数学建模案例乳腺癌问题模型

类别
B B B M B B B B B B B B B B B M B M
病例号
91979701 919812 921092 921362 921385 921386 921644 922296 922297 922576 922577 922840 923169 923465 923748 923780 924084 924342
本文构造的模型具有良好的稳定性，对于模式识别问题具有很强的实用价值，最后本文提出了神经网络 和模糊数学深层次结合的方向．
一. 问题的重述
乳房癌通过穿刺采样进行分析可以确定其为良性或恶性．医学研究发现乳房肿瘤病灶组织的细胞显 微图像的 10 个量化特征：细胞核直径，质地，周长，面积，光滑度，紧密度，凹陷度，凹陷点数，对 称度，断裂度与该肿瘤的性质有密切关系．现有 500 个已确诊病例，每个病例的一组数据包括采样组织 中各细胞核的这十个特征量的平均值，标准差和“最坏值”（各特征的 3 个最大特征的平均值）共 30 个 数据．根据这 500 组数据建立诊断模型，并将其用于另外 69 名已做穿刺采样的患者．为节省费用发展 一种只用此 30 个特征数据中的部分特征来区分乳房肿瘤是良性还是恶性的方法．
类别
B M B M B B B B B M B B M B B B M M
病例号
917062 917080 917092 91762702 91789 917896 917897 91805 91813701 91813702 918192 918465 91858 91903901 91903902 91930402 919537 919555
类别
B B B M B B B B B B B B B B B M B M
病例号
91979701 919812 921092 921362 921385 921386 921644 922296 922297 922576 922577 922840 923169 923465 923748 923780 924084 924342
五. 神经模糊系统模型
从映射角度看，模糊系统和神经网络都具有（非线性）函数近似的能力．它们有着以下的共同之处： （1）它们均可以从给定的系统输入/输出信号（数据）中，建立系统的（非线性）输入/输出关系．
(2) 从数据处理的形式上看，它们均采用并行处理的结构． 但是，模糊系统和神经网络有着明显的不同之处．神经网络虽然对环境的变化具有较强的自适应学 习能力，但是从系统建模的角度而言，它采用的是典型的黑箱型的学习模式．因此当学习完成后，神经 网络所获得的输入/输出关系无法用容易被人接受的方式表示出来．相反，模糊系统是建立在被人容易 接受的“如果-则”表达方法之上，但如何自动生成和调整隶属度函数和模糊规则，则是一个很棘手的 问题．因此，将模糊理论和神经网络有机结合起来，取长补短，提高整个系统的学习能力和表达能力， 是目前这一领域最受人注目的课题之一．
为了避免量纲的影响，在应用数据之前对数据经行了标准化．标准化方法：用每个数据与整体均值 的差除以整体标准差．
四. 模型的建立与求解
（一）神经网络模型 学习向量量化(LVQ)是在监督状态下对竞争层进行训练的一种学习算法．LVQ 网络由一个竞争层和
一个线性层组成．竞争层的神经元将输入向量分成组，由现行层组合到期望的类中．在任何给定的时刻，
Accept factor:
0.6
Reject ratio:
0.15
神经网络采用前向的 BP 网络，神经元的传递函数为 Sigmoid 函数，输出层采用线性函数．网络结
构如下图所示：
由于系统的结构比较复杂，用 30 维的数据进行训练十分缓慢，只用了前面已提取出的 6 个特征对 系统进行了训练，得到了神经模糊系统．用后 100 组数据进行检验，诊断正确率达 96%．
然后对这 500 个特征向量进行了回归分析，从 30 个特征中筛选出了 6 个特征，它们分别是：细胞核直径 均值、标准差和最坏值、紧密度的均值、面积的最坏值、周长的均值．并将以上 6 个特征用于 LVQ 网络，诊 断正确率达 95%．
进一步考虑到神经网络与模糊数学各自的特点，将二者有机结合构造了神经模糊系统，并用以上的 6 个 特征对系统进行训练，诊断正确率达 96%．
病例号
914862 91504 91505 915143 915186 9151276 91544001 91544002
二. 问题的假设
1．所给的 500 组病例具有广泛的代表性． 2．500 组病例所反映的良性与恶性的概率分布符合病例的自然分布．
三. 问题的分析
