【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣8(含答案解析)

合集下载

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：技巧篇第二篇(含答案解析)

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．模板1 三角函数与解三角形例1 (14分)(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝cos x sin(x －π6)．(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给2分．变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值．解 (1)f (x )＝32－32cos2x ＋32sin2x ＝3sin(2x －π6)＋32.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z)．(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12，∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”)． ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF.4分∵EF⊄平面P AD，AM⊂∴EF∥平面P AD.6分评分细则 1.第(1)问证出AE 綊FM ，给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面P AD ，同样给分；2．第(2)问，证明P A ⊥底面ABCD 时缺少条件扣2分；证明DE ⊥AH 时，只要指明点E ，F 分别为正方形边AB 、BC 中点，得DE ⊥AH ，不扣分；证明DE ⊥平面P AH ，只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥P A ，缺少条件不扣分．变式训练2 (2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积．(1)证明因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC 且相交于AB ，又OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等，所以三棱锥VABC 的体积为33.模板3 空间角的计算例3 (14分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，CD ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)若AC ＝BC ，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值．∴AC ＝BC ＝2 2.如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，则A (22，0,0)，D (0,0,1)，AB →＝(－22，22，0)，BE →评分细则 1.第(1)问中证明CD⊥BC和AC⊥BC各给2分；证明DE∥BC给1分；证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．2．第(2)问中，建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．变式训练3(2016·山师大附中模拟)如图，四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD.AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，点G是BE的中点．(1)证明：CG∥平面BDF；(2)求二面角E－BF－D的余弦值．(1)证明设AC∩BD＝O，BF的中点为H，连结GH.∵G是BE的中点，GH∥EF∥AC，GH ＝12AC ＝OC ，∴四边形OCGH 是平行四边形． ∴CG ∥OH ，又∵CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， CG ∥平面BDF .(2)解设EF 的中点为N ，AC ∩BD ＝O ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，ON ⊂平面ACEF ， ∴ON ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴以点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，ON 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，AF ＝1，∠BAD ＝60°，∴B (1,0,0)，C (0，3，0)，F (0，－3，1)，E (0，3，1)， D (－1,0,0)，DB →＝(2,0,0)，BF →＝(－1，－3，1)， EF →＝(0，－23，0)，设平面BEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BDF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF →＝0，n 1·BF →＝0⇒⎩⎨⎧－23y 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，n 1＝(1,0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DB →＝0，n 2·BF →＝0⇒⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2－3y 2＋z 2＝0令y 2＝1，n 2＝(0,1，3)，设二面角E －BF －D 的大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|32×2|＝64.∴二面角E －BF －D 的余弦值为64.模板4离散型随机变量的概率分布例4(14分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的概率分布及其均值．评分细则 1.第(1)问列出空气湿度相同的全部情况给2分；计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分．2．第(2)问列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；计算概率时3个式子给1分；概率分布正确给2分．变式训练4甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的概率分布及均值．解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的概率分布为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.模板5 数列的通项与求和例5 (14分)(2016·潍坊模拟)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分；当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分．变式训练5 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21)．模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (16分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求OQOP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．评分细则 1.第(1)问无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分；2．第(2)问求OQOP 时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．变式训练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)． (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，PQ ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，所以S ＝12PQ ·d＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板7 圆锥曲线中的探索性问题例7 (16分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有F A ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．评分细则 1.第(1)问求出t 的值，得2分，列出关于t 的方程，求解结果错误只得1分；得出抛物线方程得2分．2．第(2)问写出直线l 1在y 轴上的截距得2分；得出直线AE 过定点得4分，只考虑当y 20≠4，且得出此时直线AE 过定点，只能得3分，只考虑当y 20＝4，且得出此时直线AE 过定点，只能得2分；求出AE 的长，且结论正确给2分，只给出弦长值而没有过程，不得分；正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分．变式训练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连结AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．评分细则(1)函数求导正确即给1分；分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(2)求出最大值给2分；构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；通过分类讨论得出a的取值范围给2分．变式训练8已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f (x )符合条件；当a ＝0时，对任意x ∈(0,1)，有f ′(x )＝－x e x <0， f (x )符合条件；当a <0时，因为f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件．故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x . ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)，有g ′(x )＝－2x e x <0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.a ．若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b ．若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝122e ,aa a在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板9 导数与函数零点、不等式问题例9 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．评分细则(1)求出导数给1分；讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分；确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(2)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；无最后结论扣1分；其他方法构造函数同样给分．变式训练9(2016·南昌二中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．(1)设b＝2－a，求f(x)的零点的个数；(2)设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小．解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0)．①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数，又f (12)＝1－a4＋ln2， ∴当0≤a ＜4(1＋ln2)时，函数f (x )没有零点；当a ＝4(1＋ln2)时，函数f (x )有一个零点；当a >4(1＋ln2)时，函数f (x )有两个零点．②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上单调递减，在(12，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点．当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (x )有一个零点．当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上单调递减，在(－1a ，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，f (x )只有一个零点．综上，0≤a ＜4(1＋ln2)时没有零点； a <0或a ＝4(1＋ln2)时有一个零点； a >4(1＋ln2)时有两个零点．(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln4<0，故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.。

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题2不等式与线.doc

第5练如何让“线性规划”不失分［题型分析•高考展望］“线性规划”也是高考每年必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、屮档.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.常考题型精析题型一已知约束条件，求目标函数的最值兀，例1若变量X,，满足约束条件｛x+yW1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为加和m 护一1,贝!I tn—n= ______ .点评(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.x~y— 1 WO,变式训练1 (2014•山东改编)已知x,尹满足约束条件、当目标函数z=ax+y—3N0,"(CO, QO)在该约朿条件下収到最小值2诉时，a2+b2的最小值为 _____________ •题型二解决参数问题x+2y—4W0,例2 (2014-浙江)当实数满足｛x—p—1W0, 时，15+応4恒成立，则实数。

的Q1取值范围是________ .点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论.xW 1,变式训练2已知不等式组lx+y+2^0,表示的平面区域为其中丘2(),则当。

的面Jcc—y^O积取得最小值时，丘的值为________ .题型三简单线性规划的综合应用yW3x —2,例3设变量x, y 满足约束条件2y+】W0,则lg （j ；+l ）—lgr 的取值范围为 ______ .、2x+尹 W8,点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.X — 120, 变式训练3 （2015-课标全国I ）若兀，y 满足约束条件牡一応0，则三的最大值为4W0,_______ ■高考题型精练x —尹 W0,1. （2015-北京改编）若兀，丿满足x+yWl, 则z=x+2y 的最大值为 _________ .、兀 $0,兀一2. （2015-安徽改编）已知x, y 满足约束条件*+尹一4冬0,则z=~2x+y 的最大值是庐1，x+yN 1,3.（2014-课标全国I 改编）不等式组一的解集记为D 有下面四个命题: 、x —2yW4其中的真命题是3(x, y)^D, x+2尹 32； V(x, y)WD,x+2yW3；B(x, y)WD,x+2尹 W — 1.P3： Pi- V(x, y)^D 9x+2y^ — 2； P2：x+y^294.（2015-淮安联考）已知O是坐标原点，点力（一1, 1）,若点M（x, y）为平面区域XI，[W2x+y—2W0,5.（2015-重庆改编）若不等式组*+2丁一220, 表示的平面区域为三角形，且其面积等于务y+2〃&0贝H m的值为 _________________________________________________________________ .2x—尹+1>0,6.设关于x、y的不等式组*+曲0, 表示的平面区域内存在点P（x。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.3抽象函数与函数图象(含答案解析)

