5-2中心极限定理

48
记 X X i ，则利用中心极限定理计算 P{X 50}．
i 1
解
由于 EXi
1, DXi
1, 3
i 1, 2,L
, 48 ，所以EX
48,
DX 48 1 16 ．由中心极限定理知 3
48
近似
X Xi ~ N (48, 16) ，
i 1
故 P{X 50} P{ X 48 1} (1) 0.6915 ．
定理 2.2 为定理 2.1 的特例．
【注 2】定理 2.2 的应用：若 X ~ B(n, p) ，则当n 充分大时，有
近似
X ~ N(np, np(1 p)) ．（主要结论）
同样，当n 30 时，其误差可以忽略不计．
•8
例 2.3 设有 200 台独立作业的同类型设备，每台设备出现故
障的概率均为 1 ，又设每台设备的故障可由一名维修人员 200
n
可以装 98 箱．
•7
2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 定理 2.2 设随机变量 X n ~ B(n, p) ，n 1, 2,L ，则
lim P{ Xn np x} (x) 1
x t2
e 2 dt ， x R ．
n np(1 p)
2
【注 1】定理 2.2 称为棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，也称 为二项分布以正态分布为极限分布的中心极限定理．
n
即得Yn ~ N (0,1) ，由于 Xi nYn n ，从而有
i 1
n
近似

Xi ~ N (n, n 2 ) ．
i 1
【注 3】特别地，当n 30 时，其误差可以忽略不计．
【注 4】由于定理 2.1 中的 X i 的概率分布可以是任意的，因此，
n
n
X i 的概率分布难于精确求得．但只要n 充分大，则有 X i
i 1
i 1
近似服从正态分布，因而突出了正态分布在概率统计中的重要
地位．
•3
【注 5】在实际问题中，有些随机变量是诸多独立同分布， 且影响甚微的小因素叠加而成的，因此这些随机变量可近似 刻画成服从正态分布的随机变量，这就是中心极限定理的客 观背景．
【注 6】在运用定理 2.1 时，重点把握 412 口诀．
42
2
•5
例 2.2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机
的． 假设每箱平均重50 千克，标准差为5 千克．若用最大 载重量为5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车 最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977 ． 解 设每辆车可以装n 箱．记 X i 为第i 箱的重量（单位： 千克），i 1, 2,L , n，由题意知 X1, X 2 ,L , X n 为独立同分 布的随机变量，并且 EXi 50, DXi 25 ，i 1, 2,L , n ．
i 1
x
1
t2
e 2 dt ，
2
就称随机变量序列Xn 服从中心极限定理．
•1
二、中心极限定理 1.列维—林德伯格中心极限定理
定理 2.1 设随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L 独立同分布，且
n
Xi n
EX i ， DX i 2 0 ， i 1, 2,L ． 令 Yn i1 n
199 / 200 199 / 200
199 / 200
1.88 ，从而有 n 1 1.88 ，解得 n 2.88 ，所以 n 至 199 / 200
少取 3，即至少配备 3 名维修人员． •9
§2 中心极限定理
一、中心极限定理的一般提法
定义 2.1 设随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L 相互独立，且 n
EX i
i ， DX i
2 i
0 ，i 1, 2,L
，令 Bn2
2 i
，若
对任意的 x (, ) ，有
i 1
lim P{ 1
B n n
n
( Xi i ) x} (x)
4：四个条件．①独立；②同分布；③ EX i ；④ DX i ．
n
近似
1：一个结论．① n 30 时， Xi ~ N (n, n 2 ) ．
i 1
2：两个步骤．①建立上述结论；②正态分布的标准化查表等．
•4
例 2.1 设随机变量 X1 , X 2 , L , X 48 相互独立，且
Xi ~ U (0, 2), i 1, 2,L , 48．
，
n 1, 2,L ． Yn 的分布函数记作 FYn (x) ，则有
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
t2
e2
dt
，
x
(,
)
．
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也称为
独立同分布中心极限定理．
•2
【注 2】由定理 2.1 表明，当n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
处理．问至少配备多少名维修人员，才能使出现故障而不能
及时维修的概率不大于 0.03？
解 设 X 表示故障设备台数，则 X ~ B(200, 1 ) ，由定理 2.2， 200
~ X 近似 N (1, 199 ) ． 200 设 n 为需配备的维修人员的人数，由 P{X n} 0.03 ，得
P{X n} P{ X 1 n 1 } ( n 1 ) 0.97
•6
（续解）根据列维-林德伯格中心极限定理，知总重量
n
近似
Tn Xi ~ N (50n, 25n) ．
i 1
由题意知，不超载的概率
P{Tn
5000}
P{Tn 50n 5n
5000 5
50n} n
(1000 10n) 0.977 (2) ． n
由此可见，1000 10n 2 ，从而n 98.0199，即最多