高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法2.3.2放缩法课后导练新人教A版选修4_5
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与
三反证法与放缩法知识梳理1.反证法先____________,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等) _________的结论,以说明_________不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.2.放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件.2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤B i≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥A i≥B)，再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.反证法中的数学语言反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.2.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如:舍去或加上一些项:(a+21)2+43>(a+21)2; 将分子或分母放大(缩小):,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k kk k k k k k121++>k k k(k∈R ,k>1)等.典题精讲【例1】 (经典回放)若a 3+b 3=2,求证:a+b≤2.思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,a 2-ab+b 2=(a 21-b)2+43b 2≥0.而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a 2-ab+b 2>0.则a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)>2(a 2-ab+b 2),而a 3+b 3=2,故a 2-ab+b 2<1.∴1+ab>a 2+b 2≥2ab.从而ab<1. ∴a 2+b 2<1+ab<2.∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab<2+2ab<4. ∴a+b<2.这与假设矛盾,故a+b≤2.证法二:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a 3+b 3>(2-b)3+b 3,即2>8-12b+6b 2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2.证法三:假设a+b>2,则(a+b)3=a 3+b 3+3ab(a+b)>8.由a 3+b 3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2.又a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=2,∴ab(a+b)>(a+b)(a 2-ab+b 2). ∴a 2-ab+b 2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能，故a+b≤2. 绿色通道：本题三种方法均采用反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论的语气过于肯定或肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.再是本题的已知条件非常少,为了增加可利用的条件,从反证法的角度来说,“假设”也是已知条件,因而,可考虑反证法. 【变式训练】 若|a|<1,|b|<1,求证:|1|abba ++<1. 思路分析：本题由已知条件不易入手证明,而结论也不易变形,即直接证有困难,因而可联想反证法. 证明:假设|1|abba ++≥1,则|a+b|≥|1+ab|, ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2. ∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0. ∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-.01,0101,012222b a b a 或 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥.1,11,12222b a b a 或与已知矛盾. ∴|1|abba ++<1. 【例2】 (经典回放)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 思路分析：“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此用反证法.证法一：假设三式同时大于41, 即有(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41, 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>641.又(1-a)a≤(21a a +-)2=41.同理,(1-b)b≤41,(1-c)c≤41.∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤641,与假设矛盾,结论正确.证法二:假设三式同时大于41,∵0<a<1,∴1-a>0,2141)1(2)1(=>-≥+-b a ba . 同理2)1(,2)1(a c c b +-+-都大于21. 三式相加,得2323>,矛盾.∴原命题成立.绿色通道：结论若是“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”或“……≠……”形式的不等式命题,往往可应用反证法,因此,可从这些语言上来判断是否可用此方法证明.【变式训练】 已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:xy +1与y x+1中至少有一个小于2.思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.证明:假设xy+1≥2,y x +1≥2.∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2. 这与已知x+y>2矛盾. ∴y x +1与xy+1中至少有一个小于2成立. 【例3】 设n 是正整数,求证:21≤2111+++n n +…+21n<1. 思路分析：要求一个n 项分式2111+++n n +…+n21的范围,它的和又求不出,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围. 证明：由2n≥n+k>n(k=1,2, …,n),得n 21≤nk n 11<+. 当k=1时,n 21≤n n 111<+; 当k=2时,n 21≤nn 121<+;;……当k=n 时,n 21≤nn 111<+, ∴21=n n 2≤2111+++n n +…+n 21<nn =1. 绿色通道：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明4712111222<+++n Λ,由k k k 11112--<,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化.放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和. 【变式训练】 若n∈N +,n≥2,求证：21-n nn 111312111222-<+++<+Λ.思路分析：利用)1(11)1(12-<<+k k k k k 进行放缩.证明:∵)1(143132113121222+++⨯+⨯>+++n n n ΛΛ=(21-31)+(31-41)+…+(111+-n n ) =21-11+n .又223121++…+21n <)1(1231121-++⨯+⨯n n Λ =(121-)+(21-31)+…+(n n 111--)=1-n 1,∴21-11+n <223121++ (21)<1-n 1.【例4】 (经曲回放)求证：||1||||||1||||b a b a b a b a +++≥+++.思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b 的几种情况进行讨论,如a=b=0时等. 证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立. 若a+b≠0且a,b 不同时为0时,||||11||||||||11b a b a b a ++=+++=左边. ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴上式≤1+||||1||1b a b a b a +++=+.∴原不等式成立.绿色通道：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类. 【变式训练】 已知|x|<3ε,|y|<6ε,|z|<9ε,求证:|x+2y-3z|<ε. 思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩. 证明:∵|x|<3ε,|y|<6ε,|z|<9ε, ∴|x+2y -3z|=|1+2y+(-3z)|≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z| <3ε+2×6ε+3×9ε=ε. ∴原不等式成立. 问题探究问题:说明“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”.导思：直接去说明某件事情是正确的,有时很难说明原因或根据,因此,用反证法及其逻辑思维会显得较为简单. 探究：反证题:声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应是相同的,后者显然不能成立,既然世界上表示同一事物的词的声音各不相同,可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的.。
高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法课件新人教A版选修45
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2 设x>0,y>0,z>0,
求证 ������2 + ������������ + ������2 + ������2 + ������������ + ������2>x+y+z.
