【教案】-相似三角形及平行线分线段成比例
《平行线分线段成比例》教学设计
课堂教学设计执教人课题平行线分线段成比例一、教学目标确定的依据1.教材分析平行线分线段成比例是初中数学的相似三角形一章第二课时的内容．将要学习的是平行线分线段成比例定理及其推论，平行线分线段成比例是学习以及推导相似三角形判定定理的基础，通过学习将帮助学生进一步认识对应线段成比例。
通过平行线分线段成比例的学习，可以加深对平行线的认识．同时，平行线分线段成比例也是学习相似三角形、位似的基础．本节课重点是平行线分线段成比例定理及其推论的理解以及练习巩固。
通过具体的实例，让学生能够理解平行线分线段成比例，以及会用平行线分线段成比例计算线段的长度。
本节课通过实例，如“网格图中平行线分得的对应线段的比”“平行线分线段成比例的推论”等，让学生通过观察、抽象，学习平行线分线段成比例，并从中体会平行线分线段成比例在具体计算解题中的应用。
2.学生分析学生在前面的学习中已经学过了线段的比、成比例线段、三角形的全等以及比例的性质等知识，这节课平行线分线段成比例是在前面学习过的基础上进行更加系统的学习，知识本身比较抽象，对应线段的概念需要学生理解，对于内容的理解要求比较高，同时对于定理内容本身、以及推论本身的识记也要求学生能记忆准确。
所执教班级学生对于平行线分线段成比例的一般情况理解基本到位，但是对于定理中变形的应用不够熟练，例如利用平行线分线段成比例的性质求值会有障碍。
本节课借助多媒体辅助教学，指导学生直观形象地观察与思考，理清对应线段成比例的概念，对于一般情况进行特殊化平移，从具体特殊问题中抽象出数学问题，总结出平行线分线段成比例的性质，进一步认识平行线分线段成比例性质及其推论的应用。
二、教学目标1.理解掌握平行线分线段成比例定理。
2.会综合运用行线分线段成比例定理解决问题教学过程设计教学环节开放式导入教师活动安排学生根据课件设置以及课本内容，先自主学习，将发现的问题在课堂上交流，完成对于平行线分线段成比例的初步认识。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
27.2.1相似三角形的判定平行线分线段成比例(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定和平行线分线段成比例的基本概念。相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的三角形，它们在几何变换中具有重要作用。平行线分线段成比例是指在三角形中，如果一条平行于一边的直线截断三角形的另外两边，那么所截得的线段比例相等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，了解相似三角形的判定和平行线分线段成比例在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
3.培养学生的空间想象力和创新能力，让学生在解决实际问题时，能够灵活运用平行线分线段成比例的性质，设计合理的解题方案；
4.培养学生的数学建模和数学应用能力，使学生能够将所学知识应用于解决生活中的几何问题，提高学生的数学素养和实际操作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的判定方法：AA、SAS、SSS
举例：在复杂的四边形中，学生需要识别出平行线分线段成比例的部分，并运用此性质解决问题。
（3）综合运用相似三角形的判定和平行线分线段成比例解决实际问题
-学生需要将所学知识综合运用，解决几何证明和计算问题。
举例：在实际问题中，学生可能需要先判定两个三角形相似，然后利用平行线分线段成比例的性质求解未知长度。
其次，在平行线分线段成比例的教学中，我注意到学生们在将理论知识应用到实际问题解决时，存在一定的难度。这可能是因为他们对平行线分线段成比例的性质理解不够深入。在以后的教学中，我需要设计更多具有实际情境的问题，让学生在实际操作中感受这一性质的应用，提高他们的解题能力。
此外，课堂上的小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们在讨论相似三角形和平行线分线段成比例在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点。这说明学生们已经能够将所学知识与生活实际联系起来，这是值得肯定的。但同时，我也发现部分学生在讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考。针对这一问题，我需要在今后的教学中，多关注学生的个体差异，鼓励他们独立思考，提高解决问题的能力。
第1课时 平行线分线段成比例教案
27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的重点内容．本课时首先利用“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．”引出两个三角形相似的定义(即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似)，然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法．接下来教材编写者通过一个“探究”，由学生动手测量来探究得到平行线分线段成比例的基本事实(三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等)，继而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础．【置疑导入】(1)如图，一组等距离的平行线截直线AC 所得到的线段相等，那么在直线A ′C ′上所截得的线段有什么关系呢？(2)若AB BC ＝23，猜想A ′B ′B ′C ′的值是多少．【说明与建议】 说明：让学生通过试验来体会“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等”的数学事实，以此来为平行线分线段成比例的基本事实做铺垫．通过生活中的一个实例激发学生探究知识的欲望．建议：用印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做试验：(1)画一条与这组平行线垂直的直线l 1，则直线l 1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？