. π5第二卷 (非选择题 ,共64分 )二、填空题： (本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分 . ) 10. 函数()()x x x x f -++=1lg 1332的定义域为____________ .11. R m ∈ ,复数()()i m m m m m z 2122-++-+=为纯虚数 ,那么实数m 的值是____________ (只填写数字即可 ) .12. 设定义在R 上的函数()x f 满足()()52=+⋅x f x f ,假设()21=f ,那么()=31f _______ .13. 有以下四个命题： ① "假设0=+y x ,那么y x ,互为相反数〞的逆命题； ② "全等三角形的面积相等〞的否命题；③ "假设1≤q ,那么022=++q x x 有实根〞的逆否命题；④ "不等边三角形的三个内角相等〞的逆命题 . 其中真命题为____________ (只填写序号即可 ) . 14. 整数按如下规律排成一列：()11， ,()21， ,()12， ,()31， ,()22， ,()13， ,()41， ,()32， ,()23， ,()14， ,… ,那么第30个数对是___________ .15. 函数()x x f ln = ,假设直线l 与()x f y =的图象相切的切点的横坐标为1 ,那么直线l 的方程为_______________ .三、解答题： (本大题共5小题 ,共40分 .解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . ) 16. (本小题总分值8分 ) 函数()()12312-=x x x f .(Ⅰ )求函数()x f 的导数()x f '； (Ⅱ )求函数()x f 的极值 .17. (本小题总分值8分 )设21,x x 是关于x 的一元二次方程()01122=++--m x m x 的两个实根 ,又()22221--+=m x x y . (Ⅰ )求m 的取值范围；(Ⅱ )求()m f y =的解析式及最|小值 .18. (本小题总分值7分 ) ()aa x f x x +-=22是定义在R 上的奇函数 ,(Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )假设()53-=x f ,求x 的值 .19. (本小题总分值8分 ) θθcos ,sin ,sin x 成等差数列 ,θθcos ,sin ,sin y 成等比数列 .证明：y x 2cos 2cos 2= . 20. (本小题总分值9分 ) ()()a x xa axx f -≠+=,且()12=f .(Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )假设在数列{}n a 中 ,11=a ,()()*1,N n a f a n n ∈=+ ,计算432,,a a a ,并由此猜测通项公式n a ；(Ⅲ )证明 (Ⅱ )中的猜测 .【试题答案】第|一卷 (选择题 ,共36分 )一、选择题 (本大题共9小题 ,每题4分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合第二卷 (非选择题 ,共64分 )二、填空题： (本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分 . ) 10. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-131x x 11. 0 12.2513. ①③14. ()7,215. 1-=x y三、解答题： (本大题共5小题 ,共40分 .解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . ) 16. (本小题总分值8分 ) 解： (Ⅰ )()()x x x x x f 431123132-=-=,()42-='∴x x f .……………………………………………3分 (Ⅱ )由()()()02242=+-=-='x x x x f ,解得2=x 或2-=x . 当x 变化时 ,()()x f x f 、'的变化情况如下表：因此 ,当2-=x 时 ,()x f 有极大值为()32=-f ；当2=x 时 ,()x f 有极小值为()3162-=f . ……………………………8分17. (本小题总分值8分 )解： (Ⅰ )21x x ， 是()01122=++--m x m x 的两个实根 ,()()014142≥+--=∆∴m m .解得0≤m 或3≥m . …………………………………………………4分(Ⅱ )又()1221-=+m x x ,()()()()()1214122221+--=+-+==∴m m m x x m f y .即()()3021042≥≤+-==m m m m m f y 或 .()20min ==f y .…………………………………………………8分 18. (本小题总分值7分 ) 解： (Ⅰ )()aax f x x +-=22 是定义在R 上的奇函数 ,()00=∴f 解得1=a . ………………………………………3分 (Ⅱ )()531212-=+-=xx x f ,解得2-=x . ………………………………………7分 19. (本小题总分值8分 )证明：θsin 与θcos 的等差中项是x sin ,等比中项是y sin ,x sin 2cos sin =+∴θθ ,① y 2sin cos sin =θθ ,②……………………………4分①2－②×2 ,可得 ()y x 222sin 2sin 4cos sin 2cos sin -=-+θθθθ ,即1sin 2sin 422=-y x .122cos 1222cos 14=-⨯--⨯∴yx ,即()12cos 12cos 22=---y x . 故证得y x 2cos 2cos 2= . …………………………………………………8分 20. (本小题总分值9分 )解： (Ⅰ )因为()12=f ,所以2=a .………………………………2分(Ⅱ )在{}n a 中 ,因为11=a ,()nnn n a a a f a +==+221 .所以3222112=+=a a a ,422122223==+=a a a ,5222334=+=a a a ,所以猜测{}n a 的通项公式为12+=n a n . ………………………6分(Ⅲ )证明：因为11=a ,nnn a a a +=+221 ,所以2112211+=+=+n n n n a a a a ,即21111=-+n n a a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以111=a 为首|项 ,公差为21的等差数列 .所以()212121111+=-+=n n a n ,所以通项公式12+=n a n . …………………9分。
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10-11-2高数A B 期末（A ）卷参考答案及评分标准
一。
填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1．e
a b
+；2．1y x =+；3．2y x =；4．6；5． 2(1)!n n -⋅-；6．1-；7．4π-；
8．23
-；9．1xy =.
