十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学

专题01 集合

1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4

A.{x|-4

B.{x|-4

C.{x|-2

D.{x|2

【答案】C

【解析】由题意得N={x|-2

2.(2019?全国1?文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?U A=( )

A.{1,6}

B.{1,7}

C.{6,7}

D.{1,6,7}

【答案】C

【解析】由已知得?U A={1,6,7},∴B∩?U A={6,7}.故选C.

3.(2019?全国2?理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )

A.(-∞,1)

B.(-2,1)

C.(-3,-1)

D.(3,+∞)

【答案】A

【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.

4.(2019?全国2?文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )

A.(-1,+∞)

B.(-∞,2)

C.(-1,2)

D.?

【答案】C

【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.

5.(2019?全国3?T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )

A.{-1,0,1}

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.

6.(2019?北京?文T1)已知集合A={x|-11},则A∪B=( )

A.(-1,1)

B.(1,2)

C.(-1,+∞)

D.(1,+∞)

【答案】C

【解析】∵A={x|-11},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.

7.(2019?天津?T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )

A.{2}

B.{2,3}

C.{-1,2,3}

D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.

8.(2019?浙江?T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(?U A)∩B=( )

A.{-1}

B.{0,1}

C.{-1,2,3}

D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【解析】?U A={-1,3},则(?U A)∩B={-1}.

9.(2018?全国1?理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?R A=( )

A.{x|-1

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

【答案】B

【解析】A={x|x<-1或x>2},所以?R A={x|-1≤x≤2}.

10.(2018?全国1?文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )

A.{0,2}

B.{1,2}

C.{0}

D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.

11.(2018?全国2?文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )

A.{3}

B.{5}

C.{3,5}

D.{1,2,3,4,5,7}

【答案】C

【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.

12.(2018?全国3?T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )

A.{0}

B.{1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.

13.(2018?北京?T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )

A.{0,1}

B.{-1,0,1}

C.{-2,0,1,2}

D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】∵A={x|-2

14.(2018?天津?理T1)设全集为R,集合A={x|0

A.{x|0

B.{x|0

C.{x|1≤x<2}

D.{x|0

【答案】B

【解析】?R B={x|x<1},A∩(?R B)={x|0

15.(2018?天津?文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )

A.{-1,1}

B.{0,1}

C.{-1,0,1}

D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.

16.(2018?浙江?T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?U A=( )

A.?

B.{1,3}

C.{2,4,5}

D.{1,2,3,4,5}

【答案】C

【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴?U A={2,4,5},故选C.

17.(2018?全国2?理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )

A.9

B.8

C.5

D.4

【答案】A

【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。

18.(2017?全国3?理T1,)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为

A.3

B.2

C.1

D.0

【答案】B

【解析】A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交,故A∩B中有2个元素.

19.(2017?全国1?理T1)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )

A.A∩B={x|x<0}

B.A∪B=R

C.A∪B={x|x>1}

D.A∩B=?

【答案】A

【解析】∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.

20.(2017?全国2?理T2)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )

A.{1,-3}

B.{1,0}

C.{1,3}

D.{1,5}

【答案】C

【解析】由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3}.

21.(2017?全国1?文T1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )

A.A ∩B={x |x <3

2} B.A ∩B=? C.A ∪B={x |x <3

2} D.A ∪B=R 【答案】A

【解析】∵A={x|x<2},B={x |x <3

2}, ∴A ∪B={x|x<2},A ∩B={x |x <3

2},故选A. 22.(2017?全国2?文T1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A ∪B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 【答案】A

【解析】因为A={1,2,3},B={2,3,4},所以A ∪B={1,2,3,4},故选A.

23.(2017?全国3?文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】由题意可得A ∩B={2,4},则A ∩B 中有2个元素.故选B.

