最新华理高数全部复习资料之重积分
重积分课件
解决步骤： ① 用曲线网把 D 分成小区域：
1; 2; : : : ; n : ② 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：
回顾一元函数定积分的定义： 设函数 f .x/ 在 Œa; b 上有界，在 Œa; b 中任意插入 分点
a D x0 < x1 < x2 < < xn 1 < xn D b ; 把 Œa; b 分成 n 个小区间。第 i 个小区间的长度为 xi D xi xi 1. 在每个小区间上任取一点 i 2 Œxi 1; xi ，作乘 积 f . i /xi ，
在区间 Œa; b 上的定积分为
b
f .x/ dx
a
n
X lim f . i/xi :
!0 i D1
§10.1.1 二重积分的概念
§10.1.1 二重积分的概念
1. 曲顶柱体的体积
§10.1.1 二重积分的概念
1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体：
§10.1.1 二重积分的概念
1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体：设有一立体，
1. 曲顶柱体的体积
曲顶柱体：设有一立体，它的底是 xOy 面上的闭 区域 D，侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 的柱面，顶是曲面 z D f .x; y/（f .x; y/ > 0 且在 D 上 连续）。下面讨论如何定义并计算曲顶柱体的体积 V .
解决步骤： ① 用曲线网把 D 分成小区域：
a D x0 < x1 < x2 < < xn 1 < xn D b ;
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
数学分析第四版华东师大版21章_重积分
f (i ,i ) i I .
i 1
则称f (x, y)在区域D上可积.
二重积分
当f (x, y) 0时,
二重积分D f (x, y)dxdy的几何意义是
以z f (x, y)为顶, D为底面的曲顶柱体的体积. 特别地,当f (x, y) 1时,
f (x, y)在D上的二重积分D f (x, y)d
解答
根据积分区域D的图形正确写出
D的平面直角坐标表示:
D {(x, y) : 0 x R,0 y R x}
由二重积分的计算公式,
R
Rx
| D | D1 dxdy 0 dx0 1 dy
R
0 (R
x)dx
R2 .
2
解答
根据积分区域D的图形也可以写出
D的平面直角坐标的另一种表示 :
D {(x, y) : 0 x R y,0 y R}
例题
试计算二重积分
D (x y)dxdy,
其中D [0,1][0,1].
解答
由二重积分转化成累次积分的公式,
D
(x
y)dxdy
11
0 dx0 (x
y)dy
1
0
(x
1 2
)dx
1.
例题
试计算二重积分
D y sin(xy)dxdy,
其中D [0, ][0,1].
解答
由二重积分转化成累次积分的公式,
二重积分的性质
3.(线性性质)设D为平面上可求面积的有界闭区域, f (x, y), g(x, y)在D上都可积, k1, k2为常数,则k1 f (x, y) k2 g(x, y) 在D上也可积, 且
D k1 f (x, y) k2g(x, y)d k1 D f (x, y)d k2 D g(x, y)d .
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
《高等数学》第八章-重积分
解题步骤：（1）画出积分区域 D （2） D 即可看成 X 型，又可看成Y 型
2023年11月7日星期二
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例3 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
及直线
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
则
D
:
y2 1
x y
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例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
R
oR
y
则所求体积为
8 R (R2 x2 ) d x 0
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x
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
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D
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域
相应把薄片也分为小区域 .
