扭转习题课---工程力学重点整理及考试题型
材料力学-扭转-计算公式及例题上课讲义
求 WP m3 1.26E-05
求 WP m3
求 τmax MPa 49.34
求 τmax MPa
数值
校核AC段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值
70
已知 d1 mm 40
已知 d1 mm 70
1.43
6.73E-05
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
[]
单位 N·m KW r/min
公式
T 9550 N K n
单位 时的强度条件
N·m m3 Pa
公式
max
M n max Wp
[ ]
序号
名称 代号 单位
1
极惯性矩 Ip m4
2
抗扭截面模 量
WP
m3
3
α=d/D
r0=D0/2，平 均半径，D0
单位
max
M n max Wp
[ ]
N·m m3
求 D mm 75.56
已知 D0 mm 63.38
例：有一个阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮，如图所示。轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的
实心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 [τ] M Pa 40
已知 Mn max K N·m
2
空心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 α 无 0.8
扭转习题
第三章 扭转习题一、单项选择题1、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=。
两杆横截面上扭矩相等两杆横截面上的最大切应力之比maxDmaxdττ为A 、2倍，B 、4倍，C 、8倍，D 、16倍。
二、1、扭转变形时，公式pTlGI τ=中的 表示单位长度的扭转角，公式中的T 表示横截面上的 ；G 表示杆材料的 弹性模量；I P 表示杆横截面对形心的 ；GI P 表示杆的抗扭 。
2、截面为圆的杆扭转变形时，所受外力偶的作用面与杆的轴线 .3、实心圆轴扭转时，横截面上的切应力分布是否均匀，横截面上离圆心愈远的点处切应力 ,圆心处的切应力为 ，圆周上切应力4、两根实心圆轴的直径d 和长度L 都相同，而材料不同，在相同扭矩作用下，它们横截面上的最大切应力是否相同 ，单位长度的扭转角是否相同 。
5、剪切虎克定律的表达式 G τγ=，式中的G 表示材料的 模量，式中的γ称为 。
6、根据切应力互等定理，单元体两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在， 且 相等，而 现反。
三、 1、如图所示圆轴，一端固定。
圆轴横截面的直径D=100mm ，所受的外力偶矩M 1=6kN•m,M 2=4kN•m。
试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。
答：圆轴横截面上的最大扭矩为 kN•m；圆轴横截面上的最大切应力为 Mpa 。
2、如图所示阶梯形圆轴，一端固定。
圆轴横截面的直径分别为外力偶矩M C =1200 N•m，M B =1800 N•m。
试求BC 段横截面上的扭矩和该阶梯轴的最 大切应力。
答：BC 段横截面上的扭矩为 N•m；该阶梯轴的最大切应力为 Mpa 。
3、如图所示圆轴，一端固定。
圆轴横截面的直径d=100mm ，所受的外力偶矩M 1=7000 N•mM 2=5000 N•m。
试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。
答：最大扭矩为 N •m 。
最大切应力为 Mpa 。
4、某传动轴为实心圆轴，轴内的最大扭矩=1.5kN m T g，许用切应力[]=50MPa τ，试确定该轴的横截面直径。
工程力学 第9章 扭转_2
两轴的横截面面积之比： 两轴的横截面面积之比：
π 2 2 (D2 − d2 ) D2(1−α2 ) A 4 2 2 = = = 1.1942(1− 0.82 ) = 0.512 2 π 2 A d1 1 d1 4
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料. 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
空心轴远比 实心轴轻
第9章 扭转 章
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形（相对扭转角） 圆轴扭转变形（相对扭转角）
dφ T = dx GIp
T(x) dφ = dx GIp (x) T(x) φ =∫ dx l GI (x) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度 圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
2. 刚度校核
T dφ = 1 dx 1 GIp T2 dφ = dx 2 GIp
因 T > T2 1
dφ dx max
T dφ dφ 故 = = 1 dx max dx 1 GIp 180 N⋅ m 180 = = 0.43(o ) / m<[θ] (80×109 Pa)(3.0×105 ×10-12 m4 ) π
Tmax = ≤ [τ ] Wp
