2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期24.1.4、圆周角同步练习17
人教版数学九年级上册24-1-4圆周角同步练习题(最新)
24.1.4圆周角同步练习题一、单选题 1．如图．AB 为⊙O 的直径，C,D 为⊙O 上两点，CD ⌢=AD ⌢+BC ⌢，连AC,BD 相交于E 点．如若AB =2CE ．则DE:BE 的值为（ ）A ．√3−13B ．√2−1C ．√3−12D ．√2−122．如图，已知⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ，∠AOD =128°，∠E =40°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．16°B ．20°C ．24°D ．35°3．如图，BC 是圆O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠ACB ＝30°，则∠AOB ＝（ ）A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°4．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°5．有下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）相等的弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．下列事件中，是随机事件的是( )A ．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似B ．相似三角形的对应角相等C ．⊙O 的半径为5，OP ＝3，点P 在⊙O 外D ．直径所对的圆周角为直角7．如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角∠ASB 应满足的条件是（ ）A ．∠ASB >25°B ．∠ASB >50°C ．∠ASB <55°D ．∠ASB <50°8．如图，在⊙O 中，AB ⌢=AC ⌢，∠ACB =70°，则∠BOC 的度数是（ ）．A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°9．如图，已知：⊙O 中，AB 、CB 为弦，OC 交AB 于D ，则∠AOC =（ ）A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 10．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠ABD=50°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°二、填空题11．在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD >1 2AB；④12AB < DE < √22AB．12．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=40°，则∠C的度数为．13．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上一点，若∠A=102°，则∠DCE=．14．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°．若CD=4cm，则AB的长为cm．15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点E为AB的中点．以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD．则△ACD的面积为．三、解答题16．如图，△APB内接于⊙O.（1）作∠APB的平分线PC，交⊙O于点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若∠APB=120º，连接AC，BC，求证：△ABC是等边三角形.17．已知在Rt△ABC中，∠B=30°，点M平分BC,AD平分∠BAC，过点A,M,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F．(1)求∠MAD的度数；(2)连接DF，求证：△CDF是等边三角形；(3)若AC=4，则⊙O的半径r=______________．18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．19．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．(1)如图①，求∠BOD及∠A的大小；(2)如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．20．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上一点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．问题探究：（2）如图②，线段BQ=20，C为BQ上一点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC=任务：(1)将探索小组的解题过程补充完整；⌢所对的一个圆内角，延长AP交⊙O于点C，(2)如图3，当点P在⊙O内时，∠APB AB⌢所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为延长BP交⊙O于点D，若设∠AOB=m°，CD______．。
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习(解析版)
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习一、选择题1、在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对2、如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A、5对B、6对C、7对D、8对3、下列说法正确的是（）A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4、下列说法错误的是（）A、等弧所对圆周角相等B、同弧所对圆周角相等C、同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D、同圆中，等弦所对的圆周角相等5、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（）A、20°B、25°C、30°D、50°6、如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA ，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A、25°B、40°C、30°D、50°7、在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对8、下列说法正确的是( )A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9、如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A、30°B、60°C、15°D、20°10、如图，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A、75°B、60°C、45°D、30°11、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )A、B、C、D、12、已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A、10°B、20°C、40°D、80°13、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A、为锐角B、为直角C、为钝角D、二、填空题14、如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.15、如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.16、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数是________.17、如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________.18、如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°19、如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF ，那么________（只需写一个正确的结论）.20、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.三、解答题21、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD 和BD的长.22、如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：(1)△DOE是等边三角形.(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.23、四边形ABCD中，AB∥DC ，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.图24-1-4-1124、在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？25、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC ，交AC于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC⊥OD；(2)求OD的长；答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补. 