证明：因为 x>0,y>0,z>0,
所以 ������2 + ������������ &明命题“若p,则q”时,证明������ q假,进而得q为真. ( )
(2)若m>n>0,则
������
������
������ + 1 < ������ + 1
.
(
×
)
(3)命题“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”. ( × )
(4)若|a|<1,则|a+b|-|a-b|<2. ( )
������(1-������)
≤
������+(1-������) 2
,
������(1-������) ≤ ������+(21-������),
当且仅当 a=b=c=d=12时,等号成立,
∴������+(1-������)
2
>
1 2
,
������+(1-������) 2
>
1 2
,
������+(1-������) 2
1 2
+
13+…+
1
������<2
������(n∈N+)
成立.
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 2.3.1 反证法课堂导学案 新人教A版选修45
2.3.1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g (0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b , 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b -a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾.∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式 【例2】 设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41,即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.①又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(aa +-］2=41.同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41.以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y +1与y x+1中至少有一个小于2.证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31.证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +,三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c,∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1, 即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的, ∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|ab b a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或 即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾. ∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法预习学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法预习目标1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．一、预习要点1.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称为________．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到________，我们把这种方法称为________.二、预习检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为02．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数 D.abc ＜03．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( )A ．综合法B ．放缩法C ．分析法 D.反证法4．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
参考答案一、预习要点 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 2.证明的目的 放缩法二、预习检测1．【解析】 实数a ，b ，c 不全为0的含义即a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2.【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的反面是a ，b ，c 不全是正数，故选C.【答案】 C3.【解析】 由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C4.【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．。
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三反证法与放缩法学习目标 1. 理解反证法的理论依照，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2. 理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思虑什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1) 反证法就是在否认结论的前提下推出矛盾，进而说明结论是正确的．(2) 矛盾能够是与已知条件矛盾，也能够是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1) 反证法的定义：先假定要证明的命题不建立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，获取和命题的条件(或已证明的定理、性质、显然建立的事实等) 矛盾的结论，以说明假定不正确，进而证明原命题建立．(2) 反证法证明不等式的一般步骤：①假定命题不建立；②依照假定推理论证；③推出矛盾以说明假定不建立，进而判断原命题建立．知识点二放缩法思虑放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传达性；②等量加( 减) 不等量为不等量．梳理放缩法(1) 放缩法证明的定义证明不等式时，平常把不等式中的某些部分的值放大或减小，简化不等式，进而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2) 放缩法的理论依照①不等式的传达性．