专题 用勾股定理解决实际问题
初中数学 如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用
初中数学如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用。
勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。
虽然在学习数学的过程中，我们经常通过几何证明来理解勾股定理，但是它在解决实际问题中的应用也是非常广泛的。
在本文中，我们将探讨勾股定理在实际问题中的应用，并通过具体的例子来加深理解。
1. 建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
例如，在设计房屋的时候，我们需要确定墙壁的角度和长度。
通过使用勾股定理，我们可以计算出两面墙壁之间的距离，从而确保房屋的结构和稳定性。
此外，在设计楼梯和斜坡的过程中，勾股定理也可以用来计算出坡度和高度，以确保安全性。
2. 导航系统中的应用勾股定理在导航系统中也有着重要的应用。
例如，在GPS系统中，我们经常需要确定两个位置之间的距离和方向。
通过使用勾股定理，我们可以计算出两个坐标之间的直线距离，从而确定最短路径和导航方向。
此外，勾股定理还可以用来计算出飞机、船只和汽车等交通工具的速度和位移。
3. 物理学中的应用勾股定理在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动情况。
通过使用勾股定理，我们可以计算出物体在斜面上的加速度、速度和位移等参数。
此外，在光学中，勾股定理可以用来计算出光线的入射角和折射角，从而帮助我们理解光的传播和折射规律。
4. 金融领域中的应用勾股定理在金融领域中也有着一定的应用。
例如，在投资领域，我们经常需要计算投资组合的风险和回报。
通过使用勾股定理，我们可以构建一个有效的投资组合，以最大化回报并降低风险。
此外，在贷款和利率计算中，勾股定理可以用来计算出贷款的利率和还款期限等关键参数。
综上所述，勾股定理在解决实际问题中有着广泛的应用。
无论是在建筑工程、导航系统、物理学还是金融领域，勾股定理都发挥着重要的作用。
通过了解和应用勾股定理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学应用能力，并将数学知识与实际生活相结合。
七月天山数学教案：应用勾股定理解决实际问题
七月天山数学教案：应用勾股定理解决实际问题勾股定理作为数学中的一个基础定理，在解决实际问题中也有着广泛的应用。
在七月天山的数学教案中，也包含了一些应用勾股定理解决实际问题的例题。
一、勾股定理的定义勾股定理是三角形中一条直角边的平方等于两条边的平方之和的定理。
它的形式化表达式为：$a^2+b^2=c^2$其中，$a$、$b$为直角三角形的两条直角边，$c$为直角三角形的斜边。
二、七月天山数学教案中的应用例题（1）问题描述：小明家的花坛是一个正方形，每条边长为$5$米。
现在他想在花坛内种一颗苹果树，为了让苹果树生长更好，他希望离每个角的距离都相等，问他应该种在哪里？解题思路：我们可以通过勾股定理得出花坛对角线的长度为：$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$因为苹果树到角的距离相等，我们可以将它种在对角线的中心点上，即$M$点处，此时到每个角的距离都为：$AM=BM=CM=DM=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$小明应该在花坛的对角线中心点$M$处种苹果树。
（2）问题描述：一只小船沿着一条直线航行，此直线上有两个灯塔，分别位于船的左侧和右侧。
当小船和左侧的灯塔的距离为$5$公里时，正好时，船和右侧灯塔的距离为$13$公里，两个灯塔之间的距离为多少公里？解题思路：我们可以将该题绘制成如下的图形：由于船和左侧灯塔之间的距离为$5$公里，船和右侧灯塔之间的距离为$13$公里，可以设从左侧灯塔到右侧灯塔的距离为$c$，则可以列出如下的方程组：$\begin{cases}a^2+5^2=b^2\\a^2+13^2=(c-b)^2\end{cases}$解得：$c=\sqrt{194}$两个灯塔之间的距离为$\sqrt{194}$公里。
（3）问题描述：一艘船从一个固定起点出发，向正东方航行$8$公里，向北方航行$15$公里，向西北方航行一段距离，回到出发点。
问最终向西北方航行的距离是多少？解题思路：我们可以将该题绘制成如下的图形：由于要求从出发点出发，回到出发点，向东走和向西走的距离应该相等，向北走和向南走的距离也应该相等。
勾股定理应用典型题型讲解
勾股定理应用典型题型讲解摘要：一、引言二、勾股定理的概念及公式三、勾股定理的应用范围四、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用3.应用勾股定理解决实际问题五、总结与展望正文：一、勾股定理的概念及公式勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
数学表达式为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
二、勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围非常广泛，包括几何、物理、工程等领域。
在解决实际问题时，了解勾股定理的适用场景和条件是关键。
三、典型题型讲解1.直角三角形中的勾股定理应用在直角三角形中，已知两边长度求第三边长度或已知两边及夹角求第三边长度等问题，可以利用勾股定理轻松解决。
例题：已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求AB的长度。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。
故AB = 5。
2.锐角三角形和钝角三角形中的勾股定理应用在锐角三角形和钝角三角形中，我们可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或者求解三角形中的角度和边长。
例题：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 4，BC = 3，求∠B的度数。
解：由勾股定理可知，AB = AC + BC，故∠B为直角，∠B = 90°。
3.应用勾股定理解决实际问题在实际问题中，如测量距离、构建支架等，可以利用勾股定理进行计算和估算。
例题：一块矩形土地的长为100米，宽为60米，现欲在其四个角上搭建四个高为h米的支架，求支架高度h的最大值。
解：设矩形对角线的长度为d，则d = 100 + 60 = 10000 + 3600 = 13600。
由勾股定理可知，d = √(13600)。
支架高度h的最大值即为d/2，故h = √(13600)/2。
四、总结与展望本文通过对勾股定理的概念、应用范围及典型题型的讲解，旨在帮助读者更好地理解和运用勾股定理。
勾股定理在实际问题中的应用举例
勾股定理在实际问题中的应用举例、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量矢系，可以解决许多与直角三角形有矢的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计）,要求木条不能露出木箱,请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、41cmB、34cmC、50cmD、75cm分析：图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD是RtABCD的斜边，BD是RtA BCD的斜边，根据已知条件可以求出BC的长，从而可求出BD的长。
解：在RtAABC中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC= AB2 AC2 = 41，在Rt/\BCD 中，CD=3 , BC= 41 、22BD= BC2 CD2 = 50。