(2)任意画一条与这组平行线相交的直线l 2，量一量直线l 2被这组平行线截得的线段是否相等．【类比导入】(1)如果两个三角形的形状和大小都相同，那么这两个三角形是全等三角形．(2)如果两个多边形的边数相同，它们的角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形．(3)类比全等三角形和相似多边形的定义，你能说出什么叫相似三角形吗？如何表示相似三角形呢？又如何判定两个三角形相似呢？【说明与建议】 说明：通过对全等三角形的定义和判定方法的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：(1)对顶角一定是对应角．(2)公共角一定是对应角．(3)最大角或最小角一定是对应角．(4)对应角所对的边一定是对应边．(5)对应边所对的角一定是对应角．(6)对应边所夹的角一定是对应角．命题角度1 利用平行线分线段成比例的基本事实及推论进行计算或推理 1．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中错误的是(D)A.AC CE ＝BDDFB.AC AE ＝BDBFC.CE AE ＝DFBFD.AE CE ＝BD BF命题角度2 多次应用平行线分线段成比例的相关结论进行计算或推理2．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 边上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列式子一定正确的是(B)A.AD DB ＝DEBCB.AD DB ＝BFFCC.AD DB ＝FC BFD.AD DB ＝FC BC命题角度3 利用三角形相似的预备定理判定相似三角形 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝35，则AECE的值为(C)A ．3B.23C.32D.534．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.(1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；(2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长．解：(1)AD的长是8.(2)CD的长是10.5.课题27.2.1 第1课时平行线分线段成比例授课人素养目标1.了解相似比的定义．2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似．3．会用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.4．通过探索平行线分线段成比例这个基本事实的过程，进一步熟悉由特殊到一般的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．教学重点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的理解.教学难点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的灵活应用，平行线分线段成比例的基本事实的变形. 授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾问题1：根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？问题2：如果相似比为1，那么这两个三角形有什么关系？问题3：判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么判定三角形相似我们又能找到哪些简便的方法呢？问题1引导学生回顾旧知得出相似三角形的定义及写法．问题2、3让学生理解全等是相似的特殊情况，类比三角形全等的判定方法为我们探索三角形相似的判定方法提供方向指导.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】问题：如图，一组等距离的平行线截直线a所得到的线段相等，那么在直线b上所截得的线段有什么关系呢？引导学生回答问题后，教师做如下总结：一组等距离的平行线在直线a上所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等．以上结论是平行线等分线段的基本事实，讨论的是平行线截得线段相等的情况，如果截得的线段不相等呢？通过展示问题，由浅入深，循序渐进，为学习新知做铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．探究平行线分线段成比例的基本事实教师提出问题，学生讨论问题：图1如图1，三条平行直线l1，l2，l3在直线AE上截得的线段AC，CE的长度之间存在着什么关系呢？同样在直线BF上截得的线段BD，DF的长度之间存在着什么关系呢？教师指导学生利用刻度尺先测量线段的长度，然后寻找线段AC，CE，BD，DF之间是否存在比例关系，实际验证后可以得到如下结论：由l1∥l2∥l3，ACCE＝23，BDDF＝23，可得ACCE＝BDDF＝23.仿照上例分析，可得结论：由l1∥l2∥l3，可得ACAE＝BDBF＝23.1.本环节的主要任务是推理得出平行线分线段成比例的基本事实，其中运用了先猜想、再测量、最后论证的方法，用语言把平行线分线段成比例的基本事实进行总结，使结论的得出有一定的层次性，也使学生在认识问题、理解问题时确定教师引导学生初步总结出平行线分线段成比例的基本事实，然后师生共同进行推理论证．师生共同归纳得出基本事实，教师板书基本事实．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．探究平行线分线段成比例基本事实的推论教师将图1中的某些直线进行平移变换，使其出现图2、图3所示的位置关系，对学生提出问题：图2 图3根据基本事实补全下列比例式： 由图2，得AC CE ＝BD DF ，AC AE ＝BD BF ，CE AE ＝DFBF ；由图3，得AC CE ＝BD DF ，AC AE ＝BD BF ，CE AE ＝DFBF.解答本题应关注线段之间的对应关系，列比例式时上与下的对应关系应展现在同一条直线上，同时教师应利用比例的基本性质，指导学生对比例式进行变形训练，进而总结出平行线分线段成比例的位置规律，如上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全等． 