【分析】此题考查了圆周角定理，要考虑全面.2、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】本题考查圆周角和圆心角的联系，解决本题的关键为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定理.4、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中才存在等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了原周角定义，本题为常考题，容易弄错的是在同圆中等弦所对的圆周角相等，而忽略还有互补.5、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，∠AOC的对顶角∠BOD也为50度，弧BD所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠BOD，∠BOD为∠C的二倍，故选B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的相互联系.6、【答案】A【考点】平行线的性质，圆周角定理【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等和同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，可以得到∠C 的度数是25度.【分析】此题考查了圆周角定义.7、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了圆周角定义，要考虑全面.8、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角的定义做题，考察圆周角和圆心角的联系，记住圆周角的度数等于它所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定义，审题一定要仔细，结合基础知识做题.9、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，根据量角器我们可以读出∠BOC的度数为30度，∠BOC为圆心角，∠BAC为圆周角，他们是二倍的关系，故选择C选项.【分析】此题考查了圆周角定义，利用圆心角去推出圆周角的度数.10、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，弧AB所对的圆心角和圆周角分别为∠AOB和∠ACB，圆心角为圆周角的二倍，故本题选择B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的联系，做题时要注意利用所给的条件结合图像去发现所求问题和所给条件之间的相互联系.11、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.【分析】本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形.12、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.13、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角,由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.【分析】直径所对的圆周角等于90度.二、填空题14、【答案】90【考点】圆周角定理【解析】【解答】所求的弧等于半圆周的一半，即90度，∠A随对的弧加上∠B所对的弧加上∠C所对的弧等于弧AC ，弧AC所对的圆心角为180度，所以所对的圆周角为90度.【分析】根据圆周角的定义做题，注意圆心角和圆周角之间的相互联系.15、【答案】50°【考点】圆周角定理【解析】【解答】连结AO ，则AO=OB ，OA=OC ，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.【分析】根据圆周角的定义做题，注意作好辅助线，利用半径相等构造等腰三角形，然后转化角度. 16、【答案】15°或75°【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD ，连结BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.图1 图2【分析】根据圆周角的定义做题，要考虑全面.17、【答案】90°【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD ，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°.【分析】根据圆周角的定义做题.18、【答案】60；90【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度.【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数.19、【答案】AB=CD【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.【分析】根据弦心距做题，在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.20、【答案】48【考点】圆周角定理【解析】【解答】弧的度数等于它所对的圆心角的度数，圆心角与圆周角为2倍的关系.【分析】根据圆周角和圆心角的联系做题.三、解答题21、【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【分析】已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.22、【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形.【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.【分析】△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.23、【答案】解：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE.∵AB∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为.【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.∵AB∥CD，∴弧 BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为 .【分析】由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.24、【答案】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.【考点】圆周角定理【解析】【解答】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C ，则∠MAN＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好..【分析】在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.25、【答案】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）解:∵OD∥BC ，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【考点】三角形中位线定理，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【分析】根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.。
人教版数学九年级上册第24章 24.1.4圆周角 同步练习
人教版数学九年级上册第24章24.1.4圆周角同步练习一、单1.（2017?哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（??）A、43°B、35°C、34°D、44°+2.（2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（??）A、πB、C、2πD、3π+3.（2017?烟台）如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（??）A、πB、πC、πD、π+4.（2017?海南）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（??）A、25°B、50°C、60°D、80°+5.（2017?青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（??）A、100°B、110°C、115°D、120°+6.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（??）A、18°B、36°C、54°D、72°+7.（2017?毕节市）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（??）A、30°B、50°C、60°D、70°+8.（2017?张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30° ，则∠BOC的度数是（??）A、30°B、45°C、55°D、60°+9.（2017?潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（??）A、50°B、60°C、80°D、90°+10.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（??）A、5πcm2B、10πcm2C、15πcm2D、20πcm2+11.（2017?福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（??）A、∠ADCB、∠ABDC、∠BACD、∠BAD+12.（2017?黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=12 0°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（??）A、B、C、D、+二、填空题13.（2017?湖州）如图，已知在于点．若，则中，．以为直径作半圆，交的度数是度．+14.（2017?十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O 于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为．+15.（2017?湘潭）如图，在⊙O中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．+16.（2017?东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC ∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE?CO，其中正确结论的序号是．