5数学基础知识与典型例题复习--向量
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法
第七节 立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图323111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图329二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3224(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角DGHE的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。
高中数学《向量的模长问题----代数法》基础知识与典型例题解析
高中数学《向量的模长问题----代数法》基础知识与典型例题解析一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=可得：22a a =，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。
要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =，则22a x y =+则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1：在ABC 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=，则OA = _____ 思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=，进而AB AC ⋅可求，且OA 可用,AB AC 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：O 为BC 中点 ∴可得：()12AO AB AC =+()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=代入可求出：213=4AO 132AO ∴=答案：132例2：若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，则a b c +−的最大值为（ ） A.21 B. 1 C. 2 D. 2思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将a b c +−平方，转化OB为数量积问题，再求最值。
解：()()200a c b c a b b c a c c −⋅−≤⇒⋅−⋅−⋅+≤ ①0,1a b c ⋅== ∴①转化为101b c a c b c a c −⋅−⋅+≤⇒⋅+⋅≥()22222222a b c a b ca b c a b a c b c ∴+−=+−=+++⋅−⋅−⋅()1112321b c a c =++−⋅+⋅≤−=1a b c ∴+−≤答案：B例3：平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC 的最小值为___________思路：发现所给条件均与,MA MB 相关，且MC 可以用,MA MB 表示，所以考虑MC 进行模长平方，然后转化为,MA MB 的运算。
高三数学第二轮专题复习系列：(5)平面向量
高考数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）
高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=?。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a ba b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?=? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【典型例题】例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD =，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC ∠的平分线，则BCBA =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12 【答案】C【解析】因为BF 是ABC ∠的平分线，所以存在一个实数λ使得BA BC BF BA BC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E 是边BC 的中点，所以2BA BE BF BA BC λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+，又点A ，E ，F 共线，所以21BA BC λλ+=①．（三点共线的应用：OA OB OC λμ=+（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则1λμ+=） 因为2BD AD =，所以32BD BC BF BABC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又点C ，F ，D 共线，所以312BA BC λλ+=②，联立①②，得112BA BC =，则2BC BA =，即2BC BA =.故选：C ． 例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．4【答案】B 【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD −=−，所以11AE AB m =++1m AD m +， 又∵AB DC AC AD ==−，∴()111m AE AC AD AD m m =−+++， ∴()()11AC m AE m AD =++−，又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=−，（平面向量基本定理的应用）又∵20λμ+=，∴()1210m m ++−=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪−=−⎪⎪+⇒⎨⎨−=−⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=∴2AC AE AD μμ=−+∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+−+ ⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ−+⎧+=+⎪⎪+⎨−⎪=+⎪+⎩①② 由②得1=1m mμ+−，将其代入①得3m =， 故选：B. 例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133a b +r rC ．3144a b +D ．1233a b + 【答案】D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+. 设AF AE λ=()01λ<<， 则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=−=+−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又BD AD AB =−，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭， 又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨−=−⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．