安徽省名校2011届高三第一次联考(数学理)

安徽名校2011届高三第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．设全集U =Z ,集合{1,2}M =与{|2,}P x x x =<∈Z 关系的 韦恩()venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合为( ).A. {2,1,0}--B. {0,1}C. {0,1,2}D. {1,0}- 2．命题“2,0x R x x ∃∈-<”的否定是( )A. 2,0x R x x ∃∈-≥B. 2,0x R x x ∃∈->C. 2,0x R x x ∀∈-≥D. 2,0x R x x ∀∈-<3．等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ，若75a =，721S =，那么10S 等于( ) A. 55 B. 40 C. 35 D. 70 4．=+-⎰-dx x x )1(112（ ）A ．π B.2πC.1+πD.1-π 5．在ABC ∆中,60=A,a b ==则B 等于 ( )A.45或135 B.135 C.45 D.0306．设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值是( )A. 1-B. 4C. 2D. 12- 7．函数x y 2sin =的图像经过怎样的平移变换得到函数)23sin(x y -=π的图像 （ ）A ．向左平移32π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 8. 如图是函数)(x f 的图像，则)(x f 的导函数的图像可能是（ ）A B C D 9．对于定义在实数集R 上的函数()f x ，若()f x 与)2(+x f 都是偶函数，则( ) A (1)f x -为偶函数 B.)1(+x f 为奇函数 C.)2(-x f 为偶函数 D.)3(+x f 为奇函数10．设⎩⎨⎧-=-)1(3)(x f x f x(0)(0)x x ≤> ， 若a x x f +=)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C.]2,(-∞D.)2,(-∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数)(x f 满足221)1(xx x x f +=+，则=)2(f 12.已知0,0>>y x ，若1=+y x ，则yx 41+的最小值是 13. 如图①②③…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n 个图案中花盆数n a =(3)(2)(1)14.在ABC ∆中，2=AC ，若O 为ABC ∆的外心，则=⋅AC AO 15.设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若αββα//,,l l 则⊥⊥xyxyxy 0xy 0②若βαβα⊥⊥则,//,l l③若αα//l l 的距离相等，则上有两点到④若βγγαβα⊥⊥则,//,其中正确的命题序号是三、解答题（本答题共6小题，共75分）16．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等比数列，且53cos =B （1）求CCA A sin cos sin cos +的值； （2）设=⋅3,求c a +的值。

17．（12分）已知向量a ))cos(),sin(2(θωθω++-=x x ，b ))cos(32),(cos(θωθω++=x x,0(>ω))0,2(πθ-∈，函数=)(x f a ·b 3-，且)(x f 的图像上的点)3,0(A 处的切线斜率为2（1） 求ω和θ的值；（2） 求函数)(x f 的单调区间。

18. （12分）上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元,且]200,0(,101510002∈++=x x x P ,而每套售出价格为Q 元,其中，，5000(>+=a b xaQ )5>b ,问:⑴该玩具厂生产多少套吉祥物时,使得每套成本费用最低？⑵若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家所获利润最大?19. （13分）在多面体ABCDEFG 中，底面ABCD是等腰梯形，422===BC AB AD ,ED GC AF ////且ED GC AF ==，ABCD AF 底面⊥，2=AF ，H 是棱EF 的中点（1）证明：平面⊥ACH 平面CDE ；（2）求平面FGB 与底面ABCD 所成锐二面角的正切值。

EH20. （13分）已知函数e R a x a x x f ,)(2()2ln()(∈-+-=是自然对数的底） （1）求)(x f 的单调区间；（2）当0>a 时，若方程0)(=-b x f 在区间)2,2[ae-上有两个不同的实根，求证： a b a e ln 1ln 1--<≤--。

21. （13分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且对任意*N n ∈都有)1(2-=n n a S ，记nnnS n f ⋅=23)( （1）求n a ；（2）试比较)1(+n f 与)(43n f 的大小； （3）证明：3)12()2()1()()12(<-+⋅⋅⋅++≤-n f f f n f n 。

