晶格振动2
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
晶格振动 (2.双原子模型)
本征方程
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
本征方程
2 M
2
2 cos( qa ) 2 m
2
2 cos( 2
( M m ) M Mm
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B
2 M
2
2 cos( qa )
0
• 因为对光学支 min ( q )
2 m
• 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反
a
qa
声学 ( q ) 光学 ( q )
2 M 2 m
光学 ( q )
常数 !
LO: 纵光学支 (lognitudinal optical ramus)
LA: 纵声学支 (lognitudinal acoustical ramus)
(二）
晶格振动，声子(II)
2、一维双原子链的晶格振动
2、一维双原子链的晶格振动 M
2n-2 平衡时 振动时偏离 平衡位置
d x2n dt
2 2 2
2n-1
2n
2n+1 2n+2
m
a
x2n-1 x2n
x2n+1 x2n+2
M
( x 2 n 1 x 2 n ) ( x 2 n 1 x 2 n ) ( x 2 n 2 x 2 n 1 ) ( x 2 n x 2 n 1 )
固体物理中的晶格振动
固体物理中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是研究材料内部结构和性质的重要手段。
晶体是由无数个原子组成的，而原子的振动不仅决定了晶体的力学性质，还直接关系到热学、电学等性质的表现。
本文将深入探讨固体物理中晶格振动的原理和应用。
晶体中的原子按照规则的空间排列形成晶格。
这种排列使得晶体具有高度有序、周期性和对称性。
而晶格振动则是指晶体中原子在其平衡位置附近的微小振动。
晶格振动可以分为转动模式和拉伸模式。
在转动模式中，原子围绕平衡位置进行微小的旋转运动；而在拉伸模式中，原子在平衡位置附近的距离发生微小变化。
这些振动是固体物质独特的振动特性，不同原子种类和晶格结构会导致其振动频率和能量发生变化。
固体物理学家通过研究晶格振动的性质，可以了解材料内部结构的细节。
振动频率和能量的变化可以揭示材料中的缺陷、杂质和界面等。
例如，固体材料中存在位错，即晶格中原子的错位。
位错会导致晶格振动的局部异常，通过分析其振动特征可以精确地确定位错的位置和性质。
同样地，晶格振动也可以用于研究材料中的相变、相互作用等物理过程。
晶格振动还与材料的热学性质密切相关。
根据热学理论，温度越高，晶格振动的振幅越大。
这就是为什么在高温下，晶体结构会变得不稳定，甚至融化。
晶格振动还可以解释材料的热膨胀性质。
当材料受热膨胀时，原子的振动增大，导致晶格的空间结构变化，进而导致材料体积的改变。
除了晶格振动对于材料内部结构的研究，它也在纳米技术和光电子学中扮演着重要角色。
在纳米领域，由于晶格振动的限制，材料的热传导性能和机械强度可能会发生显著改变。
这对于纳米材料的设计和应用具有重要意义。
而在光电子学中，晶格振动可以直接与光学性质相联系。
例如，在光利用设备中，声子振动可以散射光子，从而影响光的传播。
这种相互作用为光场调控和信息处理提供了新的思路。
晶格振动不仅对于固体物理研究有重要影响，还具有实际应用价值。
例如，晶格振动可以用于材料的热导率测量，这对于研发新型高导热材料和热管理技术至关重要。
晶格振动与晶体的热容与热膨胀的关系
晶格振动与晶体的热容与热膨胀的关系晶格振动是晶体中原子的周期性振动运动，它对晶体的物理性质产生着深远的影响。
其中，晶体的热容与热膨胀是晶格振动的两个重要表现，它们之间存在着密切的关系。
本文将从晶格振动的角度，探讨晶体的热容与热膨胀之间的内在联系。
1. 热容与晶格振动晶体的热容是指在单位温度变化下，晶体内部储存的热能的变化。
晶体中原子的周期性振动运动是晶体的内部热激动，而热容正是描述晶体在受到热激动时储存和释放热能的能力。
晶格振动越强烈，晶体的热容就越大。
这是因为振动运动能引起晶格的势能和动能的变化，从而增加晶体储存的热能。
2. 热膨胀与晶格振动晶体的热膨胀是指在受到温度变化时，晶体的体积发生的变化。
晶体中原子之间的相互作用力与振动强度有密切关系，而晶格振动正是导致晶体热膨胀的根本原因。
晶格振动引起原子的位移和质心的位置变化，从而影响晶体的体积。
晶格振动强烈，晶体的原子位移越大，晶格常数就越增大，导致晶体膨胀。
3. 晶格振动与热容热膨胀的关系由于晶格振动对晶体的热容和热膨胀有着重要的影响，因此晶格振动与热容热膨胀之间存在着密切的关系。
一方面，晶体的热容与晶格振动的强度成正比。
晶格振动越强烈，晶体的热容就越大。
这是因为强烈的振动能够增加晶格的势能和动能，进而增加晶体储存的热能。
另一方面，晶体的热膨胀与晶格振动的强度也是正相关的。
晶格振动越强烈，晶体的热膨胀就越大。
这是因为强烈的振动能引起晶体中原子的位移和质心的位置变化，导致晶格常数增大，进而引起晶体的膨胀。
4. 晶格振动对热容与热膨胀的影响机制晶格振动影响晶体的热容与热膨胀，其机制主要包括两个方面。
首先，晶格振动可以通过改变晶格势能、动能以及动能与势能的平衡关系来影响晶体的热容。
晶格振动引起晶体原子相对位置的变化，影响晶体内部的能量分布，从而改变晶体储存的热能。
其次，晶格振动可以通过改变晶格常数来影响晶体的热膨胀。