第9章 扭转 章
四、圆轴合理强度设计 1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
若 Ro/δ 过大 将产生皱褶
第9章 扭转 章
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓 应力集中
第9章 扭转 章
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ ] = 50 MPa，试根据强度条 ， ， 的空心圆轴，并进行比较。 件设计实心圆轴与 α = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径 ： 确定实心圆轴直径
《材料力学》扭转习题解
第三章扭转习题解[习题3-1] 一传动轴作匀速转动， 转速n = 200r/min ，轴上装有五个轮子，主动轮 II 输入 的功率为60 kW ，从动轮，I ，山，IV ，V 依次输出18 kW ，12 kW ，22 kW 和8kW 。
试 作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）T e = 9.55 血n外力偶矩计算（kW 换算成kN.m ）题目编号 轮子编号轮子作用功率（kW ）转速r/mi nTe (kN.m ) 习题3-1I 从动轮 18 200 0.859II主动轮 60 200 2.865III从动轮 12 200 0.573IV从动轮 22 200 1.051V从动轮82000.382（2）作扭矩图。
用 595[习题3-2] —钻探机的功率为l0kW ，转速n = 180r/min 。
钻杆钻入土层的深度I = 40m 。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度 图。
资料个人收集整理，勿做商业用途 解：（1）求分布力偶的集度= 9.549x® =0.5305(kN m)180M e 0.5305 m = --- = ------l 40= 0.0133(kN /m)设钻杆轴为x 轴, 则:Z M x =0ml =Me1 4325A1 2 0055 1m 3.5 mLSC.3SZm ，并作钻杆的扭矩M e =9.549 丛n L7S mT 图(kN.m)（2）作钻杆的扭矩图T(x) = —mx =—牛X =-0.0133x 。
x<^[0,40] T(0) =0 ;T(40) = M e = —0.5 305kN m) 扭矩图如图所示。
［习题3-3］圆轴的直径d =50mm ，转速为120r/min 。
若该轴横截面上的最大切应力等于 60 MPa ，试问所传递的功率为多大？ 资料个人收集整理，勿做商业用途 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量： 1 3 W p =—血3 P16（2 ）计算扭矩1 3 3 = 16®4159 倔=24544(mm ) 2= 60N / mm23T =60N/mm x 24544mm =1472640N ・mm = 1.473(kN ・m)（3）计算所传递的功率T = M e =9.549山=1.473(kN -m)n N k =1.473x120/9.549 =18.5(kW)［习题3-4］空心钢轴的外径 D = 100mm ，内径d =50mm 。
工程力学重点整理及考试题型
一、选择题与填空题（共8小题，每题4分）1、图示等直杆，杆长为3a ，材料的抗拉刚度为EA ，受力如图。
杆中点横截面的铅垂位移为 。
A 、0；B 、Fa /(EA )；C 、2Fa /(EA )；D 、3 Fa /(EA )。
2、已知W ＝60kN ，F ＝20kN ，物体与地面间的静摩擦系数s f ＝0.5，动摩擦系数f ＝0.4，则物体所受的摩擦力的大小为_______________。
A 、25kN ；B 、20kN ；C 、17.3kN ；D 、0。
3、已知一边长为a 的正方体，沿对角线ＢＨ作用一个力F，则该力在1Z 轴上的投影为﹍﹍﹍。
A 、6F ； B 、0； C 、2F ； D 、3F。
4、三根杆的横截面面积及长度均相同，其材料的应力-应变曲线分别如图所示。
其中强度最高，刚度最大，塑性最好的杆分别是 。
（A ）a ，b ，c ； （B ）b ，c ，a ； （C ）b ，a ，c ； （D ）c ，b ，a 。
5、已知图（a ）梁B 端挠度为48ql EI , 转角为36ql EI, 则图（b ）梁C 截面的转角为 。
6、图中Z 轴与C Z 轴均平行于1Z 轴，43C Z I a =，则三角形ABO 对1Z 轴的惯性矩1Z I 等于_______________，而三角形ADE 对Z 轴的惯性矩Z I 等于________________。
7、一刚体只有两力F A ，F B 作用，且F A +F B =0，则此刚体______________________________；一刚体上只有两个力偶M A ，M B 作用，且M A +M B =0，则此刚体_______________。
(填一定平衡，一定不平衡或者平衡与否不能判定)8、铆接头的连接板厚度t=d ，则铆钉切应力为τ= ，最大挤压应力bs σ= 。
二、计算题（13分）图示结构，由杆AB 、DE 、BD 组成，各杆自重不计，D 、C 、B 处均为铰链连接，A 端为固定端约束。
工程力学(一)重点考点及试题解析