第 8 练突难点 —— 抽象函数与函数图象[ 题型剖析 ·高考展望 ] 抽象函数即没有函数关系式，经过对函数性质的描绘，对函数有关知识进行考察，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热门．对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主假如平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单一性与奇偶性．体验高考1． (2015 北·京改编 )如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB ，则不等式f(x) ≥ log 2(x ＋ 1)的解集是 ________________．答案{ x|－ 1＜ x ≤1}分析令 g(x)＝ y ＝log 2 (x ＋ 1)，作出函数 g( x)的图象如图 .x ＋ y ＝2，x ＝ 1，由得y ＝ log 2(x ＋1)， y ＝1.∴联合图象知不等式f(x) ≥log2(x ＋ 1)的解集为 { x|－ 1<x ≤ 1}． 2． (2015 天·津改编 )已知函数 f(x) ＝ 2－ |x|，x ≤2，函数 g(x) ＝b － f(2－ x)，此中 b ∈ R.若(x － 2)2， x ＞ 2，函数 y ＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ________．答案7，24分析2－|x|， x ≤2，由 f(x)＝( x －2) 2， x ＞ 2，2－ |2－x|， x ≥0，得 f(2 －x)＝x 2， x ＜ 0.22－ |x|＋ x ， x ＜ 0，所以 f( x)＋ f(2－ x)＝ 4－ |x|－ |2－ x|， 0≤x ≤2，2－ |2－ x|＋ (x － 2)2， x ＞ 2，即 f(x)＋ f(2－ x)＝x2＋ x＋ 2， x＜0，2， 0≤x≤2，2x － 5x＋ 8， x＞ 2.y＝ f(x)－ g(x)＝ f(x)＋ f(2－ x)－ b，所以 y＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点等价于方程f(x)＋ f(2－ x)－ b7＝ 0 有 4 个不一样的解，即函数y＝b 与函数 y＝ f(x)＋ f(2－ x)的图象有 4 个公共点，由图象知4＜b＜ 2.3． (2016 天·津 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞， 0)上单一递加．若实数 a 知足 f(2|a－1|)>f(－2)，则 a 的取值范围是 ________．答案1，322分析∵ f(x)是偶函数，且在(－∞， 0)上单一递加，∴在 (0，＋∞)上单一递减，f(－2)＝ f( 2)，1∴ f(2|a－1|)> f(2)，∴ 2|a－1|<2＝22，111，即13.∴ |a－ 1|< ，即－ <a－ 1<2<a<22224． (2015 浙·江 )已知函数 f(x)＝x＋2－ 3， x≥1，x则 f(f(－3)) ＝ ________， f(x)的最小值是lg( x2＋ 1)， x＜ 1，________ ．答案0 22－ 3分析f(f(－ 3)) ＝ f(1)＝ 0.当 x≥1时， f(x)＝ x＋2－ 3≥22－ 3＜ 0，当且仅当 x＝ 2时，取等号；x当 x＜ 1 时， f(x)＝ lg( x2＋ 1) ≥lg1＝ 0，当且仅当 x＝0 时，取等号．∴ f(x)的最小值为 2 2－ 3.高考必会题型题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例 1已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“f(x)为 [0,1] 上的增函数”是“f(x)为 [3,4] 上的减函数”的 ________条件． (填“充足不用要”“必需不充足”“充要”或“既不充足也不用要”)答案充要分析①∵ f(x)在 R 上是偶函数，∴f(x)的图象对于 y 轴对称．∵ f(x)为 [0,1] 上的增函数，∴ f(x)为 [ － 1,0] 上的减函数．又∵ f(x)的周期为 2，∴ f(x)为区间 [ －1＋ 4,0＋4]＝ [3,4] 上的减函数．②∵ f(x)为 [3,4] 上的减函数，且 f( x)的周期为 2，∴ f(x)为 [ － 1,0] 上的减函数．又∵ f(x)在 R 上是偶函数，∴ f(x)为 [0,1] 上的增函数．由①②知 “f(x)为 [0,1] 上的增函数 ”是 “f(x) 为[3,4] 上的减函数 ”的充要条件．评论抽象函数的条件拥有一般性，对待填空题可用特例法、特值法或赋值法．也可由函数一般性质进行推理．变式训练1已知定义在区间(0，＋ ∞)上的函数f(x)知足 f(x 1x 2)＝ f(x 1)－ f(x 2)，且当x ＞ 1 时，f(x)＜ 0.(1) 求 f(1) 的值； (2) 判断 f(x)的单一性；(3) 若 f(3) ＝－ 1，解不等式 f(|x|)＜－ 2. 解 (1)令 x 1＝ x 2＞ 0，x 1代入 f(x 2)＝ f(x 1)－f(x 2)，得 f(1) ＝ f(x 1) － f(x 2) ＝0，故 f(1) ＝ 0.x 1(2) 任取 x 1， x 2∈ (0，＋ ∞)，且 x 1＞ x 2，则 x 2＞ 1.∵当 x ＞ 1 时， f(x)＜ 0，∴ fx 1＜0，即 f(x 1 )－ f(x 2)＜ 0，即 f(x 1)＜ f(x 2)， x 2故函数 f(x)在区间 (0，＋ ∞)上单一递减．x 1(3) 由 f x＝ f(x 1)－ f(x 2) ，2得 f(93)＝ f(9)－ f(3)．而 f(3) ＝－ 1，∴ f(9)＝－ 2，∴原不等式为 f(|x|)＜ f(9)．∵函数 f(x)在区间 (0，＋ ∞)上单一递减， ∴ |x|＞ 9，∴ x ＜－ 9 或 x ＞9.∴不等式的解集为 { x|x ＜－ 9 或 x ＞ 9} ．题型二与抽象函数有关的综合性问题例 2对于函数 f(x)，若在定义域内存在实数数 ”．x ，知足f(－x)＝－ f(x)，则称f(x)为 “局部奇函(1)已知二次函数f(x)＝ ax2＋ 2x－4a(a∈ R)，试判断 f(x)能否为“局部奇函数”？并说明原因；(2)x＋m 是定义在区间 [ －1,1] 上的“局部奇函数”，务实数 m 的取值范围．若 f(x)＝ 2解 f(x)为“局部奇函数”等价于对于 x 的方程 f(x)＋ f(－ x)＝ 0 有解．(1)当 f(x)＝ ax2＋ 2x－ 4a(a∈ R)时，方程 f( x)＋ f(－ x)＝ 0 即 2a(x2－4) ＝0.由于方程有解x＝±2，所以 f( x)为“局部奇函数”．(2) 当 f(x)＝ 2x＋m 时， f(x)＋ f(－ x)＝ 0可化为 2x＋ 2－x＋ 2m＝ 0，由于 f( x)的定义域为 [ － 1,1]，所以方程2x＋ 2－x＋ 2m＝ 0 在 [－ 1,1] 上有解．令 t＝ 2x11∈[ ，2]，则－ 2m＝ t＋. 2t设 g(t)＝ t＋1t，t∈ [12， 2]，1 1则 g′(t)＝ 1－t2， t∈ [2， 2]．1当 t∈2， 1 时， g′(t)＜ 0，故 g(t)在 (0,1)上为减函数；当 t∈ (1,2)时， g′(t)＞ 0，故 g(t)在 (1,2)上为增函数．所以函数g(t)＝ t＋1， t∈ [1， 2]的值域为 [2，5]，t225 5由 2≤－2m≤，得－≤m≤－ 1，2 45故实数 m 的取值范围是[－，－ 1]．