天津市耀华中学高三数学二模考试试卷 理(含解析)
天津市耀华中学高三模拟(理)
天津市耀华中学高三数学模拟试卷（理科）一、本卷共8题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．1．（5分）复数﹣=（）解：﹣﹣=﹣=i+i=2i，则m+n=n=3．（5分）（2007•海南）如果执行程序框图，那么输出的S=（）××4．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，．．D）个单位后为=，所以有=2k，即≥，6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若．．y=的斜率为﹣，设，x=，））把中点坐标代入双曲线方程=7．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），．．D=）进行坐标变换得出）），得=即（）y==，的最大值为．8．（5分）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上；9．（5分）（2011•山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．∴每个个体被抽到的概率是=×10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．AC=AB==2BD===ADB=，得ADB==×××××=30+630+611．（5分）如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长4．，，12．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为．（=0的方程为ρ+，的圆．d==．13．（5分）已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x﹣y的最大值是．）=，≥，当且仅当≤，即，，∴﹣＜，则最大值为故答案为：．14．（5分）函数f（x）=，若直线y=kx﹣1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是（0，1）．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+）（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；（II）若f（θ）=，求的值．“T=≠（）得，）得，综上得，函数的周期是{x|单调增区间是（（Ⅱ）式子=①，，∴（，）﹣]=得，，代入上式①得，=，代入上式①得，=216．（13分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．（=，，=，=×+1×+2×+3×=（17．（13分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C1C=CA=CB=2，点D为棱CC1的中点，点E在棱B1C1上运动．（I）求证A1C⊥AE；（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，求；（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A1DB？并求出EF的长度．可证，只需证明=0的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，可知与平面||=，因为所以，即==，即，取==，设=，即，取=，得||=所以；，且=，且，所以所以||=的长度为，此时点18．（13分）已知数列{a n}满足：（I）求a2，a3；（II）设，求证：数列{b n}是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）求数列{a n}前20项中所有奇数项的和．）利用等比数列的定义证出+1=﹣，且===﹣++90+（（18+﹣=﹣19．（14分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．，且的斜率为的方程为，切线斜率，所以椭圆方程为，由此能求出椭圆方程．的斜率为的方程为，又点，即点，切线斜率，由所以椭圆方程为，且过，∴，椭圆方程为．20．（14分）（2013•济南二模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．先将原来的恒成立问题转化为时，时，成立．不妨令，得由题设）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，即时，方程﹣，综上所述，．时，时，不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣累加可得。
天津市耀华中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷及答案