教师对于图形作进一步变化：对于以上两个练习，只保留如图4所示的部分，那么就可以得到两个三角形对应边成比例的式子，可以得到什么结论呢？图4教师在由一般到特殊的演化过程中，将平行线分线段成比例的基本事实延伸到三角形中，当三角形中出现平行线时，使三角形的各边之间存在比例关系． 教师指导学生总结平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．了一种思想方法． 2．本环节是对平行线分线段成比例的基本事实的变式与延伸，这部分内容将在以后的学习和应用中起到重要的指导作用，所以在探究、总结、应用的过程中，一定要注意知识的重要性，要使每一个学生都有深刻的理解与记忆． 3．学生经历观察、猜想、动手实践、总结归纳、实践应用等环节，在学习知识的过程中循序渐进，符合学生的认知规律和思维模式．通过对相似三角形的基本图形的对比理解，更能加深印象.3．探究三角形相似的预备定理教师提出问题，学生组内讨论解答，教师适时指导：如图5，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？图5(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？思考：当DE∥BC时，△ADE与△ABC相似，可以用什么语言来概括呢？你能进行证明吗？总结判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．思考：一条直线截三角形两边延长线所得三角形与原三角形相似吗？请对比图6、图7两个图形，分析其中的联系与区别．图6 图7活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例(教材第31页练习第1题)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求BCCE的值．解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE＝ADDF.又AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴BCCE＝35.本环节所设置的例题和变式非常具有代表性，既考查了平行线分线段成比例基本事实的内容及其推论，又灵活地运用转化思想实现了运用“中间比”的性质，不仅发展了学生的思维能力，【变式训练】1．如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB AC ＝（PG ）PH ＝DE（DF ）.2.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，且AB ＝6，BC ＝8. (1)求DEDF的值；(2)当AD ＝5，CF ＝19时，求BE 的长．解：(1)∵AD ∥BE ∥CF ，∴DE DF ＝AB AC ＝66＋8＝37.(2)过D 点作DM ∥AC 交CF 于M ，交BE 于N ，求出MF ＝14. ∵NE ∥MF ，∴NE MF ＝DE DF ＝37，∴NE ＝37MF ＝37×14＝6.∴BE ＝BN ＋NE ＝5＋6＝11. 还拓宽了学生的思路和视野.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，若AC ＝6，CE ＝2，BD ＝3，则BF 的长为(C) A ．6 B ．5.5 C ．4 D ．4.5第1题图2．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.第2题图提示：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC ，然后根据比例的性质可计算出AE 的长为107.课堂小结1.课堂小结：(1)平行线分线段成比例的基本事实是什么？推论是什么？易错点是什么？ (2)目前我们有什么方法判定两个三角形相似？(3)本课两个重要的结论在探索中主要运用了哪些数学思想方法？教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解．让学生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移，从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯． 2．布置作业：教材第42页习题27.2第4，5题.注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.板书设计27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例1．相似三角形的定义及有关概念． 2．平行线分线段成比例定理及推论． 3．相似三角形判定的预备定理.提纲挈领，重点突出.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。
数学下册第二十七章相似.2相似三角形.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学课件(新版
A1
A2 A3
B1 a
B2 b B3 c
想一想：
1. 如何理解“对应线段〞？
2.“对应线段〞成比例都有哪些表达形式？
练一练
D
如图，AlC1∥l2B∥D l3，以下A比C 例 式BD中错误的选项是 ( ) A. CE DF B. AE BF
C. C E D F AE BF
D. AE BD BF AC
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
A
D
E
B
C
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
由前面的结论可得 A D A E ，需要证明的是
AB AC
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
D
E
A
B
C
B
“A 〞型
C “X 〞型
练一练
1. ：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对3相似
三角形.
相似具有传递性
A
B
2. 假设 △ABC 与 △A′B′C′ 相似， E 一组对应边的长为AB =3 cm， C A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_4_︰__3_.