评论 (1) 让抽象函数不再抽象的方法主假如赋值法和单一函数法，所以学会赋值、判断并掌握函数单一性和奇偶性是一定过好的两关，掌握好函数的性质．(2)解答抽象函数问题时，学生常常盲目地用指数、对数函数等取代函数来解答问题，而导致犯错．要明确抽象函数是拥有某些性质的一类函数，而不是详细的某一个函数．所以掌握这种函数的重点是掌握函数的性质以及赋值的方法．变式训练2已知定义在[0,1]上的函数f(x)知足：① f(0)＝ f(1)＝ 0；②对全部x， y∈ [0,1] ，且 x≠y，有 |f(x)－ f(y)|<12|x－ y|.若对全部x， y∈ [0,1] ， |f(x) － f(y)|<k 恒建立，则k 的最小值为 ________．1答案4分析取 y ＝ 0，则 |f(x)－ f(0)|< 1|x － 0|，2即 |f(x)|<12x ，1取 y ＝ 1，则 |f(x)－ f(1)|< 2|x － 1|，1即 |f(x)|<2(1－ x)．∴ |f(x)|＋ |f( x)|<1x ＋ 1－1x ＝ 1，2222∴ |f(x)|<14.不如取 f(x) ≥0，则 0≤f(x)<1， 0≤f(y)<1，4 4∴ |f(x)－ f(y)|<1－ 0＝ 1，44要使 |f(x)－ f(y)|<k 恒建立，只要1 k ≥ .4∴ k 的最小值为14.题型三函数图象的应用与判断2x 1 , x ≤ 0例 3已知函数 f ( x) log 1 x, x 0 , 且 f( a －1)＝ 0，则不等式 f( x)>a 的解集为 ________.3答案1(0， )9x ≤0，分析方法一由 f(a －1)＝ 0 得 log 1 ( a －1)＝0, 解得 a ＝2，则不等式 f(x)>2 ? x － 1 或32 >2 x 0, 解得 0< x<1，即不等式 f(x)>a 的解集为 (0，1log 1 x 2,9 9)．3方法二画出函数 f(x)的图象，由图可得 a － 1＝1，即 a ＝2.由图象可得不等式f(x)>2 的解集1为 (0， )．9评论 (1) 求函数图象时第一考虑函数定义域，而后考虑特别值以及函数变化趋向，特别值第一考虑坐标轴上的点．(2) 运用函数图象解决问题时，先要正确理解和掌握函数图象自己的含义及其表示的内容，熟习图象所可以表达的函数的性质．(3) 在运用函数图象时要防止只看表象不联系其实质，透过函数的图象要看到它所反应的函数的性质，并以此为依照进行剖析、推测，才是正确的做法．变式训练 3 形如 y ＝b|x|－ a (a ＞ 0，b ＞ 0)的函数因其图象近似于汉字中的“囧 ”字，故生动地称为 “囧函数 ”．若当 a ＝1，b ＝ 1 时的 “囧函数 ”与函数 y ＝ lg|x|的交点个数为 n ，则 n ＝ ________.答案 4分析由题意知，当 a ＝ 1，b ＝ 1 时，1y ＝|x|－ 1＝1x － 1(x ≥0，且 x ≠1)，1－ x ＋ 1( x ＜0且 x ≠－ 1).在同一坐标系中画出 “囧函数 ”与函数 y ＝lg| x|的图象如下图，易知它们有 4 个交点．高考题型精练f ′(x)1．定义域为 R 的函数 f(x)对随意 x 都有 f(2＋ x)＝ f(2－ x)，且其导函数 f ′(x)知足＞ 0，则当 2＜ a ＜4 时， f(2)， f(2a )， f(log 2a)的大小关系为 __________________．答案 f(2a )＜ f(log 2 a)＜ f(2)分析由函数 f(x)对随意 x 都有 f(2＋ x)＝ f(2－ x)，得函数 f( x)的图象的对称轴为直线x ＝ 2.由于函数 f(x)的导函数 f ′(x)知足 f ′(x)＞0，2－ x所以函数 f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递减， (－ ∞， 2)上单一递加． a由于 2＜ a ＜ 4，所以 1＜ log 2a ＜ 2＜ 4＜ 2 .又函数 f(x)的图象的对称轴为直线x ＝ 2，a所以 f(2) ＞ f(log 2a)＞f(2 )．2．两个函数的图象经过平移后可以重合，称这两个函数为 “同根函数 ”，给出四个函数： f 1(x)＝ 2log 2(x ＋1) ，f 2(x)＝ log 2(x ＋ 2)， f 3(x)＝log 2x 2， f 4(x)＝ log 2(2x)，则 “同根函数 ”是 ________．答案 f 2( x)与 f 4(x)分析 f 4( x)＝ log 2(2x)＝ 1＋ log 2x ， f 2(x)＝ log 2(x ＋ 2)，将 f 2(x)的图象沿着 x 轴先向右平移 2 个单位获得 y＝ log2x 的图象，而后再沿着y 轴向上平移 1 个单位可获得f4( x)的图象，故 f2(x)与 f4(x)为“同根函数”．f(x)＝ x|x－ a|，若对 ? x1，x2∈[3，＋∞)， x1≠x2，不等式f(x1)－f(x2)＞ 0 恒建立，则x1－ x2实数 a 的取值范围是 ________．答案(－∞， 3]分析由题意剖析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单一递加，又∵f(x)＝ x|x－ a|，∴当 a≤0时，结论明显建立；x2－ ax， x≥a，当 a＞ 0 时， f(x)＝－ x2＋ ax， x＜ a，∴ f(x)在－∞，a2上单一递加，在a， a 上单一递减，在 (a，＋∞)上单一递加，2∴0＜ a≤3.综上，实数 a 的取值范围是(－∞， 3]．4．在平面直角坐标系中，若两点P， Q 知足条件：(1)P， Q 都在函数 y＝ f(x)的图象上；(2)P， Q 两点对于直线 y＝ x 对称，则称点对 { P，Q} 是函数 y＝ f( x)的一对“和睦点对”．(注：点对 { P，Q} 与 { Q，P} 看作同一对“和谐点对”)x2＋ 3x＋2(x≤0)，已知函数f(x)＝则此函数的“和睦点对”有________对．log 2x(x＞ 0)，答案2分析作出函数 f(x)的图象，而后作出f(x)＝ log2x(x＞ 0)对于直线 y＝x 对称的函数的图象，与函数 f(x)＝ x2＋3x＋ 2(x≤0)的图象有2 个不一样交点，所以函数的“和睦点对”有 2 对．5．对定义在 [0,1] 上，而且同时知足以下两个条件的函数f(x)称为 M 函数：(1)对随意的 x∈ [0,1] ，恒有 f(x) ≥0；(2) 当 x 1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋ x2) ≥f(x12)建立．)＋ f(x则以下 3 个函数中不是 M 函数的个数是 ________．① f(x)＝ x 2；② f(x)＝ x 2＋ 1；③ f(x)＝ 2x － 1. 答案1分析在 [0,1] 上， 3 个函数都知足 f(x) ≥0.当 x 1≥0， x 2≥0， x 1＋ x 2≤1时：对于①， f(x 1＋ x 2) －[f(x 1)＋ f(x 2)]＝ (x 1 ＋x 2)2－ (x 21＋ x 22)＝ 2x 1x 2 ≥0，知足；对于②， f(x 1＋ x 2) －[f(x 1)＋ f(x 2)] ＝[( x 1＋ x 2)2 ＋1] －[( x 21＋ 1)＋ (x 22＋ 1)] ＝ 2x 1x 2－ 1＜ 0，不知足；对于③， f(x 1＋ x 2) －[f(x 1)＋ f(x 2)](2 x 1x 21)(2 x 112x 21) 2x 12x 22x 12x 21 (2 x 1 1) (2x 2 1)≥ 0，知足．综上， 3 个函数中不是M 函数的个数是 1.6．已知函数1 － m|x|有三个零点，则实数m 的取值范围为 ________．