运筹学02_对偶理论与敏感性分析-2012
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运筹学 第2章对偶问题与灵敏度分析
可得到
(2) (2) 1 0 a13 a1 m (2) (2) 0 1 a23 a2 m E2 E1 A 0 0 a( 2 ) a( 2 ) m3 mm
14
重复以上的步骤，直到获得
1 1 Em E2 E1 A I 1
18
（4）基变换计算 将新的基 P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算：
1 / 2 2 1 / 2 1 P2 0 1 0 ；构造E1 1 0 4 1/ 4 1 / 4 主元素
换入变量
22
确定换出变量
B11b i 1 min B P 0 1 1 1 B P 1 1 i 2 16 3 min , , 2 对应x3 1 4 0
23
由此得到新的基
B2 P 1, P 4, P 2 1 1 B1 P 1 4 0 1 1 0 0 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1/ 2 1 1 B2 E2 B1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 1 0 1/ 2 4 1 2 0 0 1/ 4
1 0 1 / 2 1 0 0, 0 ( 2 ,0,3 ) 4 1 3 0 0 0 0 1 / 4 0 1 2 , 1 / 4 对应 x3 , x5
正检验数 换入变量
27
确定换出变量
1 B2 b i 1 m in B 1P B2 P5 0 2 5 i 2 8 3 m in , , 4 对应x4 1/ 2 2 1/ 4
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学对偶理论与灵敏度分析
17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
运筹学02_对偶理论与敏感性分析
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 50
I
θi 300 400 250 50 75
０
B-1
cBB-1
最优解：x1 = 50, x2 = 250, x4 = 50 B=(P1, P4, P2) 对偶最优解：y1 = 50, y2 = 0, y3 = 50 B-1对应的检验数 σT = cBB-1。
系数变成约束 条件右侧值
变成目标函 数的系数
最小化问题的对偶问题： 最小化问题的对偶问题：
max w = − 25 y 1 + 2 y 2 + 3 y 3
反过来， 反过来，由下 往上也是一样 的。
− y1 − y 2 + y 3 ≤ 1 − y1 + 2 y 2 − y 3 ≤ − 1 − 2 y1 − y 2 + y 3 = − 1 y1 , y 2 ≥ 0
12
CB 0 0 0 z 0 0 100 z 50 0 100 z
XB x3 x4 x5 x3 x4 x2 x1 x4 x2
300 400 250 0 50 150 250
-25000
50 50 250
-27500
50 x1 1 2 0 50 (1) 2 0 50* 1 0 0 0
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
25
例： 已知线性规划 max z = x1 + x2 s.t. -x1 + x2 + x3 ≤ 2 -2x1 + x2 - x3 ≤ 1 x1, x2 x3 ≥ 0 试用对偶理论证明该线性规划无最优 解。
运筹学-02对偶理论与灵敏度分析
page 9 Sep.2009
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
Yao Yuan School of Business Administration
目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
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目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)
偶问题的可行解，且有
ˆ b y ˆ c x
j 1 j j i 1 i n m i
ˆj, y ˆi , i 1,...,m, j 1,...n 分别是原问题和对 则x
偶问题的最优解。
2018/12/25
21
证明 设 x j ,
y i , i 1,...,m, j 1,...n 分别是原
2018/12/25
x1 x2 xn
13
对偶问题与原问题的关系： 原
目标函数：MAX
max Z CX
对
目标函数：MIN
minW bT Y
问
题
偶
约束条件：m个
AX b
问 约束条件：n个
题
AT Y C T
变量 ：
n个
X 0
变量 ：
m个
Y 0
2018/12/25
14
这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如 右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应 如何写出其对偶问题？ 可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶 问题。
y1 y2 y3
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3 7 4 y1 3 y2 2 y 6 y 5 y 4 1 2 3 6 y1 4 y2 3x3 3 y1 , y2 0, x3无约束
x1 x2 x3
2018/12/25 12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c 12 1 22 2 m2 m 2 a y a y a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 ,, ym 0
ˆ b y ˆ c x
j 1 j j i 1 i n m i
ˆj, y ˆi , i 1,...,m, j 1,...n 分别是原问题和对 则x
偶问题的最优解。
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21
证明 设 x j ,
y i , i 1,...,m, j 1,...n 分别是原
2018/12/25
x1 x2 xn
13
对偶问题与原问题的关系： 原
目标函数：MAX
max Z CX
对
目标函数：MIN
minW bT Y
问
题
偶
约束条件：m个
AX b
问 约束条件：n个
题
AT Y C T
变量 ：
n个
X 0
变量 ：
m个
Y 0
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这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如 右方所示，那么，当原问题不是规范形式时，应 如何写出其对偶问题？ 可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶 问题。
y1 y2 y3
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3 7 4 y1 3 y2 2 y 6 y 5 y 4 1 2 3 6 y1 4 y2 3x3 3 y1 , y2 0, x3无约束
x1 x2 x3
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类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c 12 1 22 2 m2 m 2 a y a y a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 ,, ym 0
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原问题
min z 800y1 650y2 850y3 700y4 2 y1 y2 4 y3 2 y4 4.5 2 y 2 y 2 y 4 y 5 1 2 3 4 4 y1 3 y2 3 y3 2 y4 7 y1 , y2 , y3 , y4 0
26
解： x1* + x2* = 300 y1* 0, 2x1* + x2* < 400 y2* = 0, x2* = 250 y3* 0; x1* > 0 y1* + 2y2* = 50, x2* > 0 y1* + y2* + y3* = 100. 所以， y1* = 50, y2* = 0, y3* = 50.
