八年级数学相似形复习题
初三图形的相似练习题
初三图形的相似练习题在初三的数学学习中，相似形是一个非常基础且重要的概念。
了解并掌握相似形的性质和运用方法，对于解决各种几何问题起到至关重要的作用。
为了帮助同学们更好地理解和掌握相似形的知识，下面将提供一些相似形的练习题供大家练习。
练习题1：已知图形ABCD与图形EFGH是相似形，已知AB=4cm，EF=6cm，BC=5cm，FG=10cm。
求图形EFGH的其他边长。
解答：由相似形的性质可知，相似形的对应边长之间的比例相等。
设ED为图形ABCD与图形EFGH对应的边长。
根据比例关系可以得到：AB/EF = BC/FG = CD/GH = AD/EH代入已知条件，得到：4/6 = 5/10 = CD/10解方程可得：CD = 20/3 cm由此可知，图形EFGH的其他边长为：EF = 6cm，FG = 10cm，GH = 2*(20/3) = 40/3 cm，EH = 2*4 = 8cm。
练习题2：已知图形PQRS与图形IJKL是相似形，已知PQ=8cm，IJ=12cm，PR=10cm，KL=15cm。
求图形PQRS的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：PQ/IJ = PR/KL = PS/JL = QS/KI代入已知条件，得到：8/12 = 10/15 = PS/15解方程可得：PS = 20/3 cm由此可知，图形PQRS的其他边长为：PQ = 8cm，PR = 10cm，RS = 2*(20/3) = 40/3 cm，QS = 2*8 = 16cm。
练习题3：已知图形WXYZ与图形ABCD是相似形，已知WX=12cm，AB=8cm，YZ=16cm。
求图形WXYZ的其他边长。
解答：同样地，根据相似形的性质可得到：WX/AB = WY/AD =XZ/BC = YZ/CD代入已知条件，得到：12/8 = WY/AD = XZ/BC = 16/CD解方程可得：CD = 32/3 cm由此可知，图形WXYZ的其他边长为：WX = 12cm，XY = 2*(32/3) = 64/3 cm，YZ = 16cm，ZW = 2*12 = 24cm。
苏教版八年级数学上册期末复习
八年级数学上册期末复习1班级姓名学号一、选择题1. 下列说法正确的是( )A. 0的平方根是0B. 9的立方根是3C. 是无理数D. 比小2．如果点在第四象限, 那么的取值范围是( )A. B. C. D.3. 等腰三角形两边分别为5cm和2cm, 则它的第三边长为( )A.2cmB.5cmC.2c m或5cmD.4cm4. 点（2, -3）关于坐标原点的对称点是( )A.（-2，-3）B.（2，-3）C. （2.3）D.（-2，3）5．小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶, 但行至途中因车出了毛病,只好停下修车,车修好后,怕耽误上课,他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶．下面是行驶路程关于行驶时间的函数图象,那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( )A B C D二、填空题（本大题共10小题, 每小题2分, 共20分）1. 计算: = .2. 式子中x的取值范围是 .3. 在十八大精神的鼓舞下, 东台市的财政总收入超百亿元, 达110.6亿元, 这个数据用科学计数法表示为（精确到个位）元.4. 已知点在一次函数的图象上, 则= .5. 如图, 学校有一块长方形花铺, 有极少数人为了避开拐角走“捷径”, 在花铺内踩出了一条“路”. 他们仅仅少走了步路（假设2步为1米）, 却踩伤了花草.6．若不等式组的解集为, 那么的值等于 .7. 如图, 已知矩形ABCD, AB在y轴上, AB=2, BC=3, 点A的坐标为(0, 1), 在AD边上有一点E(1, 1), 过点E的直线平分矩形ABCD的面积, 则此直线的解析式为 .第5题图第7题图三、解答题1. 计算:2. 求不等式组的整数解.3. （本题满分7分）12月份文化艺术节成功演出后, 实验中学决定将演出节目刻录成电脑光盘, 若到电脑公司刻录, 每张需8元(包括空白光盘费)；如果学校自刻, 除租用刻录机需120元外, 每张光盘还需要成本4元(包括空白光盘), 问至少刻录电脑光盘多少张时学校自己刻录的费用较省？。
北师大版八年级数学下相似图形复习周练习题(12)
第12周每周一练 相似图形复习班级：________ 姓名：_________________ 学号：________一、选择题:1．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ ）． A ．6：4：3 B ．3：4：6 C ．2：3：4 D ．1：2：3 2．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：DF ：FB=1：1：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于（ ）．A ．1：2：3B ．1：4：9C ．1：3：5D ．1：4：163．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ ）．