第二次模拟考 高三年级数学答案 第1页 共6页天津市耀华中学2023届高三年级第二次模拟考数学答案二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） 10． 1− 11． 8012．20x y −+=16.（本题14分）解：(Ⅰ)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=． 所以cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+−⋅⋅⋅∠258255=+−⨯⨯25=． 所以5BC =．(Ⅱ)因为90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==． 221cos 212sin 25=−=αα，sin 22sin cos 25==ααα. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭ααα＝2150−.第二次模拟考 高三年级数学答案 第2页 共6页17. （本题15分）(Ⅰ)连接OC ，因为，所以四边形为平行四边形，所以,所以 ,以分别为轴建立空间直角坐标系,则，1(1,2CE =−，平面PAB的一个法向量1(01)=−n 10CE ⋅=n ，1CE ⊥n ，又CE ⊄平面PAB ，所以CE ∥平面PAB(Ⅱ)，设，则，因为点在棱上，所以PM PC λ→→= ，[0,1]∈λ即所以，所以 平面的法向量为2(001)=，，n 因为直线与底面所成角为4π， 所以222|cos ,sin 4||||BMBM BM ⋅π<>==n n n 解得，所以122BM →⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，， 设平面的法向量为3()x y z =，，n ，则330,0,AB BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,22x x y z =⎧⎪⎨−++=⎪⎩ AO BCOABC //AB OC OC AD ⊥,,OC OD OP ,,x yz (0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C −−(1,0,PC =(,,)M x yz (,,PM x y z =MPC(,,(1,0,x y z λ=()M λ()BM λ=−ABCD BMABCD |||2||||(BM n BM n λ⋅>===12λ=−MAB第二次模拟考 高三年级数学答案 第3页 共6页令，则3(01)2=n ，-所以232323|cos ,|||5⋅<>==n n n n |n n 所以平面MAB 与平面ABD 夹角的余弦值(Ⅲ) (0,2,0)AD =，点D 到平面MAB的距离33||.||5AD d ⋅==n n 18. （本题15分） 解：（Ⅰ）由题意可知2c =2b =c =b =，所以2228a b c =+=，所以E 的方程22182x y +=； （Ⅱ）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为y kx m =+，(0)k ≠． 联立22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8480k x kmx m +++−=． 因为直线1l 与E 相切，所以△222(8)4(14)(48)0km k m =−+−=．即2282m k =+．1l 在x 轴，y 轴上的截距分别是m k−，m ．则||10810AB ====+=． 当且仅当2228k k =，即2k =±，m =，由椭圆的对称性，不妨取00k ,m >>此时28214M km xk =−=−+ 即M x =，从而M y = 1z =5第二次模拟考 高三年级数学答案 第4页 共6页联立22182y x x y ⎧−=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y，得29160x ++=，则M N N x x x +=−=N x =所以8|||3M N MN x x =−=． 故ABC ∆的面积为1823⨯⨯=．19. （本题15分）（Ⅰ）由121n n b b ,+=−得()1121n n b b ,+−=−所以{}1n b −是以2为首项，2为公比的等比数列，21n n b =+ .（Ⅱ）n a n,= ()12n n n S ,+= ()()21121n S n n +=++ ，()21n S n n =+ ，2112n n n n S b S b ++⋅−⋅()()()()()112121121n n n n n n +=+++−++()()1210n n n =+++> ，得证.（Ⅲ）当n 为奇数时，()()22221111422n n c ,n n n n ⎡⎤+==−⎢⎥++⎢⎥⎣⎦13521n c c c c −++++=()()22222111111143352n-121n ⎡⎤−+−++−⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ ()2111421n ⎡⎤=−⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ 14< 当n 为偶数时，22212n n n n n c =<+ 2462n c c c c ++++<242484222n n +++ =01112444n n −+++第二次模拟考 高三年级数学答案 第5页 共6页设n Q = 01112444n n −+++ 14n Q =1211214444n n n n −−++++，得n Q =116341169949n n −+⎛⎫−< ⎪⎝⎭ 所以2462n c c c c ++++<1629< 所以21124n k k c =<+∑94.= 20. （本题16分）第二次模拟考高三年级数学答案第6页共6页。
天津市耀华中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题
x2 a2
y2 b2
1a
b 0 ，其离心率 e
1 2
，F1 、F2 在 x 轴上）， △PF1F2 周长为 6.过椭圆右焦点 F2 的直线 l
与椭圆交于 A、B 两点. (1)求椭圆的标准方程；
(2)求 AB 的范围. (3)O 为坐标原点， OAB 面积为 12 5 ，求直线 l 的方程.
