2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆习题课件文

9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭 圆顶点向内层椭圆引切线 AC，BD，设内层椭圆方程为ax22＋ by22＝1(a>b>0)，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为－14，则椭圆 的离心率为( )
1
2
33
A.2 B. 2 C. 2 D.4
解析
设
外
层
椭
圆
方
程
为
x2 ma2
＋
y2 mb2
＝
1(a>b>0
，
m>1)，则切线 AC 的方程为 y＝k1(x－ma)，切线 BD 的方程
为 y＝k2x＋mb，则由yb＝xk21＋x－aym2a＝，a2b2， 消去 y，得(b2＋
a2k21)x2－2ma3k21x＋m2a4k21－a2b2＝0. 因为 Δ＝(2ma3k21)2－4(b2＋a2k21)(m2a4k21－a2b2)＝0，整理，
a42＋b22＝1， 1－ba2＝ 222，
间的最大距离为 dmax＋
3＝7
3
3 .
12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的 右焦点为 F(1,0)，点 F 关于直线 y＝12x 的对称点在椭圆 C 上， 则椭圆 C 的方程为__5_9x_2_＋__5_4y_2＝__1___．
解析 设 F(1,0)关于直线 y＝12x 的对称点为(x，y)，则
2ac24＋c22＝c2，化为ac22＝14，所以 e＝ac＝12.故选 C.
6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球 中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面 m 千米，远地点 距地面 n 千米，地球半径为 r 千米，则该飞船运行轨道的短 轴长为( )
A．2 m＋rn＋r千米 B. m＋rn＋r千米 C．2mn 千米 D．mn 千米
所以 k21·k22＝ba44.因为 k1k2＝－14，所以ba22＝14，e2＝ac22＝
a2－a2 b2＝34，所以 e＝ 23，故选 C.
10．(2018·永康市模拟)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)和 圆 x2＋y2＝b2，若椭圆 C 上存在点 P，使得过点 P 引圆 O 的
5 5 <e<1.
14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点，直线 y＝b2与椭圆交于
6 B，C 两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是____3____．
解析 F(c,0)，
由已知条件易得
B －
23a，b2
，
65 B. 5
85 C. 5
45 D. 5
解析 设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知△FMN 的周长为 L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2 5－|ME|)＋(2 5 －|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0， 当直线 MN 过点 E 时取等号，所以 L＝4 5＋|MN|－|ME|－ |NE|≤4 5，即直线 x＝a 过椭圆的右焦点 E 时，△FMN 的 周长最大，此时 S△FMN＝12×|MN|×|EF|＝12×2×54×2＝8 5 5， 故选 C.
两条切线，切点分别为 A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆的
离心率 e 的取值范围是( )
A．0<e≤
3 2
B.12≤e<1
3 C. 2 <e<1
D. 23≤e<1
解析 由椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)焦点在 x 轴上， 连接 OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B 四点共圆， ∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°， 在直角三角形 OAP 中，∠AOP＝60°， ∴cos∠AOP＝|ObP|＝12，∴|OP|＝b1＝2b，
解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为 一个焦点的椭圆，
设长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c， 则近地点 A 距地心为 a－c，远地点 B 距地心为 a＋c. ∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r， ∴a＝m＋2 n＋r，c＝n－2 m.
又∵b2＝a2－c2＝m＋2 n＋r2－n－2 m2＝mn＋(m＋n)r＋ r2＝(m＋r)(n＋r)．
C
23a，b2 ，
∴B→F＝c＋
23a，－b2，C→F＝c－
23a，－b2，
由∠BFC＝90°，可得B→F·C→F＝0，
所以c－
23ac＋
23a＋－b22＝0，
c2－34a2＋14b2＝0，
即 4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即 3c2＝2a2，
所以ac22＝23，则
e＝ac＝
6 3.
∴|PF2|＝ba2＝53.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝133，∴||PPFF21||＝53×133＝153，故选 B.
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx －ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )
2．(2017·湖北荆门一模)已知 θ 是△ABC 的一个内角，
且 sinθ＋cosθ＝34，则方程 x2sinθ－y2cosθ＝1 表示(
)
A．焦点在 x 轴上的双曲线
B．焦点在 y 轴上的双曲线
C．焦点在 x 轴上的椭圆
D．焦点在 y 轴上的椭圆
解析
因
为
(sinθ
＋
cosθ)2
＝
1
＋
2sinθcosθ
课后作业夯关 8．5 椭圆
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数 m 是 2 和 8 的等
比中项，则圆锥曲线 x2＋ym2＝1 的焦点坐标为(
)
A．(± 3，0)
B．(0，± 3)
C．(± 3，0)或(± 5，0) D．(0，± 3)或(± 5，0)
解析 因为正数 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m2＝16， 则 m＝4，所以圆锥曲线 x2＋ym2＝1 即为椭圆 x2＋y42＝1，易 知其焦点坐标为(0，± 3)，故选 B.
3．(2018·湖北八校联考)设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两
个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则||PPFF21|| 的值为( )
5
5
A.14
B.13
4
5
C.9
D.9
解析 由题意知 a＝3，b＝ 5，c＝2.设线段 PF1 的中点 为 M，则有 OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，
2 ∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2， 由 a2＝b2＋c2，即 4(a2－c2)≤a2，
∴3a2≤4c2，即ac22≥34， ∴e≥ 23，又 0<e<1， ∴ 23≤e<1， ∴椭圆 C 的离心率的取值范围是 23≤e<1.故选 D.
二、填空题 11．(2017·湖南东部六校联考)设 P，Q 分别是圆 x2＋(y －1)2＝3 和椭圆x42＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大
B级 三、解答题 15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率为 22，且椭圆经过圆 C：x2＋y2－4x ＋2 2y＝0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方 程．
解 (1)圆 C 方程化为(x－2)2＋(y＋ 2)2＝6， 圆心 C(2，－ 2)，半径 r＝ 6. 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则
3 A. 2
1 B.2
C. 3－1
2 D. 2
解析 连接 AF1， ∵F1F2 是圆 O 的直径，∴∠F1AF2＝90°， 即 F1A⊥AF2， 又∵△F2AB 是等边三角形，F1F2⊥AB， ∴∠AF2F1＝12∠AF2B＝30°， 因此，在 Rt△F1AF2 中，|F1F2|＝2c， |F1A|＝12|F1F2|＝c，|F2A|＝ 23|F1F2|＝ 3c.
55
13．(2018·江西五市联考)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，A， B 为椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点
Ma5，0，则椭圆的离心率 e 的取值范围是___5_5_，__1_ __．
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，
x1－a52＋y21＝x2－a52＋y22， 则ax122＋by212＝1，
36.故
5．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)与双曲线mx22－ny22＝1(m>0，
n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a，m 的等比中项，
n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率为( )
3 A. 2
1 C.2
2 B. 2
1 D.4
解析
因
为
椭
圆ax22
73 距离是____3____．
解析 依据圆的性质可知，P，Q 两点间的最大距离可
以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径
3，设 Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d＝
x2＋y－12 ＝ －3y2－2y＋5 ＝ －3y＋132＋136 ， ∵ － 1≤y≤1，∴当 y＝－13时，d 取最大值433，所以 P，Q 两点
得 k21＝ba22·m21－1.
由 yb＝xk22＋x＋amyb2＝，a2b2，