2015高考数学真题分类 考点7 函数的应用
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编07 数列
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．
53．（2019·北京（文））设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
二、填空题
22．（2020·海南）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
23．（2020·浙江）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C． D．
7．（2020·全国（文））设 是等比数列，且 ， ，则 （）
A．12B．24C．30D．32
8．（2020·全国（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
七、数列
一、单选题
1．（2021·全国（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021·浙江）已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（）
A．直线和圆B．直线和别解答，则按第一个解答计分．
43．（2021·全国（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
高考数学考点练习第二章函数导数及其应用7函数的奇偶性与周期性试题理
考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析 由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析 由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析 令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析 设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析 依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析 由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1， 得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________． 答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案 －1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )． 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
2015届高考数学一轮复习单元检测： 函数的应用(人教A版必修一)
2015届高考数学一轮复习单元检测： 函数的应用(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口可相当于一个( )A ．新加坡(270万)B ．香港(560万)C ．瑞士(700万)D ．上海(1 200万)答案：D2．设函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 是定义在[]－2，2上的增函数，且 f (－1)f (1)<0，则方程f (x )＝0，在[]－2，2内( ) A ．可能有三个实数根 B ．可能有两个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根答案：C3．下列图形中，不能用零点定理判断函数的零点的是( )答案：A4．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜4B ．a ＞4C ．a ≤4D ．a ≥4答案：B5．若方程a x －x －a ＝0有两个解，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞) D ．1解析：∵a x －x －a ＝0，∴a x ＝x ＋a ，画y ＝a x 与y ＝x ＋a 函数图象知a ＞1有两解． 答案：A6．某种细胞，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细胞由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12小时B ．4小时C ．3小时D ．2小时解析：1次分裂1个分裂为2个； 2次分裂2个分裂为22个； 3次分裂3个分裂为23个． ∵212＝4 096，∴分裂12次， 则共12×15分钟＝3小时． 答案：C7．[2014·汉口模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)D. (3,4)答案：B8．拟定从甲地到乙地通话m 分钟，电话费f (m )＝1.06(0.5×[m ]＋1)给出，其中[m ]是大于或等于m 的最小整数，则通话5.5分钟的话费为( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77 答案：C9. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5分析：直接运用函数零点存在性定理及二分法思想，在区间[1,1.5]上进行研究．解析：易知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在R上是连续的，根据表中数据，可知f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，得到函数f(x)在区间(1.437 5,1.406 25)内有零点．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. 选C.答案：C10．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断是()A．①B．①②C．①③D．①②③答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是________．答案：a＝0或－1 412．若函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为________．答案：m<1且m≠－113．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为________．答案：11k －114．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如右图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1(2)0.6三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的零点： (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12；(3)f (x )＝e x －1.解析：(1)令－8x 2＋7x ＋1＝0，得x ＝－18或x ＝1.∴f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点为－18，1.(2)令ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0，得x ＝32.∴f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的零点为32.(3)令e x －1＝0，得x ＝0，∴f (x )＝e x －1的零点为0.16.(本小题满分12分)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问：每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解析：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )＝－440(n －6)2＋15 840. 当n ＝6时，总人数最多为15 840人．答：每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．17．(本小题满分14分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．