24.(2017?天津?理T1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x ∈R|-1≤x ≤5} 【答案】B

【解析】∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x ∈R|-1≤x ≤5},∴(A ∪B )∩C={1,2,4}. 25.(2017?北京?理T1)若集合A={x|-23},则A ∩B=( ) A.{x|-2

【答案】A

【解析】A ∩B={x|-2

26.(2017?北京?文T1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=( ) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

【答案】C

【解析】因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x ≤2}.

27.(2016?全国1?理T1)设集合A={x|x 2

-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ) A.(-3,-3

2) B.(-3,3

2)

C.(1,3

2)

D.(32

,3)

【答案】D

【解析】A=(1,3),B=(32,+∞),所以A ∩B=(3

2,3),故选D.

28.(2016?全国2?理T2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z},则A ∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 【答案】C

【解析】由题意可知,B={x|-10},则S ∩T=( ) A.[2,3]

B.(-∞,2]∪[3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(0,2]∪[3,+∞) 【答案】D

【解析】S={x|x ≤2或x ≥3}.因为T={x|x>0},所以S ∩T={x|0

【解析】A ∩B={3,5},故选B.

31.(2016?全国2?文T1)已知集合A={1,2,3},B={x|x 2

<9},则A ∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 【答案】D

【解析】B={x|-3

32.(2016?全国3?文T1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则?A B=( ) A.{4,8} B.{0,2,6}

C.{0,2,6,10}

D.{0,2,4,6,8,10}

【答案】C

【解析】根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为?A B,即?A B={0,2,6,10},故选C.

33.(2016?四川?理T1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】C

【解析】由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C.

34.(2016?天津?理T1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( )

A.{1}

B.{4}

C.{1,3}

D.{1,4}

【答案】D

【解析】由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.

35.(2016?山东?理T2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-1,+∞)

D.(0,+∞)

【答案】C

【解析】A={y|y>0},B={x|-1-1},选C.

36.(2016?浙江?理T1)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?R Q)=( )

A.[2,3]

B.(-2,3]

C.[1,2)

D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

【答案】B

【解析】∵Q={x∈R|x≤-2,或x≥2},∴?R Q={x∈R|-2

37.(2015?全国2?理T1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )

A.{-1,0}

B.{0,1}

C.{-1,0,1}

D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】∵B={x|-2

38.(2015?全国1?文T1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

【答案】D

【解析】由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D.

39.(2015?全国2?文T1)已知集合A={x|-1

A.(-1,3)

B.(-1,0)

C.(0,2)

D.(2,3)

【答案】A

【解析】由题意,得A∪B={x|-1

40.(2015?陕西?文T1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )

A.[0,1]

B.(0,1]

C.[0,1)

D.(-∞,1]

【答案】A

【解析】∵M={0,1},N={x|0

41.(2015?重庆?理T1,)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )

A.A=B

B.A∩B=?

C.A?B

D.B?A

【答案】D

【解析】因为A={1,2,3},B={2,3},所以B?A.

42.(2014?全国1?理T1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )

A.[-2,-1]

B.[-1,2)

C.[-1,1]

D.[1,2)

【答案】A

【解析】由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.

43.(2014?全国2?理T1)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( )

A.{1}

B.{2}

C.{0,1}

D.{1,2}

【答案】D

【解析】∵N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={0,1,2}∩{x|1≤x≤2}={1,2}.故选D.

44.(2014?全国1?文T1)已知集合M={x|-1

A.(-2,1)

B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-2,3)

【答案】B

【解析】由已知得M∩N={x|-1

45.(2014?全国2?文T1)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( )

A.?

B.{2}

C.{0}

D.{-2}

【答案】B

【解析】易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.

46.(2014?辽宁?理T1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )

A.{x|x≥0}

B.{x|x≤1}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0

【答案】D

【解析】∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴?U(A∪B)={x|0

47.(2013?全国2?理T1)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=( )

A.{0,1,2}

B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,2,3}

D.{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】M={x|-1

48.(2013?全国1?文T1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( )

A.{1,4}

B.{2,3}

C.{9,16}

D.{1,2}

【答案】A

【解析】∵B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.