《工程力学（一）》串讲讲义】课程介绍一、课程的设置、性质及特点《工程力学（一）》课程，是全国高等教育自学考试机械等专业必考的一门专业课，要求掌握各种基本概念、基本理论、基本方法，包括主要的各种公式。
在考试中出现的考题不难，但基本概念涉及比较广泛，学员在学习的过程中要熟练掌握各章的基本概念、公式、例题。
本课程的性质及特点：1．一门专业基础课，且部分专科、本科专业都共同学习本课程；2．工程力学（一）课程依据《理论力学》、《材料力学》基本内容而编写，全面介绍静力学、运动学、动力学以及材料力学。
按重要性以及出题分值分布，这几部分的重要性排序依次是：材料力学、静力学、运动学、动力学。
二、教材的选用工程力学（一）课程所选用教材是全国高等教育自学考试指定教材（机械类专业），该书由蔡怀崇、张克猛主编，机械工业出版社出版（2008年版）。
三、章节体系依据《理论力学》、《材料力学》基本体系进行，依次是第1篇理论力学第1章静力学的基本概念和公理受力图第2章平面汇交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面任意力系第5章空间力系重心第6章点的运动第7章刚体基本运动第8章质点动力学基础第9章刚体动力学基础第10章动能定理第2篇材料力学第11章材料力学的基本概念第12章轴向拉伸与压缩第13章剪切第14章扭转第15章弯曲内力第16章弯曲应力第17章弯曲变形第18章组合变形第19章压杆的稳定性第20章动载荷第21章交变应力●静力学公理和物体受力分析静力学公理：二力平衡公理：作用在刚体上的二力使刚体平衡的充要条件是：大小相等、方向相反、作用在一条直线上。
应用此公理，可进行简单的受力分析。
加减平衡力系公理：在作用于刚体的已知力系中加上或减去任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。
力的平行四边形法则：作用于物体上某一点的两力，可以合成为一个合力，合力亦作用于该点上，合力的大小和方向可由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。
力的可传性原理：作用于刚体上的力可沿其作用线移至同一刚体内任意一点，并不改变其对于刚体的效应。
材料力学作业参考题解扭转
17.76MPa [ ]
（3）如图取坐标系，有：
T (x) m0 x
AB
l T (x) dx
m0
0 GI p
GI p
l
xdx
m0l 2
M 0l
0
2GI p 2GI p
32 389.9 40
0.064 [1
(5 /
6)4 ]
0.148弧度
8.48
3-16 如图所示，将空心圆杆（管）A套在实心圆杆B旳一端。两杆在同一横截面处有一直径 相同旳贯穿孔，但两孔旳中心线构成一β角，目前杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆A和B旳 两孔对齐，装上销钉后卸去所施加旳扭力偶。试问两杆横截面上旳扭矩为多大？已知两杆旳 极惯性矩分别为 IpA和 IpB，且材料相同，切变模量为G。
620.7 16
0.043
49.4MPa [ ]
max 2
TDB W pDB
1432.4 16
0.073
21.3MPa [ ]
max
TAC GI pAC
180
80
32 620.7
109
180
0.044
1.77 / m [ ]
该轴满足强度与刚度要求
3-13 已知钻探机钻杆旳外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻 杆入土深度l=40m，材料旳G=80GPa，[ τ ]=40MPa。假设土壤对钻杆旳阻力沿长度均匀分布， 试求：（1）单位长度上土壤对钻杆旳阻力矩；（2）作钻杆旳扭矩图，并进行强度校核； （3）A、B两截面旳相对扭转角。
d 4
d 8
32 100 103
8 0.13
127MPa
工程力学(下)—扭转2
N2
B 500 400
N3
A
C
n = 500 rpm，输入功率N1 = 368kW， 输出功率 分别 N2 = 147kW及 N3 = 221kW，G=80GPa ， [ ]=70MPa，[ ]=1º /m 解：①图示状态下
M 9550 N n (N m)
T
4.21kNm N1
N2 B
d dx
3. 静力学关系：
T
d G dx
dA
A
dA
G
2
O
d dx
A
dA
G
d dx
A
dA
2
令
Ip
A
dA
2
极惯性矩
d dx
T GI p
GIp－抗扭刚度
d 代入物理关系式 G 得： dx
T Ip
T
将1轮与2轮互 换后的扭矩图
2.814 kNm
x
4.21 kNm
补充: 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形
等直非圆杆, 如图所示矩形截面杆扭转后横截面 将发生翘曲而不再是平面。
等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲, 但当等 直杆在两端受外力偶作用, 且端面可以自由翘曲 时, 其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截 面上仍然只有切应力而没有正应力。这一情况 称为纯扭转或自由扭转。
若由于约束条件或受力条件的限制, 造成杆件各 横截面的翘曲程度不同, 这势必引起相邻两截面 间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除切应 力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。图 示即为工字钢约束扭转的示意图。