晶格振动引起原子的位移和质心的位置变化，使晶格常数发生变化，进而影响晶体的体积。
(完整版)第四章晶格振动
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
晶格振动 (2.双原子模型)
2
• 由
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
• 可得
A B
2 M
2
2 cos( qa )
0
• 因为对光学支 min ( q )
2 m
• 所以振幅之比小于零，这表示相邻不同原子的 振幅方向相反
光学支
LO
LA
离子晶体中长光学波 有特别作用：相对振 动产生电偶极矩，与 电磁波相互作用，导 致强烈的红外光吸收
q
声学支
/a
0
/a
光学支 (2/1/2 M>m
LA LO
(2/m1/2 (2/M1/2
声学支
/a
q
振幅之比——声学支
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
本征方程
( 2 M ) B 2 cos( qa ) A 0
2
2 cos( qa ) B ( 2 m ) A 0
2
本征方程
2 M
2
2 cos( qa ) 2 m
2
2 cos( qa )
0
(q )
2
( M m ) M Mm
(二）
晶格振动，声子(II)
2、一维双原子链的晶格振动
2、一维双原子链的晶格振动 M
2n-2 平衡时 振动时偏离 平衡位置
d x2n dt
2 2 2
2n-1
2n
2n+1 2n+2
m
a
x2n-1 x2n
晶格振动知识点总结
晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。
晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。
晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。
晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。
二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。
波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。
在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。
晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。
2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。
声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。
声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。
3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。
热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。
晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。
三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。
声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。
2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。
晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。
3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。
晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。
四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。
声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。
第二章 晶格振动
34
对于实际三维晶体，上述的分析方法和结论是普 适的。 三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子 共有3n个自由度，因而存在3n个格波。3支格波为 声频支；3(n-1)支格波为光频支。 若共有N个原胞组成晶体，独立振动模式数为3nN， 即格波模式数为3nN。
每一支格波与一个振动模式(声子)一一对应。
17
将试解代入运动方程：
xn Ae
i ( qna t )
n ( xn1 xn1 2xn ) m x
iqa
m (e
2
2
e
iqa
2)
qa 2 [1 cos( qa )] 2 sin m m 2
13
一维单原子链谐振子示意图
14
5. 简谐近似下的运动方程
第n+1个原子对第n个原子的作用力：
f n,n1 ( xn xn1 )
第n-1个原子对第n个原子的作用力：
f n,n1 ( xn xn1 )
只考虑最近邻原子的相互作用时，则第n个原子的 受力情况为：
f n f n,n1 f n,n1 ( xn1 xn1 2xn )
16
6. 格波的色散关系
考虑上述方程具有简谐波形式的试解：
