9-1多元函数的基本概念

2 2
{
}
δ
P 0
•
U (P ,δ ) = { P 0 < | PP | <δ } 去心邻域 0 0
0
= ( x, y)| 0 < ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ .
{
}
说明：若不需要强调邻域半径δ 说明：若不需要强调邻域半径δ ,也可写成
U( P ) 0
或U ( P ) 0
2 x − y > 0，
故所求定义域为
D = {( x, y) | 2≤ x2+ y2≤4, x > y2 }.
3. 二元函数的几何意义
设函数 z = f ( x , y ) 定义域为 D ， 对于 D 内任意的 点 P ( x , y )， 对应的函数值为 z = f ( x , y ) ， 这样在空间
正数， 正数， 与点 P0 ( x0 , y0 ) 的距离小于 δ 的点 P ( x , y )
的全体， 称为点 的全体， 称为点
P0 的δ 邻域， 记作U ( P0 , δ ) ， 邻域，
即 U(P ,δ ) = { P | PP | < δ } 0 0
= ( x, y)| ( x − x0 ) + ( y − y0 ) < δ .
1 例2 证明 ( x，lim(0,0)( x + y )sin x 2 + y 2 = 0 . y )→
2 2
1 − 0 |< ε 证 ∀ε 2 2 x +y 1 1 2 2 2 2 ∵ | ( x + y )sin 2 2 |= | x + y | | sin 2 2 |≤ | x2 + y2 | x +y x +y
说明
(1) 函数在P0极限存在与否与此点定义无关.
(2) 定义中 P ( x , y ) → P0 ( x0 , y0 ) 的方式是任意的；
(3) 定义中“|PP0|> 0不能以“x ≠ xo , y ≠ yo”代替
(4) 定义中“( x，y ) → ( x0 , y0 )”⇔“x → xo , y → yo”
R2 = { ( x, y) | x、 ∈ R }. y 标系中点的全体， 称为三维空间， 同理我们将空间直角坐 标系中点的全体， 称为三维空间，
即
记作 R 3， 即 R3 = { ( x, y, z) | x、 、 ∈ R }. y z
n 维空间
Rn = { ( x1, x2,⋯ xn ) | xi ∈ R }. ,
相连 , 则称 D 是连通的 ;
•
• 连通的开集称为开区域 简称区域 ; 连通的开集称为开区域 简称区域 开区域,简称 • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 开区域连同它的边界一起称为闭区域 闭区域.
•
例如，在平面上 例如 在平面上
y
开区域
{ (x, y) x + y > 0 }
{ (x, y) 1< x + y < 4}
函数的极限不存在. 当 P → P0 时，函数的极限不存在
常取的路径为：坐标轴或与其平行的直线； 常取的路径为：坐标轴或与其平行的直线； 直线y=kx; 某些曲线. 直线y=kx; 某些曲线.
xy f ( x, y) 是否存在？ 思考：已知 f ( x, y) = ， 问 lim ( x， y ) → ( 0 ,0 ) x+ y
例如， 是一有界闭区域； 例如，E1 = { ( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } 是一有界闭区域；
y
E2 = { ( x , y ) | x + y > 0 }
是无界开区域． 是无界开区域．
o x
＊ 3.
n 维空间
建立了数轴后， 建立了数轴后，数轴上 的点与实数有一一对应
的点的全体． 是使函数表达式有意义 的点的全体．
arcsin(3 − x 2 − y 2 ) 的定义域． 的定义域． 例1 求函数 f ( x , y ) = 2 x− y
解 要使函数有意义必须 | 3 − x 2 − y 2 | ≤ 1，
2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4， 即 x > y2 ，
二、多元函数的概念 多元函数的概念
引例 圆柱体的体积
r
h
理想气体的压强
三角形面积的海伦公式
b
a
c
1.定义 设非空点集 定义 非空点集
称 映射
为定义在 D 上的二元函数 , 记作 称为函数的定义域 点集 D 称为函数的定义域 ; x, y 称为自变量，z 为因变量； 称为自变量， 因变量； 自变量 数集 f (D) = { z z = f ( P ) ,P ∈ D}称为函数的值域 . 称为函数的值域 类似地， 类似地，可定义
例如, 例如
x2 y2 z= 2 + 2 a b
右图：椭圆抛物面． 右图：椭圆抛物面．
D= R ．
2
例如, 例如,
x2 + y2 + z2 = a2
右图：球面． 右图：球面．
2 2 2
D = {( x, y) x + y ≤ a }.