则 sin
a,
b
（
）
试卷第 1页，共 4页
A． 2 2 3
B．
1 3
C． 15 4
D． 1 4
7．若三棱锥 P ABC 中，已知 PA 底面 ABC ，BAC 120 ， PA AB AC 2 ，若
该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．10 3π
B．18π
C． 20π
(3)在（2）的条件下，证明：
x1
x2
2 a 1
．
试卷第 4页，共 4页
C． f x ex ex cos πx 2
D． f x ex ex sin πx 2
5．已知等比数列an 的前 3 项和为168, a2 a5 42 ，则 a4 （ ）
A．14
B．12
C．6
D．3
6．已知平面向量
a
，b
满足
a
3
2
，
b
1，并且当
4 时，
a
b
取得最小值，
D． 9 3π
8．设函数
f (x) sin(x ) 0,| |
π 2
,
f
5 12
π
0,f
2 3
π
1，且 f (x) 在
π 3
天津市和平区耀华中学2021届高三数学二模试题(含解析).doc
天津市和平区耀华中学2021届高三数学二模试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,2,3,4,{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B ⋂=（ ）A. {1}B. {4}C. {1,3}D. {1,4}【答案】D 【解析】因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.2.已知ln x π=，2log 2y =，12z e -=，则（ ） A. x y z <<B. z x y <<C. z y x <<D.y z x <<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断,,x y z 与0的关系，即可得出答案. 【详解】ln ln 1x e π=>=，1x ∴>；2log 21y ==；1021,1-=<=∴<z ee z ；z y x ∴<<；故选：C.【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，比较大小等基本知识与技能，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.3.已知双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（ ） A.73B.143C.52D.53【答案】B 【解析】 【分析】由于双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径，由此可得答案.【详解】解：由22197x y -=得229,7a b ==，所以3,a b ==，因为双曲线22197x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，所以该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度就等于双曲线的通径22143b a =， 故选：B【点睛】此题考查双曲线和抛物线，考查双曲线的通径，属于基础题.4.在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A.10B.5【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5.已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A. a α⊥，b β//，αβ⊥B. a α⊥，b β⊥，//αβC. a α⊂，b β⊥，//αβD. a α⊂，b β//，αβ⊥【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误； 在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确； 在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误． 故选：C【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目． 6.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A. 512个 B. 192个 C. 240个 D. 108个【答案】D 【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ． 考点：排列组合．7.函数()21cos 22sin 6f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是（ ） A. ()f x 是最小正周期为π的偶函数 B. ()f x 的一条对称轴是3x π=C. ()f x 的最大值为2D. 将2y x =的图象向左平移6π个长度单位得到()f x 的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式得()f x )3x π=+，根据66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭说明A 不正确，根据3f π⎛⎫≠⎪⎝⎭说明B 不正确，根据()f x 说明C 不正确，根据三角函数的平移变换的结论说明D 正确.【详解】因为()21cos 22sin 6f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 23x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cossin 2sin33x x x ππ=++3cos 2sin 222x x =+)3x π=+，对于A ，因为326632f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20663f πππ⎛⎫⎛⎫≠-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是偶函数，故A 不正确；对于B ，因为20333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≠，所以B 不正确；对于C ，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤C 不正确；对于D ，将2y x =的图象向左平移6π个长度单位得到3sin 26y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =的图象.故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式，考查了三角函数的奇偶性、对称轴、最值，考查了三角函数的平移变换，属于基础题.8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．9.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. ()1,2,04⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦B. ()10,2,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)12,0,4⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦D. [)1,20,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】转化为()y f x =与函数y x m =-的图象恰有三个交点，再利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，所以方程()f x x m =-恰有三个实根，所以()y f x =与函数y x m =-的图象恰有三个交点， 作出函数()y f x =的图象，如图：当直线y x m =-与1(0)y x x =<-相切时，1x m x-=-，即210x mx -+=只有一个根，所以240m ∆=-=，得2m =-或2m =（舍去），此时两个函数的图象有2个交点， 当直线y x m =-与22y x x =-相切时，22x m x x -=-，即20x x m --=只有一个实根，所以140m ∆=+=，得14m =-，此时两个函数的图象有2各交点， 当直线y x m =-经过原点时，0m =，此时两个函数的图象有3个交点， 观察图象可知，104m -<≤或2m <-. 