对应线段成比例
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
相似及对应线段成比例
线段的比（一）基础知识：1．两条线段的比就是两条线段 的比.线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺A 、B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比为3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段，简称已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm课堂学习：1.两条线段的比的概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？巩固练习：在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?归纳与小结：1、（1）度量两条线段的必须统一（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是2. 比例线段的概念四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b =c ∶d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.【 例2】 （杭州市）已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 ．分析：这是一道多种答案的开放性创新题巩固练习1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？归纳与小结：（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 .（2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.小结：1.两条线段的比的概念2.比例线段的概念练习：1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．5. 下列各组线段长度成比例的是（）A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝作业：1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际距离是（）A、60000米B、6000米C、600米D、60千米2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）A、2∶1B、3∶2C、1∶2D、3∶13、等边三角形的边与高的比是 _________．4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长是，角的实际是5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电线杆高等于 _________．6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学校的周长及面积.9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC= 成立吗？10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3线段的比（二）基础 1、若x x y -＝2，则x y= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是 课堂学习：1. 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么d c b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？巩固练习:1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴yx ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ）A 、a cb d = B 、1111ac bd ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质【 例2】 （1）如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ （2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222x y z xy xz yz+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)小结：1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.当堂检测：1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；2、如果y y x + = 47，那么yx 的值是 3、若3x －4y = 0，则y y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________． 作业：1、如果53=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .3、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．285、已知dc b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）A 、n x =y mB 、m y =x nC 、m x =n yD 、m x =yn 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长．8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．35 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么ac bd bd ac 743--的值应等于（ ） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．32- 4.4 相似多边形基础1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
对应线段成比例的三种形式
对应线段成比例的三种情形
要说对应线段成比例，咱们四川人讲起来也是头头是道，不
外乎就是那么几种情况嘛。
第一种嘛，就是平行线截割定理。
你想象一下，有两条平行线，中间被几条横七竖八的线给截了，那这些被截的线段，只要
它们在同一条直线上头，对头对的，那就是成比例的。
就好比说
你吃串串，两根签子串的肉大小一样，那就是成比例的噻。
第二种情况呢，就是相似三角形的对应边成比例。
你看嘛，
两个三角形要是长得像，那它们的对应边肯定就是成比例的。
就
像你跟你爸或者你妈长得像，那你们的一些特征，比如说眼睛大小、鼻子高低，那肯定就是成比例的。
最后一种，就是圆里面的弦的比例关系。
你画一个圆，然后
在圆里面画几条弦，只要这些弦满足一定的条件，那它们的长度
也是成比例的。
这个就跟咱们打麻将一样，有时候摸到的牌，要
是组合得好，那也是能打出好胡子的，这就叫“比例搭配得好”。
所以说嘛，对应线段成比例，其实就是要看它们是不是满足
上面这三种情况。
只要满足了，那它们就是成比例的。
这就像咱
们四川人吃火锅，只要火候、食材、调料都搭配得好，那吃起来
肯定就是美滋滋的。
所以说，数学也是跟生活息息相关的，只要
你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
最新人教版高中数学选修4-1《平行线分线段成比例定理》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c,则EFDE BC AB =.图1-2-13.定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图1-2-2所示，a ∥b ∥c,则BCDE AC AE AB AD ==(1) （2）图1-2-23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好. 误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF).图1-2-4 图1-2-5平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l 1∥l 2∥l 3,则EFDE BC AB =. 比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则截得的线段相等,即当EFDE BC AB ==1时,则有AB=BC,DE=EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB 、BC 、AC 的对应线段分别是DE 、EF 、DF.由平行线分线段成比例定理有DFEF AC BC DF DE AC AB DE EF AB BC ===,,.根据比例的性质,还可以得到DF AC DE AB EF BC DE AB ==,,DFAC EF BC =. 为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把DFDE AC AB =说成是“上比全等于上比全”，把EFBC DE AB =说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？思路:从学过的所有涉及线段相等的结论进行总结.探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有的(或添作的)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.