xn Ae
i ( qna t )
上式表示平衡位置在 y =na处原子的振动，q称为 格波波矢：q =2π/λ； 正q对应于沿+x方向前进的波，负q 对应沿-x方向 的波，这种在晶体(晶格)中传播的波，即为格波。
一维布拉菲晶格中所有原子均以相同的频率和相 同的振幅振动。
) 0
U )0 0 ①原子处于平衡位置势能为极小 ( qi
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对于其中每一个简正坐标都有：
1 2 2 2 2 i Qi (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
谐振子方程
谐振子的解是大家熟知的： i ( ni )i
独立谐振子能量量子化是量子力学的结论。
谐振子解的三个特征: 1、能量量子化（量子力学束缚态的共同特征） 2、等间距能级 3、基态能量不为0 – 零点能
分析力学的回顾
牛顿定律 – 质点组运动 – 大量的微分方程组 – 质点组受到约束因而变得非常复杂
拉格朗日 – 分析力学 – 数学分析方法解决力学问题 – 二阶微分方程组/拉格朗日方程
哈密顿 – 将坐标和动量作为独立变量 - 微分方程降为一阶 – 哈密顿正则方程
运用变分法提出哈密顿原理 – 与牛顿定律等价
e
i
i
k BT
1
平均热能
零点能
晶体中原子的热运动 使用牛顿力学处理 使用哈密顿方程处理 量子力学处理
在简谐近似下， 任何运动都可以 看成是3nN种简 谐平面波的线性 叠加。
在简谐近似下，原 子间的耦合运动也 可以用 3nN 个简正 坐标下的独立谐振 子运动来描述。
在简谐近似下， 可以当作是3nN 种无相互作用的 声子的运动。
例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。声子 的能量是 ，动量是 qi i 又例如：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是声子被散射等等。使许多复杂的物 理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。
电子- 声子耦合典型例子：cooper对的产生
The theory describes superconductivity as a microscopic effect caused by a condensation of pairs of electrons into a boson-like state.
Rn
，偏离平衡位置的
Rn '(t ) Rn un (t )
势能在平衡位置展开：
V 1 3 N 2V 1 3 N 3V V V0 ui u j ui u u u 2 i 1 ui u j 6 i 1 i 1 ui 0 i j k 0
哈密顿 - 雅科比方程 (Hamilton – Jacobi equation)
分析力学解决问题的基本模式 • • • • • • • 引入广义坐标，减少约束变量 写出广义坐标下动能项T和势能项V 写出拉格朗日量 L T V 计算广义动量 pi L i q 计算广义速度 L i pi L qi L q 计算哈密顿量 H i q i i 利用哈密顿方程得到系统运动方程
3N
uu u i j k 0
只保留 ui 的二次项称作简谐近似。N个原子体系的动能函数
1 3 N dui 为：T mi 2 i 1 dt
2
系统总能量
E T V
，由于势能项中包
含有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于
ui
三. 声子： 声子是对晶格振动的量子化描述，在经典力学的语言中对应 于振动模式，一个声子对应于一种振动模式，即晶格在某个固 定频率下振动。对于有N个原胞（每个原胞中n个原子）组成 的晶体，有3nN种振动模式，对应于3nN个声子。 声子的能量 i , 晶格振动的能量是声子能量的整数倍，即： 对于同一种振动模式，晶格振动的频率是固定不变的，但是振 动的能量却是 i 的整数倍，振动能量的大小实际对应于振 动振幅，也即振幅的取值是量子化的。 声子是固体物理中典型的准粒子，具有能量、也具有准动量 qi 可以用统计力学的方式来处理，声子的本质描述的是晶格振动 的集体行为，本身是无法脱离固体而存在的，这与光子等真实 粒子是不同的。
晶格振动与外界相互作用（光子、电子），能量变化是以声 子能量为单位的，例如晶格振动能量升高 ，称为吸收一个 i 声子，反之为发射一个声子 简谐近似下，声子为典型的玻色子，粒子数不守恒，可以产 生或湮灭，可以用二次量子化中的产生湮灭算符来描述。声子 之间无相互作用，非简谐近似下可以引入声子之间的相互碰撞 引入声子概念后，在处理有关晶格振动的问题上将会更加方 便。
声子是典型的波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系 统处于热平衡状态时，频率为ωi 的格波的平均声子数由波 色-爱因斯坦统计给出： 频率为ωi的声子的平均声子数：
ni e
1
i k BT
1
其平均能量：
1 i ni i 2
i i 2
给出原子集体运动 的方式，确定色散 关系和态密度。
揭示了原子热运 动的本质表现： 能量量子化。
习题 1、黄昆书3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：
(q ) 0 Aq 2
求证，晶格振动态密度为：
f ( )
0, 0
V 1 1/ 2 ( ) , 0 0 2 3/ 2 4 A
3.2 晶格振动的量子化－声子