故选：A.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了数形结合思想，考查了函数图象的应用，属于中档题. 二、填空题10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.11.281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答） 【答案】56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =， 所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-．【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体.如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为2，则这个半正多面体的体积为______.【答案】462【解析】 【分析】设原正四面体为A BCD -，可知其棱长为6，再求出BC ，BG ，BF 的长度，在Rt BFA 中，求出正四面体的高AF ，根据锥体体积公式求出原正四面体为A BCD -的体积1V ；同理可求出从原几何体中割去的其中一个小正四面体的体积2V ，再根据124V V -，即可求出这个半正多面体的体积.【详解】设原正四面体为A BCD -，如下图所示：由题意可知，正四面体的棱长6BC =，设F 为底面BCD 的中心，G 是边CD 中点，则正四面体A BCD -的高AF ，则3233,233BG BF BG ====所以在Rt BFA 中，()222262326AF AB BF =-=-=，所以原正四面体为A BCD -的体积为21113=626=18233BCDV S AF =⨯⨯⨯⨯⨯； 设从原几何体中割去的其中一个小正四面体为P MNK -，如下图所示：则小正四面体的棱长2PM =，设O 为底面BCD 的中心，T 是边NK 中点，则小正四面体P MNK -的高PO ，则32233,3MT MN MO MT ====所以在Rt PMO △中，22222326233PO PM MO ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以小正四面体为P MNK -的体积为221132622=2333MNTV S MO =⨯⨯； 所以从原几何体中割去四个小正四面体体积为2824V =， 所以这个半正多面体的体积为12824624182V V -==. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查多面体的外接球的体积求法，属于中档题.13.求圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的标准方程． 【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 试题解析： ∵()351222AB K -+==--，AB 中点()2235,0,422---⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴AB 中垂线()420y x +=--，整理得240y x ++=，联立240230y x x y ++=⎧⎨--=⎩，解出1x =-，2y =-， ∴圆心为()1,2--，=()()221210x y +++=． 14.梯形ABCD 中，//AB CD ，4AB =，3AD =，2CD =，6AB AD ⋅=，若M 为线段AD 上的一点，则AC BM ⋅的最大值为______. 【答案】2- 【解析】 【分析】由于6AB AD ⋅=，4AB =，3AD =且,AB AD 不共线，所以将,AB AD 作为基底，由M 为线段AD 上的一点，可设(01)AM t AD t =≤≤，然后把向量AC BM ，分别用基底表示出来，化简可求得其最大值【详解】解：由M 为线段AD 上的一点，设(01)AM t AD t =≤≤， 因为//AB CD ，4AB =，2CD =，所以12DC AB =， 所以12AC AD DC AD AB =+=+,因为BM AM AB t AD AB =-=-， 所以1()()2AC BM AD AB t AD AB ⋅=+⋅- 221122t AD AD AB t AD AB AB =-⋅+⋅-,9638t t =-+- 1214t =-，因为01t ≤≤，所以AC BM ⋅的最大值为2-， 故答案为：2-【点睛】此题考平面向量基本定理的应用，正确的选择基底是解此题的关键，属于中档题. 15.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为______________【答案】1 【解析】因为1b a >>，所以log 1a b > ；因为3log 6log 11a b b a +=，所以623log 11,log 3log ()log 3a a a ab b b b +===或舍 ，即3b a =因此321a b +-22111111b b b b =+=-++≥=--当且仅当1b = 时取等号三、解答题16.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标，将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.4x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.（1）为了更好的了解和帮助该村的这些贫困户，决定用分层抽样的方法从这100户中随机抽取20户进行更深入的调查，求应该抽取“绝对贫困户”的户数；（2）从这20户中任取3户，求“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率；（3）现在从（1）中所抽取的“绝对贫困户”中任取3户，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X . 【答案】（1）6户，（2）23114，（3）分布列见解析，()32E X =.【解析】 【分析】（1）根据频数=样本容量×频率，可得结果； （2）根据古典概型的概率公式可得结果；（3）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，根据古典概型概率公式求出X 的各个取值的概率可得分布列，根据数学期望公式可得数学期望的值.【详解】（1）由直方图可知，“绝对贫困户”的频率为()0.250.50.750.20.3++⨯=， 所以应该抽取“绝对贫困户”的户数为200.36⨯=户.（2）这20户中，“绝对贫困户”的户数为6户，“相对贫困户”的户数为14户，所以“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率为3021614614320C C C C C ⋅+⋅230311401142==. （3）从（1）中所抽取的“绝对贫困户”中，“亟待帮助户”的户数为3户， 所以X 的所有可能的取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为：()E X 1991012320202020=⨯+⨯+⨯+⨯=32. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.17.数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且523a a =，72147S a =+，数列{}n b 前n 项和为n T ，且满足323n n b T =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R ，求n R .