解析：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105, 代入 y ＝c e kx 得⎩⎪⎨⎪⎧ 1.01×105＝c e k ·0，0.90×105＝c e k ·1 000 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.01×105， ①0.90×105＝c e 1 000k . ② 将①代入②得0．90×105＝1.01×105e 1 000k⇒k ＝11 000×ln 0.901.01，计算得k ＝－1.15×10－4.∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.将x＝600 代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，计算得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600＝0.943×105(Pa) 答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.18.(本小题满分14分)某种消费品专卖店的经营情况是：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月该店职工最低生活开支5 600元．(1)为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在什么范围内？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大？并求最大余额．解析：根据图象知月销售量Q (百件)与销售价P (元)的关系是Q ＝⎩⎨⎧－2P ＋50(14≤P ≤20)，－32P ＋40(20≤P ≤26).(1)设W 1＝PQ －14Q ，该店至少能维持职工生活，则必须满足W 1≥56, 即P (－2P ＋50)－14(－2P ＋50)≥56(14≤P ≤20)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40－14⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40≥56(20＜P ≤26)， 解得18≤P ≤22.(2)设W 2＝PQ －14Q －56，则W 2＝⎩⎨⎧－2P 2＋78P －756 (14≤P ≤20)，－32P 2＋61P －616 (20≤P ≤26)，可推知当P ＝19.5(元)时，W 2最大，最大值为450元．19．(本小题满分14分)用二分法求方程x ＝5－e x 在(1,2)内的近似解．解析：令f (x )＝e x ＋x －5，因f (1)＝－1.28＜0，f (2)＝4.39＞0，f (1)·f (2)＜0.∴f (x )在(1,2)内有一个零点x 0，取(1,2)的中点x 1＝1.5，由计算器可得f (1.5)＝0.98＞0，f (1)·f (1.5)＜0，∴x 0∈(1,1.5)，取(1,1.5)的中点x 2＝1.25. 计算得f (1.25)＝－0.26＜0， f (1.25)·f (1.5)＜0， ∴x 0∈(1.25,1.5)．同理：x 0∈(1.25,1.375)， x 0∈(1.25,1.312 5)， x 0∈(1.281 25,1.312 5)， x 0∈(1.296 875,1.312 5)， ∵|1.296 875－1.312 5|＜0.1， 故所求方程近似解为x ＝1.3.20．(本小题满分14分)求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上的零点．解析：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a .当Δ＜0，即a ＞2时，f (x )无零点．当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.当Δ＞0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，即⎩⎨⎧ 8－4a >0，14＋1＋a －1＜0⇒a ＜－14时，f (x )仅有一个零点：－1－2－a .当Δ＞0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0时，即⎩⎨⎧8－4a ＞0，14＋1＋a －1≥0⇒－14≤a ＜2时，f (x )有两个零点：x ＝－2±8－4a2＝－1±2－a .综上所述，当a ＞2时，f (x )无零点； 当a ＝2时，f (x )有一个零点－1；当－14≤a ＜2时，f (x )有两个零点：x ＝－1±2－a ；1当a＜－4时，f(x)有一个零点：－1－2－a.。
高考数学专题讲座 第7讲 三角函数的综合应用
高考数学专题讲座 第7讲 三角函数的综合应用一、考纲要求1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角；4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是（ ）．A ．21 B ．2- C ．34 D ．21或2- 5．给出四个命题：（1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形． 以上正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．8．下列命题正确的有 ． （1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限； （3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；（4）2sin θ=53，2cos θ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2．（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．四、 热身演练 1．已知，那么下列命题成立的是（ ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ ）．3．函数的反函数是（ ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ． ①函数ｙ＝-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点(π/12，0)对称；③函数y =sin(2x+π/3)+sin(2x -π/3)的最小正周期是π；④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．9．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．三角函数的综合应用一、考纲要求：1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 3． 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角．4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． 二、基础过关： 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ A ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ B ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ D ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是（ B ）．A ．21B ．2-C ．34D ．21或2- 5．给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是（ B ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ C ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．28．下列命题正确的有 ．(2)（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）； （2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；βφαDCBA1.2 m2 m 1 m （4）2sinθ=53，2cosθ=54-，则θ在第三、四象限． 