上海市2019年1月春季高考数学试卷(解析版)
2019届上海市1月春季高考数学试题(解析版)
2019届上海市1月春季高考数学试题一、单选题1．下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.2．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.3．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【答案】B【解析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】A【解析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.二、填空题5．已知集合，，则_________________【答案】【解析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.6．计算________【答案】2【解析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.7．不等式的解集为______【答案】【解析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.8．函数的反函数为___________【答案】【解析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.9．设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．10．已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.11．在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.12．在中，，且，则____________【答案】【解析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.13．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.14．如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.15．在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.16．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.三、解答题17．如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18．已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19．已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20．已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
2019年1月春季上海市高考数学试题卷及答案解析
2、计算 lim
n
____
3、不等式 x 1 5 的解集为______ 4、函数 f x x 2 x 0 的反函数为___________ 5、设 i 为虚数单位， 3 z i 6 5i ，则 z 的值为__________
）
A、直线
B、圆
C、椭圆
D、双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17、如图，在正三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2, AB BC AC 3 （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bn T bn ， T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值.
解析卷
2019 年上海市春考数学试题卷
2019.01 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1、已知集合 A 1, 2,3, 4,5 ， B 3,5, 6 ，则 A B _________________ 答案： 3,5
11、在椭圆
12、已知集合 A t , t 1 t 4, t 9 ， 0 A ，存在正数 ，使得对任意 a A ，都有 是____________ 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、下列函数中，值域为 0, 的是（
A、两两垂直
16 、 以 a1 , 0 , a2 , 0 为 圆 心 的 两 圆 均 过 1, 0 ， 与 y 轴 正 半 轴 分 别 交 于 y1 , 0 , y2 , 0 ， 且 满 足
2019年上海普通高等学校春季招生考试数学试卷
2019年上海普通高等学校春季招生考试数学试卷
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
数学试卷
一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否那么一律得零分.
二、选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，否那么一律得零分.
三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.
19.(此题总分值12分)此题共有两个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.
20.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分.
21.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
22.(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.
23.(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.。
上海市2019年1月春季高考数学试卷(含参考答案)
2019年上海春考试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________________【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算________【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.4.函数的反函数为___________【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6.已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在中，，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19.已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
上海春季高考数学试卷答案真题解析.doc
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稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。
（二）统一文化考试1。
统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。
语文、数学每科目总分150分。
外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。
统一文化考试成绩总分为450分。
根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。
其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。
2。
统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。
统一文化考试均在标准化考场进行。
3。
统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。
市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。
考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。
（三）志愿填报1。
考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。
其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。
2019年上海市春季高考数学试卷及答案
2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________.2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 3.不等式15x +<的解集为________.4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.5.设i 为虚数单位，365z i i --=+，则z 的值为______.6.已知二元线性方程组22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数a =_________. 7.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为________. 8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =______. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数值表示）10.如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数23y x =的图像交AB 于点Q ，函数12y x -=的图像交BC 交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.11.已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ⋅≤，则1F P与2F Q 的夹角范围为________.12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+⋃++∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）【A 】2xy =【B 】12y x =【C 】tan y x =【D 】cos y x =14.已知,a b R ∈，则“22a b >”是“a b >”的（ ）【A 】充分非必要条件【B 】必要非充分条件【C 】充要条件【D 】既非充分又非必要条件15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ）【A 】直线【B 】圆【C 】椭圆【D 】双曲线三、解答题（本大题满分76分）17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三棱锥P ABC -中，侧棱长为2，底面边长为3，M N 、分别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 和AC 所成角的大小；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围.19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.（1）计算A B 、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数() 6.44200.1136357876.60531tf t e -=+，研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.已知抛物线24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于点Q ，定义()PFd P FQ=. （1）若点P 的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得()2d P PF a =+成立；（3）设123,,P P P 为抛物线准线l 上三点，且1223PP P P =，试比较()()13d P d P +与()22d P 的大小.若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.（1）设120,3a d π==，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值.。
2019年上海市春季高考数学试卷 word版 含参考答案及解析