2023年11月7日星期二
(整理)高等数学重积分重点难点
重积分一、基本要求1.了解二重、三重积分的概念和性质2.掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3.掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4.会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、主要内容详细内容：1. 重积分定义：设(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数，将D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆也表示第i 个小闭区域的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη (1,2,,)i n =作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 2. 性质ⅰ) [](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅱ)1211(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ)1DDd d σσσ==⎰⎰⎰⎰ (σ为D 的面积)ⅳ)如果在D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ⅴ)设,M m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ⅵ)(中值定理)设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰3. 直角坐标下计算二重积分ⅰ)积分区域{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤ 则21()()(,)(,)bx a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,)()(),D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤则21()()(,)(,)dy c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰4. 极坐标下计算二重积分设积分区域D ：12()(),φθρφθαθβ≤≤≤≤ 则(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )d f d βφθαφθθρθρθρρ=⎰⎰5. 二重积分的几何意义：(,)Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，(,)z f x y =为顶的曲顶拄体的体积，(这里(,)0f x y ≥)物理意义：(,)Df x y d σ⎰⎰表示位于平面区域D ，面密度为(,)f x y 的薄片的质量.6. 三重积分定义：设(,,)f x y z 是有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域12,,,n v v v ∆∆∆，其中i v ∆也表示第i 个小闭区域的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ (1,2,,)i n =作和1(,,)nii i i i f ξηζσ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在Ω上的三重积分，记作(,,)f x y z dv Ω⎰⎰，即1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d v f vλξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 7. 直角坐标下计算三重积分ⅰ)积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,,)(,),z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤ 则21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.柱面坐标下计算二重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)z z z αθβφθρφθρθρθ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(cos ,sin ,)z z d d f z dz βφθρθαφθρθθρρρθρθ=⎰⎰⎰9. 球面坐标下计算三重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)r r r αθβφθφφθθφθφ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰＝2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βφθθφαφθθφθφφφθφθφ=⎰⎰⎰10. 三重积分的物理意义：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰表示位于空间区域Ω，体密度为(,,)f x y z 的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分ⅰ)若(,)f x y 为区域上D 的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，则10(,)(,)2(,)(,)DD f x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰，为的奇函数，为的偶函数ⅱ) 若(,,)f x y z 为Ω区域上的连续函数，Ω关于xy O 坐标面对称，1Ω为Ω位于xy O 坐标面上侧的部分，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z dvf x y z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，为z 的奇函数为z 的偶函数12.几何应用、物理应用曲面面积：xyD A =⎰⎰平面薄片的质心坐标：(,)(,)DDx x y d x x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰， (,)(,)DDy x y d y x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰空间物体的质心坐标：1(,,)x x x y z dv M ρΩ=⎰⎰⎰ ，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰其中(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 四、 例题1. 