二．(本题共4小题，每小题7分,满分28分) 10．解 2330
00(sin sin(sin ))sin sin sin(sin )sin 1
lim
2lim 2lim 1cos (sin )3
x x t x x x x x t t x x t →→→---===-. 11．解
2
21
222211111111
d d()ln ln 2(1)21212
x x x x x x x x +∞
+∞+∞
⎛⎫=-== ⎪+++⎝⎭
⎰
⎰ 12．解 ln e
1
10
1
11
sin(ln )d e sin d e (sin cos )(e(sin1-cos1)+1)2
2
t x
t
t x x t t t t ==
=-=⎰
⎰. 13．解
2111111d d csc dtan sec csc d sin 2cos 2sin cos 222x x x x x x x x x x x ===+⎰⎰⎰⎰11sec ln tan 222
x
x C =++（或11
sec ln csc cot 22
x x x C =
+-+）. 三(14)．（本题满分7分） 解0
()()d ()()d x t u
x x f t g x t t f x u g u u -=-=
-⎰
⎰
，
当02
x π
≤≤时，因0u x ≤≤，故0x u -≥，于是
原式000
()sin d cos (cos sin )sin x x x
x u u u x u u u u x x =-=-+-=-⎰
当2
x π
>时，
原式20
2
()sin d ()0d x
x u u u x u u π
π=
-+-⎰
⎰220
cos (cos sin )
1x u
u u u x π
π
=-+-=-
所以，
sin ,02
()()d 1,2
x x x x f t g x t t x x ππ⎧
-≤≤⎪⎪-=⎨⎪->
⎪⎩⎰
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四（15）．（本题满分8分） 解 2
2
(1sin )d 18A x x x π
π=
-=
-⎰
，
4
2
222
2
220
(sin )d (1cos 2)d 248
8
V x x x x x x x π
ππ
πππ=-=
+=
-
⎰⎰
五（16）．（本题满分7分）解212e e (2)e x x x y C C x x =+-+，由(0)0y =，(0)0y '=，得12C =-，22C =，
22e 2e (2)e x x x y x x =-+-+.
六（17）．（本题满分8分）解 d ()d 2(1)y t x t ϕ'=+， 223d (1)()()3
d 4(1)4(1)
y t t t x t t ϕϕ'''+-==++， 2(1)()()3(1)t t t t ϕϕ'''+-=+，解得1()(1)3(1)t C t t t ϕ'=+++，由(1)6ϕ'=，得
10C =，于是()3(1)t t t ϕ'=+， 3223()2t t t C ϕ=++，由5
(1)2
ϕ=，得20C =，于是
323
(),12
t t t t ϕ=+>-.
七（18）．（本题满分6分）证 设()()()F x M x a m b x =-+-，则()(),()()F a m b a F b M b a =-=-，于是()()d ()b a
F a f x x F b ≤
≤⎰
，因此至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()d b
a
F f x x ξ=⎰，此即
()d ()()b a
f x x M a m b ξξ=-+-⎰
.。