②等量加( 减) 不等量为不等量．③同分子( 分母) 异分母( 分子) 的两个分式大小的比较．种类一反证法证明不等式命题角度1 证明“否认性”结论1a 例1 设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋1b，证明：2 2(1) a＋b≥2；(2) a ＋a＜2 与b ＋b＜2 不能能同时建立．证明由a＋b＝1 1 a＋b＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.a b ab(1) 由基本不等式及ab＝1 可知，a＋b≥2 ab＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1 时等号建立．2 2 2(2) 假定 a ＋a＜2 与b ＋b＜2 同时建立，则由 a ＋a＜2 及a＞0，得0＜a＜1；同理，02 2＜b＜1，进而ab＜1，这与ab＝1 矛盾．故 a ＋a＜2 与b ＋b＜2 不能能同时建立．反省与感悟当待证不等式的结论为否认性命题时，常用反证法来证明，对结论的否认要全面不能够遗漏，最后的结论能够与已知的定义、定理、已知条件、假定矛盾．追踪训练 1 设0＜a＜2,0 ＜b＜2,0 ＜c＜2，求证：(2 －a) ·c，(2 －b) ·a，(2 －c) · b 不能能都大于 1.证明假定(2 －a) ·c，(2 －b) ·a，(2 －c) · b 都大于1，即(2 －a) ·c＞1，(2 －b) ·a＞1，(2 －c) ·b＞1，则(2 －a) ·c· (2－b) ·a· (2－c) ·b＞1，∴(2 －a)(2 －b)(2 －c) ·abc＞1. ①∵0＜a＜2,0 ＜b＜2,0 ＜c＜2，∴(2 －a) ·a≤2－a＋a22＝1，同理(2 －b) ·b≤1，(2 －c) ·c≤1，∴(2 －a) ·a· (2－b) ·b· (2－c) ·c≤1，∴(2 －a)(2 －b)(2 －c) ·abc≤1，这与①式矛盾．∴(2 －a) ·c，(2 －b) ·a，(2 －c) · b 不能能都大于 1. 命题角度2 证明“最少”“至多”型问题2例2 已知 f ( x) ＝x ＋px＋q，求证：(1) f (1) ＋f (3) －2f (2) ＝2；(2)| f (1)| ，| f (2)| ，| f (3)| 中最稀有一个不小于1 . 2证明(1) f (1) ＋f (3) －2f (2)＝(1 ＋p＋q) ＋(9 ＋3p＋q) －2(4＋2p＋q) ＝2.(2) 假定| f (1)| ，| f (2)| ，| f (3)| 都小于12 ，则| f (1)| ＋2| f (2)| ＋| f (3)| ＜2，而| f (1)| ＋2| f (2)| ＋| f (3)| ≥f (1) ＋f (3) －2f (2) ＝2，矛盾，∴| f (1)| ，| f (2)| ，| f (3)| 中最稀有一个不小于1 . 2反省与感悟(1) 当欲证明的结论中含有“至多”“最少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的打破口，可变换视角，用反证法证明．(2) 在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假定，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必定使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2π追踪训练 2 若a，b，c 均为实数，且a＝x －2y＋2，π2b＝y －2z＋32，c＝z －2x＋π，求证：a，b，c 中最稀有一个大于零．6证明假定a，b，c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，2则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x －2y＋ππ2＋y －2z＋2 32＋z －2x＋π6＝( x－1) 2＋( y－1) 2＋( z－1) 2 ＋π－3，∵π－3＞0，且( x－1) 2 ＋( y－1) 2 ＋( z－1) 2 ≥0，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0 矛盾，因此假定不建立．∴a，b，c 中最稀有一个大于0.种类二放缩法证明不等式例3 已知实数x，y，z 不全为零，求证：3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞( x＋y＋z) ．2证明x2＋xy＋y2＝x＋y22＋3yy2≥x＋4 22＝x＋y2≥x＋y.2z 同理可得y2＋yz＋z2≥y＋，2z2＋zx＋x2≥z＋x . 2由于x，y，z 不全为零，故上述三式中最稀有一式取不到等号，因此三式相加，得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞x＋y2＋y＋z2x＋z＋2＝32( x＋y＋z) ．反省与感悟(1) 利用放缩法证明不等式，要依照不等式两头的特点及已知条件( 条件不等式) ，谨慎地采用举措，进行适合地放缩，任何不适合的放缩都会致使推证的失败．(2) 必然要熟悉放缩法的详细举措及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采用舍掉式中一些正项或负项，或许在分式中放大或减小分子、分母，或许把和式中各项或某项换成较大或较小的数，进而达到证明不等式的目的．追踪训练 3 求证：3 1－＜1＋2 n＋11＋⋯＋221 1＜2－( n∈N＋且n≥2) ．n2 n证明∵k( k＋1) ＞k ＋且k≥2) ，2＞k( k－1)( k∈N ∴错误! ＜错误! ＜错误! ，即1k－1＜k＋11 1＜－k2 k－ 11k( k∈N＋且k≥2) ．分别令k＝2,3 ，⋯，n，得1 1 －＜23 1 1＜1－，22 213－1 1 1 1＜＜－，⋯，4 32 2 31 1 1 －＜＜n n＋1 n21 1－，n－1 n将这些不等式相加，得1 1 －＋23 11－＋⋯＋341n－1＜n＋11 1＋＋⋯＋22 321＜1－n212＋12－13＋⋯＋1－n－11n，即12－1＜n＋11 1＋＋⋯22 321＜1－n21n，∴1＋12－1＜1＋n＋11＋221＋⋯＋321＜1＋1－n21n，即32－1 1＜1＋＋n＋1 221＋⋯＋321＜2－n21n( n∈N＋且n≥2) 建立.1．用放缩法证明不等式时，以下各式正确的选项是( )A.1＞a＋x1aB. ba＜b＋ma＋m2 2C．x ＋x＋3＞x ＋3D．| a＋1| ≥| a| －1答案 D剖析关于A，x 的正、负不定；关于B，m的正、负不定；关于C，x 的正、负不定；对于D，由绝对值三角不等式知，D正确．2．用反证法证明命题“a，b，c 全为0”时，其假定为( )A．a，b，c 全不为0B．a，b，c 最稀有一个为0C．a，b，c 最稀有一个不为0D．a，b，c 至多有一个不为0答案 C3．若是 a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b 应知足的条件是________．答案a≥0，b≥0，a≠b剖析由a及b知a≥0，b≥0，又a a＋b b＞a b＋b a，即( a－b) 2( a＋b) ＞0.∴a≠b，∴a≥0，b≥0，a≠b.4．已知0＜a＜3,0 ＜b＜3,0 ＜c＜3. 