57C ．411D ．815【答案】C 【解析】设MP kMN = 则45AP AM MP AB kMN =+=+ 显然2435MN AN AM AD AB =−=− 得()42424153535k AP AB k AD AB AD k AB ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭ 显然AC AD AB =+因为AP AC λ= 所以有()()24135k AD k AB AD AB λ+−=+ 即()24135k AD k AB AD AB λλ+−=+ 根据向量的性质可知()23415k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ 解得611411k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：C例5．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量OA ，OB 满足2OA OB ==，2OA OB ⋅=−，点D 满足2DA OD =，E 为AOB 的外心，则OB ED ⋅的值为（ ）A ．83− B ．83 C ．163− D ．163 【答案】A 【解析】2OA OB ==uu r uu u r Q ，cos 4c 2os OA O OA OB B AOB AOB ⋅=−∴⋅∠=∠=uu r uu u r uu r uu u r ，1cos 2AOB ∴∠=−，23AOB π∴∠=， 以O 为原点，OA ，垂直于OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()0,0O ，()2,0A ，(B −，设(),0D x 又2DA OD =，知()(),022,0x x =−，解得23x =，2,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 又E 为AOB 的外心，123AOE AOB π∴∠=∠=，OE EA =3AOE EAO OEA π∴∠=∠=∠=，AOE ∴为等边三角形，(E ，∴1,3ED ⎛=− ⎝，∴83OB ED ⋅=−． 故选：A例6．（多选题）（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图，ABC 中，13BD BC =，12AE AC =，AD 与BE 交于点F ，则下列说法正确的是（ ）A ．1233AD AB AC =+ B ．12BF BE = C ．:1:3BFD AFE S S =△△D ．20AF BFCF ++=【答案】BCD 【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设,,A B C 三点共线，O 为线外一点，则()1OB mOC m OA =+−， 即OA 与OC 前系数和为1，证：,,A B C 三点共线，AB mAC ∴=，()OB OA m OC OA ∴−=−， ()1OB mOC m OA ∴=+−．()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， 故A 错； ,,B F E 三点共线，()()112AF AB AE AB AC λλλλ−∴=+−=+， ,,A F D 三点共线，233AF AD AB AC μμμ∴==+， 23132μλμλ⎧=⎪⎪∴⎨−⎪=⎪⎩， 解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122AF AB AE ∴=+， ∴ F 为BE 的中点， 12BF BE ∴=，故B 对； 111443BFD ABD ABC S S S ==⨯⋅△△△， 111222AFE ABE ABC S S S ==⨯⋅△△△， :1:3BFD AFE S S ∴=△△，故C 对；取AB 中点G ，BC 中点H ，如下图，则,,G F H 三点共线，()()()()2AF BF CF AF BF BF CF FB FB F FA C ⎡⎤∴++=−++++=++⎣⎦ ()()220FG FH EA EC =−+=−+=，故D 对． 故选：BCD ．例7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在ABC 中，13A A D B =，34A A E C =，BE 与DC 交于点F ，若AF AB AC λμ=+，则λμ+的值为__________. 【答案】79【解析】由已知可得，13A A D B =，34A A E C =. 因为，,,D F C 三点共线，设DF mDC =uuu r uuu r ，01m <<. 13DC AC AD AC AB =−=−uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r ，则111333m AF AD DF AB m AC AB AB mAC −⎛⎫=+=+−=+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r . 1233m m BF AF AB AB mAC AB AB mAC −+=−=+−=−+uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ， 又34BE AE AB AB AC =−=−+uur uu u r uu u r uu u r uuu r ，因为,,B E F 三点共线，则存在R n ∈，使得BF nBE =uu u r uur ，即233344m n AB mAC n AB AC nAB AC +⎛⎫−+=−+=−+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ， 因为，,AB AC 不共线，所以有2334m n n m +⎧−=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2389m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，1293AF AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，即19λ=，23μ=，79λμ+=. 故答案为：79.例8．（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y −=____________．【答案】12− 【解析】如图，以A 为原点，分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI，正方形EFGC 边长为a 可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a，)1DF a =则)1cos30F x a =⋅，)1sin 302F y a a =⋅+，即F ⎫⎪⎪⎝⎭ 又AF AB AD x y =+，()()()2,00,22,2x a y a ax ay ⎫∴=+=⎪⎪⎝⎭即22ax ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22ax ay −=，化简得12x y −=− 故答案为：12−。
高中 向量 例题详解总汇(1)(含答案)
向量一、基本知识结构二、教学重点和难点1．理解向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算。
2．平面向量的数量积3．平面向量的分解定理三、考点1．向量的概念，向量的几何表示；2．向量的加法与减法；3．实数与向量的积，两个向量共线的充要条件；4．向量的数量积，计算向量的大小、方向，两向量垂直的充要条件；5．向量的坐标表示、坐标运算；6．向量的分解定理7．向量的应用四、课堂教学实施策略本章节中，向量的概念是通过举例反映概念实质的具体对象，并充分发挥几何图形的直观特点，使学生在感性认识的基础上建立概念；数量积的概念是通过严格的定义给出，和学生一起分析满足定义的充要条件；向量的运算，可以借助几何直观，并通过与数的对比引入，便于学生接受。