【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）1121112323n n nn R --=--⋅ 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式求出1,a d ，利用递推关系323n n b T =+可得数列{}n b 为等比数列，再代入通项公式，即可得到答案；（2）由（1）得1(21)3n nn a n b =-⋅，再利用错位相减法求和，即可得到答案； 【详解】（1）111111143(),0,1,7610, 2.714()7,2a d a d a d a a d d a d a d +=+⎧-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅-+==⋅+=++⎩⎩⎪⎩∴21n a n =-；323n nb T=+，11323n nb T--=+，两式相减得：13(2)nnbnb-=≥，1113233bb b=+⇒=，∴1333n nnb-=⋅=；（2）由（1）得1(21)3nnnanb=-⋅，∴12111(211)(221)(21)333nnnR⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=+，∴231111(211)(2211)(21)3333nnnR+⋅=⋅-⋅+⋅-⋅++-⋅，两式相减得：212311122(21)33313n n nR n+⋅++-⋅=+⋅-，∴21211(1)1332(21)1313313nn nR n+-⋅⋅=+---，∴1121112323n n nnR--=--⋅.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC⊥，2,1AD DC AP AB====，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE DC⊥；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BF AC⊥，求二面角F AB P--的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）310．【解析】 【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=． ∴BE CD ⊥． （2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-，设()1,,n x y z =为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩， 不妨令1z =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量． 于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉===⨯⨯，∴直线BE 与平面PBD 3（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--==，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=--， 由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设1(,,)n x y z =为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =-为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n =，则121212310cos ,10n n n n n n ⋅===-⋅．易知，二面角F AB P --是锐角，∴其余弦值为310． 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点、右顶点分别为F ，A ，过原点的直线与椭圆C 交于点P 、Q （点P 在第一象限内），连结PA ，QF ．若2AF =，OAP △的面积是OFQ 面积的3倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知M 为线段PA 的中点，连结QA ，QM ． ①求证：Q ，F ，M 三点共线；②记直线QP ，QM ，QA 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若13252k k k +=，求PQM 的面积． 【答案】（1）22198x y （2）①见解析②4【解析】 【分析】(1)根据2AF =可得2a c -=,又OAP △的面积是OFQ 面积的3倍,所以3a c =,再联立求解基本量即可.(2) 设()00,P x y ,再表示出QF k ,FM k 关于()00,P x y 的表达式,化简证明QF FM k k =即可.(3)由 13252k k k +=可得01x =,代入椭圆可得8(1,)3P ,进而求出183423PQMPOA SS==⨯⨯= 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为2AF =,所以2a c -=. 设()00,P x y ,则OAP △的面积为012ay . 过原点的直线与椭圆C 交于点P ,Q , 所以()00,Q x y --, 故OFQ 的面积为012cy . 因为OAP △的面积是OFQ 面积的3倍, 所以3ac =,解得3a =,1c =,b =所以椭圆C 的标准方程为22198x y .（2）①因为()00,P x y ,所以003(,)22x y M +. 因为()00,Q x y --,所以00000()1()1QF y yk x x --==--+,000023112FMy y k x x ==++-,故Q ,F ,M 三点共线. ②因为010y k x =,0201y k x =+,0303y k x =+,且13252k k k +=, 所以0000005321y y y x x x +=⋅++ 化简得200560x x +-=, 解得01x =或06x =-（舍去）,代入22198x y 中,得20649y =因为点P 在第一象限内,所以083y =,故8(1,)3P . 因为M 为线段PA 的中点,所以12PQM PQAS S =.因为O 为线段PQ 的中点, 所以12POAPQA SS =,故183423PQMPOA SS==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了椭圆中利用坐标法解决三点共线以及斜率的问题,需要根据题意设点的坐标,再表达出斜率与面积公式等.属于中档题. 20.已知函数ln ()x f x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P(1，(1)f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【答案】（1）10x y --=；（2）ln 2ln 525t -<≤-；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出P （1，0），x ＞0，()21'lnxf x x-=，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f （x ）在点P （1，f （1））处的切线方程． （2）求出()21'lnxf x x -=，x ＞0，则f′（x ）=0，得x=e ，列表讨论能求出实数t 的取值范围．（3）h （x ）=x 2﹣2x+4lnx ，从而（x 1+x 2）2﹣2（x 1+x 2）﹣4lnx 1x 2，令t=x 1x 2，()t ϕ=t 2+2t ﹣4lnt ，（t ＞0），…（11分）则()'t ϕ=2t+2﹣4t =()()12t t t-+，由此利用导数性质能证明x 1+x 2≥3．