设(,)f x y 在[,]a b 上连续，证明不等式22()()()b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 等号仅当()f x 为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明.在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为[]20()()bba adx f x f y dy ≤-⎰⎰222()()2()()()bb baa ab a f x dx f x dx b a f y dy ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 故有22()()()b ba a f x dxb a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 当()f x 为常数时，显然上述等号成立.反之，设上述等号成立，则[]2()()0bba a dx f x f y dy -=⎰⎰ 由于函数[]2()()()ba F x f x f y dy =-⎰是[,]ab 上非负连续函数， 故()0F x ≡，a x b ≤≤.特别()0F a =即[]2()()0ba f x f y dy -=⎰，又由于函数[]2()()()G y f x f y =-是[,]a b 上非负连续函数，故()0G x ≡，a y b ≤≤.因此()()f y f a ≡，a y b ≤≤ 即()f x 为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰分析：积分域D ：211,1x y x -≤≤≤≤-，也表示为两个区域12,D D 的并，其中1D ：210,1y x y -≤≤≤≤- ：01,y x ≤≤≤≤解：2110111(,)(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰2)311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰分析：注意到当01x <<，3x x <，尽管这个二次积分并不是(,)f x y 在由y x =及3y x =所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解：311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰＝33110(,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy --⎰⎰⎰⎰ 3011(,)(,)x yx dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰31100(,)(,)x x y dx f x y dy dx f x y dx =⎰⎰⎰311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰01(,)y dy f x y dx -=⎰10(,)y dx f x y dx -⎰11(,)ydy f x y dx -=⎰3. 计算下列二重积分1) 22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是,,y x y x a y a ==+=和3y a = (0)a >为边的平行四边形区域.分析：当y 从a 变到3a ，对每一固定的y ，x 从y a -变到y 故化为先对x 后对y 的二重积分较简单. 解：D ：3,a y a y a x y ≤≤-≤≤ 32222()()aya y a Dx y dxdy dy x y dx -+=+⎰⎰⎰⎰23324()1433aay y a ay dy a ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 2) 2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由x 轴和摆线的第一拱(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤所围的区域分析：区域D ：02x a π≤≤，0()y x φ≤≤其中()y x φ=为摆线的直角坐标方程，显然当(sin )x a t t =-时，()(1cos ),(02)y x a t t φπ==-≤≤解： []2()2322001()3a x ay dxdy dx y dy x dx πφπφ==⎰⎰⎰⎰⎰23301(1cos )(1cos )3a t a t dt π=--⎰ ((sin ))x a t t =- 4280161sin 332a t dt π=⎰44882003232sin 2sin 33a a udu udu ππ==⋅⎰⎰ ()2tu = 4432753135238642212a a ππ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅3)2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D ：11x -≤≤，02y ≤≤分析：将区域D 分成两块12,D D ，使被积函数21222(),(,)(,)y x x y D y x y xx y D ⎧--∈⎪-=⎨-∈⎪⎩再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线2y x =将区域D 分成 ：11x -≤≤，20y x ≤≤ ：11x -≤≤，22x y ≤≤2Dy xdxdy -⎰⎰1222()()D D x y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰2221122101()()x x dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰114240(44)4615x dx x x dx=+-+=⎰⎰4)D⎰⎰,其中D :22224x y ππ≤+≤分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标解：220sin d d πππθρρρ=⋅⎰⎰⎰⎰22sin d πππρρρ=⋅⎰ 26π- 4.计算二重积分112111224y y xxy dy e dx dy e dx I =+⎰⎰⎰分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域D ：211,2x x y x ≤≤≤≤21111223()82y y xx xxx De e d dx e dy x e e dx σI ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 5.