所以选C。
说明：本题的矢键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口咫1cm的点F出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？图2 图3分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。
由题意可知，S、F两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：IB1出圆柱体的侧面展开图?如图3，由题意、得SB=60m2=30 (cm )，FB=18—1—1=16 ( cm)，在Rt/\SBF 中，ZSBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34 ( cm)，所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。
勾股定理题型(很全面)
典型例题:一、利用勾股定理解决实际问题例题:水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?二、与勾股定理有关的图形问题1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=______ ___.4.如图,△ABC中,∠C=90°,(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①),探究S1+S2与S3的关系;(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②),探究S1+S2与S3的关系;(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③),探究S1+S2与S3的关系.图①图②图③5.如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an=___ _____记正方形AB-CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n(n为正整数),那么S n=____ ____.6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为.ABCDEFG1FE DAB CA B C D EG F F 三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F. (1)求证:△FAC 是等腰三角形;(2)若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=,求BF 的长.4、如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。
勾股定理的应用的例子
勾股定理的应用的例子：
一、圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个矩形，圆柱上两点之间最短距离的求法，是把圆柱展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为构造直角三角形，利用勾股定理求解.
二、长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离长方体每个面都是平面图形，所以计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同平面上的两点之间的距离，就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一平面内，即把四棱柱设法展开成一个平面图形，再构造直角三角形利用勾股定理解决，正方体的展开图从哪一面上展开都一样，而长方体的展开图一定要注意打开哪一个侧面，并且向上、下与向左、右展开会出现长度不的路线，应通过尝试从几条路线中选一条符合要求的.
三、折叠问题关于折叠问题的解题步骤：(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算)；(2)选择或构造直角三角形，这个直角三角形一般一边已知，另两边可通过重叠图形找到数量关系，从而利用勾股定理列方程求解.。
用勾股定理解决问题
用勾股定理解决问题勾股定理是数学中一个重要的定理，可以解决许多与直角三角形相关的问题。
它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边的平方和。
在本文中，我们将探讨如何运用勾股定理来解决一些实际问题。
问题一：计算斜边的长度假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4。
我们可以利用勾股定理来计算斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的平方等于3的平方加上4的平方，即斜边的平方等于9加上16，得到斜边的平方等于25。
因此，斜边的长度为5。
问题二：判断三条边是否能够构成直角三角形给定三条边的长度，如何确定它们是否能够构成直角三角形？我们可以运用勾股定理来解决这个问题。
假设三条边的长度分别为a、b和c，其中c是最长的边。
如果a的平方加上b的平方等于c的平方，则这三条边可以构成直角三角形；如果不等于，则无法构成直角三角形。
通过这个方法，我们可以快速判断任意三条边是否构成直角三角形。
问题三：求解未知边的长度有时候，我们已知一个直角三角形的两条边的长度，但需要求解另一条边的长度。
这时，我们可以利用勾股定理求解未知边的长度。
假设已知一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，且我们希望求解斜边的长度c。
根据勾股定理，c的平方等于a的平方加上b的平方。
通过对这个方程进行求解，我们就可以得到未知边的长度。
问题四：应用于几何图形的计算除了直角三角形，勾股定理在几何图形的计算中也有广泛的应用。
例如，我们可以利用勾股定理来计算矩形的对角线长度。
假设矩形的长为a，宽为b，我们可以利用勾股定理求解对角线的长度。
结论勾股定理是一项在数学和几何学中广泛应用的定理。
通过运用这一定理，我们可以解决许多关于直角三角形的问题，如计算斜边的长度、判断三条边是否能够构成直角三角形、求解未知边的长度，以及应用于几何图形的计算。
勾股定理为我们提供了一种便捷而准确的方法，可以解决许多实际问题。
因此，熟练掌握和应用勾股定理对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
应用勾股定理解实际问题
应用勾股定理解实际问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。
在实际生活中，勾股定理可以应用于多种场景，解决实际问题。
本文将探讨勾股定理在几个具体问题中的应用。
1. 应用一：测量直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是用来测量直角三角形的边长。
在我们日常生活中，经常会遇到需要测量一些不易直接测量的距离，比如高楼的高度、河流的宽度等等。
这时，我们可以利用勾股定理来求解。
假设我们需要测量一栋建筑物的高度，可以选择一个合适的地方A 站立，从眼睛位置向上仰望，然后测量自己与建筑物底部的距离为a。
接着，我们移动到地点B，使得站立在地点B时看到建筑物顶部，测量自己与建筑物底部的距离为b。
此时，我们可以利用勾股定理计算出建筑物的高度c，即c²=a²+b²。
2. 应用二：求解物体之间的距离在很多实际问题中，我们需要求解两个物体之间的距离。
例如，在导航软件中，我们需要确定两个地点之间的最短路径。
这时，我们可以应用勾股定理帮助我们计算出两个地点的距离。