+17.（2017?恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）+18.（2017?株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=．+19.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．+20.（2017?扬州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OA C= °．+21.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于．+三、解答题22.（2017?福建）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延 长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求 的长；（Ⅱ）若 = ，AD=AP ，求证：PD 是⊙O 的切线．+23.（2017?滨州）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的 外接圆⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM=∠DAC ．（Ⅰ）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（Ⅱ）求证：DE 2=DF?DA ．+24.（2017?苏州）如图，已知，过 点作 内接于， 是直径，点在 交 边 于点． 上，，垂足为，连接(1)、求证：(2)、求证：(3)、连接∽；；，设的值．的面积为，四边形的面积为，若，求+25.（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．+。
人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学24.1.4 圆周角同步练习一．填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC＝°．2．如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD＝25°，则∠AOD＝．4．如图，点A，D，B为⊙O上的三点，∠AOB＝120°，且过A的直线交BD延长线于点C，连接AD，且AD ＝CD，则∠C的度数为．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为．6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．7．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD＝16，BE＝4，则⊙O的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M＝∠D，则∠D的度数为．9．如图，△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC边于E、D，连接BD、CE交于点F．以下四个结论：①ED＝BC；②∠ACE＝30°；③BD平分∠ABC；④若连接AF，则AF⊥BC．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BOC＝2∠BAD，则⊙O的直径为．二．解答题11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O 于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝62°，∠APD＝86°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠BAC＝20°，∠DAC＝35°．求证：AD＝CD．14．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．15．如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．16．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．参考答案一．填空题1．36．2．80．3．130°．4．30°．5．40°．6． 25°．7．6．8．30°．9．①②④．10． 10．二．解答题11．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．12．（1）∵∠APD＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝86°﹣62°＝24°，∴∠B＝∠C＝24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝×6＝3，即圆心O到BD的距离为3．13．证明：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，在△ABC中，∵∠DAC＝35°，∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣35°﹣110°＝35°，∴∠DCA＝∠DAC，∵AD＝CD．14．（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝90°得∠OCE＝30°（1分）∴OE＝1，BE＝2∴BE＝2OE．（2分）15．（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．16．作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．。
人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 同步练习题
人教版数学九年级上册第二十四章圆24.1.4圆周角同步测试一、选择题1. 下列图形中的角是圆周角的是()A B C D2. 下列说法中正确的是()A. 顶点在圆周上的角叫圆周角B. 圆周角等于圆心角的一半C. 同弦所对的所有圆周角相等D. 弦所对的圆周角有无数个3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A. 22B. 4C. 42D. 8第3题第4题4. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O中，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是线段BC延长线上的一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是()A. 115°B. 105°C. 75°D. 85°6. ⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对的圆周角为()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第7题 第8题8. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( ) A. 29° B. 31° C. 59° D. 62°9. 如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )A. mB. 180°－m 2C. 90°＋m 2D. m2第9题 第10题10. 如图，BA 是半圆O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠ABC ＝50°，则∠CAB ＝ .11. 如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝ ，∠B ＝ .第11题 第12题12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，连接BC ，AC ，∠BAC ＝60°，弦AD 平分∠BAC ，若AD ＝6，那么AC ＝ .13. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，D ，E 在⊙O 上，说明：BD ＝DE .14. 如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ，若BC ＝BE . 求证：△ADE 是等腰三角形.15. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是CAD ︵上一点(不与C ，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠COB ；(2)点P ′在CD ︵上(不与C ，D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.16. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM . (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长.17. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD .(1)弦长AB ＝ (结果保留根号)； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数.18. 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD . (1)如图①，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ； (2)如图②，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，求∠DCA 的度数.答案1. B2. D3. C4. C5. B6. D7. C8. B9. B 10. 40° 11. 80° 100° 12. 213. 解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠EAD ，∴︵BD ＝︵DE，∴BD ＝DE .14. 证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形.15. (1)证明：连接OD ，∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴︵BC ＝︵BD ，∴∠COB ＝∠BOD ＝21∠COD .又∵∠CPD ＝21∠COD ，∴∠CPD ＝∠COB .