A ．一种B ．二种C ．三种D ．五种4．如图，已知M 是平行四边行ABCD 的AB 边的中点，•CM•交BD•于点E ，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD 面积之比为（ ）．A ．13B ．14C ．25D ．512二、填空题:5．如图，△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB=1：2，则∠MNA=______度， AN ：•NC=____________．6．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =______________．7．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD 的值是_______________．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作____________条． 三、解答题9．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD 的面积．10．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．11.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：BC 2=2CA ·CD ．12.已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2.A BCDF G E13．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P•为下底BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B ． （1）求证：△ABP ∽△PCE ；（2）在底边BC 上是否存在一点P ，使得AP ：PE =4：3，如果存在，求BP 、EC 的长；•如果不存在，请说明理由．第四章相似图形单元复习题参考答案一、选择题:1．若两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的相似比是（ A ）．A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．1：2．252．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（ C ）．A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：33．如图1，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=1：1：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于（C ）．A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：3：5 D．1：4：16(1) (2)4．用放大镜看一个Rt△ABC，该三角形边长放大10倍后，下列结论正确的是（ B ）．A．∠B是原来的10倍 B．周长是原来的10倍C．∠A是原来的10倍 D．面积是原来的10倍5．一个钢筋三脚架的三边长分别为20cm，50cm，60cm，•现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，•则不同的截法有（ D ）． A．一种 B．二种 C．三种 D．五种6．已知b c a c a ba b c+++===k（a+b+c≠0），那么y=kx+k的图象一定不经过（ D ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图2，已知M是平行四边行ABCD的AB边的中点，•CM•交BD•于点E，•则图中阴影部分面积与平行四边行ABCD面积之比为（ A ）．A．13B．14C．25D．512二、填空题:8．已知两个三角形对应中线之比为2：5，则它们周长的比是__2：5_．9．如图3，△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB=1：2，则∠MNA=_68_度，AN：•NC=_1：2_．10．若32,234a b c a b ca++==则=__8__．(3) (4)11．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD=2，AB=3，AE=2.4，AC=3.6，•则S △ADE ：S 四边形BCED =__4：5_．12．平行于△ABC 的边BC 的直线平分△ABC 的面积，且把BC 边上的高AD 分为AG•、•GD 两段，则AG ：GD13．如果两个相似三角形最短边长为4：5，而且周长和为36cm ，那么这两个三角形的周长分别为_16cm ，20cm __．14．如图4，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使△ADE•和△ABC 相似，这样的直线可作_2 条．15．