设一平面薄片位于双曲线221x y -=及0,1y y ==直线所围平面区域D ，且D 上任一点(,)x y 处的面密度为2x y ，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算.解：薄片的质量1222DD M x yd x yd σσ==⎰⎰⎰⎰31122200022(1)3dy x ydx y y dy ==+⎰⎰152222(1)1)1515y =+=6.求曲面z =夹在两曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的那部分曲面的面积.分析：将所求的曲面投影到xoy 面计算最简单，投影域xy D 为曲线2222,2x y y x y y +=+=所围部分.解：投影域：xy D ：222y x y y ≤+≤由z =，知x y z z ==2xyxyD D S dxdy ==⎰⎰⎰⎰)4ππ=-=7.化二次积分1100(,)dx f x y dy ⎰⎰为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对ρ后对θ的二次积分，当然也可化为先θ对后对ρ的二次积分. 解：区域可表示为1D ：10,04cos πθρθ≤≤≤≤及2D ：1,042sin ππθρθ≤≤≤≤1114cos 0(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰12sin 04(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ+⎰⎰积分域也可表示为1D ：01,02πρθ≤≤≤≤及2D ：110cosarcsinarc ρθρρ≤≤≤≤两部分.111200(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πρρρθρθθ=⎰⎰⎰⎰＋1arcsin11arccos(cos ,sin )d f d ρρρρθρθθ⎰8.设函数()f x 在[0,1]上连续，并设10()f x dx A =⎰，求110()()x dx f x f y dy ⎰⎰. 分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域D 的边界曲线方程关于,x y 对称，则有 (,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.解：变换积分次序得1110()()()()yxdx f x f y dy dy f x f y dx =⎰⎰⎰⎰10()()xdx f x f y dy =⎰⎰111112()()()()()()x xxdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100()()dx f x f y dy =⎰⎰112()()f x dx f y dyA=⋅=⎰⎰∴11201()()2x dx f x f y dy A =⎰⎰ 9.求锥面z =和抛物面22z x y =+所围成的立体体积. 分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分. 解一：投影域D ：221x y +≤()22DV x y d σ⎤=+⎦⎰⎰2120()6d d πθρρρρπ=-=⎰⎰解二：221120002()6V dv d d dz d πρρπθρρπρρρρΩ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由,,1,0z xy y x x z ====所围成的区域分析：Ω在面xoy 上投影域D 如图所示，在D 上的点(,)x y ，0z xy =≥，在不知道曲面z xy =形状的情况下，也容易写出Ω的积分范围. 解：Ω：0,0,01z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ 12323000xxyxy z dxdydz dx dy xy z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1230001364x xyxdx y dy z dz ==⎰⎰⎰ 11.求22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.分析：Ω是由旋转曲面222x y z +=与4z =所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对z 或后对z 的积分.解一：Ω：221()42x y z +≤≤，(,)xy x y D ∈，22:8xy D x y +≤ 22422221()2()()xyx y D x y z dv dxdy x y z dz +Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242102350()528)82563d d z dzd πρθρρπρρρρρπ=+=+-=⎰⎰解二：Ω：04z ≤≤，(,)z x y D ∈，其中22:2z D x y z +≤ 422220()()zD x y z dv dz x y z dxdy Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4220420)42563dz d z d z dzπθρρρππ=+==⎰⎰⎰12.试将三重积分(,,)f x y z dv ΩI =⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω是由z =及1,2z z ==所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为(,,)f x y z 在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解：21(,,)zz dx dy f x y z dx -I =⎰⎰直2121(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρρθρθI =⎰⎰⎰柱22201(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρρθρθ+⎰⎰⎰22101(cos ,sin ,)zdz d f z d πθρθρθρρ=⎰⎰⎰()!22sec 2!!400sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin n r n r d d f r r r r dr ππφφθφφθφθφφ-I =⎰⎰⎰球13.设(,,)1()(,,)f x y z x y z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω：2221,0x y z z ++≤≥分析：两边在Ω上求三重积分，解出(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰即可.