函数的单调性学案2
函数的单调性学案
3.2函数的性质——单调性班级：姓名：观察天津市2008年11月29日的气温时段图，此图反映了0时至14时的气温T（ Ｃ）随时间t（h）变化的情况．回答下面的问题：（1）时，气温最低，最低气温为 Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．设函数()y f x=在区间(),a b内有意义．（1）如图（1）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x<成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．（2）如图（2）所示，在区间(),a b内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的()12,,x x a b∈，当12x x<时，都有()()12f x f x>成立．这时函数()f x叫做区间(),a b内的__________，区间(),a b叫做函数()f x的__________．图（1）图（2）如果函数()f x在区间(),a b内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x在区间(),a b内具有单调性，区间(),a b叫做函数()f x的__________．问题3：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。
《3.3.1函数的单调性与导数》学案(第1课时) (2)
§3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)[自学目标]:1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。
2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]:1、复习回顾：求导公式和运算法则 （1）常函数： （2）幂函数 ：（3）三角函数 ： （4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数:运算法则：2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。
[预习自测]1、 已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '< 当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '= 试画出函数()f x 的图象的大致形状.探究一：利用单调性求单调区间判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2312 1.f x xx x =+-+（5） x x y ln = （6）33xy e x =-探究二：利用单调性判断函数图象如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.2设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）．A0 xy 12 xyB 012xyC0 12xyD0 1221xy'()y f x =[当堂检测]1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=-332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--[拓展提升]1.讨论二次函数 的单调区间.2 .求证: 函数 在（0，2）内是减函数.3 判定函数1+-=x e y x的单调区间)0()(2≠++=a c bx ax x f 762)(23+-=x x x f4. 求函数xxxf ln2)(2-=的单调减区间6.设函数)()(23Rxcxbxxxf∈++=，已知)()()(/xfxfxg-=是奇函数（1）求cb,的值；（2）求)(xg的单调区间。
函数的单调性、极值、最值学案
函数的单调性、极值、最值学案一． 基础知识：1.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个＿＿＿＿＿＿.2.如果)(x f y =在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）； （3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为__________，右侧附近为_____________，则函数)(x f y =在这个根处取得极________值.3.设)(x f y =是定义在[a ，b]上的函数，)(x f y =在(a ，b)内有导数，可以这样求最值： （1）求出函数在(a ，b)内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(a ，b)内的根n x x x ,,,21 ）；（2）比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(注意一定要列表求解) 二．例题例1． 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
例2：已知)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等实根，且22)(+='x x f ．求)(x f 的解析式；例3.设函数xbxaxx f ++=232131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？例4：若函数33)(23-++=x x ax x f 在R 上为单调增函数，求a 的取值范围。
函数的单调性、极值、最值作业1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数 3．函数xx y ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2eD ．3104．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 。
中职数学 函数的单调性学案
3.3 函数的单调性一．学习目标1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
3、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力二．预习案（一）.自学引导观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律:(1).x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的.(2) x x f =)(在),(+∞-∞上，)(x f 随着x 的增大而___________;(3) 2)(x x f =在]0,(-∞ 上，)(x f 随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，)(x f 随着x 的增大而________.归纳总结一、单调性※ 增函数、减函数的定义在函数)(x f y = 的图象上任取两点A (x 1，y 1), B (x 2，y 2),记△x= △y= 这里△x 表示自变量的增量或改变量，△y 表示函数值的增量或改变量.1. 增减函数定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： x y 0 xy 0 x x f =)( 2)(x x f =如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个 自变量的值21,x x ，当时，则称)(x f 在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ； 当 时，则称)(x f 在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个2.