本问题是一个典型的模式识别问题，要求根据它的特征量来进行分类． 对于模式识别问题，现今有两类解决办法．一类是传统的线性模型．另一类是近年来发展起来的非 线性模型．本题是一个典型的非线性问题，用传统的线性模型解决有一定的困难，而且识别率不高．所 以非线性模型是解决此类问题的首选．现今常用的非线性模型有神经网络模型和模糊系统模型． 神经网络由许多并行运算的简单单元组成，单个神经元的结构及其简单，但大量神经元相互连接组 成人工神经元网络显示出人脑的某些特征： 1） 分布存储和容错性； 2） 大规模并行处理； 3） 自学习、自组织和自适应性； 4） 它并不是各单元行为的简单相加，而表现出一般复杂非线性动态系统的特性． 神经元可以处理一些环境信息十分复杂、知识背景不清楚和推理规则不明确的问题，如乳房癌诊断问题．
类别
B B B B B B B B B B B B B B B B B B
病例号
924632 924934 924964 925236 925277 925291 925292 925311 925622 926125 926424 926682 926954 927241 92751
类别
B B B B B B B B M M M M M M B
乳房癌的诊断模型
马 壮 于翠影 张宏硕
指导教师：王镁
（内蒙古大学，呼和浩特 010021）
摘要 本文对乳房癌的诊断问题，应用神经网络与模糊数学的理论，给出了几种乳房癌的量化诊断方案．
首先，建立了 LVQ 神经网络模型，使用 500 组数据的前 400 组作为训练样本，用后 100 组数据对网络性 能进行检测，诊断正确率达 98%．
� x
k
时，具有权向量W
T j
与
� x
k
最近的元将获得竞争的胜利．若元
N
j
竞争获胜，将
权值作如下调整
( ) ∆W
T j
=η
� x
k
−
W
T j
（1）
使获胜者的权向量向输入向量移近一小段距离，这使网络在遇到
� x
k
或与
� x
k
接近的模式时，元
N
j
可
以有更大的获胜可能性．若 N j 在竞争中失败，将权值作如下调整
[模糊系统的存在定理] 给定任意连续函数 f : U n → R 和任意 ε > 0 ，存在由（1）式定义的 g(x)
使
．
神经网络和模糊系统各自本身就是一个非线性的输入/输出映射，因此模糊系统可以用一等家的神经网
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
络来表示，同样，神经网络也可以用一等价的模糊系统来表示．
基于神经网络的模糊系统：
模糊系统采用高木-管野（Takagi-Sugeno Model）(简称 TS 模型)：
类别
B B B M B B B B B M B B B B B B M M
病例号
917062 917080 917092 91762702 91789 917896 917897 91805 91813701 91813702 918192 918465 91858 91903901 91903902 91930402 919537 919555
� S j = xW j
若元 N j 获胜，就意味着
{ } �
�
xW j
= max k∈{1,2,⋯,m}
xWk
若连接到每个输出层神经元的权向量 WkT = (W1k ,W2k ,⋯,Wmk ) 都是规范化的，上式等价于
{ } x�
−
W
T j
= min k∈{1,2,⋯,m}
x� − WkT
网络输入模式为
( ) ∆W
T j
= −η
� x
k
−
W
T j
（2）
使权向离开样品的方向移动，这样就减小了错误分类的机会．在（1）、（2）式中，η 表示学习率．
2
在本模型中取η 为 0.01，取隐竞争层的神经元数为 60，取输出层神经元数为 2，并规定输出（0，1）
为良性，输出（1，0）为恶性．用前 400 组数据作训练样本，经过 15000 次迭代，两类样本的聚类情况 如下图：
用后 100 组数据对训练进行检测，诊断正确率达 98%．对 69 组待定病例的诊断结果如下表：
病例号
914862 91504 91505 915143 915186 9151276 91544001 91544002 915452 915460 91550 915664 915691 915940 91594602 916221 916799 916838
类别
B B B B B B B B B B B B B B B B B B
病例号
924632 924934 924964 925236 925277 925291 925292 925311 925622 926125 926424 926682 926954 927241 92751
类别
B B B B B B B B M M M M M M B
神经网络和模糊系统的等价性：
4
[Kolmogorov 定理] 给定任意连续函数 f : U n → R m , f (x) = y ，这里U 是单位闭区间[0，1]， f