f( x)＝ x ＋2 答案 (1，＋ ∞)分析函数 f(x) 有三个零点等价于方程1＝ m|x|有且仅有三个实x ＋ 2根．∵1 ＝ m|x|? 1＝|x| ·(x ＋ 2)，作函数 y ＝ |x|(x ＋ 2)的图象，如图所x ＋ 2 m示．由图象可知 m 应知足： 0＜ m 1＜ 1，故 m ＞ 1.7．设函数 y ＝ f(x ＋1)是定义在 (－ ∞， 0)∪ (0，＋ ∞)上的偶函数，在区间 (－ ∞， 0)是减函数，且图象过点 (1,0)，则不等式 (x － 1)f(x) ≤0的解集为 ______________．答案(－ ∞， 0]∪ (1,2]分析y ＝ f(x ＋ 1)的图象向右平移 1 个单位获得 y ＝ f(x)的图象，由已知可得 f(x)的图象的对称轴为 x ＝ 1，过定点 (2,0)，定义域为 (－ ∞，1)∪ (1，＋ ∞)，且函数在 ( －∞，1)上单一递减，在(1 ，＋ ∞)上单一递加，则 f(x)的大概图象如下图．不等式 (x － 1)f(x) ≤0可化为x ＞ 1，或f(x)≤0x ＜ 1，由图可知切合条件的解集为 (－ ∞， 0]∪ (1,2] ．f(x)≥ 0.8．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对随意的 x∈ R 恒有 f(x＋ 1)＝ f(x－ 1)，已知当 x∈ [0,1] 时， f(x)＝ 2x，则有① 2 是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在 (1,2) 上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数 f(x)的最大值是1，最小值是0.此中全部正确命题的序号是________．答案①②分析在 f(x＋ 1)＝ f(x－ 1)中，令 x－ 1＝ t，则有 f( t＋ 2)＝ f(t)，所以 2 是函数 f(x)的周期，故①正确；x依据函数的奇偶性知，f(x)在 [ － 1,0] 上是减函数，依据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2) 上是减函数，在 (2,3)上是增函数，故②正确；由②知 f(x)在 [0,2] 上的最大值f( x)max＝ f(1) ＝ 2，f( x)的最小值f(x)min＝ f(0)＝ f(2)＝ 20＝ 1，且 f(x)是周期为 2 的周期函数，∴ f(x)的最大值是 2，最小值是1，故③错误．综上，全部正确命题的符号是①②.9．已知函数 y＝f(x)(x∈ R) 为奇函数，且对定义域内的随意x 都有 f(1＋ x)＝－ f(1－ x)．当 x∈ (2,3)时， f(x)＝ log 2(x－ 1)，给出以下 4 个结论：①函数 y＝ f(x)的图象对于点 (k,0)(k∈ Z) 成中心对称；②函数 y＝ f(x)是以 2 为周期的周期函数；③当 x∈ (－ 1,0)时， f( x)＝－ log 2(1－ x)；④函数 y＝ f(|x|)在 (k， k＋ 1)(k∈ Z) 上单一递加，则正确结论的序号是 __________．答案①②③分析由于 f(1 ＋x) ＝－ f(1－x)，y＝ f( x)(x∈ R)为奇函数，所以 f(1＋ x)＝ f(x－ 1)，则 f(2 ＋x) ＝f(x)，所以 y＝ f(x)( x∈ R)是以 2 为周期的周期函数，②正确；所以 f(2k＋ x)＝ f(x)， f(x－ k)＝ f( x＋ k)＝－ f(k－ x)，所以 f( x＋k)＝－ f(k－x) ，即函数 y＝f(x)的图象对于点(k,0)(k∈ Z) 成中心对称，①正确；由①知，函数 f(x)的图象对于点 (2,0)成中心对称，即 f(x＋ 2)＝－ f(2－x)．又由于当x∈ (－ 1,0)时， 2－ x∈ (2,3)，所以 f( x)＝ f(x＋ 2)＝－ f(2－ x)＝－ log2(2－ x－1) ＝－ log2(1 －x) ，③正确；函数 y＝ f(|x|)是偶函数，在对于原点对称的区间上的单一性相反，所以④不正确．综上，正确结论的序号是①②③.10．已知 g(x)＝－ x2－ 4， f(x)为二次函数，知足f(x)＋ g(x)＋ f(－ x)＋ g(－ x)＝0，且 f(x)在 [ －1,2] 上的最大值为7，则 f(x)的分析式为 __________________ ．答案221f(x)＝ x－2x＋ 4 或 f(x)＝ x－ x＋ 42分析设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋ g(x)＋ f(－ x)＋ g( － x)＝ 2ax2＋ 2c－ 2x2－ 8＝ 0，得 a＝1， c＝4.明显二次函数f(x)在区间 [ － 1,2] 上的最大值只好在 x＝－ 1时或 x＝ 2时获得．当 x＝－ 1 函数获得最大值7 时，解得 b＝－ 2；当 x＝ 2 函数获得最大值7 时，解得 b＝－1，所以 f(x)＝ x2－2x＋ 4 或 f(x)＝ x2－1x＋ 4. 2211．已知函数f(x)＝ |x2－ 4x＋ 3|.(1)求函数 f(x)的单一区间，并指出其增减性；(2)求会合 M＝ { m|使方程 f(x)＝ m 有四个不相等的实根 } ．(x－ 2)2－1， x∈ (－∞， 1]∪ [3，＋∞)，解f(x)＝－ (x－ 2)2＋ 1， x∈ (1，3)，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为 (1,2)， (3，＋∞)；函数的减区间为 (－∞， 1)， (2,3)．(2)在同一坐标系中作出 y＝ f(x)和 y＝ m 的图象，使两函数图象有四个不一样的交点(如图 )．由图知 0＜m＜1，∴ M＝ { m|0＜m＜ 1} ．12．函数 f(x)的定义域为 D＝ { x|x≠ 0}，且知足对于随意x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)．(1)求 f(1) 的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)假如 f(4)＝ 1，f(x－ 1)＜ 2，且 f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解 (1)∵对于随意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋ f(x2)，∴令 x1＝ x2＝ 1，得 f(1) ＝ 2f(1)，∴ f(1) ＝0.(2) f(x)为偶函数．【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.3抽象函数与函数图象(含答案分析) 证明：令x1＝x2＝－ 1，有 f(1)＝ f(－ 1)＋ f(－ 1)，∴f(－ 1)＝1f(1) ＝ 0. 2令 x1＝－ 1， x2＝ x，有 f(－ x) ＝f(－ 1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)在 D 上为偶函数．(3)依题设有 f(4 ×4)＝ f(4) ＋ f(4)＝ 2，由 (2) 知， f(x)是偶函数，∴ f(x－ 1)＜2? f(|x－1|)＜ f(16)．又 f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，∴ 0＜ |x－ 1|＜ 16，解得－ 15＜ x＜ 17 且 x≠1. ∴ x 的取值范围是{ x|－ 15＜ x＜ 17 且 x≠1}．。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣8 Word版含解析