【详解】（1）()ln xf x x=，()10f =，所以P 点坐标为()1,0； 又()21ln 'xf x x -=，()'11f =，则切线方程为01y x -=-， 所以函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程为10x y --=． （2）()21ln '(0)xf x x x-=> x正 0 负单调增 极大值 单调减由()()20fx tf x +>， 得()()0f x f x t ⎡⎤+>⎣⎦；0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又()ln333f =，()()ln2242f f ==，()ln555f =因为()f x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减；所以()()54f t f ≤-<， 即ln5ln252t ≤-<，即ln2ln525t -<≤-； 所以实数t 的取值范围为ln2ln525t -<≤-． （3）()224ln h x x x x =-+， 因为()()2212120h x h x x x +-=，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=，即()()2221212121212224ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，()224ln (0)t t t t t ϕ=+->，则()()()212422(0)t t t t t t tϕ-++-'==>， 当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数()224ln (0)t t t t t ϕ=+->在()0,1上单调递减； 当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数()224ln (0)t t t t t ϕ=+->在()1,+∞上单调递增．所以函数()224ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足()()2212120h x h x x x +-=，所以()()2121223x x x x +-+≥，即()()21212230x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +≤-． 因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是优质资料\word可编辑难题．- 21 - / 21- 21 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2023学年天津市耀华中学高三下学期二模数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市耀华中学高三下学期二模数学试题的。
1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知下列命题：命题：“，”的否定是：“，”；抛物线的焦点坐标为；已知，则是的必要不充分条件；在中，是的充要条件．其中真命题的个数为个( )A. 1 B. 2C. 3D. 43.函数的部分图象大致为( )A.B.C.D.4.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度单位：小时，并按，分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.已知，，，则a，b，c的大小关系为.( )A. B. C. D.6.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为( )A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，双曲线C 过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线C 的标准方程为( )A. B.C. 或D.8.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象对于下列四种说法，正确的是函数的图象关于点成中心对称函数在上有8个极值点函数在区间上的最大值为，最小值为函数在区间上单调递增A.B.C.D.9.已知函数，若函数在内恰有5个零点，则a 的取值范围是( )A. B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i 为虚数单位，则复数__________.11.若直线被圆截得线段的长为，则实数m 的值为__________.12.某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为__________用数字作答13.已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为__________.14.如图，在中，，D为AB中点，P为CD上一点，且满足，的面积为，则__________；的最小值为__________.15.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则__________；__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
天津市耀华中学高三数学第二次校模拟 理 新人教B版
数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一-选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．复数11212i i +-+-的虚部是( )． A ．15i B ． 15 C ．15i - D ． 15- 2．下列有关命题的叙述，错误的个数为( ).①已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“670a a +>”是“93S S ≥”的充要条件 ②命题“存在实数x ，使x>l ”的否定是“对任意实数x ，使x<1”③命题“若2430x x -+=，则x=l 或x=3”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠3，则2430x x -+≠ ④若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．A ．1B ．2C ． 3D ．43．由曲线y x =，宜线2y x =-及轴所围成的图形的面积为 ( )A ．103B ．4C ． 5D ． 1634．设二项式5(0)x a x ⎛-> ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A 常数项为B ，若B =4A ，则a 的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6,则输出s 的值为( )．A ．105 B. 16C ．15D ．16．在△ABC 中，设2,3a c b A C π+=-=，则sinB 的值为( )A ．12B ． 1C ．3D ． 39 7．在平行四边形ABCD 中，,2AE EB CF FB ==，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数λ与μ的乘积为( )．A ．14B ．38C ． 34D ． 438．已知点P 为抛物线24y x =上的一个动点，点Q 为圆22(4)1x y +-=上的一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( ).A．172- B ．171- C ．171+ D ． 52+第1I 卷（非选择题 共l10分）二，填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上9．对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是____________、____________．10．已知直线PA 切O 于点A ，PBM 是O 的一条割线，如图所示有P BAC ∠=∠,若47,9,5PA BM BC ===,则AB=________________.11．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.12．已知数列{}n a 满足1111,()10n n n n a a a a a n N *++=-=∈，则2n n na +的最小值为________. 13．若关于x 的不等式22x x a -≥-至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是_________.14．