24.2.1成比例线段2
24.2(2)比例线段 (黄金分割)
24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算AB AC 和AC BC 的值，你发现了什么？[说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝ACBC ，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，AB AP AP PB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析 问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？ [说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，A P BD这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.） 矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，BC AB BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆= 求证：OA CO OB DO =. 证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;OA B D C（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ; （2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
24.2.1比例线段 学案
24.2.1《成比例线段》教学案一、课时学习目标：1、了解比例线段的概念。
知道与“线段的比”的区别与联系。
2、了解比例的基本性质，会进行简单的变形。
二、课前复习导学：1、什么是相似图形？2、问：这两张图形有什么联系？它们是 图形，它们 的形状 ， 不相同，是相似形。
为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
三、课堂学习研讨1、由上面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC ''之间有关系_______________．2、概括：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dc b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．3、问题1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解：（1）∵=ba ＝ ，=dc ＝ ，∴b adc ∴线段a,b,c,d 成比例线段。
（2）∵=b a＝ ，=dc ＝ ，∴badc ∴线段a,b,c,d 成比例线段。
图24.2.14、练习：判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4．5、新结论：对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dc b a =，那么ad ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc ba =．以上结论称为比例的基本性质．6、思考：请试着证明这两个结论。
24.2比例线段(1)(2)PPT优秀课件
2021/5/25
线段的比值:
（1）AB : BC；（2）AC : AB；（3）BC : AC.
（1）1 ；（2）3；（3）2 .
2
3
2.
如图，已知线段BD与CE相交于点A，
AD BD
AE CE
求证：（1） AD AE ；
AB AC
（2） AB AD .
AC AE
13
课后练习
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5 1 厘米，
较短线段PN的长是 3 5 厘米.
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简称比例线段.
比例线段
3
比例内项
a:b=c:d
比例是指四条线段 之间的一种关系， 它们有顺序要求。
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比例外项
DE AD BC AB
4
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两个外项的积等于两个内项的积,即如
果
a b
c d
，那么ad = bc.
bd ac
ab cd
cd ab
5
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练习
如果a=10cm，b=0.2m，c=30mm，d=6cm,则下
SAOD SAOB
1 DO 2 1 BO
AH AH
DO
SBOC
OB，同理：SAOB
CO OA
.
SAO DS 2BO ，CDOOB
CO.
OA
D
C
H
O
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15
A
B
例题3 已知线段AB的长度是l，点P是线段
AB的一点，PABP
AP AB
，求AP的长.
解：设AP=x，则PB=l-x，
由 PB AP ，l x x ，
理解成比例线段的概念
室内设计
在室内设计中，家具、装饰品和 空间布局等也常常需要遵循一定 的成比例关系，以达到视觉上的
舒适和平衡感。
03 成比例线段的性质和判定 方法
成比例线段的性质
1 2
对应线段长度成比例
如果四条线段a、b、c和d成比例，则它们的长 度之间存在一定的比例关系，即a/b = c/d。
对应角相等
如果四条线段成比例，则它们所构成的三角形中， 对应的角相等。
黄金分割在艺术和设计中广泛应用，如建筑设计、绘画和摄影等，而成比例线 段是实现黄金分割的关键。
与等比数列的关联
等比数列