解：设(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则 (,,)1()f x y z x A y z =+++[](,,)(1)()A f x y z dv x A y z dv dv A zdv ΩΩΩΩ==+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211200122(1)33x y z A zdz dxdy A z z dz πππ+≤-=+=+-⎰⎰⎰⎰ 234A ππ=+ 83(4)A ππ=-，故8(,,)1()3(4)f x y z x y z ππ=+++- 14.用定积分表示三重积分000()xyzdy dz f t dt ⎰⎰⎰分析：由于被积函数是t 的函数，故将,z t 积分次序变换后，把对z 的积分算出，再将,y t 的积分次序变换，又可把对y 的积分算出，最后保留对t 的积分式子. 解：0()()xy z x y ytdy dz f t dt dy dt f t dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰020()()()()1()()2x yx xt x dy f t y t dtdt f t y t dy f t x t dt =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰15.用重积分证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积分别是2()bx a V f x dx π=⎰和2()b y a V xf x dx π=⎰证明：曲线()y f x =绕x 轴旋转的旋转曲面方程：222()y z f x +=，a x b ≤≤在xoy 面上投影域为xy D ：,()()a x b f x y f x ≤≤-≤≤故所求体积()()b f x x a f x V dx dy -=⎰⎰(04bf x a dx =⎰⎰24()4ba f x dx π=⎰2()baf x dx π=⎰曲线()y f x =绕y轴旋转的旋转曲面方程：y f = 在xoz 面上投影域为zx D ：2222a x z b ≤+≤故所求体积0zx f y D V dzdx dy =⎰⎰⎰2()2()bf a b ad d dyf d πρθρρπρρρ==⎰⎰⎰⎰即2()by a V xf x dx π=⎰16.求曲面221z x y =++上点(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围成的空间区域的体积V .分析：所围的空间区域在xoy 面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面221z x y =++在(1,1,3)M -处的法向量''(,,1)(2,2,1)M x y M n z z =-=--则切平面方程为2(1)2(1)2(3)0x y z --+--= 即221z x y =--所以切平面与曲面的交线22221z x y z x y =--⎧⎨=+⎩在xoy 面上的投影曲线为 22(1)(1)1x y z ⎧-++=⎨=⎩即所求空间在xoy 面上的投影域D 为22(1)(1)1x y -++≤故22221()DV x y x y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰221(1)(1)Dx y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰ 22221(1)x y x y dxdy +≤=--⎰⎰2120(1)2d d πθρρρπ=-=⎰⎰17.设球体占有闭区域Ω：2222x y z Rz ++≤，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于Ω为球体，且被积函数出现222x y z ++项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域Ω的对称性. 解：密度222(,,)x y z x y z ρ=++ 此球体的质量(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰222()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰22cos 222sin R d d r r dr ππφθφφ=⋅⎰⎰⎰5555202322sin cos 515R R d πππφφφ=⋅=⎰由对称性易知0x y == 22211(,,)()z x y z dv z xy z dv MMρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而22cos 22222200()sin cos R z x y z dv d d d ππφθφφρρρρρΩ++=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰666720282sin cos 63R Rd πππφφφ=⋅=⎰∴54z R =即球体的质心：5(0,0,)4R 五、自测题(A)一、 选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D 为221x y +≤在第一象限部分，二重积分2Dxy d σ⎰⎰可化为A)112dx xy dy ⎰⎰B) 1200dx dy ⎰C) 1200dx dy ⎰D) 20xy dy2. 设1()Dx y d σI =+⎰⎰,2sin()Dx y d σI =+⎰⎰,3tan()Dx y d σI =+⎰⎰,其中D 为三角形闭区域，三顶点分别为(0,0),(1,0),(0,1),则 A) 123I <I <I B) 213I <I <I C) 231I <I <I D)以上均不正确3. 设空间区域1Ω：2222,0x y z R z ++≤≥2Ω：2222,0,0,0x y z R x y z ++≤≥≥≥ 则 A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C) 124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 设平面薄片位于区域221x y +≤，密度函数为222(2)(2)x y x ρ=++，质心坐标为(,)x y ，则A) 0,0x y == B)0,0x y =≠ C) 0,0x y ≠= D)0,0x y ≠≠5. 设22()Dx y d σ+⎰⎰，D ：由2y x =，1x =，0y =所围，则化为极坐标形式的积分为 A)sec 3400d d πθθρρ⎰⎰B)1340d d πθρρ⎰⎰C) 3400d d πθρ⎰ D)sec 340tan sec d d πθθθθρρ⎰⎰二、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.2224x x y d σ≤+≤⎰⎰＝2. 