华东理工大学2008-2009学年高数(上)期中考试11学分

华东理工大学2008–2009学年第一学期
《 高等数学(上)11学分》期中考试试卷 2008.10
开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟
考生姓名： 学号： 班级： 任课老师：
注意：试卷共3大张，6大题 一. (本题8分)
设⎩
⎨⎧+=-=21ln arctan t y t t x ，计算dx dy 和2
2
dx y d 。

二. (本题8分)
设函数⎩⎨⎧≥+<=0
),ln(;
0,)(x b ax x e x f x 处处可导，求正数b a ,。

三. (本题8分)
设)(x f 有二阶导数，且0)('≠x f ，)(y g x =与)(x f y =互为反函数，试用)(''),('x f x f 来表示)(''y g 。

四. (本题8分)
设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得
0arctan )(')1()(2
=++ξξξξf f 。

1、设)(x f y =和)(x g y =互为反函数，则函数))
(1)(1(x f x f g y +-=的反函数为 。

2、计算心形线θρcos 1-=在2
π
θ=对应点处的切线方程（直角坐标形式）为 。

3、设)(x y y =是由方程312e e e ye y x -=-+确定的隐函数，则==)
2,1(),(y x dx dy。

4、设b a ,为常数，且1)1(lim 2
=-+++∞
→x bx ax x ，则=+b a 。

5、设常数0>α，且)0(~+→++x x x x x α
，则=α 。

6、计算极限=+-∞
→)
arctan(cos
)arctan(cos lim x x x x x 。

7、设e
x x x y +=，则==1
x dx dy 。

8、计算=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+-+)
100(222
1x x x x 。

9、计算极限2
1
)(cos lim x x x →= 。

10、设)2008()3)(2)(1()(2008
32----=x x x x x f ，则=)1('f 。

11、计算x
e
x x x -+→1
)1(lim = 。

12、计算
)
()
sin (
2
x d x
x
d = 。

1、若函数)(x f 在点0x 处的极限存在，则-------------------------------------------- （ ） (A) )(x f 在0x 点的函数值必存在且等于极限)(lim 0
x f x x →；
(B) )(x f 在0x 点的函数值必存在但不一定等于极限)(lim 0
x f x x →；
(C) )(x f 在0x 点的函数值不一定存在；
(D) 如果)(x f 在0x 点的函数值存在，则)(0x f 必等于极限)(lim 0
x f x x →。

2、函数)1(|1|)(3
2--=x x x f 的不可导点为----------------------------------------（ ） (A) 1,1-； (B) 1； (C) 1-； (D) 没有不可导点。

3、设|
|sin 12)(4
1
x x e e x f x
x
+
++=
，则0=x 为函数)(x f 的 ----------------------------（ ）
(A) 可去间断点； (B) 跳跃间断点； (C) 第二类间断点； (D)连续点。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,
00
,1sin )(2
x x x
x x f ，则在0=x 处)(x f ---------------------------------（ ） (A) 极限不存在； (B) 极限存在但不连续；
(C) 连续但不可导； (D) 连续且可导。

5、下列三个命题
a) 当0→x 时，x x 20082
+是x 的二阶无穷小； b) 当1→x 时，3
1x -
是)1(-x 的一阶无穷小；
c) 当0→x 时，x e x +1~；
中正确的有几个 ------------------------------------------------------------------------------（ ） (A) 一个； (B) 二个； (C) 三个； (D 零个。