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，在他前面2m 处一块小积水块，他看到了旗杆顶端的倒影．如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是__30_m ． 三、解答题16.试作四边形，使它和已知的四边形位似比等于1：２，位似中心为O（1）使两个图形在点O 同侧（2）使两个图形在点O 两侧如图两四边形为所求17．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，•若矩形ABCD•∽矩形EABF ，AB=1，求矩形ABCD的面积．解：∵ 矩形ABCD•∽矩形EABF∴ABADEA AB =又E 为AD 的中点，AB=1 ∴AB ADAD AB =21 即2221AB AD = ∴2=ADO∴矩形ABCD 的面积=2=∙AD AB18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB•上的一点，•EF•∥BC ，•并且将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 、EBCF ，若AD=4，BC=9，求AE ：EB 的值．解: ∵梯形AEFD ∽梯形EBCF, AD=4，BC=9∴EB AE BC EF EF AD == 即94EFEF =∴6=EF∴3264==EF AD∴AE ：EB=AD:EF=2:319．如图，已知点D 在BC 上，BD ：DC=2：1，点E 在AD 上，AE ：ED=2：3，BE•的延长线交AC 于点F ，求BE ：EF 的值．提示:过D 作DM ∥AC 交BF 于M易证△AEF ∽△DEM ∴EF ：EM= AE ：ED=2：3同理可证△BDM ∽△BCF ∴BM ：BF=BD ：BC=2：3由EF ：EM =2：3 得EF ：MF=2：5 由BM ：BF =2：3 得MF ：BF=1：3∴EF ：BF=2：15 ∴BE ：EF=13：220．ΔABC 为正三角形,D.B.C.E 在一条直线上,若∠DAE ＝1200,找出图中的相似三角形（写出证明过程）并探讨DB 、BC 、CE 之间的关系。
八年级下册第四章《相似图形》考点归纳
八年级下册第四章《相似图形》考点归纳八年级下册第四章《相似图形》考点归纳一、定义表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成 = ，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，则=k或AB=kCD.四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割（gold）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .如果（b,d 都不为0），那么ad=bc.2、合比性质：如果 ,那么。
3、等比性质：如果=…= （b+d+…+n≠0），那么。
4、更比性质：若那么。
5、反比性质：若那么三、求两条线段的比时要注意的问题：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.四、相似三角形（多边形）的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
八年级数学相似三角形的性质3
D
S1 S2
E
G S3 N S4 C
例5：有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高 AH=8cm，按下（1）、（2）两种设计方案把它 加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是 宽的２倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片 的面积应尽量大些。请你通过计算判断（1）、 （2）两种设计方案哪个更好？ A
D E C
B
例3：如图所示,正方形ABCD 中,AB=2,E是BC的中点,DF⊥AE于F. (1)试说明△ABE∽△DFA； (2)求△DFA的面积S1和四边形CDFE 的面积S2. A
D F B E C
例4：如图，已知DE∥FG∥MN∥BC，且 AD＝DF＝FM＝MB， A
求S1:S２:S３:S4
特别地，如图（2），在△ ABC 中， D是 AB 的中点且DE∥BC，交 AC 于点E时，AE=CE，此时DE叫做△ABC的中位线； 如图（ 3 ），当 E 是腰 AB 的中点且EF∥BC∥AD，交 CD 于点 F 时， DF=CF，EF叫做梯形ABCD的中位线且EF=（AD+BC）。
l4 l5
A B D E
例题 如图，与小孔O相距32cm处 有一支长30cm燃烧的蜡烛AB，经 小孔，在与小孔相距20cm的屏幕上 成像.求像A’B’的长度.
例1：如图，已知以点A、D、E为顶点 的三角形与△ABC相似，且AD=3， DE=2.5，AE=4,AC=6，∠AED＝ ∠B，求△ABC的周长
A
例2：如图所示,正方形 ABCD中,AB=2,E是BC的 中点,DF⊥AE于F. (1)试说明 △ABE∽△DFA； (2)求△DFA的面积S1和 四边形CDFE的面积S2.
