拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法介绍
拉格朗日乘数法在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
目录定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用展开定义设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。
求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即L＇x(x,y)=ƒ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=ƒ＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=0由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
用“拉格朗日乘数法”求极值求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值方法（步骤）是：1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-mg(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为S=2xz+2yz+xy这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧
（最新版）
目录
一、拉格朗日乘数法简介
二、拉格朗日乘数法的应用
三、解方程技巧
四、总结
正文
一、拉格朗日乘数法简介
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找多元函数的极值。
这种方法由数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，其核心思想是将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的极值问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束方程的梯度与目标函数的梯度结合起来，从而构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
求解拉格朗日函数的极值点，即可得到原问题的最优解。
二、拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法广泛应用于各种最优化问题，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
在实际问题中，我们通常需要解决带有约束条件的优化问题，例如在给定资源限制下最大化利润、在满足特定条件下最小化成本等。
这些问题可以借助拉格朗日乘数法来求解。
三、解方程技巧
在运用拉格朗日乘数法解方程时，我们需要遵循以下步骤：
1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件带入拉格朗日函数的定义式，得到拉格朗日函数。
2.求导：对拉格朗日函数分别对 x 和 y 求一阶偏导数，并令其等于零，得到方程组。
3.解方程组：求解方程组，得到极值点。
4.判断极值性：通过二阶导数检验或梯度检验，判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
5.应用极值点：将极值点代入原目标函数，得到最优解。
四、总结
拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以帮助我们在给定约束条件下解决最优化问题。
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理拉格朗日乘数法是一种优化问题的常用方法，它通过引入拉格朗日乘子来将原问题转化为一个更容易求解的问题。
这一方法在数学、经济学、物理学等领域都有着广泛的应用，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法的原理及其应用。
首先，我们来看一下拉格朗日乘数法的基本原理。
对于一个带有约束条件的优化问题，我们可以将其表达为如下形式：\[。
\max f(x)。
\]\[。
s.t. g(x) = 0。
\]其中，\(f(x)\)是我们要优化的目标函数，\(g(x) = 0\)是约束条件。
而拉格朗日乘数法的核心思想就是在目标函数前面引入一个拉格朗日乘子，构造出一个新的函数：\[。
L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)。
\]其中，\(\lambda\)就是我们引入的拉格朗日乘子。
通过构造这个新的函数，我们将原来的带约束优化问题转化为一个无约束优化问题。
接下来，我们只需要求解新函数的驻点，即满足 \(\nabla L(x, \lambda) = 0\) 的点，就可以得到原问题的最优解。
拉格朗日乘数法的原理看似简单，但其背后的数学原理却十分深刻。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将原来的带约束优化问题转化为一个无约束优化问题，从而大大简化了求解过程。
这一方法在实际应用中有着广泛的价值，下面我们将通过一个具体的例子来说明拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要求解如下的优化问题：\[。
\max f(x, y)。
\]\[。
s.t. g(x, y) = 0。
\]其中，目标函数 \(f(x, y)\) 和约束条件 \(g(x, y) = 0\) 可能是任意的函数。
我们可以通过引入拉格朗日乘子，构造出拉格朗日函数：\[。
L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)。
\]然后，我们求解拉格朗日函数的驻点，即求解方程组 \(\nabla L(x, y, \lambda) = 0\)，从而得到原优化问题的最优解。
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，它可以用来找到满足约束条件的最优解。
它的原理是基于拉格朗日原理，即一个函数的全局最小值可以通过极大极小原理找到。
拉格朗日乘数法以及它的变体是运筹学和数学分析中最重要的算法之一，用于求解最优化问题。
拉格朗日乘数法可以用于求解线性规划问题。
它被用于求解非线性问题，例如多种旅行者问题、背包问题和QAP问题，当这些问题被约束条件所约束时。
约束条件可以很灵活地表示，比如可能有等式约束、不等式约束、二进制约束或者其他类型的约束等，都可以被拉格朗日乘数法求解。
拉格朗日乘数法的主要步骤：1）对一个给定的极值优化问题，写出它的最优化目标函数，再加上一些约束条件；2）引入一个拉格朗日乘数，将目标函数和约束条件构成一个新的原始问题，即拉格朗日乘数主问题；3）利用拉格朗日乘数主问题来求解极值优化问题，从而得到极值优化问题的最优解。
拉格朗日乘数法是一种非常有用的数学优化方法，它可以用来求解线性、非线性最优化问题，并可以满足复杂的约束条件。
它的步骤清晰，值得信赖，可以用于许多应用场合，如运输问题、交叉销售问题等。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。
拉格朗日乘数法：求在约束条件
,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。
这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。
例．已知22
3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。
1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．
2.若正实数
的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________.
4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )
5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________
6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.