求证：a(3 －b) ，b(3 －c) ，c(3 －a) 不能能都大于9 2 .9证明假定a(3 －b) ＞，b(3 －c) ＞2 99 ，c(3 －a) ＞.2 2由于a，b，c 均为小于 3 的正数，因此错误! ＞错误! ，错误! ＞错误! ，错误! ＞错误! ，进而有错误! ＋错误! ＋错误! ＞错误! 错误! . ①可是错误! ＋错误! ＋错误! ≤错误! ＋错误! ＋错误!＝错误! ＝错误! . ②3当且仅当a＝b＝c＝时，②中取等号．2显然②与①相矛盾，假定不建立，故命题得证．1．常有的波及反证法的文字语言及其相对应的否认假定最稀有至多有常有词语唯一一个不是不能能全都是一个一个有两个没有或有一个也有或否认假定或两个两个或两是不全不都是没有存在以上个以上2. 放缩法证明不等式常用的技巧(1) 增项或减项．(2) 在分式中增大或减小分子或分母．2 2(3) 应用重要不等式放缩，如a ＋b ≥2ab，ab≤a＋b，ab≤2a＋b2a＋b＋c，≥323abc( a，b，c＞0) ．(4) 利用函数的单一性等．一、选择题1．P＝a b＋＋a＋1 b＋1c( a，b，c 均为正数) 与3 的大小关系为( ) c＋1A．P≥3 B．P＝3 C．P＜3 D．P＞3 答案 Ca b剖析P＝＋＋a＋1 b＋ 1c a b＜＋＋c＋1 a bcc＝3.12．设x，y，z 都是正实数，a＝x＋，b＝y＋y 1z，c＝z＋1x，则a，b，c 三个数( )A．最稀有一个不大于 2 B．都小于 2C．最稀有一个不小于 2 D．都大于 2 答案 C剖析假定a，b，c 都小于2，则a＋b＋c＜6，又a＋b＋c＝x＋1 1＋y＋＋z＋y z1x＝x＋1 1 1x ＋y＋y ＋z＋z ≥6，与a＋b＋c＜6 矛盾．因此a，b，c 最稀有一个不小于、B、D可用特别值法除去．应选 C.2 2 2n n 3．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a ＋b ＝c ，则a ＋bn与c ( n≥3，n∈N＋) 的大小关系为( )n nn B．a n n n A．a ＋b ＞c ＋b ＜cn nn D．a n n n C．a ＋b ≥c ＋b ＝c答案 B剖析∵a2＋b2＝c2，∴2＋b2＝c2，∴ac2＋bc2＝1，∴0＜ac＜1,0 ＜bc＜1，∴y＝acx，y＝bcx均为减函数．∴当n≥3 时，有acn＜ac2，bcn＜bc2，∴acn＋bcn＜ac2＋bc2n n n＝1，∴a ＋b ＜c .x＋y x y4．设x＞0，y＞0，A＝，B＝，则A与B的大小关系为( )1＋x＋y 1＋x 1＋y＋A．A≥B B．A＝B C．A＞B D．A＜B答案 D剖析∵x＞0，y＞0，∴A＝x y＋＜1＋x＋y 1＋x＋yx＋1＋xy＝B.1＋ y5．对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出以下判断：①( a－b) 2 ＋( b－c) 2 ＋( c－a) 2 ≠0；②a＞b 与a＜b 及a≠c 中最稀有一个建立；③a≠c，b≠c，a≠b 不能够同时建立．其中判断正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案 C剖析关于①，假定( a－b) 2 ＋( b－c) 2 ＋( c－a) 2 ＝0，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故( a －b) 2 ＋( b－c) 2 ＋( c－a) 2 ≠0，故①正确；关于②，假定a＞b 与a＜b 及a≠c 都不建立，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故a＞b 与a ＜b 及a≠c 中最稀有一个建立，故②正确；关于③，显然不正确．6．设a，b，c 是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R＞0”是“P，Q，R同时大于零”的( )A．充足不用要条件B．必要不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件答案 C剖析必要性显然建立．充足性：若P·Q·R＞0，则P，Q，R同时大于零或其中有两个负的，假定其中有两个负的建立，没关系设P＜0，Q＜0，R＞0，由于P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a. 因此a＋b＋b＋c＜c＋a.因此b＜0，与b＞0 矛盾，故假定不建立，故充足性建立．二、填空题7．若A＝1＋2101＋⋯＋210＋11，则A与1 的大小关系为________．211－1答案A＜11 1剖析A＝＋＋⋯＋210 210＋11＜211－11＋2101＋⋯＋2101 210＝＝1.210 210共210个8．用反证法证明“一个三角形不能够有两个直角”有三个步骤：①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误．②因此一个三角形不能能有两个直角．③假定△ABC有两个直角，没关系设∠A＝∠B＝90° .上述步骤的正确次序是________．答案③①②剖析由反证法的证明题步骤可知，正确次序应该是③①②.9．已知a∈R＋，则1 1，，2 a 2 a＋11从大到小的次序为________．a＋a＋1答案1＞2 a1＞a＋a＋112 a＋1剖析由于a＋a＋1＞a＋a＝2 a，a＋a＋1＜a＋1＋a＋1＝2 a＋1，因此 2 a＜a＋a＋1＜2 a＋1，因此1＞2 a1 1＞a＋a＋1 2 a＋1.10．某同学准备用反证法证明以下一个问题：函数 f ( x) 在[0,1] 上存心义，且f (0) ＝f (1) ，若是关于不同样的x1，x2∈[0,1] ，知足| f ( x1)－f ( x2)| ＜| x1－x2| ，求证：| f ( x1) －f ( x2 )| ＜12，那么它的反设应该是________．1答案存在x1，x2∈[0,1] 且x1≠x2 知足| f ( x1) －f ( x2)| ＜| x1－x2| ，使| f ( x1) －f ( x2)| ≥成2 立三、解答题11．实数a，b，c，d 知足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中最稀有一个是负数，证明假定a，b，c，d 都是非负数．由a＋b＝c＋d＝1 知，a，b，c，d∈[0,1] ．进而ac≤ac≤a＋c，bd≤bd≤2b＋d，2a＋c＋b＋d∴ac＋bd≤＝1，即ac＋bd≤1，与已知ac＋bd＞1 矛盾，∴a，b，c，d 中至2稀有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：1 1≤＋2 n＋11＋⋯＋n＋21＜1.2n证明由2n≥n＋k＞n( k＝1,2 ，⋯，n) ，得1≤2n1＜n＋k1n，当k＝1 时，1 1≤＜2n n＋ 11n，当k＝2 时，1≤2n1 1＜，n＋2 n⋯，当k＝n 时，1 1≤＜2n n＋ n1n，∴12＝n 1 1≤＋＋⋯＋2n n＋1 n＋ 21 n＜＝1.2n n∴原不等式建立．13．设a，b∈R, 0≤x≤1,0 ≤y≤1，求证：关于随意实数a，b 必存在知足条件的x，y，使| xy－ax－by| ≥13建立．证明假定对所有0≤x≤1,0 ≤y≤1，结论不建立，则有| xy－ax－by| ＜1. 令x＝0，y＝1，得| b| ＜313；令x＝1，y＝0，得| a| ＜1 3 ；令x＝y＝1，得|1 －a－b| ＜1 3 .又|1 －a－b| ≥1－| a| －| b| ＞1－13－1 1＝，这与上式矛盾．