概率论与数理统计1.3 概率的古典定义

2 5
所以，所求概率为
C 1 P( A) C 21
2 5 4 10
2. 掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现6点”， “点数之和为8”的概率。 解 总的基本事件数为
1 2 1 5
6 36
2
事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为
C C 1 11
事件B“点数之和为8”所包含的样本点为
b( a b 1)! b p (a b)! ab
解法2：
a N Ca b , 不区分同色球，所有的排法共有 再将所有的位置分成两类：第k个位置和剩余的（a+b-1) 个位置，放球顺序： （1）先放置第k个位置:从一个位置上挑一个位置,在b个黑球 中取一个,当然有b种方法,由于不区分 ,除去b,所以还是1. （2）再放置剩余的（a+b-1),从中挑a个位置,放进a个白球,在 剩余的b-1个位置上放进b-1个黑球.
12! 分组总数= 5!4!3!
4.古典概率典型例题
例1.7口袋中有a只白球和b只黑球，它们除了颜色之外没有其 他的不同，现在把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的一 只球是黑球的概率。 解法1： 将所有球看成时不同的，所有的排法共有（a+b）! 再将所有的位置分成两类：第k个位置和剩余的（a+b-1) 个位置，放球顺序： （1）先放置第k个位置 （2）再放置剩余的（a+b-1) （1）先放置第k个位置，共有b种放法（从黑球中任取一个） （2）再放置剩余的（a+b-1)，共有（a+b-1）!种放法。 因此，
(2,6),(3,5),(4, 4),(6, 2),(5,3)
所以
11 5 P( A) , P(B) 36 36
3. 包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行， 求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成 一圈，又如何呢？
解 总的基本事件数为
10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
试验
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6} 事件A
事件A的概率
n=6
={4，6} m=2 Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”
m 2 1 P( A) n 6 3
不是古典概型的例子 1.掷两枚硬币{全H,一个H一个T,全T},则 n=3,A={掷两次出现至少一次H},P(A)=? 2/3?显然不对,原因是基本事件不是等概率的. 2.掷2个骰子出现的点数之和{2,3,…,12},不是 等概率的.
30
40
50
P( A) 0.12
0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
50个学生有2人生日相同的概率为97%,如果是55 人 ,有99%的概率,如果是100人,概率为0.9999997.
一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件
的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同
基本事件总数 基本事件总数
1 mA C3 9! 3 P( A) n 10! 10
n 10!
mA C 9!
1 3
第五个学生抽 到入场券
另外9个学生抽 取剩下9张
所以抽签后千万别和别人说结果！！！！！
古典概率的计算：数字排列
用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数
没有相同数字的三位数的概率
3).放回排序
从n个元素中取1个,每次放回,取m次,共有
m 种情形 n
例1.4,1.5看书!
3.简单的排列组合计算：正品率和次品率
1).设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正品．
这批产品的次品率,即取1件,刚好是次品的概率
n＝ 100
mA＝ 4
任取3件，全是正品的概率
4 P( A) 0.04 100
的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有
4人在第8层下}。 解
总的基本事件数：14
10
各事件含有的基本事件数分别为： A1
C
1 14
A2
P
10 14
A3 1
A4
C 13
4 10
6
所以，各事件的概率为： ………..
古典概率的计算：抽签
10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券， 抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。
3.性质 （1）0 P( A) 1
（2） P() 1, P() 0 k （3） 若 { Ai }i 1 , 互斥，则 P( 推论 P( A) 1 P( A);
UA ) P( A )
i i 1 i 1 i
k
k
P( A) P( B), P( B A) P( B) P( A); P(A B) P( A) P( B) P( AB),
50个学生
365天
50 365
50个小球
365个盒子
C 50! P( A) 0.03 50 365
某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相
同的概率为
n CN n ! P( A) Nn
C n! 至少有两人生日相同的概率为 P( A) 1 Nn
n N
N
10
20
23
P() 0; 若 A B, 则
P( A B C) P( A) P( B) P(C) P( AB) P( AC ) P(BC ) P( ABC ).
二.古典概率的计算
1.基本过程:首先必须判断确为古典概型! 求基本事件的总数N, 求事件A所含基本事件数 nA , 利用 P( A) 求得事件A发生的概率. nA / N
总的基本事件数为 4！
A所包含的基本事件数为 1
所以
1 1 P ( A) 4! 24

2.排列组合
1).两个基本原理:乘法原理和加法原理
乘法原理： 若进行A过程有n种方法，进行B过程有m种方 法,则进行A过程后再进行B过程共有mn种方法。 A到C需在B转机,A到B有3个航班,B到C有两个航班,则A到C 有几种方法? 从10个带编号的球中依次取出2个,有多少种方法? 加法原理： 若进行A过程有n种方法，进行B过程有m种方 法,若假定过程A和过程B是并行的，则进行过 程A或过程B的方法共有m+n种。 A到B可以坐火车,也可以坐飞机,坐火车有5个车次,坐飞机 3个班次,一共有多少方式可以从A到B.
n5
3
mA P
3 5
P53 P( A) 3 0.48 5
没有相同数字的三位偶数的概率
n5
3
mB P P
2 1 4 2
P42 P21 P( B) 3 ＝ 0.192 5
个位
百位十位
匹 配 问 题
某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，
求全部装对的概率。
解 设“全部装对”为事件A
m Cn .
组合数的推广:
从n个元素分成k组，每组分别有 n1 , n2 ,L , nk (n1 n2 L nk n) 个元素，则有
n! 种不同的分法.也可以这样看: n1 !n2 ! L nk !
n! nk n1 n2 Cn · nn1 · · n n1 L nk 1 C L C n1 !n2 ! L nk !
2.古典概型的概率计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
事件Ａ由其中的m个基本事件组成
事件A包含的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
一个简单的例子：抛掷骰子
第一次抽取后，产品放回去
第一次抽取后，产品不放回去
8 2 n 10 10 mA 8 2 P( A) 0.16 10 10 8 2 0.1778 n 10 9 mA 8 2 P ( A) 10 9
3).分组组合
考察三种颜色的球的排列问题。设有红球5个，黑球 4个，黄球3个，按任意顺序排成一行，共有多少种 不同的排法。 解法： 实际上只需要考虑不同颜色的球在不同位置的排 法。可以按照在12个位置中选出3组位置（数量 分别是5，4，3）来考虑。12个元素中选出3组的 不同选法，可按分组公式
3 C96 P( B) 3 C100
nC
3 100
mB C
3 96
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
任取3件，刚好两件正品的概率
nC
3 100
mC C C
2 96
1 4
2 1 C96C4 P(C ) 3 C100
2).有放回抽样和无放回抽样 设在10 件产品中，有2件次品，8件正品． A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”
第三节 古典概率模型
一.古典概型
最早被研究的情形,基本,重要.
1.定义:两个基本特征 (1)有限性:每次试验中，所有可能发生的结果 只有有限个，即样本空间Ω是个有限集
1, 2 ,..., n
(2) 等可能性每次试验中，每一种可能结果的 发生的可能性相同，即
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) n 其中 Ai i , i 1, 2,L , n .
PCC
8 8 1 9 1 2
8 8
1 9
1 2
排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为
P C C P C
8 8
1 2
1 2 所求概率为 P(1) , P(2) 5 9