2016-2017一元微积分A上试卷答案(A卷 )评分标准

东华大学2016～2017学年一元微积分(A 上)试卷（A 卷）
踏实学习，弘扬正气；诚信做人,诚实考试；作弊可耻，后果自负
课程名称 一元微积分(A 上) 使用专业 全校 16级
教师 班号 班级 姓名 _______学号 ___ _
(1) 设3
ln(32)y x =+，则dy
dx =23932
x x +;
(2) 曲线23
(5)y x x =-在区间(,1)-∞-内是上凸的;
(3) 设1x x y x ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
， 则1ln 111x
x x dy dx x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭; (4) 2
1
sin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭
1
6e -； (5) 1ln(1)
lim
arccot x x x
→+∞+= 1 ； (6) 1lim(1)tan 2x x x π-
→⎛⎫-= ⎪⎝⎭2
π
； (7) 当0x →时，3ln(1)x +对于x 是n 阶无穷小，则3
n =;
(8) 设()x
y f e -=，则22d y
dx
= 2()()x x x x e f e e f e ----'''+;
(9)函数3223121y x x x =--+单调增加的区间是(,1)(2,)-∞-+∞U ;
(10) 设112y x
=-，则()
n y =1
2!(12)n n n x +-. 二、解下列各题（每题6分，共30分）
（1）试问：a 为何值时，函数1()sin sin 44f x a x x =+在4
x π
=处
取到极值？它是极小值还是极大值？并求此极值. 解： ()cos cos 4f x a x x '=+
()cos cos 4=(1)04442
f a a πππ'=+⋅+-=（）
a =()sin 4sin 4f x a x x ''=--
()4sin 1044
f ππ
π''=-=-<
()14
f π
=是极大值.
（2）设方程 2321sin 02
x e t t t y y π
⎧=++⎪
⎨-+=⎪⎩确定y 为x 的函数，t 为参变量，求
t dy dx =. 解: 62x
dx e t dt =+ 2(31)x dx t e dt
-=+ cos sin 0dy dy
t y
y dt dt
+-=
sin 1cos dy y dt t y =- sin 2(31)(1cos )
x dy e y
dx t t y =+-
012t dy dx ==. （3）设sin 0()1
x
x x f x x
x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩求()f x '.
解： 当0x ≠时，2
cos sin ()1x x x
f x x -'=
-
当0x =时，
22
0000sin 1
()(0)sin (0)lim lim lim cos 21lim 12x x x x x
x f x f x x x x f x x x x x x
→→→→-----'===--==- （4）求极限1
0234lim 3x x x
x
x →⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
. 解：设1
2343x x x
x
y ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
0001234ln(234)ln 3
limln lim ln lim 3x x x x x x x x x y x x →→→⎛⎫++++-== ⎪⎝⎭
02ln 23ln 34ln 4
lim 234x x x x x x x →++=++
ln =
10234lim 3x x x
x
x →⎛⎫++ ⎪⎝⎭
= （5），求221arcsin 1x y x ⎛⎫
-= ⎪
+⎝⎭
(1),(2)y y ''-.
解：2222||(1)x
y x x -'==+ 2
(1)1,(2)5
y y ''=--=
三、(10分) 设()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()0,g x ''≠
()()0g a g b ==. 证明:在开区间(,)a b 内()0g x ≠.
证：（反证法）假设存在点(,)c a b ∈，使得()0g c =，则
[,]a b (),()f x g x 分别在区间[,]a c [,]c b 上用罗尔定理，得
1(,)a c ξ∈，2(,)c b ξ∈，使得12()()0g g ξξ''==，进而再在区间
12[,]ξξ上对()g x '再用罗尔定理知存在312(,)ξξξ∈，使得3()0,
g ξ''=但这与题设矛盾，所以在开区间(,)a b 内()0g x ≠.
四、（10分）设函数32ln(1)0
arcsin ()6
010
sin 4
ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧
⎪+<⎪
-⎪⎪
==⎨⎪+--⎪
>⎪⎪⎩ ，问a 为何值时，()f x 在0=x 连续?a 为何值时，0=x 是()f x 的第一类可去间断点？
解：32
000ln(1)3lim ()lim lim
1
arcsin 1x x x ax ax f x x x ---→→→+==-
2
2
2
000233lim lim lim
1
11()
2x x x ax ax x ---→→→===- 6a =-
22200011
lim ()lim lim sin
44
ax ax x x x e x ax e x ax f x x x x +++→→→+--+--== 20022lim lim 1
22
ax ax x x ae x a a e x ++→→+-+== 2
42a =+ 2426a a +=-推出1,2a a =-=-
当24266a a +=-=，即1a =-时连续；
当24266a a +=-≠，即2a =-时0=x 是()f x 的第一类可去间断点.
五、(10分)在区间[0,8]上求曲线2y x =的切线，使该切线与0y =及8x =所围成的区域的面积为最大.
解：设切点为2(,)t t ,切线的斜率为2y t =，切线方程为
22()y t t x t -=-,
为当0y =时，推出2
t
x =
， 8x =时推出216y t t =-， 所围区域面积为322
1(8)(16)648224t t S t t t t =--=-+
23()641604t S t t '=-+= 推出16
,163
t t ==（舍去）
当163t <
时()0S t '>；当163t >时()0S t '<，故当16
3
t =时区域面积最大，
对应切线方程为：32256
39
y x =
-
.。