2sin sin 200cos d d πθαθθρθρ+⎰⎰＝3.利用重积分性质估计22(49)Dx y d σI =++⎰⎰，这里D :224x y +≤，那么 I∈ 4.积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于5.设Ω：224,01x y z +≤≤≤，则(sin cos 2)x y z dv Ω+⎰⎰⎰三、(10分) 计算二重积分1()x y x y dxdy +≤+⎰⎰四、 (10分) 改变下列积分次序. 1.220(,)xx dx f x y dy ⎰⎰ 2. ln 10(,)exdx f x y dy ⎰⎰五、 (10分) 证明()()000()()()ayam a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰六、 (10分) 计算三重积分()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =所围区域.七、 (10分) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =曲面与所围区域，求(,)f x y .八、 (10分) 求平面1xy z a b c++=被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算2z dv ΩI =⎰⎰⎰，Ω：2222221x y z a b c ++≤.自测题(B)三、 选择题(3分⨯5＝15分) 1. 在下列哪种情况下成立A) (,)(,)f x y f x y -=- B) (,)(,)f x y f x y -= C) (,)(,)f x y f x y --= D) (,)(,)f x y f x y -= 且(,)(,)f x y f x y -=2. 设D 由1x =，0y =，12x y +=，1x y +=，若[]31ln()Dx y dxdy I =+⎰⎰，32()Dx y dxdy I =+⎰⎰，[]33sin()Dx y dxdy I =+⎰⎰，则1I ，2I ，3I 之间的关系为A) 123I <I <I B) 321I <I <I C) 132I <I <I D) 312I <I <I 3.设(,)f x y 为连续函数，则00(,)axdx f x y dy ⎰⎰等于 A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰ B) 0(,)a ay dy f x y dx ⎰⎰ C) 0(,)aya dy f x y dx ⎰⎰ D) 0(,)aady f x y dx ⎰⎰ 4.设平面区域{}(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B) 12D xydxdy ⎰⎰C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D)05.一物体占有空间区域Ω：2221,0x y z z ++≤≥，密度为(2)(2),x y z +-质心坐标，(,,)x y z 则A)0,0x y >> B) 0,0x y >> C) 0,0x y <> D) 0,0x y << 四、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.22222()x y yf x y d σ+≤+⎰⎰的极坐标形式的二次积分为2.设区域D 由双曲线222()2x y xy +=，那么()Dx y d σ+⎰⎰等于3.设D ：222x y a +≤，Dxy dxdy ⎰⎰＝4.空间区域Ω是由平面1x y z ++=及三坐标面所围，将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为先对x ，再对y ，最后对z 的三重积分5.曲面1x y z ++=所围立体的体积是 三、(10分)计算221()Dx yf x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3y x =，1y =，1x =-所围成的区域，()f x 为连续函数.十、 (10分)求椭球2222221x y z a b c++≤的体积十一、15分)将(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω由22z x y =+，z =所围.十二、10分) 21xxdx ⎰⎰十三、10分) 求由2y ax =及x a = (0)a >所围图形关于直线y a =-的转动惯量. 八、(15分) 求222201lim(,)t x y t f x y d t σπ→+≤⎰⎰，其中(,)f x y 为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D ：2214x y ≤+≤，则(,)D f x y d σ⎰⎰A)2121(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰B)120104(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰C) 2201(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰D) 2012(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ 2. 设1Dx y dxdy I =+⎰⎰，22aDx y dxdy I =+⎰⎰ (0)a >，其中D ：1x y +≤，那么A) 120I -I > B) 120I -I <C) 120I -I = D) 12I -I 的符号与a 的取值有关3.设Ω：2222x y z R ++≤，2221()x y z dv ΩI =++⎰⎰⎰，则A) 543R πI = B)223()2x y dv ΩI =+⎰⎰⎰C) 223()2y z dv ΩI >+⎰⎰⎰ D) 223()2z x dv ΩI <+⎰⎰⎰ 4.设k D ：22()()2,1,2,3x k y k k -+-≤=，记2(3)kk D x y d σI =+-⎰⎰，则有A)123I =I ≠I B) 321I =I ≠I C) 132I =I ≠I D)以上都不正确5.设设Ω：2222x y z z ++≤，12z ≥，则f dxdydz Ω⎰⎰⎰A)123002()sin d f d ππφρρφρ⎰⎰ B)2cos 23002()sin d f d πφπφρρφρ⎰⎰C)111022dr f rdz π⎰⎰D)21022dz f rdr π⎰五、 填空题(3分⨯5＝15分)1.将柱面坐标三次积分42000(,,)dz d f z d πθρθρ⎰⎰化为先对z 后对ρ，θ的三次积分2.不等式22041z x y ≤≤+≤所表示的图形的体积为3.