(2)解：∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.证明：∵四边形PCP ′D 是圆内接四边形，∴∠CPD ＋∠CP ′D ＝180°.∴∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.16. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴︵AB ＝︵CD ，∵M 为︵AD 中点，∴︵AM ＝︵DM ，∴︵AB ＋︵AM ＝︵CD ＋︵DM ，即︵BM ＝︵CM.∴BM ＝CM .(2)解：∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴︵BM 的长＝83×4π＝23π. 17. 解：(1)2(2)∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，∴∠BOD ＝∠B ＋∠BCO ，∠BCO ＝∠A ＋∠D .∴∠BOD ＝∠B ＋∠A ＋∠D .又∵∠BOD ＝2∠A ，∠B ＝30°，∠D ＝20°，∴2∠A ＝∠B ＋∠A ＋∠D ＝∠A ＋50°，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°.18. 解：(1)如图①，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE ＝21AC ＝21×2＝1.∵翻折后点D 与圆心O 重合，∴OE ＝21r .在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(21r )2，解得r ＝33.(2)连接BC .∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝65°.根据翻折的性质，︵AC 所对的圆周角为∠B ，︵ABC所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴∠DCA ＝∠CDB －∠A ＝65°－25°＝40°.。
新人教版九年级上册《24.1.4圆周角》同步练习含答案(初中 数学试卷)
新人教版九年级上册24.1.4 圆周角同步练习一．选择题（共5小题）1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（）A．3﹣B．C．3﹣D．3﹣4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD 为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．85．下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x﹣1=1的解；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④的算术平方根是4．其中真命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．7．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是．8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=度．9．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则∠ABD=．10．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．三．解答题（共4小题）11．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．12．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD=时，四边形EBCA是矩形．13．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．14．（1）如图1，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，求∠BOC的度数．（2）已知：如图2，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．参考答案一．选择题（共5小题）1．D．2．D．3．D．4．D．5．A．二．填空题6．4．7．35°．8．29．9．20°．10．．三．解答题11．证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴==，∴AD=BD=BA．12．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DACM∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）解：当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ACD=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∴BC=CD=6，故答案为6．13．解：如图1，联结OD∵直径AB=12∴OB=OD=6∵PD⊥OP∴∠DPO=90°∵PD∥AB∴∠DPO+∠POB=180°∴∠POB=90°又∵∠ABC=30°，OB=6∴∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2∴∴（2）如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H ∵OH⊥BC∴∠OHB=∠OHP=90°∵∠ABC=30°，OB=6∴，∵在⊙O 中，OH⊥BC∴∵BP 平分∠OPD∴∴PH=OH•cot45°=3∴．14．解：（1）∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．。
人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角 同步练习(附答案)
24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是() A．25° B．20°C．80° D．100°2．如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝()A．55° B．110°C．120° D．125°3．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是() A．24° B．28°C．33° D．48°4．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为 m.5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是() A．35° B．45° C．55° D．65°6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为 .9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为 ． 10．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD11．如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD ＝62°，且AD ∥OC ，则∠ABD 的大小是( )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°13．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD ＝130°，AC ∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B ＝ 度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为 ．15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP ⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM ＝15°，则∠CAP ＝ .16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点． (1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．17．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为 .第2课时圆内接四边形1．如图，图中∠A＋∠C＝()A．90° B．180°C．270° D．360°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是．5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，D 是AC ︵的中点，则∠DAC 的度数是 度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证： (1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．8．如图，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为 ．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．13．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD.连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE ，DE ，DF. (1)求证：∠E ＝∠C ；(2)若∠E ＝55°，求∠BDF 的度数．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．参考答案：24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．A2．D3．A4．200 .5．C6．D7．A8．50°.9．30°或150°．10．D11．B12．D13．40．1415．15°.16．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.17．8__cm .第2课时 圆内接四边形1．B 2．B 3．D 4．AB ∥CD ． 5．30．6．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x °，x °，7x °，8x °，则 2x ＋x ＋7x ＋8x ＝360.解得x ＝20. 2x ＝40，7x ＝140，8x ＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°. 7．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB是⊙O的直径．8．140°．9．C10．B11．50°．12．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.14．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠A ＝180°.又∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE ，∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°.∴∠A ＝90°－α＋β2.。