l1 l2
A
A
八年级数学暑假专题 图形的相似 北师大版
初二数学暑假专题 图形的相似北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：暑假专题——图形的相似二．教学目标：1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割．2．了解相似多边形的性质，掌握两个三角形相似的条件．3．了解图形的位似，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小，利用图形的相似解决一些实际问题．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）比例的性质：①a b ＝c d ⇔ad ＝bc ；②a b ＝c d ⇒b a ＝d c ；③a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d ；④a b ＝cd＝e f ＝…＝mn （b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0）⇒a ＋c ＋e ＋…＋m b ＋d ＋f ＋…＋n ＝a b． （2）点C 把线段AB 分成AC 和BC 两条线段．如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2．相似三角形的判定、性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）两个三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 3．相似多边形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比． （2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．位似图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5．本讲内容结构如下：线段的比黄金分割形状相同的图形相似多边形的概念相似三角形及其判定条件的探索相似的综合应用，测量旗杆的高度相似多边形的性质图形的放大与缩小【典型例题】知识点1：线段的比例1．已知a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，求a ＋b ＋c ＋d b ＋c的值．题意分析：本例考查比例的性质，从已知和所求来看不能直接利用比例的性质解题． 思路分析：根据已知比例式的特点，设一个参数表示出a 、b 、c 、d ，再代入所求代数式求解．或利用比例的性质把已知和所求变形，以寻求中间比． 解：∵a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，∴a ＋b ＋c ＋d 2＋3＋4＋5＝a 2，b ＋c 3＋4＝b 3＝a 2， ∴a ＋b ＋c ＋d 14＝b ＋c 7，∴a ＋b ＋c ＋d b ＋c＝147＝2．解题后的思考：本例是等比性质与反比性质的综合运用．例2．已知线段AB ＝6，C 为AB 的黄金分割点，求AC －BC 的值．题意分析：黄金分割点把已知线段分成的较长线段与原线段的比是黄金比．思路分析：由黄金比和AB 的长度可求出AC 、BC 的长度，再求差即可．但应注意点C 的位置有两个．解：（1）若AC ＞BC ，如图所示：AB C∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC ＝5－12·AB ＝5－12×6＝35－3，BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－35． ∴AC －BC ＝（35－3）－（9－35）＝65－12． （2）若AC ＜BC ，如图所示：ABC则BC ＝5－12·AB ＝35－3． ∴AC ＝AB －BC ＝6－（35－3）＝9－35， ∴AC －BC ＝（9－35）－（35－3）＝12－65． 综上所述，AC －BC 的值为65－12或12－65．解题后的思考：本例极容易忽视一条线段上有两个黄金分割点，即AC 不一定是较长线段，应分情况计算．注意，本例两种情况下的结果可分析出是互为相反数，因此可先计算其中一种的结果，另一种取其相反数即可．小结：解决比例问题除了要熟练掌握比例的性质，还有一种重要方法，那就是引入比值k 的方法．利用这种方法可以很方便地推导出比例的性质、解决比例式求值问题．知识点2：相似图形例3．如图所示，△ABC ∽△DBA ，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，BC ＝6cm ，求∠BDA 、∠BAD 、∠DAC 、BD 、AD 、DC ．BCD题意分析：本题根据相似三角形的性质求相似三角形的对应角的度数和对应边的长度． 思路分析：把已知的角、线段和所求的角、线段分类，化归到相应的相似三角形中，其中∠DAC 和DC 不能转化为相似三角形的角和边，应利用求差的方法来解．