2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ．4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在61()x x+的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y+=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【思路分析】利用交集定义直接求解．【解析】：集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．【归纳与总结】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【思路分析】对2223141n n n n -+-+的分子、分母同除以2n ，再求极限即可．【解析】：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【归纳与总结】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法．3．不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【思路分析】根据|()|(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<可解得． 【解析】：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()(0)f x x x -=> ．【思路分析】由2(0)y x x =>解得(0)x y y =>，再交换x 与y 的位置即得反函数． 【解析】：由2(0)y x x =>解得x y =，1()(0)f x x x -∴=>故答案为1f - ()(0)x x x =>【归纳与总结】本题考查了反函数，属基础题． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【思路分析】把已知等式变形求得z 再由||||z z =，结合复数模的计算公式求解． 【解析】：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+， 22||||2222z z ∴==+=2【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【思路分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 【解析】：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-．【归纳与总结】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．7．在61()x x +的展开式中，常数项等于 15 ．【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为0得常数项． 【解析】：61()x x+展开式的通项为36216r rr T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．【归纳与总结】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = 10 ．【思路分析】利用正弦定理可得2BC =，利用余弦定理即可得出结论． 【解析】：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：10AB =．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【思路分析】根据分步计数原理即可求出．【解析】：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．【归纳与总结】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 3 ．【思路分析】由已知可得P ，Q坐标，进而可得||||AQ CP +=得答案．【解析】：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，11||||23AQ CP a+=，当且仅当a =【归纳与总结】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【思路分析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，结合121F P F P ，22142x y +=可得：2[1y ∈，2]，进而可得1F P 与2F Q 的夹角θ满足：1212cos F P F QF P F Qθ=的范围，最后得到答案．【解析】：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y-，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P ，2221x y ∴-+， 结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π 故答案为：1[arccos 3π-，]π【归纳与总结】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ． 【思路分析】0t >时，当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，(1)(4)t t λ=++，从而(9)(1)(4)t t t t +=++，解得1t =；当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t a λ，即(1)t t λ=+，当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，(4)(9)t t λ=++，从而(1)(4)(9)t t t t +=++，解得3t =-．当90t +<时，无解．【解析】：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =【思路分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解析】：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y x =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．【归纳与总结】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【思路分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【思路分析】利用面面垂直的性质．画图判定 【解析】：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【归纳与总结】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【思路分析】根据点点的距离公式可得21112y a =-，22212y a =-，根据对数的运算性质即可得到121y y =，可得12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，即可求出点的轨迹． 【解析】：因为221111|1|r a a y =-=+，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ． 【归纳与总结】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【思路分析】（1）由已知可得//MN PC ，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案；（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．【解析】：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，可得22233cos 24223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯，AC ∴与MN 的夹角为3arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．22213PO ∴=-=．∴1133333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．【归纳与总结】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【思路分析】（1）求出公差即可求n S ；（2）由lim n n S →∞存在得11q -<<且0q ≠，由lim 12n n S →∞<得34q <，取交集可得公比q 的取值范围．【解析】：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．【归纳与总结】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【思路分析】（1）根据表格数据得出结论；（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t 的范围，从而得出答案．【解析】：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >， ∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【归纳与总结】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【思路分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF 的斜率和方程，解得Q 的坐标，由两点的距离公式可得所求值；（2）求得(1,0)P -，可得2a =，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2()||d P PF -，化简整理即可得证；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，计算1322[()()]4()d P d p d P +-，结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．【解析】：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+ 2122m m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d PPF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||dP d p d PPF P F P F+-=+-==， 由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b，再根据周期性求解； （2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案； （3）分别令1T =，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T 的可能取值． 【解析】：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin 10S π=，1，sin}10π-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3． 当1k =时，33{}S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。
2019年1月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析
∴反函数为：y = x，x > 0 【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.
6
2019 年 1 月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析 5.设 i 为虚数单位，3z − i = 6 + 5i，则z的值为__________ 【答案】2 2 【解析】 【分析】 把已知等式变形得z，再由z = z，结合复数模的计算公式求解即可． 【详解】由 3z − i = 6 + 5i，得 3z = 6 + 6i，即z = 2 + 2i ∴z=z= 本题正确结果：2 2 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 2x + 2y =− 1 6.已知 ，当方程有无穷多解时，a 的值为_____________. 4x + a2 y = a 【答案】− 2 【解析】 【分析】 由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解 又 4x + a2 y = a 2= −1
4
2019 年 1 月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析 【解析卷】
2019 年 1 月春学期上海市高考模拟 数学试卷
一.填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1.已知集合 A = 1,2,3,4,5，B = 3,5,6，则 A ∩ B =_________________ 【答案】3,5 【解析】 【分析】 根据交集的定义，直接求解即可. 【详解】∵ A = 1,2,3,4,5，B = 3,5,6 ∴ A ∩ B = 3,5 本题正确结果：3,5 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题. 2.计算 lim
a2 2 a =2
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，即
设
，则
本题正确选项：
为直线
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，
从而转化为轨迹方程.
三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17.如图，在正三棱锥
中，
（1）若 的中点为 ， 的中点为 ，求 与 的夹角；
（2）求
4.函数
的反函数为___________
【答案】
【解析】
【分析】
求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.
【详解】当 时， ，即
又
反函数为：
，
【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.
5.设 为虚数单位，
，则 的值为__________
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形得 ，再由
，结合复数模的计算公式求解即可．
【详解】由
，得
，即
本题正确结果： 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
6.已知 【答案】
，当方程有无穷多解时， 的值为_____________.
【解析】
【分析】
由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.