回扣8计数原理1．分类计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)．2．分步计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝C r n an －r b r. 6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项112n T -＋的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112n T -＋和112n T +＋的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．(2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系． (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b.1．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．答案 18解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个．2．某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为________．答案 3,5解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男、女生人数分别为3、5.3．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有________种．答案 150解析先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法有25×6＝150(种)．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种．答案 420解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方案，若选出的3位教师是2男1女，则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方案，所以共有180＋240＝420(种)不同的选派方案．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于________．答案 1解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种．答案 720解析 A 47－A 45＝720(种)．8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为________．答案 420解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方案有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方案有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种)方案．9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析 T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12. 10．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为________．答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个)．11．一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种．答案 36解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求把6个空位分为1,1,2,2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6(种)，所以不同的坐法共有6×6＝36(种)．12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．答案 24解析先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种)．13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．答案 24解析依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种)，所以实验的编排方法共有24种．14．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．答案 288解析从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A 23＝6(种)，先排3个奇数，有A 33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A 24＝12(种)．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种)．若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做锁定70分专项练8 Word版含解析

锁定70分”专项练81．设集合A ＝{x |12<x <3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B ＝________.答案 {x |12<x <2}2．(2016·课标全国乙改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. 答案2解析由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2. 3．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则綈p 为________________．答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>04．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝________. 答案－1解析因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f (52)＝f (－12＋3)＝f (－12)＝4×(－12)2－2＝－1.5．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，且函数f (x )的部分图象如图所示，则f (－3π4)，f (－5π3)，f (7π6)的大小关系为________．答案 f (5π3)<f (－3π4)<f (7π6)解析由题意T ＝43(5π6－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，又∵2×π12＋φ＝π2，解得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(2x ＋π3)，由图象知f (x )的一个减区间是(π12，7π12)，一个增区间是(7π12，13π12)，f (－3π4)＝f (π4)，f (5π3)＝f (2π3)＝f (2×7π12－2π3)＝f (π2)， f (7π6)＝f (π6)，π12<π6<π4<π2<7π12，所以f (π6)>f (π4)>f (π2)，即f (7π6)＞f (－3π4)＞f (5π3)．6．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值为________．答案 0.018解析依题意，0.054×10＋10x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018. 7．(2016·四川改编)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.8．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是________．答案 78解析如图，当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P —ABC <12V S —ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝V S —ABC －V S —EFG V S —ABC ＝1－(12)3＝78.9．函数y ＝|log 2x |－(12)x 的零点个数是________．答案 2解析令y ＝|log 2x |－(12)x ＝0，即|log 2x |＝(12)x ，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝(12)x 的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．10．(2x 2＋x －1)5的展开式中，x 3的系数为__________．(用数字填写答案) 答案－30解析因为(2x 2＋x －1)5＝(2x －1)5(x ＋1)5，所以x 3的系数为C 2523·1－C 3522·C 45＋C 4521·C 35－C 5520·C25＝－30. 11．如果执行下面的程序框图，那么输出的S ＝________.答案 2解析开始i ＝0，S ＝2，判断i <4？是，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13，判断i <4？是，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12，判断i <4？是，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3，判断i <4？是，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2，判断i <4？否，输出2，所以答案为2.12．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要不充分条件．13．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2 ，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案2－1解析设点P 在x 轴上方，则依题意，P 点的坐标为(c ，b 2a )．因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以b 2a ＝2c ，b 2＝2ac ，即a 2－c 2＝2ac ，两边除以a 2得1－e 2＝2e ，解得e ＝2－1(e ＝－2－1舍去)．14．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是________．答案 (－72，－1)解析本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx －1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)>0，0<－1k ≤1，解得－72<k <－1.。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.2函数性质与分段函数(含答案解析)