解：∵△ABC ∽△DBA ，∴∠BDA ＝∠BAC ＝80°，∠BAD ＝∠C ＝70°． ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝80°－70°＝10°．∵△ABC ∽△DBA ，∴AB DB ＝BC BA ＝ACDA．即5BD ＝65＝3AD ，解得BD ＝256，AD ＝52， ∴DC ＝BC －BD ＝6－256＝116．解题后的思考：解决相似三角形的性质问题时，注意对应位置上的字母必须对应，这样才能保证其中的角、线段的对应关系．例4．如图所示，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（ ）A ．△EFBB ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 与△DEFAB CDEF题意分析：要判定两个三角形是否相似，只需看这两个三角形是否具备相似条件，另外还要注意矩形的四个角都是直角这一隐含条件．思路分析：由题中给的已知条件可知，∠EAB ＝∠FDE ＝90°，∠DEF ＋∠EFD ＝∠DEF ＋∠BEA ＝90°，故∠EFD ＝∠BEA ，所以△ABE 与△DEF 相似，选项A 、C 中均没有△DEF ，故可排除，而我们又无法找到△EFB 与△ABE 相似所具备的条件，因此选项B 是正确的．解：B解题后的思考：一般情况下，在判断两个三角形是否相似时，若不知道两个三角形各边长度关系时，应考虑两角是否对应相等．小结：判断两三角形相似的方法有三种，其中“两角对应相等，两三角形相似”最简单，也最常用．知识点3：相似图形的应用例5．有一块三角形形状的铁板，如图所示，其中，AB ＝90cm ，AC ＝60cm ，BC ＝45cm ，现要在AB 、AC 上确定两点D 、E ，然后沿DE 将上面部分剪去，使剩下的四边形部分BDEC 为梯形，且DE ＝15cm ，如何确定点D 和点E 的位置？B CDE题意分析：欲确定点D 、E 的位置，只要求出AD 、AE 的长即可．思路分析：由已知条件，较易推出△ADE ∽△ABC ，利用其对应边成比例，即可求出AD 、AE 的长．解：由四边形BDEC 为梯形，得DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，△ADE ∽△ABC ．所以DE BC ＝AD AB ＝AE AC ，即1545＝AD 90＝AE 60．因此AD ＝30（cm ），AE ＝20（cm ）．即点D 应距顶点A30cm ，点E 应距顶点A20cm ．解题后的思考：本题利用相似三角形的性质求出AD 、AE 的长，进而确定点D 和点E 的位置．题中要求“使剩下的四边形部分BDEC 为梯形”，如果将这一要求去掉，又该如何剪呢？例6．如图，电影胶片上每一个图片的规格为cm ×cm ，放映银幕的规格为2m ×2m ，若放映机的光源S 距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方才能使放映的图像刚好布满整个银幕？S题意分析：如图所示，可以看作一个正四棱锥．光源S 到胶片的距离正好是点S 到胶片中心的距离，光源S 到银幕的距离正好是点S 到银幕中心的距离．思路分析：设胶片和银幕两个正方形的中心（对角线交点）分别为O 2、O 1．则SO 1SO 2＝SD 1SD 2＝A 1D 1A 2D 2． B 1C 1D 1SA 1O 1O 2B 2A 2C 2D 2解：设银幕距镜头xcm ，根据题意，得2m ＝200cm ． x 20＝200，解得x ＝80007． 80007cm ＝807m ． 答：银幕距镜头807m 时，放映的图像刚好布满整个银幕．解题后的思考：解决此类问题首先应建立数学模型，把实物立体图形转化为平面几何图形，从而构造出相似三角形．小结：图形相似与现实世界有着密切的联系，常见的应用问题有两类：一是阳光下测量物体的高度．二是从某一点观测物体．总结：学习本讲应注意两点：一是利用比例的性质、相似图形的性质解决一些计算类的题目；二是在判断三角形相似或说明角相等、线段之间的关系时逐步加强逻辑推理的力度，认识和把握更为复杂的图形，提高研究“空间与图形”的水平．【预习导学案】（暑假专题——证明）一．预习前知1．什么是定义、命题、定理、公理、推论、证明？2．平行线的性质有哪些？如何判定两直线平行？3．三角形内角和定理及其推论是什么？二．预习导学1．下列语句中不是命题的是（）A．相等的角不是对顶角B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线2．地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲乙：4号是亚洲，2号是大洋洲丙：1号是亚洲，5号是非洲丁：4号是非洲，3号是大洋洲戊：2号是欧洲，5号是美洲地理老师说：“你们每个人都认对了一半。
八年级数学相似三角形
相似三角形判定定理３:三边对应成比例,两三角形相似。
直角三角形相似的特殊判定定理：斜边与一直角边对应成比
例,两直角三角形相似.