7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345a b c
-+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。
（若去掉条件a+b=1呢）
y x ，x y +。
不等式拉格朗日乘数法
不等式拉格朗日乘数法是在有约束条件的优化问题中，使用拉格朗日乘数法处理不等式约束的一种方法。
这种方法将原问题转化为一个带有等式约束的问题，然后使用拉格朗日乘数法求解。
不等式约束优化问题的形式：考虑一个优化问题：最大化/最小化 f(x,y,…)在约束条件下， g(x,y,…)≤0ℎ(x,y,…)=0其中，f(x,y,…)是目标函数，g(x,y,…)是不等式约束，ℎ(x,y,…)是等式约束。
不等式拉格朗日乘数法的步骤：1.建立拉格朗日函数：定义拉格朗日函数：L(x,y,…,λ)=f(x,y,…)+λg(x,y,…)其中，λ是拉格朗日乘数。
2.设置梯度为零：求解拉格朗日函数对变量x,y,…和乘数λ的偏导数，并令其等于零。
∇L=0这将得到一组方程，包括目标函数和约束条件的梯度。
3.考虑不等式约束：将不等式约束g(x,y,…)≤0的条件纳入考虑。
通常，通过 KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来处理，包括非负性条件和互补松弛条件。
4.求解方程系统：求解得到的方程系统，得到变量x,y,…和乘数λ的值。
5.检查解的合理性：检查解是否满足问题的约束条件和目标函数的最大化/最小化条件。
举例说明：考虑一个简单的优化问题：最小化 f(x,y)=x2+y2在约束条件下， g(x,y)=x+y−1≤01.建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y−1) 2.设置梯度为零：∇L=[2x+λ2y+λx+y−1]=[]3.考虑不等式约束：λ≥0, λ(x+y−1)=04.求解方程系统：通过求解上述方程系统，得到解x,y,λ。
5.检查解的合理性：检查解是否满足约束条件和目标函数最小化条件。
不等式拉格朗日乘数法是处理有不等式约束的优化问题的一种有效方法，通过引入拉格朗日乘数，将不等式约束的问题转化为等式约束的问题，然后通过拉格朗日函数对其进行求解。
拉格朗日乘数
拉格朗日乘数
拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）在数学最优问题中，是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
记得以前大学高数、数模等课程多次提到过，在求解最有问题中很有用处，最近重温了下拉格朗日乘数法的思想：
拉格朗日乘数法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
拉格朗日乘数法的基本思想
作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。
拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题？拉格朗日乘数法从数学意义入手，通过引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个方程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，这样就能根据求方程组的方法对其进行求解。
解决的问题模型为约束优化问题：
min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.即：min/max f(x,y,z)
s.t. g(x,y,z)=0。
拉格朗日乘数法
朗格朗日乘数法一、基本步骤：目标函数条件f 以及约束条件g ，1.构造拉格朗日函数：F f g λ=+⋅2.多元求导'0x F ='0y F =……3.联立求解：,,x y == 4.判断最值。
二、实例（以2020学军中学3月模拟第15题为例）（2020学军中学3月模拟15）已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=，则54xy x y ++的最小值为______．方法一、消元【详解】∵正实数,x y 满足2342xy x y ++=，∴42203x y x -=>+，0x >，解得021x <<． 则()4221654342342333133x xy x y x y x x x x -⎡⎤++=++=++=+++⎢⎥++⎣⎦33155≥⨯=，当且仅当1,10x y ==时取等号． ∴54xy x y ++的最小值为55．方法二、拉格朗日乘数法令()(),54,,2342f x y xy x y g x y xy x y =++=++-构造朗格朗日函数：()()(),,,,F x y f x y g x y λλ=+即：()(),,542342F x y xy x y xy x y λλ=+++++-求导：'52x F y y λλ=+++'43y F x x λλ=+++'2342F xy x y λ=++-解方程： '0'0'0x y F F F λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：()1,107x y x ==⎧⎪⎨=-⎪⎩舍 代入，得(),54=55f x y xy x y =++.三、拉格朗日乘数法原理：能够碰到极大极小值点的必要条件是： 梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间方向有分量，在流形上沿分量方向走，函数值会增加，沿反方向走，函数值会减少，不可能为局部极小或者极大值点。
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§4条件极值 一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m mk x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例1 由Vxyz =解出 xyV z =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xyV y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243VS =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有)(='+=x g f f dxdz y x .代入),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+.0 , 0yy x x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ 02=++=μλx yz L x ,2=++=μλy xz L y ,02=++=μλz xy L z ,得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222, （1）又 1222=++z y x ,（2） 0=++z y x , （3）由（1）得 )()(222x y y x -=-μλ ，)()(222y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y 故得z x =，代入（2）（3）式得 1222=+y x ,02=+y x .解得稳定点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61,61,62(4,3±± P ，)62,61,61(6,5 ±±P 也是稳定点. 四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例:例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是)()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ对L 求偏导数, 并令它们都等于0: ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ求上述方程组的解, 得3324,22VV z y x -====λ.依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为34V , 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值32)2(3V S =.例4抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 .例5 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rzyx .下的极小值 ; 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 .解 设拉格朗日函数为 +=xyz z y x L ),,,(λ ) 1111(rzyx-++λ.对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-++==-==-==-=.01111,0,0,0222r zyx L z xy Lz yxz L x yz L y x λλλλ由上述方程组的前三式, 易得μλ====x y zzyx111.从而函数L 的稳定点为r z y x 3===,4)3(r =λ.为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件1111rzyx=++看作隐函数),(y x z z =(满足隐函数定理条件), 并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数. 这样, 就可应用极值充分条件来做出判断. 为此计算如下:222222,11y z z xz zxz y x -=-=---=,332xyz xyz yz yz F xx x x xx =++=,xyzxzyzz xyzxz yzz F xyx yxy 3222+--=+++=, 332yxz F yy =.当r z y x 3===时,r F F r F xy yy xx 3,6===, 0279362222>=-=-rrr F F F xyyy xx .由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式)11110,0,0(33rzyxz y x rxyz =++>>>≥且.令c z b y a x ===,,, 则1)111(-++=cba r , 代入上不等式有31])111(3[-++≥cb a abc或 )0,0,0()111(331>>>≤++-c b a abcc ba.注 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.(2) 作拉格朗日函数∑=+=mk k km n f x x x L 12121),,,,,,,(ϕλλλλ , 其中i λ的个数即为条件组的个数.(3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令0,0=∂∂=∂∂jiL x L λ,),,2,1,,,2,1(m j n i ==求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.。