3 3故假定不建立，原命题结论正确．四、研究与拓展14．达成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，⋯，a7 是由数字1,2 ，⋯，7 随意排成的一个数列，求证：乘积p＝( a1－1)( a2－2) ⋯· (a7－7) 为偶数．证明：假定p 为奇数，则________均为奇数．①由于7 个奇数之和为奇数，故有( a1－1) ＋( a2－2) ＋⋯＋( a7－7) 为________．②而( a1－1) ＋( a2－2) ＋⋯＋( a7－7)＝( a1＋a2＋⋯＋a7) －(1 ＋2＋⋯＋7) ＝________. ③②与③矛盾，故p 为偶数．答案①a1－1，a2－2，⋯，a7－7 ②奇数③0剖析由假定p 为奇数可知，( a1 －1) ，( a2－2) ，⋯，( a7－7) 均为奇数，故( a1－1) ＋( a2－2) ＋⋯＋( a7－7) ＝( a1＋a2＋⋯＋a7 )－(1 ＋2＋⋯＋7) ＝0 为奇数，这与0 为偶数相矛盾．人教版2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法教案新人教A版选修4_5 - 副本15．已知数列{ a n} 知足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1.(1) 证明：an＋12 是等比数列，并求{ an} 的通项公式；(2) 证明：1＋a11＋⋯＋a21＜an3.2证明(1) 由a n＋1＝3a n＋1，得a n＋1＋1＝3 an＋212.1 3 又a1 ＋＝，2 212 因此an＋是首项为32，公比为 3 的等比数列．因此a n＋12＝3n2，因此{ a n} 的通项公式为a n＝3n－1.2(2) 由(1) 知，1＝an2，3n－1n由于当n≥1 时，3 －1≥2× 3 n－1，因此1 1≤. 于是3n－1 2×3n－ 11 1＋＋⋯＋a1 a21≤1＋an13＋⋯＋1 3＝3n－1 21－13n＜32. 因此1 1＋＋⋯＋a1 a21＜an3.2。
(新人教A版)高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法教案选修4-5
一、教学目标1．掌握用反证法证明不等式的方法． 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．二、课时安排1课时三、教学重点掌握用反证法证明不等式的方法．四、教学难点了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．五、教学过程（一）导入新课若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． （二）讲授新课教材整理1 反证法先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．教材整理2 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．（三）重难点精讲题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题例1已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【精彩点拨】 (1)把f (1)，f (2)，f (3)代入函数f (x )求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】 (1)由于f (x )＝x 2＋px ＋q ，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2.(2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则有|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.(*) 又|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )＝2，∴|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 规律总结：1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1.求证：a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数．【证明】 a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a ，b ，c ，d 都是非负数．即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd .这与已知中ac ＋bd ＞1矛盾，∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．即a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数.题型二、利用放缩法证明不等式例2已知a n ＝2n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 【精彩点拨】 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】 ∵当n ≥2时，a n ＝2n 2＞2n (n －1)，∴1a n ＝12n 2＜12(1)n n -＝12·1(1)n n - ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1(1)n n - ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n ＜32， 即1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 规律总结：1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．[再练一题]2．求证：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 【证明】 ∵k 2＞k (k －1)，∴1k 2＜1(1)k k -＝1k －1－1k(k ∈N ＋，且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n 得122＜11·2＝1－12，132＜12·3＝12－13，…， 1n 2＜1(1)n n -＝1n －1－1n. 因此1＋122＋132＋…＋1n 2 ＜1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n ＝2－1n. 故不等式1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 题型三、利用反证法证明不等式例3已知△ABC 的三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.【精彩点拨】 本题中的条件是三边间的关系2b ＝1a ＋1c，而要证明的是∠B 与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．