49.(2013?全国2?文T1)已知集合M={x|-3

A.{-2,-1,0,1}

B.{-3,-2,-1,0}

C.{-2,-1,0}

D.{-3,-2,-1}

【答案】C

【解析】由题意可得M∩N={-2,-1,0}.故选C.

50.(2013?上海?理T15)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为( )

A.(-∞,2)

B.(-∞,2]

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

【答案】B

【解析】当a>1时,集合A={x|x≤1或x≥a},由A∪B=R,可知a-1≤1,即a≤2.故1

当a=1时,集合A=R,显然A∪B=R.故a=1,满足题意.

当a<1时,集合A={x|x≥1或x≤a},由A∪B=R,可知a-1≤a显然成立,故a<1.

综上可知,a的取值范围是a≤2.故选B.

51.(2013?广东?理T8)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S

B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S

C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S

D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

【答案】B

【解析】由(x,y,z)∈S,不妨取x

要使(z,w,x)∈S,则w

当w

故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

当x

综上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

52.(2013?山东?理2,T5)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )

A.1

B.3

C.5

D.9

【答案】C

【解析】当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.

53.(2013?江西?文T2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )

A.4

B.2

C.0

D.0或4

【答案】A

【解析】当a=0时,显然不成立;当a≠0时,需Δ=a2-4a=0,得a=4.故选A.

54.(2013?全国1?理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|?√5

A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B?A

D.A?B

【答案】B

【解析】集合A={x|x<0或x>2},由图象可以看出A∪B=R,故选B.

55.(2012?课标全国?理T1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )

A.3

B.6

C.8

D.10

【答案】D

【解析】由x∈A,y∈A,x-y∈A,得(x,y)可取如

下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B中所含元素的个数为10.

56.(2012?大纲?理2)已知集合A={1,3,√m},B={1,m},A∪B=A,则m=()

A.0或√3

B.0或3

C.1或√3

D.1或3

【答案】B

【解析】∵A∪B=A,∴B?A,

∴m=3或m=√m.∴m=3或m=0或m=1.

当m=1时,与集合中元素的互异性不符,故选B.

57.(2012?全国?文1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1

A.A?B

B.B?A

C.A=B

D.A∩B=?

【答案】B

【解析】由题意可得A={x|-1

58.(2012?大纲全国?文T1,)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )

A.A?B

B.C?B

C.D?C

D.A?D

【答案】B

【解析】∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,∴C?B.

59.(2012?湖北?文T1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】D

【解析】A={1,2},B={1,2,3,4}.又∵A?C?B,∴C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故选D.

60.(2011?全国?文1)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )

A.2个

B.4个

C.6个

D.8个

【答案】B

【解析】P=M∩N={1,3},∴P的子集有22=4个.

61.(2011?辽宁?理T2)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?I M)=?,则M∪N=( )

A.M

B.N

C.I

D.?

【答案】A

【解析】作出满足条件的韦恩(Venn)图,易知M∪N=M.

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题01 集合

62.(2011?广东?理T8)设S是整数集Z的非空子集,如果?a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有abc∈T;?x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( )

A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的

B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的

C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的

【答案】A

【解析】令T=N,V=?Z N,则T对乘法封闭,而V对乘法不封闭排除D.

令T={-1,0,1},V=?Z T,则T,V都对乘法封闭,排除B,C.故选A.

63.(2011?福建?文T12)在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:

①2 011∈[1];

②-3∈[3];

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.

其中,正确结论的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】对于①:2 011=5×402+1,∴2 011∈[1].对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵任意一个整数z被5除,所得余数共分为五类,∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b 属于同一类,则a=5n1+k,b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-5n2-k=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故④正确.∴正确结论的个数是3.