三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-xm x x m m sin 443sin sin 212恒成立对R x ∈，又 21)21(sin 43sin 2sin 2---=-+-x x x ，∴3sin 4≥+x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m m m ， ∴21-=m ，或323≤<m例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）解：如图，8.02.12=-=CD ，设x AD =，则x x AD BD 8.18.01tan =+==α， xAD CD 8.1tan ==β， βαβαβαφtan tan 1tan tan )tan(tan +-=-= ，∴4.2144.12144.118.08.118.08.1tan =⋅≤+=⋅+-=xx x x x x x x φ当xx 44.1=，即2.1=x 时， φtan 达到最大值4.21，φ是锐角，φtan 最大时，φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为2.1=AD 米．例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2，（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．解：（1）设b →=（x,y ），则2x+2y=－2，且a →·b →=|b →||c →|cos 43π=22y x +×22×(－22)=－2，解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==1y x , ∴b →=(－1,0) 或b →=(0,－1)．（2）∵三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴b=3π，∵b →⊥t →，∴b →=(0,－1)，∴b →+c →=( cosA,22cos 2C －1)=(cosA,cosC)，∴|b →+c →|2=C A 22cos cos +=1+21(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A －C)=1－21cos(A －C)，∴－32π<A －C<32π ,∴－21<cos(A －C)≤1,22≤|b →+c →|<25．例4 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2CA -， f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+)． （1）试求函数f (x )的解析式及其定义域； （2）判断其单调性，并加以证明； （3）求这个函数的值域． 解：（1）∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(C A C A CA C A C A C A x f -++-+=⋅+⋅= 342122122-=-+-=x xx x ， ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]．又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1)． （2）设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0． 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0．即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数．（3）由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2．故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)． 四、热身演练： 1．已知，那么下列命题成立的是（ B ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ D ）．AB C D3．函数的反函数是（ A ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ C ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ D ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ A ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ．①②③④ ①函数ｙ＝-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点 (π/12，0)对称；③函数y=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)的最小正周期是π； ④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．4389．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值． 解：（1）∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π),∴方程化为sin(x+3π)=-2a ．∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，∴sin(x+3π)≠sin 3π=23． 又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解)，∴|-2a |<1，且-2a≠23， 即|a|<2，且a ≠-3.，∴a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2)．（2） ∵α、 β是方程的相异解,∴sin α+3cos α+a=0 ① sin β+3cos β+a=0 ②①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0， ∴ 2sin 2βα-cos2βα+-23sin 2βα+，sin2βα-=0，又sin2βα+≠0，∴tan2βα+=33， ∴tan(α+β)=2tan 22tan22βαβα+-+=3．11．求20sin 6420cos 120sin 3222+-的值．解：原式=20cos 20sin 20sin 20cos 32222-+64sin 220°=40sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(2+-+64sin 220°=40sin 41)2030cos()2030cos(42-++64sin 220°=40sin 80sin 40sin 162+64sin 220°=32cos40°+64(240cos 1-)=32．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．解：要证α、β、γ成等差数列，∵α、β、γ是锐角，只要证：tan β=tan 2γα+．∵tan 2γα+=2tan2tan12tan2tanγαγα-+=2tan2tan12tan 2tan 33γγγγ-+=)2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan222γγγγ+-+=212tan 12tan22γγ-=21tan γ= tan β．∴α、β、γ成等差数列．。
2015年高考数学(文)一轮课件：3-7函数的图像
考点三
函数图像的应用
【例3】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． 思维启迪：利用函数的图像可直观得到函数的单调性，方程解 的问题可转化为函数图像交点的问题．
2 x－2 －1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞， 解析：f(x)＝ 2 －x－2 ＋1，x∈1，3，
图像如图①.
(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图②.
2 x －2x－1 (3)y＝ 2 x ＋2x－1
x≥0， 图像如图③. x＜0.
3 3 (4)因y＝1＋ ，先作出y＝ 的图像，将其图像向右平移1 x x－1 x＋2 个单位，再向上平移1个单位，即得y＝ 的图像，如图④. x－1