一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 参考黄昆书 3.1节（p79-82） 及p88-92 Kittel 书 4.3和4.4 两节
引入简正坐标，用分析力学的方法重新处理晶格振动问题
பைடு நூலகம்
将分析力学中的哈密顿量过渡到量子力学中 – 谐振子方程
晶格振动的能量量子化 – 声子
j p j q
H q j
H p j
一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82） N个原子组成的晶体，平衡位置为 位移矢量为： un (t ) 所以原子的位置表示为：
1 2
而系统本征态的能量为：
1 E i ( ni )i 2 i 1 i 1
3N
3N
通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率ω的色散关系。
谐振子的基态能量并不为0，而是大于0:
1 E0 2
这个E0称为零点能。当温度趋于绝对零度时，晶格振动处 于基态，但按照量子力学的观点，作为量子谐振子，它们 依然振动着。能量量子化和零点能的存在是量子振子区别 于经典振子的两大特点。
元激发分类 集体激发 (多为Bose型 ): (1)离子-离子相互作用引起的晶格振动--声子(phonon); (2)磁性材料中的自旋-自旋相互作用引起的自旋波--磁振子 (magnon); (3)金属中电子气相互作用引起的等离子体集体振荡--等离子激 元(plasmaron); (4)光子和光学模声子耦合－极化激元(polariton) 个别激发 (多为Fermi型): (1)正常金属中相互作用的电子, 变换成屏蔽电子或准电子, 其 有效质量增大(quasi-electron); (2)离子晶体中的电子或空穴在运动时带着周围极化场一起运 动而形成的极化子(polaron); (3)半导体中的电子和空穴对，激子(electron-hole pair)
1 3N 2 T Qi 2 i 1
系统的拉格朗日量为：
L 正则动量： pi Q i Qi
1 3N 2 2 V i Qi 2 i 1
L T V
3N 1 2 2 2 p L H Q ( p Q i i i i i ) 2 i 1 i
声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子 集体－－晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格 振动能量量子化的特点。这种高度抽象化出概念是固体 物理的一大特征，他们被称作元激发（Elementary excitation）
元激发（准粒子） 有相互作用的多粒子体系的 低能激发态, 可以看成是一 些独立的基本激发单元的集合, 它们具有确定的能量,有时还 有确定的动量. 元激发使一个复杂的多体系统简化成接近于理想气体的 准粒子系统. 元激发不是简单的数学简化, 可以在实验上被观 测,理论上进行推导. 实验: 中子非弹性散射, Brillouin散射, Raman散射 理论: 量子场论方法(Green函数, Feynman图和Dyson方法) 元激发：①元激发能谱；②满足的统计规律；③散射机理 声子是固体中重要的元激发。
所有量子力学体系在他们的基态都仍然存在着波动，这是由他们波动性的本 质决定的，量子力学的不确定原理要求所有的粒子即使在基态都具有比他们 势阱更高的能量（例如，液氦在常压下任何温度下都不会冻结。）
显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理 论。每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简 正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的， 所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶 格振动的最基本的特征。 从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的 能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位 i 被称为 声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重要的结论。 在经典理论中，能量函数是连续的，量子理论修正了这 个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描 述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子 理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子 化的规定。
1 3N 2 H pi i2Qi2 2 i 1
pi
L Q i Q i
经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知 的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系 统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标 来描述独立的简谐振动。 H
j p Q j H Qj p j
2 应用正则方程得到： Qi i Qi 0 i 1, 2,3, ,3N
系统振动由 3N个独立的谐振子来表述