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中任何项都与它 前面的项成相同的比例。这与成比例线段的定义相呼应。
数学分析
通过成比例线段，可以进一步研究等比数列的性质，如公比 、项数等，以及它们在数学分析和实际生活中的应用。
3
相似图形
如果四条线段成比例，则由它们构成的两组相似 多边形也是相似的。
成比例线段的判定方法
定义法
如果四条线段满足a/b = c/d，则 它们成比例。
平行线法
如果两条线段平行且被一条横截线 所截，截得的对应线段成比例，则 原线段也成比例。
三角形法
如果两个三角形相似，则它们的对 应边成比例。
判定成比例线段的注意事项
分形几何
分形几何中的许多图形都是由成比例 线段构成的。例如，科赫雪花就是通 过不断将线段按照一定比例进行分割 和拼接而形成的。
建筑中的成比例线段
建筑设计
建筑设计中，成比例线段的运用 可以增强建筑的和谐感和美感。 例如，古希腊的帕台农神庙和罗 马的万神庙都是运用了成比例线
段的经典建筑。
建筑结构
建筑物的各个部分之间也存在成 比例关系，如梁和柱的尺寸、窗 户和门的高度等。合理的比例关 系可以使建筑物更加坚固和美观。
沪教版数学24.2(2)比例线段
§24.2（2）比例线段（2）教学目标：1、 体会平行线、三角形的面积与比例线段之间的转化，为“三角形一边的平行线的性质定理”做好铺垫.2、 通过对黄金分割的了解，体会方程思想的作用.教学重点：转化的数学思想.难点：方程思想.教学过程：一、三角形的面积与比例线段之间的转化.例1、已知，如图四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，BOC AOD S S ∆∆=.求证：OA CO OB DO =.你还能得到其它结论吗？比如DC//AB ？想一想：如果将条件，改为DC//AB ，结论还成立吗？也就是：只要有平行的条件，就可以得到比例式，中间过程是面积相等.即平行线、三角形等积和比例式之间可以相互转化.二、黄金分割与方程思想：例2、如图，已知线段AB 的长度是l ，点P 是线段AB 上一点，AB AP AP PB =， 求线段AP 的长.（方程思想） 黄金分割：如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP ＞PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，即ABAP AP PB =那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点． 黄金数：如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），那么215-==AB AP AP PB ，其中比值215-称为黄金分割数（简称黄金数）．近似值是0.618. 黄金分割被称为“天赋的比例法则”，在建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图方面都有广泛的应用.《唐老鸭漫游数学奇境》P练习1、（1）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），求PB∶AB的值．（2）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝20，求PB的值．三、课堂小结：1、本节课你学习了哪些概念？2 、掌握了哪些方法？3、有什么感悟？四、作业：1、课后练习2、练习册.。
24.2比例线段2
艾非尔铁塔 举世闻名的法兰西国 土上的“高塔之 祖”——埃菲尔铁塔， 它的第二层平台正好 坐落在塔高的黄金分 割点上，给铁塔增添 了无穷的魅力。
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？ 分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点， 根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
黄金分割在地理上的应用
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的 祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北 纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐 山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也 恰好在这黄金分割的纬度上。
翩翩起舞的芭蕾舞演员掂起脚尖跳芭蕾总会给人感 到和谐、平衡、舒适，美的感觉。
.
中华人民共和国
新西兰
朝鲜
请问这四面国旗中有共同图案吗？
五角星是一个非常完美的 图案. 古希腊数学家毕达 哥拉斯有一句名言：“凡 是美的东西，都具有共同 的特征，这就是部分与部 新加坡 分以及部分与整体之间的 协调一致.”
5 1 5 2
AP与AB的比值
5 1 称为黄金分割数 2
(简称黄金数). 黄金分割数是一个无理数,
在应用时常取它的近似值0.618
5 -1 l 2
3 5 l 2
A
PB AP AP AB
点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）
你知道芭蕾舞演员跳 芭蕾舞 舞时为什么要掂起脚 尖吗?
芭蕾舞演员的身段是 匀称的，但下半身与 身高的比值也只有 0.58左右，演员在表 演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这 时比值就接近0.618 了,给人以更为优美 的艺术形象.
近年学年九年级数学上册24.2比例线段(1)教案沪教版五四制(2021学年)
201７学年九年级数学上册２４．2 比例线段（1）教案沪教版五四制编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２017学年九年级数学上册２4．2 比例线段(1)教案沪教版五四制）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017学年九年级数学上册 24.2 比例线段（1）教案沪教版五四制的全部内容。