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(2)一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对 称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同 函数图像的对称关系． (3)函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像不同，y＝|f(x)|的图像是保留y ＝f(x)图像在x轴上方的部分，把x轴下方的翻折上去；y＝f(|x|)的 图像是保留y轴右侧的部分，左侧部分和右侧部分关于y轴对称．
●三种方法 (1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，从而得到图像
上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题． (2) 定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3) 函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模
型，利用这一函数模型来分析解决问题．
1．函数y＝lg|x－1|的图像大致为(
高考数学真题知识点
高考数学真题知识点高考数学是每个参加高考的学生都必须面对的科目之一，也是让很多学生头疼的一门科目。
为了能够在高考中取得好成绩，掌握一些高考数学真题的知识点是非常重要的。
本文将通过深入分析高考数学真题，总结其中的知识点，帮助同学们更好地备考。
一、函数与方程在高考数学中，函数与方程是一个非常重要的知识点。
其中，一元二次方程经常在高考中出现。
我们可以通过解一元二次方程来求得方程的根，从而解决与实际问题相关的应用题。
此外，函数的定义域、值域、奇偶性等概念也是需要掌握的。
在一些函数的求导题中，能够运用导数的定义和求导法则，很好地解答问题。
二、几何与三角函数在高考数学中，几何与三角函数也是非常重要的知识点。
在平面几何中，我们需要掌握角的概念、线段比例、角平分线等基本概念。
同时，还需要通过运用几何知识解决实际问题，如平面中点坐标、线段中点坐标、平行线与垂直线等关系的应用。
在三角函数的学习中，掌握正弦定理、余弦定理和解三角形相关内容是非常重要的。
三、概率与统计概率与统计是高考数学中需要重点掌握的知识点，也是很多同学容易出错的地方。
在概率中，我们需要了解事件的概率、独立事件、互斥事件等概念。
统计中，我们需要掌握调查与统计的基本方法，学会通过抽样调查进行统计推断等。
同时，还需要学会解决实际问题，如生活中的抽样、频数直方图的绘制及解读等。
四、解析几何解析几何是高考数学中一道难度较大的知识点，涉及到坐标系和直线方程的运用。
在解析几何中，我们需要掌握点的坐标、线的方程以及方程之间的关系。
通过解析几何，我们能够求解直线的交点、证明相关的垂直、平行关系等。
五、数列与数列极限数列与数列极限是高考数学中的一道重要的知识点。
在数列的学习中，我们需要掌握等差数列、等比数列的概念及其相关公式。
在数列极限中，我们需要了解数列的极限值及其性质，学会使用数列极限解决实际问题。
六、立体几何与空间向量立体几何与空间向量是高考数学中的一个非常重要的知识点。
2015年-2019年高考数学分类考点6指数函数对数函数幂函数
考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. (2015·北京高考理科·T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是 ( )A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2}【解题指南】在同一坐标系内作出函数y=log 2(x+1)的图象,利用图象求解. 【解析】选C.函数y=log 2(x+1)的图象如图所示,所以不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集为{x|-1<x ≤1}.2 .(2015·天津高考理科·T7) .(2015·天津高考文科·T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<bD.c<b<a【解析】选C.因为函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数,所以│-x-m │=│x-m │,所以m=0.a=2,b=4,c=0.所以b>a>c.3(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T12)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a= ( ) A.-1 B.1 C.2 D.4xx【解题指南】由函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,得出-x=2-y+a ,从而确定y=f(x)的解析式,再利用f(-2)+f(-4)=1求出a 的值. 【解析】选C.因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,所以-x=2-y+a ,解得f(x)=-log 2(-x)+a,又f(-2)+f(-4)=1, 所以-log 22-log 24+2a=1,解得a=2.4.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T5)设函数,( )A.3B.6C.9D.12 【解析】选C.由已知得，又，所以，故．5.(2015·山东高考文科·T3)设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =,则a,b,c 的大小关系 是 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<cD.b<c<a【解题指南】先利用指数函数性质比较同底数的a,b,再利用中间量比较a,c 的大小.【解析】选 C.函数0.6x y =单调递减，所以1.50.50.60.61b a =<=<；又0.61.51c =>，所以b<a<c.6.（2015·重庆高考文科·Ｔ3）函数的定义域是（ ） A. B. C. D.【解题指南】直接利用对数函数真数大于零进行计算即可.【解析】选D.对数函数的真数大于零可知，，解得或所以函数的定义域是211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩2(2)(log 12)f f -+=2(2)1log 43f -=+=2log 121>22log 121log 62(log 12)226f -===2(2)(log 12)9f f -+=22()log (23)f x x x =+-[]3,1-()3,1-(][),31,-∞-+∞(),3(1,)-∞-+∞2230x x +->3,x <-1x >22()log (23)f x x x =+-(),3(1,).-∞-+∞二、填空题7.(2015·浙江高考理科·T12)若a=log 43,则2a +2-a = . 【解题指南】根据指数与对数的运算性质计算. 【解析】因为a=log 43,所以4a =3⇒2a=,所以答案:8.(2015·浙江高考文科·T9)计算:log 2 = ,= .【解题指南】根据对数的运算性质计算. 【解析】12221log log 22-==-，2424log 3log 3log 3log 32223+=⨯== 答案: 12- 9. （2015·安徽高考文科·T11）=-+-1)21(2lg 225lg。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.7函数的图象
④若函数 y＝f(x)对定义域内的自变量 x 都满足：f(x＋a)＝f(x＋b)， (a≠b)，则 y＝f(x)的周期为 T＝|a－b|； 保留x轴下方图象 ⑤y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y＝－|f(x)|，(下翻) 将x轴上方图象翻折下来 保留y轴左侧图象，并作其 ⑥y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝f(－|x|)，(右翻) 关于y轴对称的图象
对点演练 若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析： 由题意 a＝|x|＋x 令
2x，x≥0， y＝|x|＋x＝ 0，x＜0，
图象如图所示，
故要使 a＝|x|＋x 只有一解则 a＞0. 答案：(0，＋∞)
• (4)伸缩变换：
• ①y＝f(x)
• ∴函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，可排除B. • 令xcos x＋sin x＝0，得tan x＝－x，在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x和y＝－x的图象如图，由图可知函数y＝xcos x＋sin x的零点 有一个介于到π之间，可排除A、C，故选D.