14
非对称形式的对偶规划
原问题（对偶问题）
max z = cx
对偶问题（原问题）
min w = yb
n 个变量
xj ≥ 0 xj ≤ 0
n 个约束
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≥ cj a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≤ cj
xj 无约束 m 个约束
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≤ bi aiainxn ≥ bi ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi
对偶问题无可行解
29
课堂练习：
max z =2x1 + 4x2+x3+x4 s.t. x1 + 3x2 + x4 ≤ 8 2x1 + x2 ≤6 x2 + x3 + x4 ≤ 6 x1 + x2 + x3 ≤9 xj ≥ 0 已知原问题最优解为（2,2,4,0），根据对偶 理论，写出对偶问题的最优解
cB cB 0 xB xS b b xB B cB cN xN N cN 0 xS I 0
检验数行
经过若干次迭代
cB cB cB xB xB b B-1b xB I cN xN B-1N 0 xS B-1
检验数行
0
cN -cBB-1N
-cBB-1
33
z z 1 0
z z 1 0 z z XB 1 0 XB -CBT B XB -CBT I
16
课堂练习：
1
min s.t.
z =2x1 + 2x2+4x3 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 2 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 3 x1 + 4x2 + 3x3 = 5 x1, x2 ≥ 0 , x3无约束
17
§2. 对偶问题的基本性质
(LP) Max z = j=1,2,…,n cj xj s.t. j=1,2,…,n aij xj bi , i = 1, 2, …, m xj 0, j = 1, 2, …, n Min w = i=1,2,…,m bi yi s.t. i=1,2,…,m aij yi cj , yi 0,
对偶的定义
s.t. -AX≤-b X ≥0
W ≥0
19
定理2.1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为(LP)和(DP)的可行解，则 cx ≤ yb
20
推论(无界性) 若(LP)具有无界解，则(DP)无可行解。
注：反之则不一定成立。 (DP)无可行解，对应(LP)或有无 界解，或无可行解
定理2.2 (最优性定理) 若x*, y*分别(LP)和(DP)的可行解，且 cx* = y*b, 那么x*, y*分别为(LP)和(DP)的最优解。
(DP)
j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m
18
对偶规划的性质和原理 定理2.0 (对称性） 对偶规划的对偶规划是原规划
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≥0
max z’=-CTX
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C
A 甲 乙 丙 2 1 4 B 2 2 2 C 4 3 3 设备可用 工时 800 650 850
丁
2
4
2
700
3
max z 4.5 x1 5 x2 7 x3 2 x1 2 x2 4 x3 800 x 2 x 3 x 650 2 3 1 4 x1 2 x2 3 x3 850 2 x 4 x 2 x 700 2 3 1 x1 , x2 , x3 0
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
w1
wi wm wm+1
wm+j
wn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjwm+j=0 wixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
例2.3： 已知线性规划 max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 300 2x1 + x2 400 x2 250 x1, x2 0 的最优解为 x1* = 50, x2* = 250，求出该 线性规划对偶问题的最优解。
例2.2： max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1, x 2 ≥ 0
10
非对称形式的对偶规划
举列说明：等号形式的约束 设原规划中第一个约束为等式： a11x1 + … + a1nxn = b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价 a11x1 + … + a1nxn b1 a11x1 + … + a1nxn b1
4
若这家公司决定不生产这三种产品， 决定将设备进行出租，那么如何对各种资 源的租金进行定价？ 假设y1、y2、y3 、y4为单位时间4种资源 的租赁价格，则新的线性规划数学模型：
max z 4.5 x1 5 x2 7 x3 2 x1 2 x2 4 x3 800 x 2 x 3 x 650 2 3 1 4 x1 2 x2 3 x3 850 2 x 4 x 2 x 700 2 3 1 x1 , x2 , x3 0
(DP) min w =y b s.t. yA ≥ c y≥0
标准化 max z = cx + 0xs s.t. Ax + Ixs = b x, xs ≥ 0
max z = cBxB +cNxN + 0xs BxB +NxN + Ixs = b x, xs ≥ 0
32
（标准化）原问题的初始单纯形表
原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系
max y=bTW s.t. ATW≤C W≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0 对 引进松弛变量 偶
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS≥0
W，Ws
max y=bTW s.t. ATW+WS=C W, WS≥0
27
例： 已知线性规划 max z = x1 + x2 s.t. -x1 + x2 + x3 2 -2x1 + x2 - x3 1 x1, x2 x3 0 试用对偶理论证明该线性规划无最优 解。
28
解：
min w = 2y1 + y2 s.t. - y1 - 2y2 2 y1 + y2 1 y1 - y2 0 y1 , y 2 0
8
原规划
cj CB XB 4.5 x1 5 x2 7 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 x7 b
4.5
5 7
x1
x2 x3
1
0 0
0
1 0
0
0 1
-2/7
-1/14 -3/7
0
0 0
3/7
-1/7 -1/7
-1/14
5/14 -1/7
600/7
500/7 850/7
0
j
x5
0
0
0
0
0
0
-6/7
X，Xs
XTWS=0 WTXS=0
互补松弛关系
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS ≥0 max y=bTW s.t. ATW+WS=C W, WS ≥0
n n m XS
X
m W
A
WS
-I
= b
AT
I
= C
XTWS=0 WTXS=0
m
n
原始问题的变量
X -CT A
XN -CNT N XN -CNT B-1N
RHS 0 b
RHS 0 b RHS 0 B-1b
z z XB 1 0
XB 0T I
-19/14
1
0
2/7
-3/14
-3/14
400/7
-13/28 -11150/7
对偶规划
-800
CB -800 -850 -700 YB y1 y1 1 0 0
0
-650
y2 6/7 -2/7 3/14
-400/7
-850
y3 0 1 0