设Ω为2222x y z x ++≤则222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下的三次积分为在柱面坐标下的三次积分为4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉34，问容器内水面下降了 ％三、(15分)将二次积分变换积分次序 2210(,)x dx f x y dy I =⎰⎰六、 (15分)计算三次积分1000sin 1x yzdx dy dz z-⎰⎰⎰ 七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线()0y f x =>，(0)a x b ≤≤≤绕x轴和y 轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是2(bx a S f x π=⎰和2by a S π=⎰ 八、 (15分)求曲面z =与222x z z +=所围立体的体积 九、 (10分)若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，证明 0(,)(,)2(,)(,)DDf x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数为的偶函数重积分自测题答案自测题(A)一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D二、1.3π 2.0 3.]ρπ[36，100 4. 41(1)2e -- 5.4π 三、43四、1)2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰2) 1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰六、8π 七、18xy +九、3415abc π自测题(B)一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、1.2sin 200()d f d πθθρρρ⎰⎰2.03.42a 4.111000(,,)z y zdz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰5.43三、25- 四、43abc π五、7()36π-1 七、485a 八、(0,0)f自测题(C)一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 二、1.222400(,,)d d f z dz πρθρρθ⎰⎰⎰2.8π3.2sin cos 2200sin ()d d f r r dr ππφθπθφφ-⎰⎰⎰2cos 220()d d f z dz πθπθρρρ-+⎰⎰4.50三、142001(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx -⎰⎰四、1(1sin1)2-七、提示：将(,)Df x y d σ⎰⎰表示为在1D 上的二重积分.。
高等数学讲义第九章重积分-PPT精选
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
2020/6/4
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三重积分的性质类似于二重积分
dvV（的体积）
2。三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分
方法1：先计算定积分再计算二重积分
设平行于z轴且穿过区域内部的直线与的边界 曲面相交不多于两点，域 把区投影到xoy面 上得到一个平面区 Dx域 y，以Dxy的边界曲线为准 线作母线平行z于 轴的柱面。这柱面面 与曲的 交线，把分成上、下两部分。
a y 1 (x ) z1 (x ,y)
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如果D 区 xy为域 x1 ： (y)xx2(y),
cyd,则
f(x ,y ,z)d vddx y 2 (y )dzx 2 (x ,y )f(x ,y ,z)dz c x 1 (y ) z 1 (x ,y )
方法2：先计算二重积分再计算定积分
D
圆域 x2y2a2。
例10.计算二重积 x分 yd，其中区D域 是由
D
第一象限x中0, yx,x2 (yb)2 b2 x2 (ya)2 a2(0ab)所围成的区域。
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例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
D
D
D
性3质 :
f(x,y)df(x,y)df(x,y)d
D1D2
D1
D2
性4 质 :设 (x,y)D,f(x,y)g(x,y)
则f(x,y)dg(x,y)d
2020/6/4
D
D
性质5:设m f (x, y) M
则m f (x, y)d M
高考数学知识点精讲重积分与曲线积分的计算
高考数学知识点精讲重积分与曲线积分的计算高考数学知识点精讲：重积分与曲线积分的计算在高考数学中，重积分与曲线积分是较为复杂但又十分重要的知识点。
理解和掌握它们的计算方法，对于解决许多数学问题以及在后续的高等数学学习中都具有关键意义。
一、重积分重积分包括二重积分和三重积分。
1、二重积分二重积分的几何意义是计算以给定的二元函数为曲顶的曲顶柱体的体积。
其计算的基本思想是将区域分割成小的矩形，然后对每个小矩形上的函数值进行近似求和，当分割越来越细时，这个和就趋近于二重积分的值。
在直角坐标系下，计算二重积分通常有两种积分顺序：先对 x 积分再对 y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
选择合适的积分顺序往往能简化计算。
例如，对于函数＼（f(x,y)＼）在区域＼（D\）上的二重积分，若＼（D\）可以表示为＼（a\leq x\leq b\），＼（＼varphi_1(x)＼leqy\leq ＼varphi_2(x)＼），则先对＼（y\）积分，化为累次积分：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_a^b\！＼！＼left\int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y)dy\rightdx＼若＼（D\）可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），则先对＼（x\）积分，化为累次积分：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_c^d\！＼！＼left\int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y)dx\rightdy＼在极坐标系下，若＼（f(x,y) ＝ f(＼rho\cos\theta, ＼rho\sin\theta)＼），区域＼（D\）由极坐标方程表示，则二重积分可以化为：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}＼！＼！＼int_{r_1(＼theta)｝＾｛r_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta, ＼rho\sin\theta)＼rho d\rho d\theta＼2、三重积分三重积分的几何意义是计算空间立体的质量。