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用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。
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上海教育版数学九上24.2《比例线段》word教案
24.2（1）比例线段教学内容分析本课主要由两部分组成.第一部分是有关线段比例的基本概念和性质及相关的计算.第二部分是比例的拓展性质. 教学目标设计1.知道两条线段比的意义.2.理解比例线段及其有关概念.3.知道比例线段的性质.4. 掌握合比和等比性质,能结合具体图形进行简单的比例线段变形. 教学重点及难点重点:比例线段的概念及它的初步应用 难点:合比、等比性质的运用. 教学用具准备投影仪、笔记本，预习本. 教学流程设计教学过程设计一、 情景引入1．观察图形的相似与线段的比及比例有密切的关联.同学们学习了两条线段比的有关知识，这节课我们来学习和研究比例线段的有关问题.（板书课题） 2．思考在学习新知识之前，我们先回想一下两条线段比的定义及求法，请同学们求下面两条线段的比.引例：如图：AB =50，BC =25，''20A B =, ''10B C =.求 '''',AB A B BC B C.DABC[说明]两个数相除又叫做两数的比，记作ab或:a b ，其中a 叫比的前项，b 叫比的后项.解：∵50225AB BC ==, ''''20210A B B C ==,∴ C B B A BC AB ''''=.二、学习新课1．概念辨析在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.线段d 是a 、b 、c 的第四比例项. 提问：比例的基本性质是什么——两个外项的积等于两个内项的积.（1）请同学们想一想，由::a b c d =能否得到ad bc =？为什么？ 反过来，若a d=bc ，那么能否得到a ：b=c ：d 呢B 'A ''（2）由a ：b=b ：c 可得b 2= a c由b 2= a c 可得a ：b=b ：c ，线段 b 叫a 、c 的比例中项. （3）由此可以看出：利用比例的基本性质，可以实现比例式与等积式的互化. [说明]（1）定义告诉我们判定四条线段成比例线段的方法： （其中的一个比例式）⇒=dcba a 、b 、c 、d 四条线段成比例； （2）定义告诉我们若已知四条线段成比例，则一定有比例式， a 、b 、c 、d 四条线段成比例dc b a =⇒（3）因为两条线段的比是它们的长度的比，实质上就是两个数的比.由于成比例的数具有比例的基本性质，所以成比例的四条线段也具有比例的基本性质. 2．例题分析例题1 已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？⑴a =1mm , b=0.8cm , c=0.02cm , d=4cm;⑵711=a cm , b=0.4cm , c=40cm , cm d 213=. [说明] 解题小结：①统一单位；②从大到小（从小到大）排列； ③通过求比例或求积判断.⑴方法二、利用比例的基本性质 ∵dc=4×0.02=0.08, a b=0.1×0.8=0.08, ∴a b=dc,∴a 、b 、c 、d 四条线段成比例. 第⑵小题让学生练习. 补充练习：（1）已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝45cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段.（2）已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多长？学生练习：判断下列四条线段是否成比例⑴a=2, b=5 , c=15 , d=32;⑵a=2 , b=3, c=2 , d=3;⑶a=4, b=6 , c=5, d=10;⑷a=12, b=8, c=15, d=10. 3．问题拓展合比性质：引导学生运用类似的方法推导出比例的等比性质:如果a cb d=,那么a c a ckb d b d+===+等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况如果,那么 .证明：设；则 ,∴ .等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握.三、巩固练习例题2（1）已知： ，求证： .证明：方法一：∵ ，∴方法二：∵，∴即11811,8a ab b=∴=（2）（拓展）已知：()0a cb d b d=±≠ ，求证： . 证明：a c b d =，a b c d∴= a c b dc d ++∴=（1 同理a cb dc d--=（2） 由（1）÷（2）得：a cb da cb d++=--. 例题3 已知：EC AE DB AD = 求证：（1）ECACDB AB =； （2）AEACAD AB =四、课堂小结1.今天我们研究了什么内容，又哪些收获呢？2.这些内容和过去的知识有没有联系，有怎样的联系呢？3.你有没有不明白的地方呢？如果要你自学你能够胜任吗五、作业布置基础练习：书后练习1、2、3，4练习册24.2（1）拓展练习（1）求 ①②③（2）求下列各式中的x . ①② ③ ④（3）把cd ab 21=写成比例式，下列写法不正确的是 A 、b d ca 2=B 、b d c a =2C 、b d c a =2D 、bc d a =2 七、教学设计说明学生在六年级时已经学过比例的基本性质，本课首先利用类比的方法使学生得到了线段的有关比和比例的基本性质.在此过程中特别强调线段的比实际也是和数字有关的，帮助学生能够过渡好.通过简单练习、巩固.然后再向大家介绍了比例的其他性质，作为拓展内容只需学生们了解即可，课后供大家研究.本堂课既做到面向全体学生，又做到了分层递进，作业也是从这个方面安排的.。
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例4.已知：x:y=4:5，y:z=3:7.求x:y:z.