第 7 练抓要点——函数性质与分段函数[ 题型剖析·高考展望 ]函数单一性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考察，难度为中档偏上．二轮复习中，应当要点训练函数性质的综合应用能力，采集函数应用的不一样题型，剖析比较异同点，排查与其余知识的交汇点，找到此类问题的解决议略，经过训练提升解题能力．体验高考1 ． (2015 山·东改编 )设函数f(x)＝3x－ 1， x＜ 1，f(f(a)) ＝ 2f(a)的 a 的取值范围是则知足2x， x≥1，________ ．答案2，＋∞3分析由 f(f( a)) ＝ 2f(a)得， f(a) ≥1.2 2 当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴ a≥，∴≤a<1.3 3 当 a≥1时，有 2a≥1，∴ a≥0，∴ a≥ 1.2综上， a≥ .32． (2015 山·东改编 )设函数 f(x)＝3x－b， x＜ 1，5＝ 4，则 b 等于 ________．x若 f f2 ， x≥1.6答案1 2分析由题意，得 f 555－ b. 6＝ 3× － b＝62535b1.当－ b≥1，即 b≤时，22＝ 4，解得 b＝222当52－ b＜ 1，即 b＞32时， 3×52－ b － b＝4，7解得 b＝8( 舍去 )．1因此 b＝ .23x －3x， x≤a，3． (2016 ·京北 )设函数 f(x)＝－2x，x＞a.(1)若 a＝ 0，则 f(x)的最大值为 ________；(2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (1)2 (2)(－∞，－ 1)3x － 3x， x≤0，分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝－2x，x＞ 0.若 x≤0， f′(x)＝ 3x2－3＝ 3(x2－ 1)．由 f′(x)＞ 0 得 x＜－ 1，由 f′(x)＜0 得－ 1＜x≤0.因此 f( x)在 (－∞，－ 1)上单一递加；在 (－ 1,0] 上单一递减，因此 f( x)的最大值为 f(－ 1)＝ 2.若 x＞ 0， f(x)＝－ 2x 单一递减，因此f(x)＜ f(0)＝ 0.因此 f( x)的最大值为 2.(2)f(x)的两个函数在无穷制条件时的图象如图．由 (1) 知，当 a≥－ 1 时， f(x)获得最大值2.当 a＜－ 1 时， y＝－ 2x 在 x＞ a 时无最大值，且－ 2a＞ 2.因此 a＜－ 1.1－ x， x≥0，则 f(f(－ 2))等于 ________．4． (2015 陕·西改编 )设 f(x)＝x2 ， x＜ 0，答案1 2分析∵ f(－ 2)＝ 2－2＝1＞ 0，则 f(f(－ 2))＝ f1＝1－1＝ 1－1＝1.444225． (2016 四·川 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当0<x<1 时， f(x)＝ 4x，则f－5＋ f(1) ＝________.2答案－ 2分析因为 f(x)是周期为 2 的函数，因此 f( x)＝ f(x＋ 2)．而 f(x)是奇函数，因此 f( x)＝－ f(－ x)．因此 f(1) ＝ f(－ 1)， f(1)＝－ f(－ 1)，即 f(1) ＝0，又 f －5＝ f －1＝－ f1， f11＝42＝ 2，222255故 f －2＝－ 2，进而 f －2＋ f(1) ＝－ 2.高考必会题型题型一函数单一性、奇偶性的应用1．常用结论：设x1、 x2∈ [a， b]，则(x1－ x2) [f(x1)－ f(x2)]>0 ?f(x1)－ f(x2)>0 ? f(x)在[ a， b] 上x1－ x2单一递加． (x1－x2)[f( x1)－ f(x2)]<0 ?f(x1 )－ f(x2)<0? f(x)在 [a， b]上单一递减．x1－ x22．若 f(x)和 g(x)都是增函数，则 f(x)＋ g(x)也是增函数，－ f(x)是减函数，复合函数的单一性依据内函数和外函数同增异减的法例判断．3．定义域不对于原点对称的函数必定是非奇非偶函数．4．奇偶性同样的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例 1 (1) 假如函数f(x)＝ ax2＋ 2x－3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是 ________．(2 － a) x＋1， x＜ 1，(2) 已知 f(x)＝知足对随意 x1≠x2，都有f(x1)－f( x2)＞ 0 建立，那么 a 的取a x， x≥1x1－ x2值范围是 ________．答案(1)[－1， 0] (2)[3， 2) 42分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝2x－ 3，在定义域 R 上是单一递加的，故在(－∞，4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f( x)的对称轴为x＝－1a.因为 f( x)在 (－∞，4) 上单一递加，因此 a＜ 0，且－1a≥4，解得－14≤a＜0.综合上述得，－14≤a≤0. (2)由已知条件得 f(x)为增函数，2－ a＞0，∴a＞ 1，(2 －a) ×1＋ 1≤a，解得3≤a＜ 2，∴ a 的取值范围是 [3， 2)．22评论(1) 奇偶性：拥有奇偶性的函数在对于原点对称的区间上其图象、函数值、分析式和单一性联系亲密，研究问题时可转变到只研究部分( 一半 )区间上，这是简化问题的一种途径．特别注意偶函数f(x)的性质： f(|x|)＝ f(x)．(2)单一性：能够比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的独一性．变式训练1若 f(x)＝－ x2＋ 2ax 与g( x)＝a在区间[1,2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是x＋1________ ．答案(0,1]分析由 f(x)＝－ x2＋ 2ax 在 [1,2] 上是减函数可得[1,2] ? [a，＋∞)，∴ a≤ 1.∵y＝1在 ( －1，＋∞)上为减函数，x＋ 1a∴由 g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a＞0，故 0＜ a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论： 1.若对于定义域内的随意x，都有 f(a－ x)＝ f(a＋ x)，则函数＝ a 对称．2．若对于随意x，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，则 f(x)为周期函数，且它的周期为例 2 (1) 已知函数f(x)是 (－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象对于直线f(x)的图象对于直线xT.x＝ 1 对称，当 x∈ [ －1,0)时， f(x)＝－ x，则 f(2015) ＋ f(2016) ＝ ________.(2) 定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x＋ 6)＝ f( x)．当－ 3≤x＜－ 1 时， f(x)＝－ (x＋ 2)2；当－ 1≤x＜3时， f(x)＝ x，则 f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋＋ f(2016) ＝ ________.答案 (1)1 (2)336分析(1)由 f(x)是( －∞，＋∞)上的奇函数且f(x) 的图象对于直线x＝ 1 对称，知 f(x)的周期为4，∴f(2015) ＝f(3) ＝ f(－ 1)＝ 1，f(2016) ＝ f(4)＝ f(0) ＝ 0.∴f(2015) ＋f(2016) ＝1＋ 0＝ 1.(2) 由 f(x＋ 6)＝ f(x)可知，函数 f(x)的一个周期为 6，因此 f(－ 3)＝ f(3) ＝－ 1， f(－ 2)＝ f(4) ＝ 0，f(－1)＝ f(5)＝－ 1，f(0) ＝ f(6)＝ 0，f(1) ＝ 1，f(2)＝ 2，因此在一个周期内有 f(1) ＋f(2) ＋＋f(6)＝1＋ 2－ 1＋ 0－ 1＋0＝ 1，因此 f(1) ＋ f(2)＋＋ f(2016) ＝ [f(1) ＋f(2)＋＋f(6)] ×336＝ 336.评论利用函数的周期性、对称性能够转变函数分析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转变到已知区间上求解．变式训练2已知函数y＝ f(x)是定义在R 上的奇函数，? x∈ R，f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)建立，当f(x2)－ f(x1)x∈ (0,1)且 x1≠x2时，有＜0，给出以下命题：①f(1)＝ 0；②f(x)在 [ － 2,2] 上有 5 个零点；③点 (2014,0) 是函数 y＝ f(x)图象的一个对称中心；④直线 x＝2014 是函数 y＝ f(x)图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案①②③分析在 f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)中令x＝ 0，得f(－1)＝ f(1)，又f(－ 1)＝－ f(1)，∴ 2f(1)＝ 0，∴ f(1)＝ 0，故①正确；由 f(x － 1)＝ f(x ＋ 1)，得 f(x)＝ f( x ＋2) ，∴ f(x)是周期为 2 的周期函数，∴ f(2)＝ f(0)＝ 0，又当 x ∈ (0,1)且 x 1≠x 2 时，有 f(x 2)－f(x 1)＜0，x 2－x 1 ∴函数在区间 (0,1)上单一递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．因此正确命题的序号为①②③ .题型三分段函数例 3(1)(2016 ·江苏 )设 f(x)是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间[ － 1,1)上， f( x)＝x ＋ a ，－ 1≤x ＜ 0，592此中 a ∈ R.若 f－ 2 ＝ f 2 ，则 f(5a)的值是 ________．5－ x ， 0≤x ＜ 1，(2)(2016 青·岛模拟 )对实数 a 和 b ，定义运算 “?”： a?b ＝a ， a －b ≤1，设函数 f(x)＝ (x 2－ 2)?b ， a －b ＞ 1.( x －x 2)， x ∈ R.若函数 y ＝ f(x)－ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是________ ．答案(1)－2(2)( － ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 3)54分析(1)由已知 f －5＝ f － 5＋ 2 ＝ f －12 2 21＝－＋ a ，f 9＝ f 9－4 ＝ f 1 ＝ 2－1＝1222 5 210.又∵ f －52 ＝f 92 ，则－ 12＋ a ＝ 101， a ＝ 35，3 2 ∴ f(5a)＝ f(3)＝ f(3 －4)＝ f(－ 1)＝－ 1＋＝－ .55x 2－ 2， x 2－ 2－ (x －x 2)≤1，(2) f(x)＝x － x 2， x 2－ 2－ (x － x 2)＞ 1，23x － 2，－ 1≤x ≤ ，2即 f(x)＝x － x 2， x ＜－ 1或 x ＞32.3f(x)的图象如下图，由图象可知c 的范围是 (－ ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 4)．评论(1) 分段函数是一个函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系的不一样而分别用几个不一样的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．(2) 在求分段函数 f(x)的分析式时，必定要第一判断 x 属于定义域的哪个子集，而后再代入相应的关系式．变式训练 3 已知函数 f(x)＝x 2＋ 1， x ≥0，则知足不等式 f(1 －x 2)＞f(2x)的 x 的取值范围是1， x ＜0，________ ．答案(－ 1， 2－ 1)2分析x ＋ 1， x ≥0，画出 f(x)＝的图象如图．1， x ＜ 0由图象可知，若f(1－ x 2)＞ f(2x)，1－ x 2＞ 0，则1－ x 2＞ 2x ，－ 1＜ x ＜ 1，即－ 1－ 2＜ x ＜－ 1＋ 2，得 x ∈ (－ 1， 2－ 1)．高考题型精练1．