假设有两个地点A和B，我们知道A点的横坐标为x₁，纵坐标为y₁，B点的横坐标为x₂，纵坐标为y₂。
我们可以通过计算AB两点间的距离来获得最短路径。
根据勾股定理，AB的距离可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
3. 应用三：解决投影问题另一个常见的应用领域是求解投影问题。
在日常生活中，我们经常需要计算物体的投影长度，比如阳光下建筑物的影子长度、物体在倾斜地面上的投影长度等等。
勾股定理可以帮助我们解决这些问题。
假设有一个倾斜的平面，上面有一个物体A。
物体A的高度为h，离倾斜平面的水平距离为d。
我们可以利用勾股定理来计算物体A在倾斜平面上的投影长度l。
根据勾股定理，我们可以得到l=√(d²+h²)。
4. 应用四：解决角度问题勾股定理还可以应用于求解角度问题。
在导航、航海等领域中，经常需要精确测量物体的角度。
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专题四勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
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1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min 到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°2．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．3．如图，东西走向的A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？考点五其它问题【方法点拨】根据相关的实际问题构造直角三角形，运用勾股定理求解。
1．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元2．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发．现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．3．如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是m．4．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.7）5．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C 点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．7．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．9．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：√2=1.41，√3=1.73）．专题四勾股定理的实际问题考点一树折断问题【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
1．如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．A．15 B．20 C．3√7D．24【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．【解析】解：因为AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC=√92+122=15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m【思路点拨】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．【解析】解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．3．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【思路点拨】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解析】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB＝x，AB+AC＝16，∴AC＝16﹣x．在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝16﹣x，BC＝8，∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，解得：x＝6．故旗杆在离底部6米的位置断裂．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．考点二梯子滑落问题【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的，一般利用“两次勾股定理”求线段的长。
1．如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？【思路点拨】在RT△ABC中，根据勾股定理得：AC＝8米，由于梯子的长度不变，在RT△CDE中，根据勾股定理，求出CE，从而得出答案．【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝10米，BC＝6米，故AC=√AB2−BC2=√102−62=8（米），在Rt△ECD中，AB＝DE＝10米，CD＝（6+2）＝8米，故EC=√DE2−CD2=6（米），故AE＝AC﹣CE＝8﹣6＝2（米）．答：梯子顶端A下落了2米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．2．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【思路点拨】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC＝AE+CE即可求得CE的长度，在直角三角形DEC中，已知AB＝DE，CE即可求得CD的长度，根据BD＝CD﹣CB即可求得BD的长度．【解析】解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，则AC=√2．52−0．72=2.4m，∵AC＝AE+CE∴CE＝2m，∵在直角△DEC中，AB＝DE，且DE为斜边，∴CD=√DE2−CE2=1.5m，∴BD＝CD﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移动了0.8m．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CD的长度是解题的关键．3．如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m．（1）求梯子的顶端到地面的距离；（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？【思路点拨】（1）直接利用勾股定理求出梯子的顶端到地面的距离；（2）直接利用勾股定理求出梯子顶端向下滑动的距离．【解析】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∵AB＝7.5m，BC＝4.5m，∴AC=√AB2−BC2=6（m），答：梯子的顶端到地面的距离为6m；（2）如图，∵BF＝1.5m，∴CF＝6m，∴EC=√EF2−FC2=4.5（m），∴AE＝1.5，答：梯子顶端向下滑1.5米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．考点三台风问题【方法点拨】运用点到直线的距离最短，可判断是否受台风的影响。