相似三角形的传递性:如果两个三角形都与第三个三角形相
似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的性质：
定义:相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形性质定理１: 相似三角形对应角平分线
一、相似三角形的定义
对应角相等 、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定
三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
方案如图1，乙设计方案如图2。你认为哪位同学设计的 方案较好？试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中 可保留分数） Ｃ
D
E
Ｂ
D
Ｅ
A
Ｂ
Ａ F
G
F
C
图1
图２
请说明理由。 （ 2） 设 BD=x， AF=y， 求 y与 x的 函 数 关 系 式 ， 并 指 出 定 义 域 。 （ 3） 当 ADF是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 AF的 长 。
A
Ｆ
B
Ｄ
C
作业
如图，一块直角三角形木板的一条直角边长为1.5m，面 积为1.5㎡，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方 形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似?
9.7 利用相似三角形测高 学案 山东省济南市莱芜区羊里中学鲁教版八年级数学下册
9.7利用相似三角形测高（习题课）一、学习目标1.通过复习测量旗杆的高度，进一步巩固相似三角形的判定定理及定义等有关知识。
（重点）2.能灵活运用三角形相似的知识，去测量某些不能直接度量的物体的高度或宽度等实际问题。
（难点） 二、回顾知识利用相似三角形测量物体的高度都有哪些常用的方法？ 1、利用阳光下的影子； 2、利用标杆；3、利用镜子的反射。
这些方法的共同点是：构造相似三角形方法1：利用阳光下的影子方法要点：在同一时刻，可以把太阳光近似地看成平行光线。
∵∠ABE=∠CDB=90°∠AEB=CBD （两直线平行，同位角相等） ∴△AEB ∽△CBDEBBD AB CD =∴人影长旗杆影长人高旗杆高即：=典例赏析如图，为估算学校的旗杆的高度，身高为1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度（ ）A 、6.4米B 、7米C 、8米D 、9米CA E BD变式练习：如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米处的A 处，则小明的影子AM 长为（ ）米方法2：利用标杆方法要点：①眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，②标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.③构造相似三角形，把旗杆高度分成两部分来求解 解：∵∠AME=∠ANC=90° ∠EAM=∠CAN∴△AME ∽△ANC CNEMAN AM =∴典例赏析：如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE=1.2米，测得AB=1.6米，BC=12.4米，则建筑物CD 的高度是（ ）A.9.3米 B.10.5米 C.12.4米 D.14米变式练习： 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案。
已知测量同学眼睛A 、标杆顶端F 、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距离地面AB=1.6米，标杆FC=3.3米，且BC=1米，CD=4米，A N CEM BFD求树高ED 是多少方法3：利用镜子反射方法要点：光线与平面的夹角相等 解：∵∠ABE=∠CDE=90° ∠AEB=∠CED ∴△ABE ∽△CDE ∴ DEBECD AB典例赏析：如图，在距离树 18m 的地面上平放着一面镜子E ，人退后到距镜子2.1m 的D 处，在镜子里恰看见树顶，若人眼距地面1.4m ，求树高.变式练习如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A 、B 、C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG=15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB为（）A 、8.5米 B 、9米 C 、9.5米 D 、10米B DCAEDBCEA拓展延伸：如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上，小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6米,在墙上的影长CD为2米，同一时刻，小明又测得竖立于地面上1米的标杆的影长为1.2米，请帮助小明求出旗杆的高度。