64.(2011?福建?理T1)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( )

A.i∈S

B.i2∈S

C.i3∈S

D.2

i

∈S

【答案】B

【解析】∵i2=-1,而集合S={-1,0,1},∴i2∈S.

65.(2010?浙江?理T1)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( )

A.P?Q

B.Q?P

C.P??R Q

D.Q??R P

【答案】B

【解析】P={x|x<4},Q={x|-2

66.(2010?天津?理T9)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A?B,则实数a,b必满足( )

A.|a+b|≤3

B.|a+b|≥3

C.|a-b|≤3

D.|a-b|≥3

【答案】D

【解析】A={x|a-1b+2或x

67.(2010?全国?T1)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|√x≤4,x∈Z},则A∩B等于( )

A.(0,2)

B.[0,2]

C.{0,2}

D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】∵A={x|-2≤x≤2},B={0,1,2,3,…,16},

∴A∩B={0,1,2}.

68.(2018?江苏?T1)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= .

【答案】{1,8}

【解析】由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}.

69.(2017?江苏?T1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.

【答案】1

【解析】由已知得1∈B,2?B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.

70.(2013?湖南,文T15)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={a i

1,a i

2

,…,a i

k

},定义X的“特征数列”为

x1,x2,…,x100,其中x i

1=x i

2

=…=x i

k

=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0

(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于;

(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为.

【答案】(1)2 (2)17

【解析】(1){a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,∴前3项和为2.

(2)根据题意知,P的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,

则P={a1,a3,a5,…,a99}有50个元素,Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,…,

则Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}有34个元素,

=17个.

∴P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有1+97-1

6

71.(2013?江苏?T4)集合{-1,0,1}共有个子集.

【答案】8

【解析】由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.

72.(2012?天津?文T9,)集合A= {x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为.

【答案】-3

【解析】∵|x-2|≤5,∴-3≤x≤7,∴最小整数为-3.

73.(2018?北京?理T20)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记M(α,β)=1

[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].

2

(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;

(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;

(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.

【答案】(1)2 1 (2)4 (3)n+1

【解析】(1)M(α,α)=1

[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2;

2

[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.

M(α,β)=1

2

(x m+y m-|x m-y m|)=1;

(2)当x m,y m同为1时,1

2

(x m+y m-|x m-y m|)=0;

当x m,y m中只有一个1或者两个都是0时,1

2

当α,β相同时,?α=(x1,x2,x3,x4)∈B,M(α,α)=x1+x2+x3+x4为奇数,

则x k(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种:

形式1:(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1);

形式2:(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1);

当α,β不同时,M(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个;

形式1中的元素不能和形式2的三个元素同时共存;

形式2中的元素不能和形式1的三个元素同时共存;

如果B中元素全是形式1,当α,β不同时,M(α,β)=0满足条件;

如果B中元素全是形式2,当α,β不同时,M(α,β)=2满足条件.

所以B中元素至多为4个.

(3)B中元素个数最多为n+1,构造如下:

对于γk=(z k1,z k2,…,z kn)∈B(k=1,2,3,…,n),z kk=1,其他位置全为0;

γn+1=(0,0,0,…,0),可以验证M(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n+1)且i≠j,

下面证明:当B中元素个数大于等于n+2时,总存在α,β∈B,M(α,β)≠0.

设γk=(z k1,z k2,z k3,…,z kn)∈B,k=1,2,3,…,n+1,…,m(m≥n+2);

S k=z k1+z k2+…+z kn(k=1,2,3,…,n),可以得到:

S1+S2+…+S m≥0+1×n+2=n+2;

设C k=z1k+z2k+…+z mk(k=1,2,3,…,n),可以得到:

C1+C2+…+C n=S1+S2+…+S m≥n+2,所以存在C t≥2,t∈{1,2,3,…,n},

即存在α,β∈B(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1,即M(α,β)≥1≠0,矛盾. 所以,B中元素个数最多为n+1.

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