设函数 f(x)为偶函数，对于随意的 x ＞0，都有 f(2＋ x)＝－ 2f(2－ x)，已知 f( － 1)＝ 4，那么f(－ 3)等于 ______．答案－ 8分析∵ f(x)为偶函数，∴f(1)＝ f(－ 1)＝ 4， f(－ 3)＝ f(3) ，当x＝ 1 时， f(2＋ 1)＝－ 2·f(2 － 1) ，∴f(3)＝－ 2×4＝－ 8，∴f(－ 3)＝－ 8.2．已知函数 f( x)为 R 上的减函数，则知足 f 1＜ f(1)的实数 x 的取值范围是 ________．x答案(－ 1,0)∪(0,1)分析由 f(x)为 R 上的减函数且 f 1，＜f(1)x1得x＞ 1，即 |x|＜ 1，x≠0，x≠ 0.∴－ 1＜ x＜0 或 0＜ x＜ 1.3．设函数 f(x)＝－ x2＋4x， x≤4，若函数 y＝ f(x)在区间 (a，a＋ 1)上单一递加，则实数 a 的log 2x， x＞4，取值范围是 ________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)分析如图，－ x2＋ 4x， x≤4，y＝f(x)在区间 (a， a＋ 1)上单一递加，则 a 画出 f( x)＝的图象，若使函数log 2x，x＞ 4＋ 1≤2或 a≥4，解得实数 a 的取值范围是 (－∞， 1]∪ [4，＋∞)．4． (2015 课·标全国Ⅱ改编 )设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－12，则使得 f(x) ＞f(2x－ 1)建立的 x 的1＋ x 取值范围是 ________．答案1，131分析由 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－1＋x2，知 f(x) 为 R 上的偶函数，于是 f(x)＞ f(2x－ 1)即为 f(|x|)＞ f(|2x － 1|)．当 x＞ 0 时， f(x)＝ ln(1＋ x)－12，f′(x)＝ 1 ＋2x 22＞0，因此f(x)在[0，＋∞)上是增函1＋ x1＋ x(1＋ x )数，则由f(|x|)＞ f(|2x－ 1|)得 |x|＞ |2x－ 1|，平方得3x2－ 4x＋ 1＜ 0，解得1＜ x＜ 1. 35．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当数 a 的取值范围是________．答案(－ 2,1)x≥0时， f(x)＝ x2＋ 2x，若f(2－ a2)＞ f(a)，则实分析∵ f(x)是奇函数，∴当 x＜0 时， f(x) ＝－ x2＋ 2x.作出函数 f(x)的大概图象如图中实线所示，联合图象可知 f(x)是 R 上的增函数，由 f(2－ a2)＞ f( a) ，得 2－ a2＞ a，解得－ 2＜a＜ 1.6．函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线 x＝ 1 对称，当x∈ (－∞， 0)时， f(x)＋ xf′(x)<0 建立，若 a＝ 20.2·f(20.2)， b＝ ln2 f(ln2)·，c (log11) f (log11) ，则a，b，c的大小关系是________．2424答案b>a>c分析因为函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线x＝ 1 对称，因此 y＝ f( x)对于 y 轴对称．因此函数 y＝ xf(x)为奇函数．因为当 x∈ (－∞，0) 时， [xf(x)] ＝′f(x)＋ xf′(x)<0 ，因此函数y＝ xf(x)在 (－∞， 0)上单一递减，进而当 x∈ (0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单一递减．因为 1<2 0.2<2,0<ln2<1 ，log11＝2，24进而 0<ln2<2 0.2< log211 ，4因此 b>a>c.7．(2016 四·川改编 )某企业为激励创新，计划逐年加大研发资本投入．若该企业2015 年整年投入研发资本 130 万元．在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增加12%，则该企业全年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是 ________．( 参照数据： lg1.12＝ 0.05， lg1.3＝ 0.11， lg2 ＝ 0.30)答案2019分析设第 x 年的研发资本为 200 万元，则由题意可得 130×(1＋ 12%)x＝ 200，∴ 1.12x＝20，∴ x＝ log1.1220＝ log 1.1220－ log 1.1213 1313＝l g20 － lg13lg1.12 lg1.12＝(lg2 ＋lg10) － (lg1.3 ＋ lg10)lg1.120.3＋ 1－ 0.11－ 1≈＝3.8.0.05即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超出 200 万元，即 2019 年超出 200 万元．8．已知函数 f( x)在实数集 R 上拥有以下性质：①直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴；② f(x ＋ 2)＝－ f(x)；③当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，则 f(2015) ， f(2016) ， f(2017) 从大到小的次序为____________________ ．答案 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015)分析由 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，得 f(x ＋ 4)＝ f(x)，因此函数 f( x)的周期是 4.因此 f(2015) ＝ f(3) ， f(2016) ＝ f(0)， f(2017) ＝ f(1) ，又直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴，因此 f(2016) ＝ f(0) ＝ f(2)．由当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，可知当 1≤x 1＜ x 2≤3时，函数单一递减，因此 f(1) ＞ f(2)＞ f(3) ，故 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015) ．9．已知函数 f(x)＝ x － [ x] ， x ≥0，此中 [x]表示不超出 x 的最大整数．若直线 y ＝ k(x ＋ 1)(k>0)f(x ＋ 1)， x<0 的图象与函数 y ＝ f(x)的图象恰有三个不一样的交点，则实数 k 的取值范围是 ____________ ．答案1，14 3分析依据 [x]表示的意义可知，当 0≤x<1 时， f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， f(x) ＝x － 1，当 2≤x<3时， f(x)＝ x － 2，以此类推，当 k ≤x<k ＋ 1 时， f(x) ＝x － k ， k ∈ Z 且 k ＞0.当－ 1≤x<0 时， f(x) ＝ x ＋ 1，作出函数 f( x)的图象如图．直线 y ＝ k(x ＋ 1)过点 (－ 1,0)，当直线经过点 (3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1) 时恰巧有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故1 1 k ∈ 4， 3 .10．已知函数y ＝ f(x)， x ∈ R ，有以下 4 个命题：①若f(1＋ 2x)＝ f(1 －2x)，则f(x)的图象对于直线x ＝ 1 对称；② y ＝ f( x －2)与y ＝ f(2－ x)的图象对于直线x ＝2 对称；③若f( x)为偶函数，且f(2＋x)＝－ f(x)，则f(x)的图象对于直线x ＝2 对称；④若 f( x)为奇函数，且f(x)＝ f(－ x－ 2)，则 f(x)的图象对于直线x＝ 1 对称．此中正确命题的序号为________．答案①②④分析1＋2x＋1－2x＝ 1，故函数 y＝ f(x)的图象对于直线 x＝1对称，故①正确；对于②，令2t ＝ x－2，则问题等价于y＝f(t)与 y＝ f( －t)图象的对称问题，明显这两个函数的图象对于直线t ＝ 0 对称，即函数 y＝ f(x－ 2)与 y＝ f(2－ x)的图象对于直线x－ 2＝ 0 即 x＝ 2 对称，故②正确；由 f(x＋ 2)＝－ f(x)，可得 f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)，我们只好获得函数的周期为4，即只好推得函数 y＝ f(x)的图象对于直线对称，故③错误；因为函数x＝ 4k(k∈ Z) 对称，不可以推得函数y＝ f(x)的图象对于直线x＝2f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－ x－ 2)，可得f(－ x)＝ f(x＋ 2)，因为－x＋ x＋ 2＝ 1，可得函数 y＝ f(x)的图象对于直线x＝1对称，故④正确．211．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对随意实数x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)，当 x∈ [0,2]时， f(x)＝ 2x－ x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x∈[2,4] 时，求 f(x)的分析式；(3)计算 f(0)＋ f(1) ＋f(2)＋＋ f(2016) ．(1)证明∵ f(x＋ 2)＝－ f( x)，∴f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝f(x)，∴f(x)是周期为 4 的周期函数．(2) 解∵ x∈ [2,4]，∴－ x∈ [ － 4，－ 2]，∴ 4－ x∈ [0,2] ，∴f(4－x)＝2(4－ x)－ (4－ x)2＝－ x2＋ 6x－ 8，又 f(4 －x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－ x2＋6x－ 8，即 f(x)＝ x2－ 6x＋8， x∈ [2,4] ．(3)解∵ f(0) ＝ 0， f(1)＝ 1， f(2) ＝ 0， f(3)＝－ 1，又 f(x)是周期为 4 的周期函数，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋ f(3)＝f(4)＋ f(5)＋ f(6) ＋ f(7)＝＝ f(2012) ＋ f(2013) ＋ f(2014) ＋ f(2015)＝0，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋＋ f(2016)＝f(2016) ＝f(0) ＝ 0.a12．已知函数f(x)＝ lg(x＋x－2) ，此中 a 是大于 0 的常数．【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.2函数性质与分段函数(含答案分析)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a∈ (1,4)时，求函数 f( x)在 [2，＋∞)上的最小值；(3)若对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，试确立 a 的取值范围．解 (1)由 x＋a－2＞ 0，得x2－2x＋ a＞ 0，x x当 a＞ 1时， x2－ 2x＋ a＞ 0 恒建立，定义域为(0，＋∞)；当 a＝ 1时，定义域为 { x|x＞ 0且 x≠1}；当 0＜ a＜1 时，定义域为 { x|0＜ x＜ 1－1－ a或 x＞ 1＋ 1－ a} ．a a＝x2－ a＞ 0 恒建立，(2) 设 g(x)＝ x＋－ 2，当 a∈ (1,4)， x∈[2，＋∞)时， g′(x)＝ 1－22x x xa因此 g(x)＝ x＋－2 在 [2，＋∞)上是增函数，因此 f( x)＝ lg x＋a－ 2在 [2，＋∞)上是增函数，xa－ 2在 [2，＋∞)上的最小值为f(2) ＝ lga因此 f( x)＝ lg x＋x2.a(3) 对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，即 x＋x－2＞ 1 对 x∈[2 ，＋∞)恒建立，因此 a＞ 3x－ x2对 x∈ [2，＋∞)恒建立．令 h(x) ＝3x－ x2，2329而 h(x) ＝3x－ x＝－x－2＋4在[2，＋∞)上是减函数，因此h(x)max＝ h(2) ＝ 2，因此 a＞ 2.。