典题·热题例1如图1-2-6所示，∠A=∠E ，BE AB =21，BD=8，求BC 的长.图1-2-6思路分析：要求BC ，由于BC 和BD 是对应线段，因此只要得出AC ∥DE 即可. 解：∵∠A=∠E ，∴AC ∥DE. ∴BEAB BD BC =(平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例). ∴8BC =21.∴BC=4. 误区警示 在列比例式求某线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式第一项，以减少比例变形，减少错误.例2如图1-2-7所示，DE ∥BC ，EF ∥DC ，求证:AD 2=AF·AB.图1-2-7思路分析：要证AD 2=AF·AB ，只要证ABAD AD AF =，由于AF 、AD 、AB 在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形“A”型中立即可找到过渡比为ACAE . 证明：∵DE ∥BC ， ∴ACAE AB AD =(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例). ∵EF ∥DC,∴ACAE AD AF =. ∴AB AD AD AF =,即AD 2=AF·AB. 深化升华 等积式常常转化为比例式证明，要善于从复杂图形中识别出基本图形中的公共部分(即ACAE )，它往往是构成证明中的过渡比.例3如图1-2-8所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD=DC ，求证:AE·FB=EC·FA.图1-2-8思路分析：本题只要证FB FA EC AE =即可.由于EC AE 与FBFA 没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点.∵AG ∥BD,∴FB FA =BDAG . 又∵BD=DC,∴FB FA =DCAG . ∵AG ∥BD,∴DC AG =ECAE . ∴EC AE =FB FA ,即AE·FB=EC·FA. 变式方法 本题过点A 还有一种方式作平行线构造基本图形，过B 、C 都有两种方式作平行线构造基本图形.例4如图1-2-9，已知AD 是△ABC 的内角平分线,求证:CDBD AC AB =.图1-2-9思路分析：AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线.证明：过点C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于点E,∵AD ∥EC,∴CDBD AE AB = 又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.∴CD BD AC AB =. 深化升华 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例.例5某同学的身高1.60米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，求这个路灯的高？图1-2-10思路分析：结合光的直线传播，建立如图1-2-10所示的三角形，根据人体与路灯杆平行将题目转化为成比例线段，代入数值可以获得结果.解：如图1-2-10，AB 表示同学的身高，CD 表示路灯的高.∵AB ∥CD,∴CDAB PD PB = ∴CD=2)42(6.1+⨯=⨯PB PD AB =4.8(米). 答:路灯高为4.8米.例6如图1-2-11，从Rt △ABC 的两直角边AB 、AC 向三角形外作正方形ABFG 及ACDE ，CF 、BD 分别交AB 、AC 于P 、Q 点，求证:AP=AQ.图1-2-11证明：∵AB ∥GF,AC ∥ED ， ∴BE BA ED AQ CG CA GF AP ==,,即AP=CG GF CA ∙,AQ=BEED BA ∙. ∵CA=ED,GF=BA,CG=BE,∴AP=AQ.例7如图1-2-12，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证:KO 2=KE·KF.图1-2-12思路分析：KO 、KE 、KF 在一条直线上，要证明KO 2=KE·KF ，即要证KOKF KE KO =，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO 、KE 、KF 与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK 、BA ，设它们交于H ，则图形中出现如上题所说的两个基本图形,这就不难将KOKF KE KO =进行转换而找到中间比. 证明：延长CK 、BA ，设它们交于H ，∵KO ∥HB,∴KH DK HA KE DH DK HB KO ==,.∴HA KE HB KO =,即HAHB KE KO =. ∵KF ∥HB,同理可得HA HB KO KF =.∴KO KF KE KO =,即KO 2=KE·KF. 深化升华 本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到KE KO 与KOKF 的中间比，使问题得以突破,也可以由两个基本图形直接得到HA HB KO KF HA HB KE KO ==,.。
平行线分线段成比例及证明
A
D
l1
AB BC DE EF
因为
BC AC
EF DF
（平行线分线段成 比例定理）。
BE FC
l2
l3
BC AC EF DF
AB BC AC DE EF DF
！
上下全 上下全
已知：如图， l1 //l2 //l3 ，AC=8，DE=2，EF=3，
求AB。
方法一 解：因为 l1 //l2 //l3
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中，有 AB S ABM
BC S BCM
AM S ABM MN S BMN
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴ AB AM
BC MN
亦即 A B B E BC EF
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
三 练习
已知：如图，l1
//l2
//l3
，
求证：
AB DE
BC。AC EF DF
证明：因为 l1 //l2 //l3
AB BC
DE EF
（平行线分线段成 比例定理）。
平行线分线段成比例及证明
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的
A
线段对应成比例 如图
B
已知l1∥l2∥l3
求证 AB DE
Hale Waihona Puke CBC EF或 AB DE
AC DF
或
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27.2.1相似三角形--平行线分线段成比例定理
一.基础题
1.如下左图⊿ABC 中,MN ∥BC,则BM:CN=AM: ;AB:AM= :AN; MN: =AN:AC.
2.如下中图已知DE ∥BC ，EF ∥AB;AD:DB=2:3,BC=20cm 则BF= .
3.如上右图平行四边行 ABCD ，E 为BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交B 于F 点，则____=AD
BE ，____=FD
BF . 4、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AF:HE ＝________。
5、如图，AB∥BE∥CF，BC ＝3，，则AC ＝________。
6、如图，DE 是△ABC 的中位线，且DE ＋BC ＝6，则BC 长为________。
7、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则＝________。
8、如图，△ABC 中，X 是AB 上一点，且AX ＝2XB ，XY∥BC，XZ∥BY，则AZ:ZC ＝________。
二.选择题
9.如下左图⊿ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ）
A. AD ：AB=AE ：AC
B. AD ：DB=AE ：EC
C. AD ：DB=DE ：BC
D. AD ：AB=DE ：BC
10.如下中图DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：FC BF EC AE =，BC AB BF AD =，BC DE AB EF =，BF
EA CF CE =，其中正确的比例式的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11.如下右图AB 是斜靠在墙上的长梯，梯角B 距墙1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（ ）
B M A N
C E
F B C D A A E D
B C F
A. 3.85m
B. 4.00m
C. 4.40m
D. 4.50m
三.解答题
12.如下左图在ΔABC 中，AB=AC ，AG ：GD=AF ：FB ，EG ∥CD 求证：AF=AE.
13.如下中图DF ∥BC ，E 是BC 延长线上的一点，CE=BC 求证：GE
DG AB AD .
14.如下右图平行四边形ABCD 中，F 是BC 延长线上一点，连AF 交DC 于E 点，若AB=a ，AD=b ，CE=m ，求BF 的长.
15.已知：在平行四边形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ∥AC 交CD 于F ，BF 的延长
线交AD 的延长线于G ，求证：AD 2=AE ·AG ( 自画图形)
16.已知：如图，E 为正方形ABCD 的BC 边延长线上一点，AE 交CD 于F ，FN ∥AD 交DE 于N ，
求证：CF=NF.
B C
C
F C B。