函数()f x 在R 上既是奇函数又是减函数，且当(0,)2πθ∈时，(cos 22sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，则实数m 的取值范围是__________.三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知向量1(sin ,1),3cos ,2m x n x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数2()2f x m m n =+⋅- (I)求()f x 的最大值，并求取得最大值时相应的x 的取值集合( II)已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，()1f B =，求11tan tan A C +的值 16．（本小题满分13分）一个袋子中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，若取至一个白球得2分，取到一个黑球得3分，(I)若无放回地依次抽取3个小球，求得分不少于7分的概率．(II)若从袋子中有放回地依次取出3只球，求总得分ξ的概率分布列及期望E ξ．17．（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//,90,3,1,2,3AD BC ABC PA PB BC AB AD ∠======,O 是AB 中点。
天津市耀华中学届高三数学二模考试试卷理(含解析)【含答案】
天津市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则?的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．。
天津市耀华中学2023届高三二模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，2. 已知为双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与交于两点．若，则的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．3.甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（ ）A．B．C．D．4.已知向量，则向量与（ ）A ．互相平行B．夹角为C．夹角为D ．互相垂直5.函数的部分图象是（ ）A． B．C． D．6. 某市为推进“垃圾分类”这项工作的实施，开展了“垃圾分类进校园”的活动.现对该市某学校高二年级示范班级学生进行考核，从该班男生､女生中各随机选出5名进行考核打分，满分为100分，评分后得到这10人得分的茎叶图如图所示，则选出的男生､女生得分的方差分别为（）A ．8；6B ．6；8C ．64；36D ．36；647. 对实数a 与b，定义新运算：设函数若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A．B．C．D．8. 已知函数，过点的直线与曲线相切，现有如下三条直线：①；②；③.则上述直线中与直线垂直的直线条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3天津市耀华中学2023届高三二模数学试题(2)天津市耀华中学2023届高三二模数学试题(2)三、填空题四、解答题9. 为备战2023年我国杭州举行的亚运会，某国乒乓球队加紧训练进行备战.该国乒乓球队主教练在训练课上，安排甲、乙两名男单主力队员与陪练进行对抗性训练，训练方法如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打两局，两人获胜局数和为3或4时，则认为这轮训练合格，若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，每局之间相互独立，且.记甲、乙在轮训练中合格轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数可能为（ ）A ．24B ．26C ．27D ．2810.下列函数中，以为最小正周期的函数有（ ）A．B．C．D．11. 已知，，，下列叙述正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，则C ．若，则D．12. 在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学校组织了“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程，书画作品比赛.如图①，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为；如图②，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，则下列结论正确的是（）A ．直线与平面所成的角为B ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为C ．异面直线与所成的角的余弦值为D ．球离球托底面的最小距离为13. 若复数满足（其中是虚数单位），则为______．14. 已知平面向量与的夹角为，且，则____.15. 若钝角满足，则_______.16.在等腰直角三角形中，斜边，现将绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥.(1)求这个圆锥的表面积；(2)若在这个圆锥中有一个圆柱，且圆柱的一个底面在圆锥的底面上，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积.17.已知函数．（1）求在区间上的值域；（2）若，且，求的值．18. 已知F 是抛物线的焦点，点P 在抛物线上，线段PF 的长度比点P到直线的距离少1.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点F作不与x轴重合的直线l，设l与圆相交于A，B两点，与抛物线相交于C，D两点，已知，当且时，求的面积的取值范围.19. 如图，直三棱柱中，为正三角形，分别是棱上的点，且．(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到定直线的距离比为,记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设过点的直线与相交两点，当的面积为时，求.21. 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．年份代码123456中国夜间经济的市场发展规模万亿元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：3.36673.28217.25 1.16 2.83其中．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．。
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天津市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．天津市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y 化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( ) A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△P AB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（m ax（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( ) A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcosθ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。