百题多解76

．⊙O 是△ABC 的外接圆，DH 是BC 边上垂直平分线交AB 于D ，交BC 于H ，过A 、C 两点作⊙O 的切线交于E 点，连结DE 交AC 于F 。

求证：
FC
AF
DB AD =。

证法一：连DC ，
∵AE 、EC 是⊙O 的切线。

∴∠1=∠B ，∠4=∠5，∠3=∠B ， ∴∠3+∠4=∠5+∠1， ∴A 、D 、C 、E 共圆。

∴∠2=∠5=∠4，∴DE ∥BC 。

即
FC
AF
DB AD =。

证法二：连OA 、OE ，
则∠BDH=90°－∠B ，∠AEO=90°－∠AOE ，
∠AOE=∠B( 2
1AC)， ∴∠BDH=∠AEO ，即A 、D 、O 、E 共圆。

∴∠ADE=∠AOE=∠B ，∴DE ∥BC 。

∴
FC
AF
DB AD =。

证法三：如证法二图，连OA 、OE ，
则∠BDH=90°－∠B ，∠AEO=180°－∠OAE －∠AOE ，
∠AOE=∠B( 2
1AC)，∠OAE=90°。

∴∠BDH=∠AEO ，即A 、D 、O 、E 共圆。

∴∠ODE=∠OAE=90°，即HD ⊥DE 。

又∵HD ⊥BC ，∴DE ∥BC ，即
FC
AF
DB AD =。

证法四：以O 为原点， DH 所在直线为y 轴建立 如图的直角坐标系， 令⊙O 的半径为R ，
A(x 1,y 1)、B(－b,a)、C(b,a)，
则a 2+b 2=x 12+y 12=R 2，BC ∥x 轴。

且AE l ：xx 1+yy 1=R 2,
CE l ： bx+ay=R 2
.
xx 1+yy 1=R 2 bx + ay =R 2. 又AB l ： ()b x b x a
y a y ++-=
-11 ①，令①中的x=0得：b
x by ax y D ++=111。

解 =m =m 得： (by
ax x R y E --=112 B
C A H
D E
O . F
H
O .
3
B
C
A H
D E
O .
F
1
2
4 5
又∵()()()()(
)()()()(
)()()
b x by ax b x b b a x a b x by ax b x b a b x by ax b x b x R y E +--+-=+--+=+-+-=11122
12222
1211122
122111112
()()()
b x by ax b a x b x a +---+=
1112
2
2
2
2
2
(
)
()()()()b x by ax y b x a b x by ax y b x a +--=+--+=1112
1
22
121112
122
12 ()()()()()()
b x by ax y b x a by ax b x by ax by ax y D +--=
-+-+=1112
1
22121111111 ∴y E =y D , ∴DE ∥BC ，即
FC
AF
DB AD =。

注：上面的各种证法均是当AB ＞AC 的情况，当AB ≤AC 时证法同上。