高考数学复习考知识解析与专题练习19---导数与函数的单调性

A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1,1)
答案 A
2 2(x＋1)(x－1)
解析 ∵f′(x)＝2x－x＝
x
(x>0)，
∴当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f (x)为减函数；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)为增函数． 2．函数 f (x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
答案 (0,2] a2
解析 由 y′＝1－x2≥0，得 x≤－a 或 x≥a. a2
∴y＝x＋ x 的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又 a>0，∴0<a≤2. 7．已知函数 f (x)＝x2(x－a)．
(1)若 f (x)在(2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是________________；
本例中，若 f (x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a 的取值范围． 解 因为 f (x)在[1,4]上存在单调递减区间， 则 f′(x)<0 在[1,4]上有解，
1 / 22
2.如图是函数 y＝f (x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f (x)是增函数
B．在区间(1,3)上 f (x)是减函数
C．在区间(4,5)上 f (x)是增函数
D．在区间(3,5)上 f (x)是增函数
答案 C
解析 在(4,5)上 f′(x)>0 恒成立，∴f (x)是增函数．
函数单调性的应用
命题点 1 比较大小或解不等式
例 2 (1)已知函数 f (x)＝xsin x，x∈R，则 f 5π，f (1)，f －π3的大小关系为(
)
A．f －π3>f (1)>f 5π
B．f (1)>f －3π>f π5
C．f 5π>f (1)>f －π3
D．f －π3>f 5π>f (1)
2a 解得 x1＝0，x2＝－ 3 . 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f′(x)>0， x∈－23a，0时，f′(x)<0，
7 / 22
所以函数 f (x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增，在－23a，0上单调递减； 当 a<0 时，x∈(－∞，0)∪－23a，＋∞时，f′(x)>0，x∈0，－23a时，f′(x)<0， 所以函数 f (x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上单调递增，在0，－23a上单调递减． 综上，当 a＝0 时，f (x)在 R 上单调递增；当 a>0 时，f (x)在－∞，－23a，(0，＋∞) 上单调递增，在－23a，0上单调递减；当 a<0 时，f (x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上 单调递增，在0，－23a上单调递减．
减．由 0<ln 2<e<3，可得 g(3)<g(e)<g(ln 2)，即 c<a<b，故选 D.
命题点 2 根据函数单调性求参数 例 3 已知函数 f (x)＝ln x－12ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，求 a 的取值范围．
1 解 因为 f (x)在[1,4]上单调递减，所以当 x∈[1,4]时，f′(x)＝x－ax－2≤0 恒成立，即
3 / 22
2a 若 f (x)在(2,3)上单调递增，则有 3 ≤2，解得 a≤3， 所以若 f (x)在(2,3)上单调，实数 a 的取值范围是(－∞，3]∪92，＋∞.
(2)若 f (x)在(2,3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，
9 可得 3<a<2.
不含参函数的单调性 1．函数 f (x)＝x2－2ln x 的单调递减区间是( )
______________________． 答案 －π，－π2和0，π2
解析 f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令 f′(x)＝xcos x>0， 则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，2π，
即 f (x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.
思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f (x)的定义域． (2)求 f′(x)． (3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3．函数 f (x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
D．减函数
答案 D
解析 因为在(0，π)上恒有 f′(x)＝－sin x－1<0.
所以 f (x)在(0，π)上是减函数，故选 D. 4．函数 f (x)＝ex－x 的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
(2)若 f (x)在(2,3)上不单调，则实数 a 的取值范围是________． 答案 (1)(－∞，3]∪92，＋∞ (2)3，92 解析 由 f (x)＝x3－ax2，得 f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－23a.
2a (1)令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝ 3 ，
2a
9
若 f (x)在(2,3)上单调递减，则有 3 ≥3，解得 a≥2；
2 / 22
答案 －4 解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且 f (x)的单调减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0 的解
集为[－1,4]，
∴－1,4 是方程 f′(x)＝0 的两根，
则 a＝(－1)×4＝－4. a2
6．若 y＝x＋ x (a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围是________．
答案 A
解析 因为 f (x)＝xsin x，所以 f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，所以函数 f (x)是偶 函数，所以 f －3π＝f π3.又当 x∈0，π2时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数 f (x)在
8 / 22
0，π2上是增函数，所以 f 5π<f (1)<f 3π，即 f －π3>f (1)>f 5π，故选 A.
∴x∈0，1a和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈1a，1时，f′(x)<0，
∴函数 f (x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减．
综上，当 0<a<1 时，函数 f (x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f (x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减．
12 a≥x2－x恒成立．
12 设 G(x)＝x2－x，x∈[1,4]， 所以 a≥G(x)max，而 G(x)＝1x－12－1，
9 / 22
因为 x∈[1,4]，所以1x∈14，1， 7
所以 G(x)max＝－16(此时 x＝4)， 7
所以 a≥－16，又因为 a≠0， 所以 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞)．
(2)已知定义域为 R 的偶函数 f (x)的导函数为 f′(x)，当 x<0 时，xf′(x)－f (x)<0.若 a＝
f (e) f (ln 2) f (3) e ，b＝ ln 2 ，c＝ 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b
答案 D
高考数学复习考知识解析与专题练习
导数与函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 函数 y＝f (x)在区间(a，b)上可
导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f (x)在(a，b)内单调递增 f (x)在(a，b)内单调递减 f (x)在(a，b)内是常数函数
概念方法微思考 “f (x)在区间(a，b)上是增函数，则 f′(x)>0 在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是： 可 导 函 数 f (x) 在 (a ， b) 上 是 增 ( 减 ) 函 数 的 充 要 条 件 是 对 ∀x∈(a ， b) ， 都 有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数 f (x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f (x)在此区间内没有单调性．( √ ) (2)如果函数 f (x)在某个区间内恒有 f′(x)≥0，则 f (x)在此区间内单调递增．( × ) (3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f (x)在(a，b)内是减函数．( √ ) 题组二 教材改编
6 / 22
若将本例中参数 a 的范围改为 a∈R，其他条件不变，试讨论 f (x)的单调性？ 解 a>0 时，讨论同上； 当 a≤0 时，ax－1<0， ∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数 f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当 a≤0 时，函数 f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当 0<a<1 时，函数 f (x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减； 当 a＝1 时，函数 f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f (x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减． 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的 间断点． 跟踪训练 1 (2020·重庆一中模拟)已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论 f (x)的 单调性． 解 f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，