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扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一径为d , 外径为D , 外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-；(C) 3242)]1)(1[(αα--；(D) 23241)1(αα--。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案： (A) r GI T γp =，ϕr l =； (B) )(p GI l T γ=，r l γϕ=； (C) r GI T γp =，r l γϕ=； (D) γr GI T p =，l r γϕ=。
5. 建立圆轴的扭转切应力公式p I T ρτρ=时，“平面假设”起到的作用有下列四种答案：(A) “平面假设”给出了横截面上力与应力的关系A T A d τρ⎰=； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化；(D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。
6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。
(A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。
7. 图示圆轴AB ，两端固定，在横截面C 处受外力偶矩e M 作用，若已知圆轴直径d ，材料的切变模量G ，截面C 的扭转角ϕ及长度a b 2=，则所加的外力偶矩e M ，有四种答案：(A) a G d 128π34ϕ； (B) a G d 64π34ϕ；(C) a G d 32π34ϕ； (D) aG d 16π34ϕ。
8. 一直径为1D 的实心轴，另一径为2d ，外径为2D ，外径之比为8.022=D d 的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比=12W W 。
9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。
对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。
10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；34 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341(截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。
12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 作用，其材料的切应力和切应变关系可用m C /1γτ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：mm md m M /)13(/1e )2(13m π2++=ρτρ证：几何方面 xd d ϕργρ= 物理方面 mm xC C /1/1)d d (ϕργτρ== 静力方面 ρρϕρρτρρd π2)d d (d /12/0/1e ⋅⋅=⋅⋅==⎰⎰md m AxC A T M⎰+=2/0/12/1d )d d (π2 d m mxC ρρϕmm d x C m m m )13()2()d d (π2/)13(/1+=+ϕm m md Cm m M x /)13(e /1)2(π2)13()d d (+⋅⋅+=ϕ 所以 mm md m M /)13(/1e )2(13m π2++=ρτρ 证毕。
13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为δτ20π2R T=（0R 为圆管的平均半径，δ为壁厚），试证明，当δ100≥R 时，该公式的最大误差不超过4.53%。
证：薄壁理论 δτ20π2R T=精确扭转理论 ])2()2][()2()2[(2π)2(202020200max δδδδδτ--+-+++=R R R R R T)4(π)21(222200R R R T δδδ++=误差 0202maxmax max 24411R R δδτττττε++-=-=-= 当δ100≥R 时， %53.4514100141=++-≤ε 证毕。
14. 在相同的强度条件下，用外径之比5.0=D d 的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？解：设空心轴外直径分别为22,D d ，实心轴直径为1d)1(16π16π43231α-=D T d T ⇒02.1113412=-=αd D 节省材料 %7.21)1(121222121=--=-d D A A A α 15. 一端固定的圆轴受集度为m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许用应力][τ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式)(x d 。
解：取自由端为x 轴原点,x 轴沿轴线方向,则扭矩方程 mx x T =)( 最大切应力 ][)(16π)()(3p max ττ===x d mxx W x T 轴径 3][π16)(τmxx d = 16. 两段同样直径的实心钢轴，由法兰盘通过六只螺栓连接。