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第十单元 相似形【知识网络】第一讲 相似形【考点透视】一、考纲指要1． 掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质，会用它们进行简单的比例变形，会判断四条线段是否成比例；（1）基本性质：bc ad d cb a =⇔= （2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇒=（3）等比性质：若n m d c b a === ，且0≠+++n d b ，则nd b mc a b a ++++++=2．了解黄金分割的意义：已知C 点把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC ＞BC ），若AC 是BC 和AB 的比例中项，则称C 点把线段AB 黄金分割，C 叫线段AB 的黄金分割点，此时AB AC 215-=； 相似三角形的性质相似三角形的判定 相似三角形相似多边形的性质相似多边形的判定相似多边形视图与投影黄金分割比例线段 比例的性质相似形3． 了解平行线分线成比例定理及截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定定理的证明，会用它们证明线段成比例、线段平行等问题，并会进行有关的计算。
3． 理解相似多边形的概念 二、命题落点1．比例的性质，如例1、例3、例5； 2．黄金分割的应用，如例2；3．平行线分线成比例定理的应用，如例6； 4．相似形的定义，如例4．【典例精析】例1：下列说法中正确的有（ ）①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数 ②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比 ③两条线段的比与所采用的长度单位无关 ④两条线段的比有顺序，b a 与ab不同，它们互为倒数 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 两条线段的比，选用同一个长度单位量得两条线段的长度的比叫做两条线段的比．因为线段的长度都是正数，所以比值也是正数．又因为两条线段的比是一个没有单位的正数，因此与所采用的度量单位无关．两条线段a 、b ，除了a =b 之外，b a ≠ab,所以两条线段的比是有顺序性的．四个说法都正确，故选D ． 答案：D ．例2：已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC >BC ,下列说法错误的是（ ）A ．如果AB AC =ACBC,那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2=AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割 C ． AC 与AB 的比叫做黄金比D ． 0．618是黄金比的精确值解析 点C 为AB 的黄金分割点，且AC >BC ,则AB AC =ACBC,即AC 2=AB ·BC ；反之，也成立．其中较长线段与原线段的比叫做黄金比．黄金比为215-,约等于0．618．故选D ． 答案：D 例3：已知ab a -=53,则b a为（ ）A ．52B ．25C ．－52D ．－25解析 由53=-a b a ,得5（a －b ）=3a ,所以2a =5b ,得25=b a ,故选B ． 答案：B ．例4：下面给出的图形中，不是相似的图形的是 （ ） A ．刚买的一双手套的左右两只 B ．仅仅宽度不同的两快长方形木板 C ．一对羽毛球球拍 D ．复印出来的两个“春”字解析 仅仅宽度不同的两快长方形木板不一定是相似的． 答案：B ．例5：若b a =dc =54=f e ，则fd be c a 2323+-+-=____． 解析b a =dc =54=f e ，所以b a =d c 33--=5422=fe ，则f d b e c a 2323+-+-=54． 答案：54例6：如图，l 1∥l 2∥l 3，BC ＝3，EFDE ＝2，则AB ＝___________．解析 运用平行线分线段成比例定理，DE AB ＝EFBC． 答案：6．【常见误区】1．灵活运用比例的基本性质，如例4中，知道了ac =bd ，容易得到cdb a =，不会出现dc b a =，然后再利用cd b a =得到cb d a =，从而利用合比性质得到c cb d d a +=+；虽然得到dc b a =，不会出现c dba =22的结果的．2．在判断给定的四条线段是否成比例，常用的方法是先将四条线段长度化成统一的单位，再按从小到大的顺序排列，将最长线段与最短线段的长度乘积与中间两条线段的长度乘积比较，如果积相等，则四条线段成比例；否则不成比例．如已知线段a 、b 、c 、d ，a =2厘米,b =30米,c =6厘米,d =10米，试判断它们是否为成比例线段？不要认为dc b a ≠,所以线段a 、b 、c 、d 不成比例，这样的方法是错误的．3．灵活运用平行线分线成比例定理，它的前提条件是知道有平行线的存在，然后得到了对应线段成比例，但反过来就不一定正确，如下左图，如果AB ∥CD ∥EF ，可以得到FD BF EC AE =，如下右图，如果FDBFEC AE =，但不一定得到AB ∥CD ∥EF ．【基础演练】1． （2005年玉林）已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为 （ ） A ．3:4 B ．2:3 C ．3：5 D ．1:2 2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．a =2，b =3，c =2，d =3B ．a =4，b =6，c =5，d =10C ．a =2，b =5，c =23，d =15D ．a =2，b =3，c =4，d =1 3．已知点M 将线段AB 黄金分割（AM ＞BM ），则下列各式中不正确的是 （ ）A ．AM ∶BM =AB ∶AMB ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB4．有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1 其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．若bac a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为 （ ）A ．-1B ．21C ．1D ．- 126．已知2a =3b =5c ,求：c b a c b a +--+2223= ．7．如果两地相距250km ，那么在1：10000000的地图上它们相距 cm 。