时，
；当 ，解得
时，
，即
，则
当
时， 当
，则
；当
即当 时，
；当
时， ，即
即当 所以
时，
；当 ，解得
时，
，即
，则
当
时，同理可得，无解
本题正确结果： 或
【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过 的不同取值范围，
得到 与 所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于 的等量关系，从而构造出关于 的方程； 难点在于能够准确地对 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.
的体积.
【答案】（1） 【解析】
；（2）
【分析】
（1）由中位线可知
，从而所求夹角即为 ，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到
的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高
，再根据棱锥体积公式求得结果.
【详解】（1） 分别为 中点，可知：
与 夹角即为 与 夹角
在 中，由余弦定理可得：
即 与 的夹角为 （2）作 面 ，连接 ，如下图所示：
与抛物线联立后得到 ，代入
，整理得到结果；（3）由
可知 为 中点，
假设三点坐标，代入
，将式子整理为 和 的形式，然后通过平方运算可得到
，从而得到结论：
.
【详解】由题意可知： ，准线方程为：
（1）因为 联立方程
则 （2）当
时，易得
设
， ，直线
联立
，
，则
由对称性可知
亦成立
综上所述，存在 ，使得
（3）由
，可
得正确结果.
【详解】设
，且 与 均不重合
假设：
，由 可得： ，
又
，可知 ，
又
，可得：
因为 两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面
若 与 或 重合，同理可得 与 相交或异面
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线
，即
，
,不符合条件；
当 时，因为
对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有
，即
， 不是整数，故不符合条件；
，即 ，即
当 时，因为
对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有
或
若
，即
， 不是整数，
若
，即
故 不符合条件；
， 不是整数，
综上：
【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量
三棱锥为正三棱锥 为 的中心且落在 上
【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于 能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.
18.已知数列 ， ，前 项和为 .
（1）若 为等差数列，且
，求 ；
（2）若 为等比数列，且
，求公比 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；
【解析】
【分析】
（1）通过 ，求解出 ，通过求和公式得到 ；（2）根据
得到不等式
，解不等式得到结果.
【详解】（1）由
且
可得
（2）由题意可知
且 ，从而
则
且
或
又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的
范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等式得到结果.
值时的条件
，求解得到结果.
【详解】依题意得：
，
则
，利用基本不等式得到最值，从而得到取最
当且仅当
即
本题正确结果：
时取等号，故
【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于 的基本不等式的形式，从而
利用取等条件得到结果.
11.在椭圆 ____________
上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有
12.已知集合 ____________
， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的值是
【答案】1 或 【解析】 【分析】
根据 所处的不同范围，得到
和
得到 与 的等量关系，从而构造出方程，求得 的值.
时， 所处的范围；再利用集合 的上下限，
【详解】当 时，当
，则
；当
即当 时，
；当
时， ，即
即当 所以
二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13.下列函数中，值域为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【详解】 选项： 值域为
，错误
选项： 选项：
值域为
，正确
值域为 ，错误
选项：
值域为 ，错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.
19.已知抛物线方程
为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义：
.
（1）当
时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得
（3）
为抛物线准线上三点，且
； ，判断
与
的关系.
【答案】（1） ；（2）2；（3）见解析 【解析】
【分析】 （1）求解出 点坐标，然后得到 和
，从而求得
；（2）通过假设 点坐标得到直线 方程，
与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.
16.以
为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于
，且满足
，则
点
的轨迹是（ ）
A. 直线
B. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到
C. 椭圆 和
D. 双曲线
；根据
整理出
，从而得到点的轨迹. 【详解】因为
同理： 又因为
，所以
则
8.在 中， 【答案】
，且
，则
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出 ，再利用余弦定理求出 .
____________
【详解】由正弦定理可知：
，又
由余弦定理可知：
本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.
9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参 加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 【答案】24 【解析】 【分析】 首先安排甲，可知连续 天的情况共有 种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在 天里，连续 天的情况，一共有 种
剩下的 人全排列：
故一共有：
种
【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，
然后再考虑普通元素.
10.如图，已知正方形 ，其中 最小时，则 的值为_______
，函数
交 于点 ，函数
交 于点 ，当
【答案】 【解析】 【分析】 通过函数解析式得到 两点坐标，从而表示出
2019 年上海春考试卷
一.填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1.已知集合
，
，则
_________________
【答案】
【解析】 【分析】
根据交集的定义，直接求解即可.
【详解】
，
本题正确结果： 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.
，数列 满足
，集合
.
（1）若
，求集合 ；
（2）若
，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：
， 是不超过 7 的正整数，求 的所有可能的值.
【答案】（1） 【解析】 【分析】
；（2）
或 ；（3）
（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列 周期为 ，从而得到 ；（2） 恰好有两个元素，可知
关系，从而得到 的取值，再根据集合 的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件