五、教学后的建议注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，尽可能让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、抽象、概括。
同时注意数学思想方法的渗透和应用。
六、典型例题（一）向量有关概念：例1：判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若b a b a ==则,；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若共起点,则终点也相同；(6)若b a =，c b =，则c a=；(7)若b a //，c b //，则c a//；(8)若四边形ABCD是平行四边形,则DA BC CD B ==,A ；(9)b a=的充要条件是||||b a=且b a //；分析：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解：(1)不正确，零向量方向任意；(2) 不正确，只是说明模相等，还有方向；(3)不正确，单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确， (6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若0=b，则不共线的向量c a ,也有0//a，c //0；(8)不正确,如图AD BC D B ==,C A ；(9)不正确，当b a//，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =。
高考数学复习考点题型与知识专题讲解1---空间向量的概念和运算
二、填空题
12．（2020·涟水县第一中学高二月考） A, B,C, D 是空间四点，有以下条件：
①
uuur OD
=
uuur OA
+
1
uuur OB
+
1
uuur OC
；
2
3
②
uuur OD
=
1
uuur OA
+
1
uuur OB
+
1
uuur OC
；
234
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur ③ OD = OA + OB+ OC；
7 Hale Waihona Puke ．62 B．3
5 C．
6
D．1
3．（2020·四川树德中学高二期中（理））如图所示，平行六面体 ABCD − A1B1C1D1 中，
以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60° .求 BD1 与 AC 夹角的余弦值是
（）
7 / 10
3 A．
3
6 B．
6
21 C．
7
21
D．
3
4．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理））已知 O 为空间任意一点，若
uuur uuur uuuur
uuur
uuur
uuuur
uuuur
中,向量 AB, AD, AA1 两两的夹角均为 60°,且| AB |=1,| AD |=2,| AA1 |=3,则| AC1 |
等于( )
A．5
B．6
C．4 [玩转练习]
D．8
一、单选题
1．（2020·江西高二期中（理））在下列命题中：
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数学基础知识与典型例题
数学基础知识与典型例题(第5章平面向量)答案
例1A 、例2.C 、例3.D 、例4.A 、例5.A 、例6.6、例7.(2,6)--,(4,2)-
,10
、例8.120
例9. 解:(用解方程组思想)设D （x ，y ），则→
--AD =（x -2，y +1） ∵→--BC =（-6，-3），→--AD ·→
--BC =0,∴-6(x -2)-3(y +1)=0，即2x +y -3=0① ∵→
--BD =(x -3，y -2)，→--BC ∥→
--BD ,∴-6(y -2)=-3(x -3)，即x -2y +1=0②
由①②得：11
x y =⎧⎨=⎩,∴D （1，1）,→--AD =（-1，2）
例10. 解:∵ B 、P 、M 共线∴ 记→--BP =s →
--PM
∴ 1111113(1)13(1)s s s OP OB OM OB OA b a s s s s s s --→--→--→--→--→→→
=+=+=+++++++① 同理，记AP t PN --→--→=∴ →--OP =114(1)
t a b t t →→
+++② ∵ a →,b →不共线∴ 由①②得113(1)114(1)s t s t
s t ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩解之得：92
83s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 321111OP a b --→→→=+
注：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s ，t ）是常用技巧之一。
平面向
量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s ，t 的方程。
例11.D 、 例12.B 、 例13.C 、 例14.A 、 例15.sin()24
y x π
=+-、
例16.C 、 例17.A 、 例18.C 、
5、当有人说你基础差时，你就“疯狂征服它”吧！
“疯狂就是百分之百的投入！忘我、忘物、忘时！排除一切杂念，克服胆怯，树立信心！打破传统，突破极限，淋漓尽致地挑战自己的潜能！ “疯狂就是以苦为乐、以苦为甜、苦尽甘来！”
我坚信征服英语的核心秘诀是：听一百遍录音的热心，抄写一百遍的恒心，自言自语一百遍的痴心。
我发现这样的热心、恒心和痴心，可以征服英语，也可以做成任何事情。
我在研究奥运冠军的时候也发现，运动员夺冠的精神，也可以帮运动员突破新的领域。
如果别人认为你英语基础很差，你还不够聪明，没有英语天赋，那你就看一看、想一想国球世界冠军邓亚萍，是怎样用笨的办法，征服了英语，征服了世界！
邓亚萍退役后，开始到奥委会工作时,连写26个英文字母都难,初到英国剑桥大学上课时，听老师讲课像听天书，但她一字不漏地听、一字不漏地记，回到宿舍，再一字不漏地翻字典，一字不漏地硬啃硬记，每天5点准时起床，读音标、背单词、练听力，晚上整理笔记，直到深夜12点休息。
邓亚萍用打乒乓球的心态，来享受练英语的苦,享受疲累,享受困乏，享受孤独，取消朋友聚会，取消社会活动，每天疯狂跟着复读机大声喊英语。
邓亚萍说：“如果学英语后，却没有办法跟别人交流，一切都是零。
所以，我特别舍得下功夫。
而我学英语的经验是——胆子要大，敢讲，不怕出丑，也不怕说错。
因为英语不是我们的母语，说错和不标准是非常正常的。
”
由于她每天坚持14个小时的学习，百分之百疯狂投入的学习，完全达到了忘我、忘物、忘时,排除一切杂念地疯狂苦读，以苦为乐、以苦为甜，结果苦尽甘来！一位当初只有小学学历的邓亚萍，在中国向国际奥委会争办2008奥运会时，代表中国的运动员，用流利的英语发言，争得了成功的一票！
邓亚萍说：“一个运动员成功的条件是——付出＋天赋＋好的环境。
”她把体育精神用到读书学英语上，也形成了一个读书成功的公式：付出+看不懂就多看几遍的意志力。
我多年的体会是：当你集中所有的精力，将消极的东西变成积极的东西，全神贯注地梦想一定能获得它，那世界上就没有什么东西可以阻挡你！（nothing that ’s going to stop you ！）
我的座右铭是： 行动 行动 再行动
Action, action, and action again. 说、说、说，疯狂地说！ 练、练、练，疯狂地练！ 喊、喊、喊，疯狂地喊！
与其空想，不如马上行动。
Instead of thinking about doing something, do something.。