【自主解答】 ∵a ，b ，c 的倒数成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c.假设∠B ＜90°不成立，即∠B ≥90°，则∠B 是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b ＞a ＞0，b ＞c ＞0，∴1b ＜1a ，1b ＜1c ，∴2b ＜1a ＋1c， 这与2b ＝1a ＋1c相矛盾． ∴假设不成立，故∠B ＜90°成立．规律总结：1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B ≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题]3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.【证明】 法一 假设a ＋b >2，a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0， 故取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不成立，∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)，而a 3＋b 3＝2，故a 2－ab ＋b 2<1，∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab ，从而ab <1，∴a 2＋b 2<1＋ab <2，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <2＋2ab <4，∴a ＋b <2.这与假设矛盾，故a ＋b ≤2.法二 假设a ＋b >2，则a >2－b ，故2＝a 3＋b 3>(2－b )3＋b 3，即2>8－12b ＋6b 2，即(b －1)2<0，这显然不成立，从而a ＋b ≤2.法三 假设a ＋b >2，则(a ＋b )3＝a 3＋b 3＋3ab (a ＋b )>8.由a 3＋b 3＝2，得3ab (a ＋b )>6，故ab (a ＋b )>2.又a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，∴ab (a ＋b )>(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，∴a 2－ab ＋b 2<ab ，即(a －b )2<0.这显然不成立，故a ＋b ≤2.（四）归纳小结反证法与放缩法—⎪⎪⎪⎪ —反证法与放缩法的定义—反证法的一般步骤—证明不等式—放缩的技巧（五）随堂检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 【解析】 实数a ，b ，c 不全为0的含义即a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数 D.abc ＜0【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的反面是a ，b ，c 不全是正数，故选C. 【答案】 C3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( )A ．综合法B ．放缩法C ．分析法 D.反证法【解析】 由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C六、板书设计反证法例七、作业布置同步练习：2.3反证法与放缩法八、教学反思。
2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法教案(含解析)新人教A版选修4_5
三 反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤： ①假设命题不成立； ②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.证明：假设4a (1－b )>1,4b (1－c )>1,4c (1－d )>1， 4d (1－a )>1，则有a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.∴a (1－b )>12，b (1－c )>12，c (1－d )>12，d (1－a )>12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2>12，b ＋1－c 2>12， c ＋1－d 2>12，d ＋1－a 2>12. 将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b .证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． 故a <b .[例2] x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得 y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证：1 a ＋1＋1b ＋1<32.证明：因为1a ＋1＋1b ＋1<1＋b a ＋1＋b ＋1＋a b ＋1＋a＝a ＋b ＋2a ＋b ＋1＝32，所以原不等式得证．5．已知n ∈N ＋，求证：1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122.证明：因为1×3<1＋32＝42，3×5<3＋52＝82，…，(2n －1)(2n ＋1)<(2n －1)＋(2n ＋1)2＝4n2，所以1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<4＋8＋…＋4n 2＝n 2＋n ，又因为n 2＋n <⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3. 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2， 则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，∵a ，b ，c 均小于0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C. 5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________． 解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M <1. 共210项 答案：M <16．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nnn 项＝n . 答案：A ≥n8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1，知a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2.10．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，从而cos α＝1，这与α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α， 所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos α2－cos β＝sin αsin β.因为α>β，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>sin β.从而cos α2－cos β>1，即cos α>2－cos β，即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立． 由①②可知假设不成立，故原结论成立．。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与