8．已知b a =dc =f e =52，则fd be c a ++++=____，fb c a ++=____． 9．（2005年漳州）在比例尺为1∶500 000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米。
10．如图：已知A （0，－2），B （－2，1），C （3，2） （1）求线段AB 、BC 、AC 的长．（2）把A 、B 、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A ′、B ′、C ′的坐标,求A ′B ′、 B ′C ′、A ′C ′的长．（3）以上六条线段成比例吗？（4）△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同吗？参考答案：1．A 2．C ． 3．C ． 4．C 5．A ． 6．31． 7．2．5． 8．52；52 9．230 12．解：A （0，－2），B （－2，1），C （3，2）（1）由勾股定理得：AB =132322=+ BC =261522=+ AC =2243+=5 （2）由已知得A ′（0，－4），B ′（－4，2），C ′（6，4）由勾股定理得：A ′B ′=1326422=+ B ′C ′=26221022=+ A ′C ′=2286+=10 （3）∵21=''=''=''C A AC C B BC B A AB ∴这六条线段成比例（4）△ABC 与△A ′B ′C ′的形状相同．第二讲 相似三角形【考点透视】一、考纲指要1．理解相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
2．会利用相似三角形的判定方法进行三角形的判定：（1）定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）两角对应相等，两三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；CD EP（4）三边对应成比例，两三角形相似；（5）斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；（6）直角三角形被斜边上的高所分成的两个直角三角形都与原三角形相似。
3．利用相似三角形的性质进行简单的计算：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形中的对应线段（中线、角平分线、高等）之比等于相似比；（3）相似三角形的周长比等于相似比； （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、命题落点1．相似三角形的判定，如例3、例7；2．相似三角形的性质，如例1、例5、例6； 3．相似三角形的应用，如例2、例4．【典例精析】例1：若△ABC ∽△A ′B ′C ′,∠A =45°，∠B =105°，∠B ′=105°，则∠C ′的度数是 （ ） A ．30° B ．45° C ．30°或45° D ．75°解析 由于△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′，由于∠A =45°，∠B =105°，所以∠C =30°，所以∠C =30°． 答案：A ．例2：△ABC 的三边长为3∶4∶5，与它相似的△A ′B ′C ′的最短边为6，则△A ′B ′C ′的周长是 （ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．36解析 由于△AB 与△A ′B ′C ′相似，△ABC 的三边长为3∶4∶5，所以△A ′B ′C ′的三边长为3∶4∶5，△A ′B ′C ′的最短边为6，其他两边为8、10，故周长是24． 答案：C ．例3：已知：如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上 的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ） A ．∠APB =∠EPCB ．∠APE =90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC =2∶3解析 ∵P 是BC 的中点，∴AB ∶BP =2∶1． 又∵E 是CD 的中点,∴PC ∶CE =1∶1． ∵∠B =∠C =90°,∴△ABP 和△ECP 不相似．故选C ． 答案：C例4：（2004陕西中考）如图，矩形ABCD ，AD=a ，AB=b ， 要使BC 边上至少存在一点P ，使△ABP 、△APD 、△CDP 两 两相似，则a,b 间的关系一定满足 （ ） A ．a ≥12b ； B ．a ≥b ；C ． a ≥32b ；D ．a ≥2b ．解析 由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P 的位置有两个，它们关于BC 的垂直平分线对称；如果存在一点P ，则该点必为BC 的中点，此时△ABP ≌△DCP ，则AP=DP ，△APD 为等腰直角三角形。