解 1 x : y 4 : 5, y : z 3 : 7
x : y 12 : 15, y : z 15 : 35 x : y : z 12 : 15 : 35 2 x : y 4 : 5, y : z 3 : 7
x y z 设 k 3 4 6
x 3k , y 4k , z 6k
10 3
3 4 6
2x y 3x z
2 3k 4k 10 k 3 3k 6k 3k
思考 :
同时除以4、3、2的最小公倍数12，转化为x/3=y/4=z/6
如果将已知x : y : z 3 : 4 : 6, 变为4 x 3 y 2 z.又如何求？
PA PC PB PD
内项为
PB,PC ， SC
SC为 第四 比例项 ，EF为 比例中项 ）
B、cm, 4cm,8cm,10cm 2 D、cm,5dm, 0.2m,10cm 2
4.下列能组成比例线段的是（ C
A、 , 2cm,3cm, 4cm 1cm C、 m, 20cm,10cm, 2.5dm 0.5
x y x 2x y x y 5.已知 ， 求 ; ; . 3 4 x y y x 2y
3
a c m 若 ...... 且b d ...... n 0 b d n a c ...... m a 则 b d ...... n b a c m a c m 设 ...... k 证明 k , k ,......, k b d n b d n a bk, c dk,...... m nk
a c m a c ...... m a 若 ...... 且b d ...... n 0, 则 b d n b d ...... n b
4
a b c 例1.已知 , 且a b c 15, 4 3 2 分析：设参数法,为“桥梁”，在
2当a b c 0时
b a a c b c 2a b c k cba abc
k 2
综上所解：k 2或 1.
3x y 3 y z 3z x 练习： 已知 k , 且x y z 20, 求k. 7 3 4 5
a 4k 4 5 20 c 2k 2 5 10
a b c 练习： 已知 ，a 2b 3c 8， 求abc的积。 5 2 3 4
2x y 例2 : 已知x : y : z 3 : 4 : 6, 求 的值. 3x z 解 x : y : z 3: 4 : 6 x y z
4.已知：a:b=3:4，b:c=6:5.求a:b:c.
x y z 1.若 , 且3x 4 z 2 y 40, 求5 x y z的值 2 3 4
10
a c 如果 ， 那么ad bc. b d
ab cd a c a c a c 。 如果 ，那么 。 如果 ，那么 b d ab cd b d b d
2
1.若a,b,c,d成比例，且a=2，b=3，c=4，d= 6 。 2.若线段a=3，b=12，线段c是a，b的比例中项，C= 6 。 3.指出下列比例线段中的内项和外项：
4 7 x y, z y 5 3
分析：以两个式子中的相 同y为准，将其不同值统 一为相同值。方法是求其 最小公倍数，然后分别扩 大即可。 分析：以两个式子中的相 同y为已知数，用它分别 去表示x与z，然后代入式 子约去y,并乘分母的最小 公倍数，将各项化为整数。
x : y : z
练习.已知：a:b=2:3，b:c=4:5.求a:b:c.
d n a c m a b d n b b
9
x yz 2 : 已知x : y : z 2 : 3 : 6, 求 的值. 3x y z 3.已知：a，b，c为三角形三边长，(a-c):(c+b):(cb)=2:7:(-1)，周长为24.求三边长.
探 索
a c ...... m bk dk ...... nk b d ...... nk b d ...... nk b d ...... n k b d ...... n a c ...... m a b d ...... n b 等比性质：
求 a、b、c的值
解
a b c 设 k 4 3 2
解题中增设k，又在解题中自行 消去。当题目中出现等比的形式 时通常考虑这种方法.
a 4k , b 3k , c 2k
a b c 15,
3k 15
4k 3k 2k 15 k 5 b 3k 3 5 15
华东师大版《数学 〃 九年级（上）》
§24.2.1 成比例线段
第二 课时
1
一、判断线段是否成比例线段的方法 （1）先将四条线段从小到大排列；再将首尾、中间
的两数分别相乘；比较乘积是否相等。 （2）先将四条线段从小到大排列；将前两项与后两 项分别相比；比较比值是否相等。 二、比例的基本性质 a c 如果ad bc， 那么 . b d 三、合比性质
4 7 y: y: y 5 3 4 7 :1: 12 : 15 : 35 5 3
8
本节课我们学习了什么？
a c 结论1：比例的基本性质： ad bc b d
a c ab cd 结论2：合比性质： b d b d
结论3: 等比性质： a c m (b d n 0)
2x 3y 6z 练习： 已知3x 4 y 5 z，求 的值 3x 2 y 4 z
6
ab bc ca 例3.已知 k , 求k的值. c a b
解 1当a b c 0时 则有a b c; a c b; b c a ab c 1 k c c