2.3.2 放缩法课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】 证明下列不等式: (1)21·43·65·…·10099<101; (2)1<d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++<2.证明： (1)21<32,43<54,……,10099<101100,令A=21.43.....10099,B=32.54.. (101100),∴A<B,A 2<A·B=1011<1001. ∴21·43·65·…·10099<101. (2)d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++ <)()(d c dd c cb a bb a a+++++++=2, 又d c a dd c b c c b a b d b a c +++++++++++d c b a dd c b a c d c b a b d c b a c +++++++++++++++>=1,∴原不等式成立.各个击破类题演练1设n 为正整数,求证:21≤n n n 212111+++++Λ<1.证明:∵n∈N *,∴n n n n n n n n n 12121,,12121,11121<≤<+≤<+≤Λ,以上各式相加得n nn n n n n<+++++≤2121112Λ故原不等式成立.变式提升1求证:4712111222<++n Λ. 证明:∵k k k 11112--<,∴ΛΛ+-+-++<++++)4131()3121(21111312111222222n 47147121411)111(<-=-++=--+n n n n 即原不等式成立.二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩【例2】 (1)比较log 23与log 34的大小;(2)求证:log 56·log 54<1;(3)已知f(x)=log x (x+1),①比较f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)与1.1的大小;②求证:f(n)>f(n+1)(n∈N ,n≥2).(1)解析:log 23-log 34=3lg 2lg )]4lg 2(lg 21[3lg 3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 222•+->••-=- 3lg 2lg )9lg 21(3lg 3lg 2lg )8lg 21(3lg 2222•->•-= ∴log 23>log 34.(2)证明:24log 6log 4log 6log 5555+<•=21log 524 <21log 525=1. (3)①解析:f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)=101110112lg 2lg 2lg )12lg(1024lg 2049lg >+==1.1. ②证明:f(n)>f(n+1)⇐log n (n+1)>log n+1(n+2)log n+1(n+2)·log n+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.温馨提示1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:log 23=log 827>log 816>log 916=log 34,就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c 为三角形的三边,p=2c b a ++,p 2=2ab,求证: (1)p<2a;(2)a>c.证明:(1)∵a+c>b,∴p=2c b a ++>22b =b. ∴2ab=p·p>p·b,即p<2a.(2)p=ab 2≤22b a +, 即2c b a ++≤22b a +,故a≥c. 当且仅当2a=b 时取等号,此时,由条件p 2=2ab ⇒p=b,再由p=2c b a ++知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.变式提升2(1)a,b,c 为三角形的三边,证明a 2+b 2+c 2<2(ab+bc+ca);(2)设a,b,c 为三角形的三边,证明cc b b a a +>+++111 证明:(1)a,b,c 为三角形的三边,有a+b>c ⇒c(a+b)>c 2,b+c>a ⇒a(b+c)>a 2,c+a>b ⇒b(c+a)>b 2.三式相加即为2(ab+bc+ca)>a 2+b 2+c 2. (2)cc c b a b a b a b a b b a a b b a a +=+>++=+++=+++++>+++111111111111 ∴原不等式成立.三、利用其他方法进行放缩【例3】 设0<α<β<2π,0<θ<2π,求证: βαβθαθsin sin )sin()sin(>++. 思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：βθβθαθβθβθβθαθαθβθαθsin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin )sin()sin(•+••+•>•+••+•=++ βαβθαθsin sin sin cos sin cos =••> ∴原不等式成立.温馨提示将cosα换成cosβ,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a<b,则b a <m b m a ++.其实,很多时候我们不可能一下子看清问题的实质,那么去尝试一下,尝试的过程中,去伪存真,删繁就简.类题演练3设△ABC 的三边a,b,c 满足关系:a 2+b 2=c 2,当n>2,且n∈N *时,求证:a n +b n <c 2n . 证明:∵a 2+b 2=c 2,∴a<c,b<c.∴a n-2<c n-2,b n-2<c n-2.∴a n +b n =a 2·a n-2+b 2·b n-2<a 2·c n-2+b 2·c n-2=c n-2(a 2+b 2)=c n ,即a n +b n <c 2n .变式提升3在△ABC 中,求证:sin 2A ·sin 2B ·sin 2C ≤81.证明:sin 22A=2cos 1A -ac a bc c b a 44)(222≤--, ∴sin bc a A22≤.同理,sin ac b B 22≤,sin ab cC 22≤.三式相乘,得sin 2A ·sin 2B·sin 2C≤81.。
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考虑指数函数y=ax,
当a∈(0,1)时,在x∈(0,+∞)上单调递减,
∴sin2nθ≤sin2θ,
cos2nθ≤cos2θ.
