第九章第9课时知能演练轻松闯关

1．(2011·高考大纲全国卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望． 解：设A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.(2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布， 所以期望EX ＝100×0.2＝20.2．已知5只动物只有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即为没患病动物．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性，则表明患病动物是这3只中的1只，然后再逐个化验，直到确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验．(1)求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；(2)试比较两种方案，哪种方案化验次数的期望值较小． 解：(1)依方案乙化验2次化验出结果，有两种可能：①先化验3只，结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好1次验中，此时概率为C 24C 35×1C 13＝15.②先化验3只，结果为阴性，再从其他2只中任取1只化验(无论第2次验中没有，均在第2次结束)，则C 34C 35＝25.故依方案乙所需化验次数为2的概率为15＋25＝35.(2)设方案甲化验的次数为η，则P (η＝1)＝15，P (η＝2)＝45×14＝15，P (η＝3)＝45×34×13＝15，P (η＝4)＝45×34×23＝25，故Eη＝1×15＋2×15＋3×15＋4×25＝145.设方案乙化验的次数为ξ，则P (ξ＝2)＝35，P (ξ＝3)＝C 24C 35·C 12C 13＝25，故Eξ＝2×35＋3×25＝125.故Eη＞Eξ，即方案乙化验次数的期望值较小．一、选择题1．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不确定解析：选C.正态总体N (1,9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m ＝n .2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子 ，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 解析：选 B.记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1000,0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2Eξ＝200. 3．(2012·大同质检)设Y ＝2X ＋3，则Y 的均值是( A.73B ．4C ．－1D ．1解析：选A.由分布列性质有12＋13＋a ＝1，即a ＝16.EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，∴EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝3－23＝73.4．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．不能确定解析：选C.因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实根，故Δ＝16－4ξ＜0，∴ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，∴μ＝4.5．(2012·开封调研)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后尚余子弹的数目X 的期望值为( ) A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376 D ．2.4解析：选C.X∴EX ＝3×0.6＋2×0.24二、填空题6．若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.解析：Eξ＝p ＋1≤32(0≤p ≤12)；Dξ＝－p 2－p ＋1≤1.答案：32 17．(2011·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：538．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P (92＜X ≤140)＝P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞140)＝12(1－0.9974)＝0.0013，∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：13 三、解答题 9．(2011·高考江西卷)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．∴X 的分布列为(2)令Y 则Y 的所有可能取值为2100,2800,3500.则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280.所以此员工月工资的期望为2280元．10．(2011·高考陕西卷)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．解：(1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.用频率估计相应的概率可得 P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5. ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.∵P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2. (2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲，乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9.又由题意知，A ，B 独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04， P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为∴EX ＝0×0.04＋1×0.42＋211．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤20≤y ≤2确定的平面区域为U ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0y ≥0确定的平面区域为V .(1)定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 内的概率；(2)在区域U 内任取3个点(不一定为“整点”)，记此3个点在区域V 内的个数为X ，求X 的分布列以及数学期望EX .解：(1)如图，由题意，区域U 内共有15个整点，区域V 内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域V 内的概率为P (V )．则P (V )＝C 29·C 16C 315＝216455.(2)∵区域U 的面积为8，区域V 的面积为4，∴在区域U 内任取一点，该点在区域V 内的概率为48＝12.X 的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03(12)0(12)3＝18， P (X ＝1)＝C 13(12)1(12)2＝38， P (X ＝2)＝C 23(12)2(12)1＝38， P (X ＝3)＝C 33(12)3(12)0＝18. ∴X 的分布列为于是EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.。