高等数学重积分.pptx
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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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【解】
得交线投影区域
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【解】
如图
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【例4】
【解】
如图示
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【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
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（2）一阶矩：薄片关于 、 轴的一阶矩 、 分别为
，
（3）薄片质心 ： ， 。
（4）薄片关于 、 轴和原点的转动惯量分别为：
，
（四）三重积分的定义
设 为空间闭区域 上的有界函数，将 任意分成 个子域 ，以 表示第 个子域的体积。在每一个子域 上任取一点 ，作和式 ，如果当所有子域直径中的最大值 趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数 在区域 上的三重积分，记作 ，即
华理高数全部复习资料之重积分
第12章重积分
内容提要
（一）二重积分概念和性质
1．二重积分定义：设二元函数 定义在有界闭区域 上。将 任意划分成除公共边界外没有其它公共部分的 个子区域 （ ），在每个 中任取一点 （ ），作和式 。令 表示各子区域直径的最大值，若极限 存在，且极限值和区域 的分割方式以及各子区域中点 的取法无关，则称函数 在区域 上可积，并称此极限为 在区域 上的二重积分，记作 ，即
(五)三重积分的性质
（1）线性性质
，其中 在 上可积， 为常数。
（2）分域性质
，Leabharlann 其中 在 上可积 ，且 无公共内点。
（3）若 在 上可积且 ，则有
（4）估值公式
设 在有界闭区域 上的连续函数，其最大值为 ，最小值 ，则
上式中 表示闭区域 的体积。
（5）中值定理
设 在有界连通闭区域 上的连续函数，则 ，使
（六）三重积分的计算
（1）在直角坐标系中的计算方法
（a）先单后重法
若先对 积分，则将积分区域 向 平面投影，记投影区域为 ， 可表示为 ，则
类似可以先对y积分或先对x积分。
（b）先重后单法
将积分区域 向子轴投影得 ，再用垂直于 轴的平面去截积分区域 ，得 ，则有
（2）在柱面坐标系中的算法
设
若 ，则
（3）在球坐标系中的方法
设 在有界闭区域 上可积，
（i）若 关于 轴对称，则
，
其中 。
（ii）若 关于 轴对称，则
，
其中 。
（二）二重积分的计算
1．利用直角坐标系计算二重积分
设 在平面有界闭区域 上连续：
（i）若 ，其中 、 在 上连续。区域 的特点是：穿过 内与 轴平行的直线与 的边界相交不多于两点，称为 型区域。则
。
（ii）若 ，其中 、 在 上连续。区域 的特点是：穿过 内与 轴平行的直线与 的边界相交不多于两点，称为 型区域。则
若 ，且 和 除边界外没有公共部分，则 在 上可积的充要条件是 在 和 上都可积，且
。
（3）不等式性质
设 ， 在 上可积，则
（i）若 ， ，则
，
特别有 。
（ii）若 ， 是 的面积，则有
。
（4）积分中值定理
设 为有界闭区域 上的连续函数，则存在 ，使得
，
其中 是 的面积。
（5）对称区域上奇偶函数的积分性质
8．对三重积分 可以理解为密度函数为 的所占的区域为 的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。
还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
9．对称性
当积分区域 关于面 对称时，若被积函数 关于 为偶函数，即
，则
其中 为 在 面之上方的部分
其中， 称为被积函数， 为被积表达式， 为面积元素， 、 是积分变量， 是积分区域，并称 为积分和式。
2．二重积分的几何意义：设 在区域 上连续，当 时，二重积分 表示以曲面 为顶，底面区域是 的曲顶柱体的体积。
3．性质
（1）线性性质
若 ， 在 上可积， 和 为任意常数，则 在 上可积，且
。
（2）积分区域可加性质
（ii）极点在区域 边界上。区域 在极坐标下可表示为
，
其中函数 在区间 上连续，则
（iii）极点在区域 内。区域 在极坐标下可表示为
，
其中 在区间 上连续，从而有
（三）二重积分的应用
1．曲面面积：设曲面 是由方程 给出， 在 平面上的投影区域为 ，且函数 在 上有连续的偏导数。则曲面 的面积为
2．物理应用：设平面薄片在 平面上所占的区域为 ，其面密度为 。
若被积函数 关于 为奇函数,，即 ，则
当 关于其他坐标面对称时有类似结论。
10．各类坐标系的选择
（1）当积分区域 是圆柱形或圆锥形区域，或 在某坐标面上的投影是圆域，被积函数具有 的形式，常采用柱坐标系。
（2）当积分区域 是与球相关的区域，而被积函数具有 的形式时，常采用球坐标。
（3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直角坐标系。
设 ，若
则一
（七）三重积分的应用
（1）体积
（2）物体的质量
若物体所占空间区域为 ，密度函数为 ，则质量
（3）质心坐标
（4）转动惯量
复习指导：
第12章重积分
学习指导
1．掌握二重积分的概念。
2．会用联立不等式表示平面区域。
3．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算。能按照积分区域的特征将二重积分转化为二次积分，也能由二次积分的积分限确定二重积分的积分区域，并进一步变换二次积分的次序。
4．会将直角坐标系中简单曲线的方程改写为极坐标系下的方程，会确定极坐标系中积分区域的参数变化范围，会在极坐标系下计算简单区域的二重积分。
5．掌握二重积分的几何意义，能用二重积分计算平面区域的面积和空间中简单立体的体积。
6．会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。
7．掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。
。
如果区域 不满足以上条件，可以将区域 分成若干个部分区域，使每个部分区域满足以上条件，再利用积分关于区域的可加性来计算。
2．利用极坐标系计算二重积分
极坐标与直角坐标的关系为 ，极坐标系中的面积元素为 。在极坐标系下，二重积分可变为
（i）极点在区域 外。区域 在极坐标下可表示为
，
其中函数 、 在区间 上连续，则