∴2n(sin2nθ+cos2nθ)≤2n(sin2θ+cos2θ)=2n.
∴(1-x)n+(1+x)n≤2n.
证明:
∵ ,
∴1+
又
∴
∴原不等式成立.
8已知an= (n∈N*),求证: <an< .
证明:∵ >n,
∴an= .
又 < ［(n+1)+n］= (2n+1),
∴an=
∴ .
9求证: + (n∈N*).
证明:
,
∴左式< ［(1- )+( - )+…+( )］= (1- )< .
拓展探究
10在△ABC中,求证: ≤ (a,b,c为三边,A,B,C为弧度).
2.3.2放缩法
课后导练
基础达标
1设x>0,y>0,A= ,B= ,则A,B的大小关系是_______B.
答案:A<B
2记A= ,则A与1的关系是_______.
解析:A=
答案:A<1
3用不等号将下列各式连接起来:
(1) _______________log8 ;
答案:(1)< (2)< (3)<
4已知a>b>c,则比较大小: _______ .
解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
.
∴ ≤ .
答案:≤
5求证:2< < +1.
证明: =2,
又 < +1,
∴2< +1.
综合应用
6已知a>b≥0,c>0,求证: .
证明: .
7求证:2( -1)<1+ (n∈N*).
∴c>a,c>b,△ABC中c边最长.
又由于n≥3,1=( )n+( )n<( )2+( )2,
∴a2+b2>c2,由余弦定理cosC= >0,△ABC为锐角三角形.
13设a1,a2,a3,…,an是一组正数,求证:
证明:
,
，
∴
14α≠ (n∈Z),求证:(1+ )(1+ )≥(1+2n)2.
证明:左式=1+ + +
≥(1+2n)2(∵|sinα·cosα|≤ ).
∴原不等式成立.
15设0<α< ,0<β< ,0<k≤ ,且sin =k·cosβ,求证:α+β< .
证明:∵sin =k·cosβ=k·sin( -β)
=2k·sin( - )·cos( - )
<2k·sin( - )
≤sin( - ),
又 ∈(0, ), - ∈(0, ),
正弦函数在(0, )内单调递增,
∴ < - ,
即α+β< .
16已知-1≤x≤1,n≥2,求证:(1-x)n+(1+x)n≤2n.
证明:∵-1≤x≤1,设x=cos2θ,
则1-x=1-cos2θ=1-(1-2sin2θ)=2sin2θ,1+x=2cos2θ.
∴(1-x)n+(1+x)n=(2sin2θ)n+(2cos2θ)n
∴原不等式成立.
备选习题
11设n∈N,且n>1,f(n)=1+ + +…+ ,求证:f(2n)> .
证明:f(2n)=1+ + +…+ +…+
=1+ +( + )+(
12设三角形三边a,b,c满足关系an+bn=cn(n≥3,n∈N),求证:△ABC为锐角三角形.
证明:∵an+bn=cn,
故( )n+( )n=1.
证明:∵b+c>a,有a+b+c>2a,
∴ 可知 .
同理, .
∴ .
又∵(a-b)(A-B)≥0,便是aA+bB≥aB+bA,
∴aA+bB+cC≥aB+bA+cC.
同理,aA+bB+cC≥cA+aC+bB,
aA+bB+cC≥cB+bC+aA.
三式相加,得3(aA+bB+cC)≥π(a+b+c),
即 ≥ .
(2) ________________log72;
(3)log5 __________log4 .
解析:(1) =log88 <log89 =log8 .
(2) =log77 <log78 =log72.
(3)log5 =log5 <log5 = ,
而log4 =log4 >log4 = ,
∴log5 <log4 .