传递功率kW 80=P ，转速m in r 240=n 。
轴的许用切应力为MPa 80][1=τ， 螺栓的许用切应力为MPa 55][2=τ。
试 (1) 校核轴的强度； (2) 设计螺栓直径。
解：(1)外力偶矩m N 183 35499e ⋅==nPM ][MPa 7516π3emax ττ<==d M 安全 （2）N 894 518.0318333e S =⨯==D M F ][4π22Sττ≤=d F⇒ mm 7.11][π42S=≥τF d17. 图示锥形圆轴，承受外力偶e M 作用，材料的切变模量为G 。
试求两端面间的相对扭转角ϕ。
解： )(2)(x lab a x d -+=⎰⋅=lx x d G M 0 4ed )(32πϕ3322e 0 4e π3)(2d )(1πG2b Ga a ab b l M x x l a b a M l++=-+=⎰18. 一半径为R 的实心圆轴，扭转时处于弹塑性状态。
试证明此轴弹性部分的核心半径0r 为 330)π/(64s T R r τ-= 式中T 为整个截面上的扭矩，)(γτf =可按理想弹塑性情况下的γτ-图计算。
证： 30S 3S 2S 0 2S 0π61π32d π2d π2)(00r R r T R r r ττρρτρρτρ-=⋅+⋅=⎰⎰于是得 3S30π64τTR r -=19. 已知图示空心圆截面杆，材料的应力－应变图及截面尺寸如图示，设2/1/21=r r 。
试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个截面屈服时的极限扭矩之比。
解：屈服扭矩： 2S41422PS S 2)(πr r r r I T ττ-==极限扭矩：)(π32d π2d 3132S 2S s P 21r r A T r r A-===⎰⎰τρρτρτ 244.1SP=T T20. 已知直径mm 30=D 的一根实心钢轴扭转后在部保持一个mm 10=d 的弹性核，如图示。
若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图），MPa 160=S τ。
试求当卸除扭矩后，残余应力是多少？并绘出应力分布图。
解：确定初加之扭矩值：mm N 10112d π216π42 2s s 3P e ⋅⨯=⋅+=+=⎰Dd d T T T ρρρττ残余应力： 弹性卸荷 MPa 26.21116/π3max ==D Tτ mm 15=ρ处，MPa 51160211)(51=-=残τ mm 5=ρ处，MPa 3.70155211=⨯=τ MPa 7.893.70160)(5=-=残τ21. 已知直径mm 30=D 的一根实心钢轴扭转后在部保持一个mm 01=d 的弹性核，如图示。
若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示）， GPa 80=G ，扭转屈服应力MPa 160=S τ，试求当卸除扭矩后，单位杆长的残余扭转角为多少？解：弹性部分单位长度的扭转角rad/m 4.0pee ==GI T θ 弹性卸载单位长度扭转角rad/m 176.0e =θ 残余单位长度扭转角m /)( 12.8rad/m 0.224rad/m 176.0rad/m 4.0 ==-=残θ22. 直径mm 25=d 的钢圆杆受轴向拉力kN 60作用时，在标距m 2.0的长度伸长了mm 113.0，受扭转力偶矩m kN 15.0⋅作用时，相距m 2.0两截面的相对扭转角为 55.0，求钢材的弹性模量E 、切变模量G 和泊松比ν。
解：41065.5-⨯=∆=llε, MPa 2.122N ==A F σ则GPa 216/==εσEMPa 89.48p ==W T τ, rad 106180π2/4-⨯=⨯=ϕγl d 解得 GPa 5.81=G 又 )1(2ν+=EG ，得32.0=ν23. 设圆轴横截面上的扭矩为T ，试求4/1截面上扭转剪应力的合力大小，方向及作用点。
解：1 剪力大小和方向θρρd d d =A ， A F d d S τ=⎰⎰⎰-===2π0 2 0 s π34d d sin sin d dTF F dAS z θρθρτθ 同理：dTF π34Sy =dTF F F y z π3`242S 2S S =+= 方向与 45=θ矢径垂直。
2 合力作用点 4S TF C =⋅ρ⇒ 32π23d C =ρ 24. 已知如图（a ）所示半径为R 的受扭圆杆，截取一长度为a 之隔离体，据横截面上切应力分布规律和切应力互等定理，可得隔离体各截面上的切应力分布如图（b ）所示。
试证(1) 纵截面ABCD 上切应力所构成的合力偶矩之大小为R Ta π3/4； (2) 图（b ）的隔离体满足∑=0z M 这一平衡条件证：(1) RTaRa R T R a R M π3432π2345.0)(2max =⨯=⨯⨯⨯⋅=τ (2) 在半圆横截面上取面积微元r r A d d d θ=，其上之力沿垂直和平行于z 方向的分量为θτsin d d ⋅=A F ，θτcos d d ⋅=A V 每一侧半圆截面上d F 的合力RTr r R Tr F R π34d d sin π2 0 π0 4==⎰⎰θθ两侧截面上的力F 组成的力偶矩为Fa ，于是∑=⋅-=-=0π34π34a RTR Ta Fa M M z25. 半径为R 的圆截面承受扭矩T ，导出处于2/R 与4/3R 之间的区域所受扭矩的表达式，用R 和m ax τ表示结果。