理科答案一、选择题1-5 DCBBC 6-10 ABACD 二、填空题11. 2 12. 9 13. 1332+-n n 14. 2 15. ②④ 三、解答题16.解（1）由已知ac b =2，由正弦定理得C A B sin sin sin 2=………………………3分 由53cos =B ，则54sin =B C A B C A C A C A A C A C C C A A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos =+=+=+45sin 1==B …6分 (2)由3=⋅BC BA ，得5=ac …………………………………………………………8分 由余弦定理：532222⨯-+=ac c a b …………………………………………………10分 21)(2=+∴c a21=+∴c a …………………………………………………………………...12分17.解：①由已知3)(cos 32)cos()sin(2)(2-++++-=θωθωθωx x x x f ）θωθω22cos(3)22sin(+++-=x x )3222sin(2πθω++=x …………………………………………2分 由点)3,0(A 在)(x f 的图像上及6)0,2(πθπθ-=-∈得……………… …4分由1,2)0()3222cos(4)(''==++=ωπθωω得及f x x f … …………………6分 ②由①)32sin(2)(π+=x x f 由复合函数得单调性知)(x f 得单调递增区间满足：223222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈ …………………………………8分12125ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈………………………………………………10分 ∴)(x f 单调递增区间是)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ…………………………12分DE H 18.解：（1）xxx xP210151000++=……………………………………………………2分255101000≥++=x x （当且仅当100=x 时，取等号）∴生产100万套时，每套成本费用最低………………………………………………..4分（2）由题设，利润1000)5(101)10151000()()(22-+-+-=++-+=a x b x x x x b x a x f ，]200,0(∈x ………………………………………………………………………………7分当200)5(5≤-b ，即45≤b 时，100)5(25)]5(5[)(2max ++-=-=a b b f x f ∴当产量为255-b 万套时，利润最大…………………………………………………10分当45>b 时，函数)(x f 在]200,0(上是增函数，∴当产量为200万套时，6000200)(max -+=a b x f ………………………………12分19．（1）在等腰梯形ABCD 中，CD AC ADC CD AD ⊥∴=∠=,60,2 ………3分 又⊥AF 底面ABCD ，∴,//CG AF 面⊥CDEG 面ABCD ，⊥∴AC 面CDE⊆AC 面ACH ，∴面⊥ACH 面CDE ………………………………………………6分（2）过G 作GN//BC 且GN=BC ，则面GFN//面ABC,且梯形GEFN 与梯形ABCD 全等， 则二面角B-FG-N 的正切值即为所求………………………………………………….9分取FG 的中点O ，连结NO,BO,.NFG ∆ 是等腰三角形，FG NO ⊥∴ 由三垂线定理知BON BO FG ∠∴⊥,即为所求二面角的平面角……………………12分 在等腰三角形NFG 中，,121==EG NO 故所求锐二面角的正切值为2。

……… 13分 （建立坐标系的解答可参考给分）20. 解：（1）)2(21221)('<-+-=+-=x x a ax a x x f ……………………………………..2分 ① 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f ∴是减函数……………………………………………4分 ② 当0>a 时，)12,(a x --∞∈，0)('>x f ；)2,12(ax -∈时，0)('<x f此时，)(x f 的单调增减区间分别为)12,(a --∞，)2,12(a -……………………………6分 （2）0>a ，由（1）知11ln )12()(max -=-=aa f x f ………………………………8分当)2,12[a x -∈时，)(x f 的值域是]11ln ,(--∞a………………………………………10分由图像可知，当)12()2(a f b a e f -<≤-时，即11ln ln -<≤-ab e a e 时，函数)(x f y =与函数b y =的图像有两个交点，即当a b a e ln 1ln 1--<≤--时，方程b x f =)(有两个不同解。

…………………………13分21.解：（1）当n=1时,由)1(2111-==a a S ,得21=a 当1>n 时，1112,22---=∴-=-=n n n n n n n a a a a S S a)1(2>=∴n a n n n=1适合上式n n a 2=∴…………………………………………………………………………………3分（2）∵2221)21(21-=--=+n n n S ∴)22(2343)22(23)(43)1(1211---=-+++++n n nn n n n f n f 0)221121(232121<---=++++n n n n ∴)(43)1(n f n f <+…………………………………………………………………6分 （3）)22(23)22(23)2()(12221-+-=-++---+k n k n kn k k k k n f k f )22)(22(1)23(2121--⋅≥+-+k n k n而)22(42)22)(22(22222121+-+++-++-+=--k n k n k n k2122222)22(22242-=⋅-+≤++-++n k n k n …………………9分∴)22(23)22(23)2()(12221-+-=-++---+k n k n kn k k k k n f k f )22)(22(1)23(2121--⋅≥+-+k n k n),3,2,1(),(2221)23(21 ==-⋅⋅≥+k n f n n∴ )(2)12()1(n f n f f ≥-+ )(2)22()2(n f n f f ≥-+ ……)(2)1()12(n f f n f ≥+-相加得 1),()12()12()2()1(=-≥-+++n n f n n f f f 时取等号。