23.1成比例线段

一、相似图形:具有相同形状的图形
注 （1） 与图形的大小，位置、颜色等无关，
（2）相似图形可通过放大，缩小得到。

（3）全等图形是相似图形的特殊情况。

（4）相似图形的边的条数相同，对应线段的比值相等，对应角相等
如：所有的正方形、等腰直角三角形，等边三角形，圆是相似图形。

二、成比例线段
1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫这两条线段的比
（1）线段的比与线段的长度单位无关，但要采用同一单位。

（2）线段的比无单位。

结果一般化为最简整数比
2、比例线段
①概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条
线段的比， 如
d
c b a =（或a ∶b ＝c ∶
d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 注：（1）单位统一 （2）顺序性： 称a, b ，c,d 成比例 称a,d,c,b 成比例 ②比例线段中的相关概念
已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果d
c b a =(a∶b＝c∶d)， 线段a 、b 、c 、
d 叫做组成比例的项.
线段a 、d 叫做比例外项，
线段b 、c 叫做比例项，
线段d 叫做线段a 、b 、c 的第四比例项. 特别地，当比例项相等时，即c
b b a =(a∶b＝b∶c)，那么b 叫做a 、
c 的比例中项. 注:（1）线段a,b,c,
d 成比例，其表示方法是有顺序的；
（2）判断四条线段是否成比例的方法
○
1排序：按线段长度排序 ○
2看前两条线段的比是否等于后两条线的比 如果m n n p
=，比例外项是 ；比例项是 ；比例中项是 。

3.比例的性质
(::)a c a b c d b d
==或(::)a c a d c b d b
==或
①比例基本性质1：d
c b a = a
d ＝bc(bd≠0) 线段a,b,c,d 成比例 比例外项之积等于项之积（交叉相乘积相等
特别地，d
b b a = b 2＝ac(bc≠0) b 是a,
c 的比例中项 问：你能将ad=bc （a,b,c,
d 均不为0）化成比例式吗？ 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 注：（1）一个等积式可写成八种比例式，但比值不相等 （2）比例式与等积式的互换，检验比例变形是否正确
（3）判断四条线段成比例的方法
方法一：先排序再看第一与第二的比是否等于第三与第四的比
方法二：先排序再看最长线段与最短线段的积是否等于其余两条线段的积
○2比例的性质2：
c b a =
a
c b
d = 比例的更比性 d
b c a = ○3比例的性质3: c d a b = 比例的的反比性 比例项（或比例外项）可互换，两边比的分子，分母可同时互换，仍成比例。

○4合比性质：d c b a =⇔ c
d c a b a +=+c d c a b a -=- 两式相除得
推论：d c b a =⇔d
c d c b a b a -+=-+ （比的左右结构形式一样）结构形式：分母不变，分子是原分子与分母的和差 ③等比性质：若
==d c b a ……＝ n m (b+d+…+n≠0)----强调此条件，不明确要讨论。

a
b c d =b d a c =d
c b a =d
b c a =
c d a b =b a d c =a
c b
d =c a d b =斜换竖换
仍成比例
则n d b m c a ++++++ ＝b
a 黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，(AC ＞BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中线，叫做把线段AB 黄金分割，C 点叫做线段AB 的黄金分割点. 若BC
AC AC AB =（AB ：AC=AC ：BC ） 点C 叫做线段AB 的黄金分割点. AC 是AB,BC 的比例中项
若AB=1,设AC=x,则BC=1-x,
x
x x -=11 x 2+x-1=0 解得 x 1=251+-618.0≈ x 2=251--(舍去)
典型例题
例1(1)判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： a=2, b=5, c=152,d=35
(2) 判断下列线段是否是成比例线段
a ＝2cm ，
b ＝4cm ，
c ＝3m ，
d ＝6m ；
【方法归纳】判断四条线段是否成比例时，若所给的线段单位不一致，一定要先统一单位 例2、已知，1，2， 2 三个数，请你再添一个数，使这四个数成比例
例3、 （1）已知43=y x ，求y
x y x y y x y y x 3232,432,+--+的值 变：4
3y x = 法一：运用合比分比性质 法二：设参数法○
1令x=3k,y=4k,再代入
法三： ○2令k y y x =+，用等式的性质求出y
x 的值（用k 表示的）
法四：代入消元法，把y x 43=
代入目标代数式
法五：运用分式的性质，将目标代数式分子分母同时除以xy.
法六：将目标代数式逆用同分母分式相加减法则。

例2 已知45=+y y x ，求y
x 的值
例3 已知x∶y∶z＝2∶３∶５.求z
y x z y x +--+33的值. 变：○15
32z y x == ○215x=10y=6z
小结：在比例变形时，可利用等式的性质，分式的性质，比例的性质。

例5 如果
31==d c b a ，求d b c a d b c a b a b a b b a 22,,2,--++-++的值
例6 若
k b
a c a c
b
c b a =+=+=+，求k 的值（两种情况）
例7 已知
EC
AE BD AD = （1）AE AC AD AB =成立吗，为什么？ （2）若AD=15,AB=40,AC=28，求AE 的长
例8在△ABC 和'''C B A ∆中，2'
'''''===C A AC C B BC B A AB ,求△ABC 和'''C B A ∆ 的周长之比。

例9 若△ABC 的三边a,b,c,满足(a-b):(c-b):(a+c)=-7:1：18，试判断△ABC 的形状
三.、应用新知，体验成功
1．已知两条线段a=2m,b=80cm,则a:b=
2、已知a=3cm,b=2cm,若b 是a 和c 的比例中项，则b ＝ (提示：如果
a b b c =，则b 是a 和c 的比例中项)
3、.已知4x-3y=0.则
x y y += 4、已知a:b:c=2:3:5,
且a+b+c=5.m+n=2 求322a b c m n
+-+的值
四、达标测试，巩固提高
1、延长线段AB 到C ，使BC=2AB,则AC ：BC= ；BC ：AB=
2、已知A,B 两地的实际距离是60km,图上的距离是A ’B ’=6cm.则这幅地图的比例尺是
3、已知：四条线段a=0.5m, b=25cm, c=0.2m ,d=10cm.这四条线段______(是否)成比例.
4、已知：
53=-b b a ，则b
a =_____ 5、已知578
a b c ==，且3a-2b+c=3.则a=___,b=____,c=_____,2a+4b-3c= 6、已知：3
46z y x ==（x 、y 、z 均不为零），则=-+z y y x 233__________. 7. 已知23=b a ，那么b b a +、b a a -各等于多少？
8、已知a b b c c a k c a b +++=== ，求k 的值．
9、已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：d b d b c a c a -+=-+．。