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)小题精练10.doc

小题精练101.设函数Av)=lg(l-x2),集合A = {x\y=f(x)}f B={y\y=J{x)},则图中阴影部分表示的集合为 ____________ •x~y+130,2.若实数x, y满足£+&0, ________ 则2=3"即的最小值是.3.____________________________________________ 下列关于函数.心)=「•心的极值的结论正确的是_______________________________________ .①仅有极小值左；②仅有极大值寸士；③有极小值0,极大值寸±・4•在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a, bWR,为唯一确定的实数，且具有性质：⑴对任意aWR, a*O = a；⑵对任意a, a*b=ab+(a*O) + (b*O).则函数./(x)=c r*4c的最小值为_______ •5.(2015-常州期末)已知正方形的四个顶点分别为0(0,0),力(1,0), 3(1,1), 0(0,1),点D, E分别在线段OC, AB上运动，且OD=BE\设40与0E交于点G,则点G的轨迹方程是6.(2015-南京联考)一盒中有12个乒乓球，其屮9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为卩㈤，则卩3=4)的值为 ______ .7.已知函数尹=心)的图象是下列四个图象之一，且其导函数尹=r(X)的图象如图所示，则该函数的图彖是_______ •(填序号)28.（2015•苏州模拟）己知双曲线J一牙=1的左顶点为知右焦点为局，P为双曲线右支上一点，则厉「厉2的最小值为_______7T 7T9.（2015•扬州模拟）函数/（x）=xsin¥,兀丘一㊁，㊁,若.心）“（兀2），则下列不等式一定成立的是®x]>X2；®X 1 4- X2>0 ；③X1>X2;10.已知正方形MCD的坐标分别X-1,0）, （0,1）, （1,0）, （0, -1）,动点M满足：k MB-k MD=则MA+MC= _________________ .11.设心0,函数j=sin^x+|） + 2的图象向右平移誓个单位后与原图彖重合，则e的最小值是__________________________________________________________________________ . 12.己知G, b, C成等差数列，点M（—3,0）在直线ax+by+c=0上的射影点为N,点P（l,l）,则PN的最小值为__________ .13.对向量a=（G],。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：1.2用好逻辑用语,突破充要条件(含答案解析)

第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东改编)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．答案若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”． ∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交．3．(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析 12log (2)0x ＋＜ ⇔x ＋2＞1⇔x ＞－1.4．(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案既不充分也不必要解析由|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故是既不充分也不必要条件． 5．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是________．答案 ∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，n ≥x 2的否定是n ＜x 2.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1(1)命题p：“若ac＝b，则a、b、c成等比数列”，则命题p的否命题是________(填“真”或“假”)命题．(2)(2016·南师附中一模)有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”；④若函数f(x)＝ln(a＋2x＋1)的图象关于原点对称，则a＝3.其中正确的有________个．答案(1)假(2)0解析(1)命题p的否命题是：若ac≠b，则a、b、c不成等比数列，该命题为假命题，因为若ac＝－b且a、b、c都不是0，则a、b、c也是等比数列．(2)对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误．点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为________．答案 2解析原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．题型二充分条件与必要条件例2(1)(2015·北京改编)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．(2)已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1＜0(m ＞－23)的解为条件q .①若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围； ②若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．解 ①设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}，设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1＜x ＜m ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞2，－2m －1＜－1，m ＞－23，解得m ＞1.②若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m ＞－23.解得－23＜m ≤0.点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．变式训练2 对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析因为a n ＋1>|a n |(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n >0，即当n ≥2时，a n ＋1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|＝a 1；若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证．当数列{a n }为递增数列时，设a n ＝－(12)n ，则a 2>|a 1|不成立．题型三与命题有关的综合问题例3 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题； ④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数．其中真命题是________．(填序号) 答案 ①③解析 ①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确．点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin30°＝sin150°D30°＝150°，∴②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，∴③正确； ④显然正确．高考题型精练1．已知复数z ＝a ＋3i i (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充要解析 z ＝a ＋3ii ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．3．(2016·天津改编)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析由题意得，a 2n －1＋a 2n ＜0⇔a 1(q 2n －2＋q 2n －1)＜0⇔q 2(n－1)(q ＋1)＜0⇔q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．4．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．5．(2016·四川改编)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，故为必要而不充分条件．6．下列5个命题中正确命题的个数是________．①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．答案 1解析 ①错，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；④正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确． 7．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<x ＋1”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是__________．答案 ②解析命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤x ＋1”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错． 8．在直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m)在第四象限的充要条件是____________________．答案－1<m <32或2<m <3解析点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>0，2m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.9．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.10．已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f (0)·f (1)＜0，解不等式求出实数a 的取值范围．由f (0)·f (1)＜0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，(2a ＋1)(2a －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(6a －1)(2a －1)＜0⇒a ＞12. 11．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12＞0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上) 答案 ①③解析在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中，“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”正确．12．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．答案 [0,1]解析由4x －1≤－1，得－3≤x ＜1.由x 2－x ＜a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]＜0，当a ＞1－a ，即a ＞12时，不等式的解为1－a ＜x ＜a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a ＜1－a ，即a ＜12时，不等式的解为a ＜x ＜1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a ＞12时，由{x |1－a ＜x ＜a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12＜a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a ＜12时，由{x |a ＜x ＜1－a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a ＜12.综上，a 的取值范围是[0,1]．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

回扣8 计数原理1．分类计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)．2．分步计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝C r n an －r b r. 6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn.(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项112n T -＋的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112n T -＋和112n T +＋的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． (2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系． (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b.1．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．答案 18解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个．2．某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为________．答案 3,5解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男、女生人数分别为3、5.3．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有________种．答案 150解析先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法有25×6＝150(种)．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种．答案 420解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方案，若选出的3位教师是2男1女，则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方案，所以共有180＋240＝420(种)不同的选派方案．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于________．答案 1解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种．答案 720解析 A 47－A 45＝720(种)．8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为________．答案 420解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方案有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方案有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种)方案．9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________. 答案 12解析 T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12. 10．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为________．答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个)．11．一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种．答案 36解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求把6个空位分为1,1,2,2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6(种)，所以不同的坐法共有6×6＝36(种)．12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．答案 24解析先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种)． 13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．答案 24解析依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种)，所以实验的编排方法共有24种．14．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．答案 288解析从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A 23＝6(种)，先排3个奇数，有A 33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A 24＝12(种)．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种)．若1排在两端，1的排法有A 12A 22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288.。