函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：例1.下列说法正确的是 （ ）A.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数B.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数C.若函数)(x f 在区间1I 上为减函数，在区间2I 上也为减函数，那么)(x f 在区间21I I ⋃上就一定是减函数D.若函数)(x f 在区间I 上是增函数，且)()(21x f x f <，),(21I x x ∈，则21x x <. 讨论：设任意不相等[]b a x x ,,21∈，（1）若12x x <时，12()()f x f x <，则)(x f 在[]b a ,上是增函数吗？（2）若12x x <时，)()(21x f x f >，则)(x f 在[]b a ,上是减函数吗？（二）.预习自测1.下列函数中,在)0,(-∞上不是增函数的是( )A.x y 3=B.2x y -=C.x y =D.xy 1-= 2.对于函数)(x f y =，在定义域内有两个值21,x x ，且21x x <，使)()(21x f x f <成立，则)(x f y = （ ）A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定3．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.)0()1(f f <-B.)2()0(f f <C.)0()1(f f <D.)1()1(f f <-4.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：三．探究案1.探究一：利用图像求下列函数的单调区间并指出在其单调区间上是增函数还是减函数：（1）12-=x y （2）4)1(2-=-x y （3）xy 1= (4)x y =2.探究二：求证：1)(3+=x x f 在R 上是增函数。
单调性 教案学案
教案教师学生上课时间学科高中数学年级课题名称教学目标重点难点知识分析教学过程函数单调性3≤设)(x f 为定义在(0,82x x ⎪∴>⎨⎪-⎩（2）(4)f (2)3f ∴=1m ∴-<<例11．已知函数答案：（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.20,4;2,2|2|)(22x x x x x x x x x f …（2分）作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f①当时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <-22， 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减． 综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22． （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ． 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ． 所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛89,1． a x ≥1．函数21y x x =+-的最小值_________. 答案：令1x t -=.则0t ≥.21x t =+所以22115222()48y t t t =++=++.在0t ≥时是增函数,当0t =时，2,y =故函数的最小值为2.2．函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3-=aB ．3<aC ．3-≤aD ．3-≥a 答案：C 3．函数()()110,0.f x a x a x=->> （1）判断()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求,a m 的值。
函数的单调性教学设计 高中数学教案数学教案数学教案学案
函数的单调性教学目标：1.知识目标：理解函数单调性的概念；2.能力目标：〔1〕.能由函数图象判断某些函数的单调性；〔2〕.通过模仿学会证明函数单调性的方法；〔3〕.培养学生观察、比拟、分析的能力；掌握数形结合的方法.3.德育目标：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法。
教学重点：函数单调性的概念与判断教学难点：利用概念证明或判断函数的单调性教学用具：多媒体、实物投影仪教学过程：一.问题情境：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降。
1.观察以下图表，体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用：洞庭湖沿不同观测站1954年洪水过程图春兰股份线性图在哪些时段内气温是升高的？2.很多函数也具有类似性质。
如〔电脑给出图象〕：y=3x+2 y=1x(x>0)这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性〔电脑给出课题〕二.学生活动问题1：观察以下函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？函数y=x2、y=x3的图象〔电脑给出〕y yO O x这些说明某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势。
问题2：你能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势〞吗？三.建构数学：问题3：如何用数学语言来准确地表述这种y值随着x的值增大而增大〔减小〕呢？进而抽象出单调性的定义〔电脑给出〕：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数。
I称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )>f(x2 )，那么就说在这个区间I上是减函数。
I称为y=f(x)的单调减区间。
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.问题4：由函数单调性定义，你发现哪些特点？（1）自变量属于定义域（2）自变量的任意性（3）x1、x2的大小与f(x1 )、f(x2)的大小要对应.为了让学生更直观地看出单调函数定义的内涵，用电脑演示动画。
高一数学【函数的单调性】课堂学案
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
C组：
6Байду номын сангаас研究下列函数的单调区间：
（1） （2） （3）
自我反思：
1.你觉得你本节课的效率怎样？
2.本节课你从知识，方法方面学到了什么？
第4页
1-11在线测学
1．设函数 上的减函数，则有（D）
A、 B、 C、 D、
一、先根据学案上的问题有目的阅读课本，然后可以先做学案再看微课，亦可以先看微课再完成学案
新课导入
1．分别作出下列两个函数图象：
（1） （2） （3）
2．请结合上述几个函数图象，分别观察函数值 随着自变量 的变化，有着怎样的变化？如何用数学符号表达这种变化？
教材自学1：
阅读课本第44页至45页例1之前部分，完成以下内容：
2．画出下列函数的图像，并指出它们的单调区间.
(1)y＝|x|－1 (2)y＝|x－1|
3．如果函数 在R上是增函数，证明：当 时，函数 在R上也是增函数，当 时，函数 在R上是减函数.