上半球面: 上半球面 下半球面: 下半球面
z = a2 − x2 − y2 ；
•
E
P
•P
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 属于 的点 任一邻域 属于E的点 也含不属于E 的点 则称 P 为 E 的边界点 . 也含不属于 • E 的边界点的全体称为 E 的边界 记作∂E ; 边界, 记作∂
(2) 聚点 若对任意给定的δ 点 若对任意给定的δ , P 的去心 任意给定的 邻域 内总有E 内总有 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 聚点. 因为聚点可以为 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . 例如， 例如，考察平面点集
2 2 > 0， 要使 | ( x + y )sin
∴ 只要
可取 δ = ε ，
2
x2 + y2 < ε ，
则当 0 < | PP0 | =
2
x 2 + y 2 < δ 时，
1 有 | ( x + y ) sin 2 2 −0|< ε . x +y
所以
1 lim ( x + y )sin 2 = 0. 2 ( x，y )→ (0,0) x +y
（ ） 三元函数： 三元函数： u = f x，y，z
n元函数： u = f x1，x1， ,xn 元函数： 元函数 ⋯ ） （
元函数统称为多元函数 多元函数. 当 n ≥ 2 时 ， n 元函数统称为多元函数
2. 多元函数的定义域
与一元函数类似， 与一元函数类似，多元 函数 u = f ( P ) 的定义域
( x，y )→(0,0) y=0
当点 P ( x , y ) 沿 x 轴 ( y = 0 ) 趋向于点 (0,0) 时， lim f ( x , y ) = lim f ( x ,0) = lim 0 = 0， x →0
x →0
→
也有
又当点 P ( x , y ) 沿直线 y = k x 趋向于点 (0,0) 时，
( x，y )→(0,0) y = kx
( x，y )→(0,0) x=0
lim
f ( x , y ) = 0，
lim
k x2 k f ( x , y ) = lim f ( x , kx ) = lim = 2 2 2 2, x →0 x →0 x + k x 1+ k
( x， )→(0,0) y
P ∈ D∩U(P ,δ) 0
lim f ( x, y) = A
0 < PP = ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ 0
P∈D
( x， )→( x0 , y0) y
∀ε > 0，∃ δ > 0，
有 | f ( x, y) − A| < ε .
δ P 0
当( x, y) ∈ D且0 < ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ 时 ，
E = { ( x, y) | 1 < x 2 + y 2 ≤ 4 }
E
y o
x
的内点，外点、边界点及聚点. 的内点，外点、边界点及聚点
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 的点都是内点， 开集； • 若点集 ∂E ⊂E, 则称 E 为闭集； 闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线
z = − a2 − x2 − y2 .
三、多元函数的极限 多元函数的极限
1 . 二 元函数极限的定义
δ P 0
的定义域为D 设 二 元函数 f (P)=f ( x, y) 的定义域为 , P0 是 D 的聚点 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 的聚点, 总存在正数δ 总存在正数δ , 当点 P ∈ D∩U(P ,δ), 都有 0 则称 A 为函数 记作
第九章 多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 注意 善于类比 区别异同
第一节 多元函数的基本概念
平面点集、 一、平面点集、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
平面点集、 一、平面点集、区域
1. 邻域
面上一点， 设点 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 面上一点， δ 是一个