法二：令 f(x)＝xcos x＋sin x，则 f(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，而 B 中图象不关 π 于原点对称，∴排除 B；当 x＝ 时，y＝1，而由 C 中图象知当 x 2 π ＝2时，y≠1，∴排除 C；当 x＝π 时，y＝－π，而 A 中，当 x＝π 时，y＞0， ∴排除 A，故选 D.
• • • • • • •
3．图象的对称性与图象变换 (1)证明： 证明函数图象的对称性，即证明函数图象上任意一点关于对称 中心(或对称轴)对称． (2)常用结论： ①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； ②函数 y ＝ f(x) 与 y ＝ 2b － f(2a － x) 的图象关于点 (a ， b) 中心对称； ③若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)， 则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称
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考点7 函数的应用1.（2015.北京.理，14）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．2.（2015.天津.理，8）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ． （，+∞）B ． （﹣∞，）C ． （0，）D ． （，2） 3.（2015.天津.文，8）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=3﹣f （2﹣x ），则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4D ． 54.（2015.上海.理文，13）已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤ ，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈ ，则m 的最小值为 .5.（2015.上海.理，23）对于定义域为R 的函数g （x ），若存在正常数T ，使得cosg （x ）是以T 为周期的函数，则称g （x ）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f （x ）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ．设f （x ）单调递增，f （0）=0，f （T ）=4π． （1）验证g （x ）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a ＜b ，证明对任意c ∈[f （a ），f （b ）]，存在x 0∈[a ，b]，使得f （x 0）=c ； （3）证明：“u 0为方程cosf （x ）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u 0+T 为方程cosf （x ）=1在区间[T ，2T]上的解”，并证明对任意x ∈[0，T]，都有f （x+T ）=f （x ）+f （T ）．6.（2015.湖南.理，15）已知()32,,x x af x x x a ⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 .7.（2015.湖北.理，12）函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．8.（2015.湖北.文，13）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.9.（2015.湖北.文，21）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.10.（2015.陕西.理，12）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上11.（2015.陕西.文，21）设2()1,n n f x x x x n =+++-∈N L ,n ≥2.(1)求(2)n f '；(2)证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭12.（2015.广东.理，19）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．13.（2015.广东.文，21）设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a =-+---.（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；（3）当2≥a 时，讨论4()f x x+在区间),0(+∞内的零点个数.14.（2015.江苏，13）已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实 根的个数为 ．15.（2015.江苏，17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.16.（2015.四川.理文，15）已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）。
MNl 2l 1xyO C P l对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=。
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。
17.（2015.浙江.理，18）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值．18.（2015.浙江.文，20）设函数2(),(,)f x x ax b a b =++∈R .（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[]1,1-上存在零点，021,b a -≤≤求b 的取值范围.19.（2015.山东.理，10）设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,1C. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1,+∞20.（2015.安徽.理，15）设x 3+ax+b=0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b ＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．21.（2015.安徽.理，21）设函数f （x ）=x 2﹣ax+b ．（Ⅰ）讨论函数f （sinx ）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f 0（x ）=x 2﹣a 0x+b 0，求函数|f （sinx ）﹣f 0（sinx ）|在[﹣，]上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a 0=b 0=0，求z=b ﹣满足条件D≤1时的最大值．22.（2015.福建.理，20）已知函数f()ln(1)x x =+，g （x ）=kx （k ∈R ）(1)证明：当0x x x ><时，f()；(2)证明：当1k <时，存在00x >,使得对任意的x ∈（0，t ）恒有f()()x g x >；(3)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的x ∈（0，t ），恒有2|f()()|x g x x -<.23.（2015.福建.文，22）已知函数()()21ln 2x f x x -=-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-.24.（2015.全国I.理，12）设函数,)12()(a ax x e x f x +--=其中1<a ，若存在唯一的整数0x 使得0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)1,23[e -(B))43,23[e - (C))43;23[e (D))1,23[e25.（2015.全国II.理，12）设函数f ’(x)是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f （-1）=0，当x>0时，x f ’(x )－f (x )＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是 (A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)26.（2015.全国II.文，12）设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27.（2015.全国II.文，21）已知()()ln 1f x x a x =+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.。