AD AE DE ，而除 DE 外，其他的线段都在 AB AC BC
△ABC 的边上，要想利用前面学
到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？
A
D
E
可以将 DE 平移到
BC 边上去
探索三角形相似的条件优秀教案
探索相似三角形的条件【教学目标】（1）会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽△C B A '''；（2）知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k 。
（3）理解掌握平行线分线段成比例定理【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理【教学过程】一、自学质疑：1．相似多边形的主要特征是什么？2．相似三角形有什么性质？3．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
1）在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''。
我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比。
反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=_____，∠B=_____，∠C=____，且A C CA C B BC B A AB ''=''=''。
2）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？明确：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽△C B A '''；（3）当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k 。
二、合作探究、交流展示1．平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；2．平行线分线段成比例定理推论思考：（1）如果把图27．2-1中l1，l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27．2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么（2）如果把图27．2-1中l1，l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27．2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3．归纳总结：平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________。
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案教学目标1.掌握平行线分割三角形中相似三角形的性质2.能够利用相似三角形的性质解决实际问题3.培养学生的逻辑思维和动手能力教学重点1.平行线分割三角形的相似三角形的性质2.如何利用相似三角形解决实际问题教学难点1.如何确定平行线与三角形各边的位置关系2.如何应用相似三角形的性质求解实际问题教学过程导入新知1.引入平行线与相似三角形的概念2.通过练习题让学生感受平行线和相似三角形的性质讲授新知1.讲解平行线分割三角形中相似三角形的性质2.通过解题讲解如何应用相似三角形的性质解决实际问题练习与提高1.通过以上知识点的学习，让学生练习一些高难度练习题，提高学生解决问题的能力2.带领学生一起探究现实生活中的实例，如横店影视城里的角色扮演道具等，让学生感受到知识的实用性，并能够应用所学知识解决实际问题巩固知识1.通过拓展练习，引入其他角度的维度，提高学生的综合能力2.让学生对本课所学内容进行复习，加深学生对所学知识点的认识教学总结1.总结本课所学知识点，强化学生对所学知识的掌握程度2.提出本课中出现的问题，以备下次上课时进行回答和解决课后作业1.利用所学知识完成练习题和提高题2.进一步思考如何在实际生活中应用所学知识，例如道路规划等场景。
教学评价通过本次课程的学习，学生能够掌握平行线分割三角形中相似三角形的性质，利用相似三角形的性质解决实际问题，并在探究实例的过程中，体会到知识的实用性。
在课堂上，学生积极参与讨论，动手实践能力得到提高，在复习环节中也表现出了一定的掌握程度。
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27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例
一、教学目标：
知识目标
理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
能力目标
通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
情感态度与价值观
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识
在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合
作交流的习惯。
二、重、难点
重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
三、教学过程
1、复习设疑，引入新课
内容：教师提问：
（1）什么是成比例线段？
（2）什么是相似多边形？
（3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比
是2:3？
目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线
段性质的过程。
（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。
效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。
2、小组活动，探究定理
探究活动一：
内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n
于 A
1，A
2
，A
3
，B
1
，B
2
，B
3。
（１）计算 1212
2323
,A A B B A A B B 你有什么发现？ （２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。
你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
(图2）
（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。
效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。
所以学生有种熟悉感，并不感到困难。
2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？
2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
若a ∥b ∥ c ，则
1212
2323A A B B A A B B =。
由比例的性质还可以得到：121213
13A A B B A A B B =，2323
12
12A A B B A A B B =
，2323
1313A A B B A A B B =等。
目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。
并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。
效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。
利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。
探究活动二：
内容：如图3，直线a ∥b ∥ c ，分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。
过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3。
（如图4 ），图4中有哪些成比例线段？
（图3） (图4）
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。
效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A 1C 2=B 1B 2，C 2C 3=B 2B 3，进而得出推论。
而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。
效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其
推论的本质特征。
3.探究活动三：
内容:直线l
1//l
2
//l
3
,l
4
、l
5
、l
6
被l
1
、l
2
、l
3
所截且AB=BC则图中还有哪些
线段相等？
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。
解决课堂引入时提出的问题。
效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。
3、灵活应用
内容：例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC, （1）.如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
课堂练习：
A
B C
E F
l4
l3
l2
l6
A
B
C
D
E
F
M
N
O
l
1、如图，已知l 1//l 2//l 3,
（1）.在图（1）中AB = 5, BC = 7 ，EF=4，求DE 的长。
（2）.在图（2）中DE = 6, EF = 7 ，AB=5，求AC 的长。
2、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且 DE ∥BC, （1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC 的长是多少？ （2）.如果AB = 5cm, AD=3cm ，AC = 4cm ，那么EC 的长是多少？
目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。
效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。
4、课堂小结：
内容：本节课你有哪些收获？ 目的：
通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。
效果：
学生都能归纳出：1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
A
B
C
D
E
F
（1）
A
B
C
D
E
F
（2）
A
B
C
D
E
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
5、布置作业：。