人教版九年级上数学《24.1.4圆周角》练习题(含答案)
24.1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论01 基础题知识点1 圆周角的概念1．下列图形中的角是圆周角的是(B)知识点2 圆周角定理2．(茂名中考)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的度数是(A)A ．150°B ．140°C ．130°D ．120°3．(滨州中考)如图，在⊙O 中，圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的大小为(C)A ．156°B ．78°C ．39°D ．12°4．(山西模拟)如图，直径为AB 的⊙O 中，BC ︵＝2AC ︵，连接BC ，则∠B 的度数为(B)A ．35°B ．30°C ．20°D ．15° 知识点3 圆周角定理的推论5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝35°，则∠B 的度数是(C)A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是(D)A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为(A)A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°8．(太原二模)如图，BD 是圆O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M ，N ，量得OM ＝8 cm ，ON ＝6 cm ，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．10 cm10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥长100 m ，测得圆周角∠ACB ＝30°，则这个人工湖的直径为200m.11．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB ＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠ADB ＝∠BDC. ∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错12．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°． 02 中档题13．(海南中考)如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，则∠BOC 的度数为(B)A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°14．(吕梁孝义市期中)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为(B)A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D)A．AD＝2OB B．CE＝EOC．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求BC的长；(2)求BD的长．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝102－52＝5 3.(2)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.∴AD＝BD.设BD＝AD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2.∴x2＋x2＝102.解得x＝5 2.∴BD＝5 2.18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.03 综合题19．(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm ．第2课时 圆内接四边形01 基础题知识点 圆内接四边形的性质1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠DAB ＝60°，则∠BCD 的度数是(D)A ．60°B ．90°C ．100°D ．120°2．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是(B)A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°3．(娄底中考)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D ，则AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．4．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，D 是AC ︵的中点，则∠DAC 的度数是30°．5．如图所示，已知圆心角∠AOB ＝100°，求∠ACD 的度数．解：在优弧AMB ︵上任取一点N ，连接AN ，BN ， 由圆周角定理，得∠N ＝12∠AOB ＝12×100°＝50°.∴∠ACB ＝180°－∠N ＝180°－50°＝130°. ∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－130°＝50°.6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数． 解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则 2x ＋x ＋7x ＋8x ＝360.解得x ＝20. 则2x ＝40，7x ＝140，8x ＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.7．(T4的变式)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证： (1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°. ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8．(来宾中考)如图，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝140°．02 中档题9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，四边形AOBC 是菱形，则∠ADB 的度数是(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为(B)A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC 上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.03综合题15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ECD＝∠A.∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°.∴∠A＝90°－α＋β2.。
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24.1.4圆周角
姓名
环节一、温故知新
1、如图1，∠AOB=28°，则∠C= °。
2、如图2，∠C=38°, 则∠D= °。
3、如图3，AB 是⊙O 的直径，则∠C= °。
4、如图4，∠C=90°，AB=6，则这个圆的面积是 。
图1 图2 图3 图4
环节二、探索新知
1、 圆内接多边形的定义
【画一画】
如图5，在⊙O 上任意找三个点A 、B 、C ，然后画出△A BC ；
如图6，在⊙O 上任意找四个点A 、B 、C 、D ，然后画出四边形ABCD 。
图 5
图6
如图5，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，则称△ABC 是⊙O 的 三角形，
⊙O 是△ABC 的 圆。
如图6，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，则称四边形ABCD 是⊙O 的 四边形，
⊙O 是四边形ABCD 的 圆。
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆 多边形， 这个圆叫做这个多边形的 圆。
2、 圆内接四边形的性质 【问题1】圆内接四边形的四个内角都是 角。
【问题2】如图7，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
观察几何画板《圆内接四边形》，猜想∠A 和∠C 有什么关系？
猜想：
D A B
图7 证明：
图7
【圆内接四边形的性质】
圆内接四边形的对角 。
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴
环节三、巩固练习
1、 如图8，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=50°，∠B=100°，
则∠C= °，∠D= °。
2
3、如图10，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，点P 在劣弧⌒CD
上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是 。
图10
图8 4、判断题：任何一个四边形都有外接圆。
（ ）
5、课本第88页练习第5题。
环节四、课堂小结
环节五、作业
填《新课标学习辅导》第59页至第61页。
C
图9。