江苏省扬州市2016届高三数学上学期期末考试试题

扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置） 1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲ . 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为 ▲ .4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ▲ .5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ . 6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲ .8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ . 9.已知函数)32sin()(π+=x x f （π＜x ≤0），且21)()(==βαf f （βα≠），则=+βα ▲ .10.已知)sin (cos αα，=，)12(，=，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅，则=+)232s i n (πα ▲ .11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲ . 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ . 13. 已知数列{}n a 中，a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n n n n n a a a a a ＞（*N n ∈），记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲ .14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ； （2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC .16. （本小题满分14分）已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（0＞ω）的周期为π. （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=A f ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.18. （本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy .（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=）19. （本小题满分16分）已知函数x e x ax x f )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.20. （本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数. （1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ； （2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分）已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22. （本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.23. （本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.24. （本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有31＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .扬州市2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2016．1一、填空题1．{}1 2．3 3．12 4．144 5．4 6．257．31 8．5 9．76π 10．725- 11．3 12．1± 13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， …………2分 DE ⊄ 平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC …………6分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC AD ⊂ 平面ABC 1CC AD ∴⊥ …8分 AB AC = ，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥ ，又1CC BC C = ，1CC ， BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥ 1BC ⊂ 平面11BCC B 1AD BC ∴⊥ …………11分又11BC B D ⊥ ，1B D AD D = ，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D 1BC ⊂ 平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC …………14分16．解：（1）1()cos 2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=++=++ …………2分()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω= ()sin(2)3f x x π∴=+…………4分又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤++≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]+．………7分（2） ()2A f =sin()3A π∴+= 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π= …………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = …………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆==． …………14分17．（1）22184x y += 12(2,0),(2,0)F F ∴- 21OP F M F M k k k ∴===∴直线2F M的方程为：2)y x =-，直线1F M的方程为：2)y x =+ …………4分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x = ∴点M 的横坐标为65 …………6分 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y 12F M MP = 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+ 00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥ ，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx += …………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-= …………12分0a x a -<< 0()(0,)a a c x a c -∴=∈ 20a ac ac ∴<-< 解得：12e >综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2． …………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =-………9分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤ 232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分2232222229(400)323(1200)'(400)(400)l l l l l l S l l --⋅-∴===--当20l <<'0S <；当40l≤时，'0S >，即S 在上单调减，在上单调增，S ∴在l =l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为 ………15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ………2分令'()0f x = ，31,2x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分 2()(21)3令g x ax a x =+++ 0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=> 102a ∴<≤………8分 ②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a--上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a -≤≤112a ∴<≤综上，a 的取值范围是(0,1． ………10分 （3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x eϕϕ-=-< ………13分1(1)10,(0)20e ϕϕ-=-<=> 000(1,0),()()0()()0存在-,时，,+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞> ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． ………16分20．解：（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴= …………3分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=； 1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………5分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=； m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=； 221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………8分 （3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =， 设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<， 同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t dt d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=， …………10分 当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt t t d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t t t t d t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d t tt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t tt d t t t -⨯= ，211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分 此时12822125t t A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+ 310b = 47t ∴≤≤ t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A = ，310b = 10112272A ∴≤< 1011222727A ∴≤< ………14分 当4t =时，11422125A ≤< ∴无解 当5t =时，12522125A ≤< ∴无解 当6t =时，13622125A ≤< 13264125A ∴≤< 当7t =时，14722125A ≤< ∴无解 13622125A ∴≤< *A N ∈ 64A ∴=或65A = 综上：3d =，64A =或65． ………16分2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题 Ⅱ 参 考 答 案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ． 由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y'=+⎧⎨'=⎩ …………5分 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ． 则131()344P M =⨯= 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0,,m m n + 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n x x x ====?=+=? 3110()4612412m n E m m n x =??+?+ …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0,,n m n + 则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯= 2110()3412123m n E n m n h =??+?+ …………8分 2312m n E E x h --=当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． …………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =， 有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时，2221211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+ 于是21113()33k k a a +-=-103k a << ，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a << …………4分（2）由（1）可得21113()33n n a a +-=-两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+- 所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分 133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --= ，1213413n na -∴=-2n ≥ 时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-= ，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n na -∴=⋅≥⋅-011222121121113[444]3[444]44333n n n na a a -++++=+++≥+++=---- 11233344131313n na a a +∴+++≥---- ． …………10分。