第3页
学 案 内 容
学生笔记（教师点拨）
B组：
4．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()
A．y＝3－xB．y＝x2＋1 C．y＝－2xD．y＝－|x|
应用1.证明函数
应用2.证明函数
思考：
1．函数 在 上的单调性是由哪个量决定的？
2．能否说函数 在其定义域上是减函数？为什么？
微课助学:请观看微课：1-11函数单调性及判断，观看时注意做好笔记.
合作互学：请同学们相互讨论，解决自学过程中的疑问．小组长汇总，将合作讨论中没有解决的问题和新生成的问题提交课代表．
函数的单调性学案
函数的单调性【学习目标】1．理解增函数。
减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力。
【课前导学】复习回顾1．函数有哪几个要素？2．函数的定义域怎样确定？怎样表示？3．函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4．区间的表示方法。
前面我们学习了函数的概念。
表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）。
【学习重难点】运用单调性与奇偶性讨论函数的性质【学习过程】一、建构数学1．引例：观察y=x 2的图像，回答下列问题：问题1：函数y=x 2的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x 的增加，y 值在增加。
⇒问题2：怎样用数学语言表示呢？设x 1．x 2∈[0，+，得y 1=f （x 1）， y 2=f （x 2）。
⇒)∞当x 1<x 2时，f （x 1）< f （x 2）。
（学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发）。
结论：这时，说y 1= x 2在[0，+上是增函数。
（同理分析y 轴左侧部分）由此可有：)∞2．定义：一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1．x 2，当x 1x 2时都有f （x 1）< f <（x 2）。
那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（increasing function ）。
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1．x 2，当x 1<x 2时都有f （x 1）>f （x 2）。
那么就是f （x ）在这个区间上是减函数（decreasing function ）。
如果函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f （x ）的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
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课
数学导学案
制作时间：2012/8/29
制作人 张放
授课时间：
二．探究案
1．质疑探究 （1）基础知识探究 例题 1：求 y 最大值为
授课人：
总节数
题 1.3.1 单调性与最大（小）值(2)
掌握最大值、最小值的概念 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
教学重点 教学难点
一． 预习案
( x 1) 2, x [0,1] 的最小值为
规律方法总结
9. 作出函数 y x 2 2 x 3 的简图，研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与 最小值． （1） 1 x 0 ； （2） 0 x 3 ； （3） x ( , ) .
三.训练案
当堂检测
1．函数 f(x)= - 2x+1 在[-1，2]上的最大值和最小值分别是 （ （A）3，0 （B）3，-3 （C）2，-3 （D）2，-2 2．函数 y= - x +x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （ （A）0，-6 （B）
1 4
2
）
）
，0
（C）
1 4
，-6
（D）0，-12
四.知识网络（学生自己总结本节课重点知识点）
3. 函数 f ( x ) 2 x x 2 的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 4．已知二次函数 f(x)=2x - mx+3 在 , 2 上是减函数，在 2 , 上是增函数，
2
则实数 m 的取值是 （ ） （A） -2 （B） -8
（C） 2
（D） 8
2
2
.
如果是 x [ 2,1] 呢？最小值为 （2）知识综合应用探究 例题 2：已知函数 f ( x )
2 x 1
，最大值为
.
, x 2 , 6
(1)判断函数的单调性并证明（2）求函数的最大值和最小值。
2.拓展提升 例题 3(选讲):求函数 y
x 6x
2
5． y
1 x
在区间 2 , 1 上有最
2 x
值为 最小值为 ，最小值为 .
在区间 2 , m 上的值域。(其中 m
2)
6．函数 y= -
+1 在[1，3]上的最大值为
7．函数 y x 2 1, x [ 1, 2 ] 的最大值为
2
8.已知函数 f ( x ) x mx 1 ，且 f(-1)= -3，求函数 f(x)在区间[2，3]内的最值。
2
，
1.相关知识：函数最大（小）值的概念 思考：先完成下表， 函数 最高点 最低点 f ( x) 2 x 3 无 f ( x ) 2 x 3 , x [ 1, 2 ] （-1，5） f (x) x 2 x 1 （-1,0） f ( x ) x 2 x 1 , x [ 2, 2 ] （-1,0） 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1） 对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； （2） 存在 x0∈I，使得 f(x0) = M. 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 试试：请你仿照最大值定义，给出最小值的定义．